第四节基本不等式PPT课件

≥n a1a2…an(属知识拓展)．
四、最值定理
设x>0，y>0，由x＋y≥2 x ，y 有：
(1)若积xy＝P(定值)，则和x＋y最小值为2 P ；
(2)若和x＋y＝S(定值)，则积xy最大值为
S 2
2.
即积定和最小，和定积最大．
运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、 二定、三相等”．
答案：D
2．(2011·皖北联考)下列结论中正确的是( ) A．当 x＞0 且 x≠1 时，lg x＋lg1x≥2 B．当 x＞0 时， x＋ 1x≥2 C．当 x≥2 时，x＋1x的最小值为 2 D．当 0＜x≤2 时，x－1x无最大值
答案：B
3．(2012·合肥市重点中学联考)若直线2ax－by＋2＝0(a，
＝b时取等号)．
2
a＋b2(当且仅当a
2
三、均值不等式(基本不等式)
两个正数的均值不等式：若 a，b∈R＋，则a＋2 b
≥ ab(当且仅当 a＝b 时取等号)．
变式： ab≤a＋2 b2(a，b∈R＋)．
三个正数的均值不等式：a＋3b＋c≥3 abc(属知识
拓展)．
n
个
正
数
的
均
值
不
等
式
：
a1＋a2＋…＋an n
＝8，则 a＋b 的最小值是________．
思路点拨：(1)根据等比数列所给的等式，找出 m，
n 的关系 m＋n＝3，将所找的关系与m4 ＋n1结合，再用 基本不等式求最值，关键的一步是m4 ＋n1＝13m4 ＋n1(m ＋n)．
(2)由基本不等式将已知等式变成不等式关系，再 用解二次不等式的方法求解．
解析：由于(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤a2＋
b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＝3(a2＋b2＋c2)，
所以a2＋b2＋c2≥ 1 ； 3
由于a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三个不等式
相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
解析：(1)设等比数列的公比为 q，则由 a7＝a6＋ 2a5 得 q2＝q＋2，解得 q＝2(舍去负值 q＝－1)，
五、比较法的两种形式
一是作差，二是作商．
基础自测
1．(2012·深圳市松岗中学模拟)若函数 f(x)＝x＋
x－1 2(x>2)在 x＝n 处有最小值，则 n＝(
)
A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．4 D．3
解析：f(x)＝x－2＋x－1 2＋2≥2 x－2·x－1 2＋2
＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x－2＝1，x＝3 时，f(x) 有最小值．故选 D.
∴
ln
a·ln
ln b<
a＋ln 2
b，即
P<Q.
又∵ ab<a＋2 b，
∴ln ab<lna＋2 b，
∴ln
a＋ln 2
b<lna＋2 b，即
Q<R
.
∴P<Q<R.
变式探究
1．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2， ab＋bc＋ca，的大小关系是__________________．
b>0)始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则 1 ＋1 的最 ab
小值是________． 答案：4
4．(2012·宁波市鄞州区适应性考试)已知点A(m，n)在直 线x＋2y－1＝0上，则2m＋4n的最小值为__________.
解析：因为点 A(m，n)在直线 x＋2y－1＝0 上， 则 m＋2n＝1.
②|a|＋|a1|≥4； ③sin x＋sin4 x≥4x∈0，π2. 其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝4ab， ∴①正确；
②|a|＋|a1|≥2 |a|·|a1|＝2，∴②错误；③当 sin x ＝sin4 x时，sin x＝±2，显然等号取不到，事实上，设 t ＝sin x，则 t∈(0,1]，y＝t＋4t 在(0,1]上为减函数，故当 t＝1 时，y 取最小值 5，∴③错误．故选 B.
答案：A
考点三 利用最值定理求最值
【例 3】 (1)(2012·蚌埠市质检)已知正项等比数
列{an}满足 a7＝a6＋2a5，若存在两项 am，an 使得 aman
＝ 2a1，则m4 ＋n1的最小值为(
)
A．1 B．3 C．9 D．不存在
(2)(2012·佛山一中期中)已知 a>0，b>0，a＋b＋ab
答案：B
变式探究
2．(2012·广东执信中学检测)“a＞b＞0”是“ab a2＋b2
＜
”的( )
2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：a2＋b2≥2ab中参数的取值不只是仅可
以取正数．均值不等式 a b ≥
2
a>0，b>0.故选A.
a b 才需应满足
所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥3(ab＋bc＋
ca)，
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1
故ab＋bc＋ca≤ .
3
综上知，ab＋bc＋ca≤
答案：ab＋bc＋ca≤ 1
1 3 ≤a2＋b2＋c2.
≤a2＋b2＋c2
3
考点二
利用基本不等式判定不等式的正误
【例 2】 给出以下四个不等式： ①(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)；
第六章 不等式、推理与证明
第四节
基本不等式：a
b
≤a
2
b
(a，b∈R+)
考纲要求
1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．会用基本不等式求最值及解决简单的实际问 题.
课前自修
知识梳理
一、算术平均数与几何平均数的概念
若a>0，b>0，则a，b的算术平均数是 a b ，几何平
所以 2m＋4n＝2m＋22n≥2 2m·22n＝ 2 2m＋2n＝2 2. 答案：2 2
考点探究
考点一 利用基本不等式比较数或式的大小
【例 1】 若 a>b>1，P＝ ln a·ln b，Q＝12(ln a ＋ ln b)，R＝lna＋2 b，试比较 P，Q，R 的大小．
解析：∵a>b>1，∴ln a>ln b>0，
均数是 a b .
2
二、常用的重要不等式和基本不等式
| | 1．若a∈R，则a2≥0， a≥0( 当且仅当a＝0时，取
“等号”)．
2．若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取 等号)．
3．若a，b∈R＋，则a＋b≥2 a b (当且仅当a＝b 时取等号)．
4．若a，b∈R＋，则 a 2 b 2 ≥