高中数学专题专练13 三视图与体积表面积

十三 三视图与体积、表面积1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．【答案】33π【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成， 其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3， ∴半球的面积21143182S =⋅π⋅=π，圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∴圆锥的侧面积为23515S rl =π=π⋅⋅=π，∴表面积为1233S S S =+=π．2．由三视图求体积例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．4B ．C ．D ．8【答案】D【解析】由于长方体被平面所截，∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成，∴所求体积为长方体体积的一半。

从图上可得长方体的底面为正方形， 且边长为2，长方体的高为314+=，∴22416V =⋅=长方体，∴182V V ==长方体，故选D ．一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为r ， ∴该几何体的表面积2222242216S r r r r r r =⨯⋅+⨯⋅-π⋅+π⋅=+π，得1r =，故选A ． 2．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点（如图）用过点1B E D 、、的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）对点增分集训A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意可知：过点B 、E 、1D 的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图， 则几何体的左视图为D ，故选D ．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．236B ．72C ．76D ．4【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱11ABB DCC -挖去一个三棱锥E FCG -，故所求几何体的体积为()111232221112326⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选A ．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．)21+πB ．21⎫++π⎪⎪⎝⎭C ．122⎫++π⎪⎪⎝⎭D ．12⎫+π⎪⎪⎝⎭【答案】C【解析】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为1r =，圆锥的高2h =，其母线长l =21111112222222S ⎫=⨯π⨯+⨯π⨯⨯⨯=++π⎪⎪⎝⎭，本题选择C 选项． 5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于（ ）A ．34πB ．32πC ．17πD ．172π 【答案】A【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形， 高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3的棱锥， 如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径52圆心设为M 半径为r ，球心到底面距离为32，设球心为O ， 由勾股定理得到2222253342224h R r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2434S R =π=π，故选A ．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．16πC ．36πD ．72π【答案】C【解析】还原几何体如图所示三棱锥由1B BCD -（如下左图），将此三棱锥补形为直三棱柱111B C D BCD -（如上右图），在直三棱柱111B C D BCD -中取1BC B C 、的中点12O O 、，取12O O 中点O ，3R ===，2244336S R =π=⨯=π表，故答案为C ．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．6+B ．8+C ．6+D ．8+【答案】B【解析】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：∴表面积为111111111111DA D DA B DB C DC D A B C D S S S S S S =++++11112222222282222=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=+B ． 8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2，a ，b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为R ==∴三棱锥外接球表面积为()()22222144514a b a ππ=π++=π-+⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 9．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．12 B ．13C ．14 D ．15【答案】B【解析】由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥P ABCD -被平面QBD 截去三棱锥Q BCD -（Q 为PC 中点）后的部分，连接AC 交BD 于O ，连楼OQ ，则OQ PA ∥，且12OQ PA =，设PA AB a ==，则313P ABCD V a -=，23111132212Q BCD V a a a -=⨯⨯=， 剩余部分的体积为：3311312a a -，则所求的体积比值为：3331112113312aa a =-．本题选择B 选项．10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．15B ．16C ．503D ．533【答案】C【解析】由题得几何体原图是下图中的四棱锥A BCDE -，底面四边形BCDE 的面积为114442221022⨯-⨯⨯-⨯⨯=，∴四棱锥的体积为15010533⨯⨯=，故答案为C ．11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．94B C ．12D ．83【答案】D【解析】几何体为如图多面体PABCDE ，∴体积为()11118221222132323D PABE A BCD V V --+=⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯=，故选D ．12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．203B ．7C ．223D ．233【答案】B【解析】如图所示，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，∴该多面体的体积为32111121212273232V =-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=；故选B ．二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．【答案】12【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，∴()12422122V Sh ==+⨯⨯=． 14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．【答案】404+π，4163π+ 【解析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为2的球，下半部分是一个直棱柱，棱柱的底面是边长为2的正方形，高为4，则该几何体的表面积224122424404S =π⨯+⨯+⨯⨯=+π， 几何体的体积：32441241633V =π⨯+⨯=+π． 15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．【答案】1【解析】根据题中所给的三视图，还原几何体，可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式， 可得其体积11212132V +=⨯⨯⨯=，故答案是1． 16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．【解析】由三视图知，该几何体由正方体沿面11AB D 与面11CB D 截去两个角所得，。