直线的参数方程教案.docx

直线的参数方程

教学目标：

1.联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方

程在解决问题中的作用．

2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，

进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．

3.通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研

的科学精神、严谨的科学态度．

教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．

教学难点：通过向量法，建立参数t （数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标

x, y 之间

的联系．

教学方式：启发、探究、交流与讨论.

教学手段：多媒体课件．

教学过程：

一、回忆旧知，做好铺垫

教师提出问题：

1. 曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．

2. 直线的方向向量的概念．

3. 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？

4. 已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．

5. 如何建立直线的参数方程？

这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题 5 不急于让学生回答，先引起学生的思考．【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．

二、直线参数方程探究

1．回顾数轴，引出向量

数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？

教师提问后，让学生思考并回答问题．

教师引导学生明确：如果数轴原点为 O，数 1 所对应的点为 A，数轴上点 M的坐标为 t ，那么：

① OA 为数轴的单位方向向量， OA 方向与数轴的正方向一致， 且 OM tOA ；②当 OM 与 OA 方 向一致时（即 OM 的方向与数轴正方向一致时）， t 0 ；

当 OM 与 OA 方向相反时（即 OM 的方向与数轴正方向相反时）， t 0 ；当

M 与 O 重合时， t 0 ；

③|OM |

t ．教师用几何画板软件演示上述过程．

【设计意图】 回顾数轴概念， 通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，备．

为选择参数做准

2. 类比分析，异曲同工

问题：（1）类比数轴概念， 平面直角坐标系中的直线能否定义成数轴？

任意一条

（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这之间的关系？

就有两种

两种坐标

教师提出问题后，引导学生思考并得出以下

结论：选取

直线

l 上的定点 M 0 为原点，与直线

l 平行且方向

向上 ( l 的

倾斜角不为 0 时) 或向右（ l 的倾斜角为 0 时）的单位向量 e 确定直线 l 的正方向，同时在直线

l

上确定进行度量的单位长度， 这时直线 l 就变成了数轴．于是，直线 l 上的点就有了两种坐标 （一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向 保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．

【设计意图】 使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、 单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．

3. 选好参数，柳暗花明

问题（ 1）：当点 M 在直线 l 上运动时，点 M 满足怎样的几何条件？

让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线 l 当成数轴后，直线 l 上点 M 运动就

等价于向量 M 0 M 变化，但无论向量怎样变化，都有 M 0 M te ．因此点 M 在数轴上的坐标 t 决 定了点 的位置，从而可以选择 t 作为参数来获取直线 l 的参数方程．

M 【设计意图】 明确参数 ．

问题（2）：如何确定直线 l 的单位方向向量 e ？

教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，

那么终 点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可 以把起 点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合

就是一

个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．

教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出 e (cos ,sin) ，从而明确直线l的方向向量可以由倾斜角来确定．

当 0时，sin0 ，所以直线 l 的单位方向向量 e 的方向总是向上．

【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合

思想．

4.等价转化，深入探究

问题：如果点 M 0,M的坐标分别为 ( x0 , y0 )、(x, y) ，怎样用参数t表示x, y？

教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交

流．过程如下：

因为 e(cos ,sin ) ，（[0,) ），M0M( x, y) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 ) ，

又M 0 M // e，所以存在实数 t R ，使得 M 0 M te ，即

(x x0 , y y0 ) t (cos ,sin) ．

于是 x x0t cos ， y y0t sin，

即 x x0t cos ， y y0t sin．

因此，经过定点 M ( x0 , y0 ) ，倾斜角为的直线的参数方程为

x x0t cos y y0（ t 为参数）．

t sin

教师提出如下问题让学生加强认识：

①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

②参数 t 的取值范围是什么？

③参数 t 的几何意义是什么？

总结如下：① x0 , y0，是常量，

② t R ；

③由于 | e | 1，且M0M x, y, t 是变量；

te ，得到M0M t ，因此t 表示直线上的动点M 到定点

M 0的距离．当M 0 M的方向与数轴（直线）正方向相同时，t0；当 M0M的方向与数轴（直线）正方向相反时，t0 ；当t0 时，点M与点M0重合．