安庆师范实变函数第三章测度概论3.3 可测集类

实变函数第三章习题参考解答

实变函数第三章习题参考解答1.设f 是E 上的可测函数，证明：R a '∈∀，})(|{a x f x E ==是可测集.解：R a '∈∀，因为)(x f 是E 上的可测，所以})(|{a x f x E ==与})(|{a x f x E ≤=均是可测集.从而})(|{a x f x E ==})(|{a x f x E ≥==})(|{a x f x E ≤= 可测.2.设f 是E 上的函数，证明：f 在E 上的可测当且仅当对一切有理数r ，})(|{r x f x E >=是可测集.证：)(⇐R a '∈∀，取单调递减的有理数序列∞=1}{k k r 使得a r k k =+∞→lim ，则})(|{})(|{1k k r x f x E a x f x E >=>=∞= .由每个k r x f x E >)(|{}的可测性，知})(|{a x f x E >=可测.从而，)(x f 在E 上的可测.)(⇒设f 在E 上的可测，即R a '∈∀，})(|{a x f x E >=可测.特别地，当r a =时有理数时，})(|{r x f x E >=可测. 3. 设f 是R '上的可测函数，证明：对于任意的常数α，)(x f α是R '上的可测函数. 为证上述命题，我们先证下面二命题：命题1.若E 是R '中的非空子集，则R '∈∀α，有E m E m *||*αα=证明：当0=α时，因为}0{=E α，则E m E m *||*αα=.不妨设，0≠α.因为E I I E m i i i i ⊃=∞=∞=∑11||inf{* ，i I 为开区间}.0>∀ε,存在开区间序列∞=1}{i i I ，E I i i ⊃∞=1 ，||*||*1αε+<≤∑∞=E m I E m i i .又因为E I i i ⊃∞=α1 （注：若),(i i i I βα=，则 ⎩⎨⎧=ααααβααβααα),,(),,(i i i i i I .所以εααααα+⋅<==≤∑∑∑∞=∞=∞=E m I I IE m i i i i i i*||||||||||||*111.由ε得任意性，有i i i i i I E I I E m ,||inf{*11αα⊃≤∞=∞=∑ 为开区间}故存在开区间∞=1}{i i I ，使E I i i α⊃∞=1，且εα+<≤∑∞=E m I E m i i *||*1.又因为E I i i ⊃∞=α11，故εαα+<≤∑∞=E m I E m i i *|1|*1.由ε得任意性，有E m E m αα**||≤从而E m E m αα**||=.命题2.设R E '⊂，+∞<E m *，则E 可测⇔R '∈∀α，E α可测.(由P54.19题的直接推论). 证：)(⇐是直接的，我们仅需证明)(⇒R '∈∀α，如果0=α，则}0{=E α为零测集.故E α可测.不妨设0≠α.现在证明R T '⊆∀，)(*)(**E C T m E T m T m αα +=.事实上，对于R T '⊆∀，则R T '⊆α1，因为E 在R '可测，所以)1(*)1(*)1(*CE T m E T m T m ααα+=，即)(*||1)(*||1*||1CE T m E T m T m αααα+=)(*)(**E C T m E T m T m αα +=即E α可测.3.设f 是R '上的可测函数，证明：对于任意常数α，)(E f α仍是R '上的可测函数.解：记R E '=，对于R '∈∀α，当0=α时，R a '∈∀，⎩⎨⎧>'=≤∅=>af R E a f a f x E )0(,)0(,})0(|{.故})(|{a x f x E >α可测所以：)(x f α可测.当0≠α时，R '∈∀α，令x y α=，则})(|{})(|{a y f xyE a x f x E >=>α= })(|{1a y f y E >α.在因为f 在R '可测，故})(|{a y f y E >可测，又由命题2，})(|{})(|{a x f x E a y f y E >=>可测.从而)(x f α使R E '=上哦可测函数.4.设)(x f 是E 上的可测函数，证明：3)]([x f 在E 上可测.证明：R '∈∀α，因为)(x f 在E 上可测.所以})(|{3a x f x E >是可列集.即})(|{})(|{33a x f x E a x f x E >=>可测.从而3)]([x f 在E 上可测.5.若],[b a 上的函数)(x f 在任意线段],[βα)(b a <<<βα上可测，试证它在整个闭区间上也可测.证明：N k ∈∀，),(]21,21[11b a b b b a E k k k ⊆---+=++，)(x f 在k E 上可测，记 ),(*b a E =，则k k E E ∞==1.又因为R '∈∀α，})(|{})(|{*1αα>=>∞=x f x E x f x E k k .由每个})(|{α>x f x E k 的可测性，得})(|{*α>x f x E 可测.所以)(x f 在),(*b a E =可测. 令},{0b a E =，],[b a E =即E E E *=. })(|{})(|{*})(|{0ααα>>=>x f x E x f x E x f x E故})(|{α>x f x E 可测，从而)(x f 在E 上可测.],[βα=E 7.设f 是E 上的可测函数，证明：（i ）对R '上的任意开集O ，)(1O f-是可测集； (ii) 对R '中的任何开集F ，)(1F f-是可测集；（iii ）对R '中的任何δG 型集或σF 型集M ，)(1M f-是可测集.证：（i ）当O 时R '中有界开集时，由第一章定理11（P.30），O 是至多可数个互不相交的开区间i i i )},{(βα的并，即),(i i iO βα =. })(|{)],[()],([)(111i i ii i ii i ix f E f f O f βααβαβα<<===---由f 在E 上哦可测性，知：每个})(|{i i x f x E βα<<可测，从而)(1O f-可测.若O 是R '的误解开集，N n ∈∀，记],[n n E n -=，则n n E O O =是R '中有界开集，且n n O O ∞==1，故][][)(11111n n n O f O f O f-∞=∞=--== .故由)(1n O f-得可测性，知)(1O f -可测.(ii) 设F 是R '中的任一闭集，记F R O -'=是R '中开集.)()(11F R fO f-'=--=)()(11F fR f---'，即)()()(111O fR fF f----'= .由)(1O f-与)(1R f '-得可测性，知，)(1F f-可测.（iii ）设G ，F 分别为R '中δG 型集和σF 型集.即，存在开集列∞=1}{k k G ，闭集列∞=1}{k k F 使得k k G G ∞==1k k F F ∞==1，从而，][)(111k k G f G f-∞=-= 且][)(111k k F f F f-∞=-= .由)(1k G f -与)(1k F f -的可测性，知)(1G f-与)(1F f -均可测.8.证明：E 上两个可测函数的和仍是可测函数.证明：设)(x f ，)(x g 是E 上的两个可测函数，令})(|{0±∞=-=x g x E E E ，R a '∈∀)}(})(|{})()(|{00x g a x f x E a x g x f x E ->=>+=)()(|{01X g a r x f x E i i ->>∞= =i i r x f x E >∞=)(|{[01}])(|{0i r a x g x E ->.由)(x f ，)(x g 在E 可测，知)(x f ，)(x g 在0E 可测. 从而N i ∈∀，}])(|{0i r x f x E >与}])(|{0i r a x g x E ->可测. 故})()(|{0a x g x f x E >+可测.又因})(|{±∞=x g x E })()(|{a x g x f x E >+ 是零测集，故可测.从而g f +在E 上可测. 9.证明：若)(x f 是1E 及2E 上的非负可测函数，则f 也是21E E 上的非负可测函数.证明：因为)(x f 是1E 及2E 上的非负可测函数，则R a '∈∀，})(|{1a x f x E >与})(|{2a x f x E >均可测.于是，记21E E E =，则=>})(|{a x f x E })(|{1a x f x E >})(|{2a x f x E > 可测.从而)(x f 在21E E E =上非负可测.10.设E 是nR 中有界可测集，f 是E 上几乎处处有限的可测函数，证明：0>∀ε，存在闭集E F ⊂，使得ε<-)(F E m ，而在F 上)(x f 有界.证明：（法一）由sin lu 定理，0>∀ε，∃闭集E F ⊂，使得ε<-)(F E m 且)(x f 在F 上连续，现在证)(x f 在F 上有界.如果)(x f 在F 无界，即0>∀M ，F x m ∈∃使得M x f m >|)(|.特别的，当11=M 时，F x ∈∃1有11|)(|M x f >；当}2,1|)(m ax {|2+=x f M ，F x ∈∃2，使得22|)(|M x f >；; 当},1|)(m ax {|k x f M k +=时，F x k ∈∃，使得k k M x f >|)(|，从而，得F 中互异点列F x k ⊂}{，使得N k >∀，k x f k >|)(|，即+∞=∞→|)(|lim k k x f .另一方面，因为F 为有界，且F x k k ⊂∞=1}{，故∞=1}{k k x 有一收敛子列∞=1}{k k x ，不妨设0lim x x k n k =∞→，则F x ∈0，又因为)(x f 在0x 连续.对1=ε，N k ∈∃0，0k k ≥∀时，恒有1|)(||)(||)(||)(|000<-≤-x f x f x f x f k k n n ，即)(|1|)(|0x f x f k n +≤.取N k ∈*，|)(|1*0x f k +>，则*|)(|*k x f kn ≤，但由*k n x 得定义，有***|)(|k n x f k n k≥>，这是一矛盾.从而)(x f 在F 有界.证明：（法二）由sin lu 定理，0>∀ε，∃闭集E F ⊂，使得ε<-)(F E m 且)(x f 在F 上连续，现在用有限覆盖定理证：)(x f 在F 上有界.F x ∈∀0，因为)(x f 在0x 连续.所以对1=ε，00>∃x δ使得F x O x x ),(00δ∈∀，恒有：1|)()(||)()(|00<-<-x f x f x f x f ，即1|)(||)(|0+<x f x f .从而),(000x Fx x O F δ∈⊂ .因为F 是有界闭集，故由有限覆盖定理，存在)1(0x ，)2(0x ，, F x k ∈)(0，N k ∈，使得),()(0)(01i x i ki x O F δ=⊂ .取}11|({|)(0k i x f nax M i ≤≤+=，则F x ∈∀，有),(0)(x i o x O x δ∈，M x f x f i ≤+≤1|)(|)(|)(0.从而)(x f 在F 有界.11.设}{n f 是E 上的可测函数序列，证明：如果0>∀ε，都有+∞<>∑∞=}|)(|{1εx f xmE n n ，则必有0)(lim =∞→x f n n ][,E e a .证：0>∀ε，因为+∞<>∑∞=}|)(|{1εx f xmE n n ，故0}|)(|{lim1=>∑∞=∞→εx f xmE n n N .又因为})1|)(|{(}0)(|{11kx f x E x f x E n N n N k n >=→/∞=∞=∞=故})]1|)(|{([}0)(|{11kx f x E m x f x mE n N n N k n >=→/∞=∞=∞=}]1|)(|{[lim }1)(|{lim 11k x f x E m k x f x E m n N n N k n N k >=>≤∞=∞→∞=∞→∞=∑∑∑∑∑∞=∞=∞→∞==>≤110}]1|)(|{limk n Nn N k k x f x mE ，故0)(lim =∞→x f n n ][,E e a12．证明:如果)(x f 是n R 上的连续函数，则)(x f 在n R 的任何可测自己E 上都可测. 证明：（1）先证：)(x f 在n R 上可测.令n R E =，R a '∈∀，因为)),((})(|{1+∞=>-a fa x f x E .现在证：)),((1+∞-a f是一个开集.事实上，)),((10+∞∈∀-a fx ，),[)(0+∞∈a x f ，取2)(0ax f -=ε.因为)(x f 在0x 连续，则对于02)(0>-=ax f ε，0>∃δ，使),(0δx O x ∈∀时，ε<-|)()(|0x f x f ，即 ))(,)(()(00εε+-∈x f x f x f =-+--=)2)()(,.2)()((0000ax f x f a x f x f)2)()(,.2)()((0000ax f x f a x f x f -+--),()2)()(,.2)((000+∞⊂-++=a a x f x f a x f ，故)],[(),(10+∞⊂-a f x O δ，从而)],[(1+∞-a f 为开集，可测.即，)(x f 在n R 上可测.(2)再证：nR E ⊆∀可测，f 在E 可测.事实上，这是P59性质2的直接结果.14.设}{n f ,}{n h 是E 上的两个可测函数序列，且f f n ⇒，h h n ⇒，h f ,(都是E 上的有限函数)证明：（i ）h f ,是E 上可测函数（ii ）对于任意实数α ，β，h f h f n n βαβα+⇒+若+∞<mE ，则还有（iii ）h f h f n n ⋅⇒⋅若+∞<mE ，且n h ，h 在E 上几乎处处不等于0，则（iv ）hfh f n n ⇒.证明：（i ）因为f f n ⇒，n f 是可测函数列，由Riesz 定理，}{n f 有一个子列}{k n f ，使得f f k n ⇒ ][,E e a .再由P62性质4，f 是在E 可测，同理，h 在E 可测.（ii ）先证：当f f n ⇒时，R '∈∀α，有f f n αα⇒.事实上，当0=α时，0>∀ε，∅=≥-}|{εααf f x E n .所以∅=≥-∞→}|{lim εααf f x mE n n .当0≠α时，因为}||||{}||{αεεαα≥-=≥-f f x E f f x E n n ，故 }||||{}||{lim αεεαα≥-=≥-∞→f f x E f f x mE n n n 0}||||{lim =≥-=∞→αεf f x mE n n .从而f f n αα⇒.再证：h f h f n n βαβα+⇒+. 事实上，0>∀ε，⊆≥-+-⊆≥+-+}|)|||{}|)()|{εββααεβαβαh h f f x E h f h f x E n n n n }2|)|{}2||{εββεαα≥-≥-h h x E f f x E n n .≤≥-+-≤≥+-+}|)|||{}|)()|{εββααεβαβαh h f f x mE h f h f x mE n n n n)(0}2|)|{}2||{∞→→≥-+≥-n h h x mE f f x mE n n εββεαα. 0}|)()({lim =≥+-+∞→εβαααh f f f x mE n n所以：h f h f n n βαβα+⇒+. （iii ）现在证：h f h f n n ⋅⇒⋅.先证：f f n ⇒，必有22f f n ⇒.事实上，若0}|{lim 022≠≥-∞→εf f x mE n n （对于某个00>ε）.因为+∞<mE ，而N n ∈∀，mE f f x E n ≤≥-≤}|{0022ε，则∞=≥-1022}|{{n n f f x mE ε是有界无穷数列.故存在}{n f 的子列}{k n f 使得0}|{lim 022>=≥-∞→l f f x mE k n k ε.事实上，如果每个}{n f 的收敛子列}{k n f 都0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE k n k .故0>∀δ，N ∈∃N 时，恒有),0(}|{022δεU f f x mE kn ∈≥-.倘若不然，∃无穷个∞=1}{k m k f ，使得 ),0(],0[}|{022δεU mE f f x mE k m -∈≥-.即∞=≥-1022}}|{{k m f f x mE kε是有界无穷点列，它有一收敛子列.不妨设这收敛子列就是它本身.因为N k ∈∀，δ≥-|}{22f f x mE kn ，故0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE k n k .故 .}|{lim *022δε≥=≥-∞→l f f x mE k m k 这与}{k n f 得每个收敛子列都为零极限矛盾，从而0>∀δ，N ∈∃N ，使得N n ≥∀时，有δε<≥-}|{022f f x mE n .即0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE n k ，这与.0}|{lim 022≠≥≥-∞→εεf f x mE k m k 矛盾.所以 }{n f 有子列}{k n f 使得0}|{lim 022>=≥-∞→l f f x mE kn k ε.另一方面：因为f f n ⇒，所以f f k n ⇒.故由Riesz 定理}{n f 有一子列}{k n f '，有f f k n →' ][,E e a ，从而22f f kn →' ][,E e a .故.0}|{lim 022=≥-∞→εf f xmE km k 这与l f f x mE k m k =≥-'∞→}|{lim 022ε矛盾.从而，.0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE k n k 最后证：h f h f n n ⋅⇒⋅. 事实上，])()[(4122n n n n n n h f h f h f --+=⋅h f h f h f ⋅=--+⇒])()[(4122. 习题14（iii ）引理例1，设)(x f ，)2,1)(( =n x f n 都是E 上的可测函数列且+∞<mE ，如果f f n ⇒，则22f f n ⇒.证明：设f f n ⇒，若22f f n ⇒/，即0>∃0ε使得.0}|{lim 022=/≥-∞→εf f x mE k n k 即0>∃0δ，N ∈∀N ，N n N ≥∃，有0022}|{1δε≥≥-f f x mE n . 特别的，当1=N 时，N n ≥∃1，有00022}|{1δε≥≥-f f x mE n ；当11+=n N 时，N n ≥∃2，有0022}|{2δε≥≥-f f x mE n ；当12+=n N 时，N n ≥∃3，有0022}|{3δε≥≥-f f x mE n这样继续下去，得}{n f 的一子列∞=1}{k n k f 使得N k ∈∀，+∞<≤≥-≤mE f f x mE kn }|{0220εδ，即∞=≥-1022}|{{k n f f x mE kε是一个有界的无穷数列，有一收敛子列∞='≥-1022}|{{k n ff x mE k ε，0}|{{lim 0022>≥=≥-'∞→δεl f f x mE kn k .另一方面，因为f f n ⇒，所以f f k n ⇒'，由Riesz 定理，∞=1}{k n k f 必有一子列∞=1}{k m k f 使得f f k m ⇒ ][,E e a .所以22f f km ⇒ ][,E e a .从而22f f km ⇒.即0}|{lim 022=≥-∞→εf f x mE k m k ，这与0}|{{lim 0022>≥=≥-'∞→δεl f f x mE k n k 矛盾. 例2，设f f n ⇒，h h n ⇒，则h f h f n n ⋅⇒⋅证：因为h f h f h f h f h f h f n n n n n n ⋅=--+⇒--+=⋅])()[(41])()[(412222。

实变函数与泛函分析

开 G n ，集 E 使 G n 且 m ( G 得 n E ) 1 n
令O
n 1
Gn
,则 O为 G型集， EO 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 , L
故m(OE)0
例：设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一零测度集的G 型集或 F 型集。
可测集可由 G 型集去掉一零集，或 F 型集添上一零集得到。
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使 E O 且 m (O E )0
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
(2)若 E可测， 0 则 ,闭F 集，使F 得 E且 m(EF)
(1)若 E可测，则 0,开G 集， (2)若 E可测， 0 则 ,闭F 集，使E 得 G且 m(GE) 使F 得 E且 m(EF)
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
0 , 开 G ，集 E c 使 G 且 m ( G 得 E c )
令 O n 1 G n ，则 O 为 G 型集， E O 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 ,
故m(OE)0 从而 E O (O E ) 为可测集
例：设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一小
测度集的开集和闭集。E{r1,r2,r3,}
取F=G c，则F为闭集 FE
且 m (EF )m (E F c)
m (E (c)c F c)m (F cE c)m (G E c)

《实变函数与泛函分析基础》目录简介

《实变函数与泛函分析基础》目录简介内容简介本次修订是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。

《实变函数与泛函分析基础(第3版)》共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。

这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。

《实变函数与泛函分析基础(第3版)》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。

目录第一篇实变函数第一章集合1 集合的表示2 集合的运算3 对等与基数4 可数集合5 不可数集合第一章习题第二章点集1 度量空间，n维欧氏空间2 聚点，内点，界点3 开集，闭集，完备集4 直线上的开集、闭集及完备集的构造5 康托尔三分集第二章习题第三章测度论1 外测度2 可测集3 可测集类4 不可测集第三章习题第四章可测函数1 可测函数及其性质2 叶果洛夫定理3 可测函数的构造4 依测度收敛第四章习题第五章积分论1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介2 非负简单函数的勒贝格积分3 非负可测函数的勒贝格积分4 一般可测函数的勒贝格积分5 黎曼积分和勒贝格积分6 勒贝格积分的几何意义·富比尼定理第五章习题第六章微分与不定积分1 维它利定理2 单调函数的可微性3 有界变差函数4 不定积分5 勒贝格积分的分部积分和变量替换6 斯蒂尔切斯积分7 L-S测度与积分第六章习题第二篇泛函分析第七章度量空间和赋范线性空间1 度量空间的进一步例子2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间3 连续映射4 柯西点列和完备度量空间5 度量空间的完备化6 压缩映射原理及其应用7 线性空间8 赋范线性空间和巴拿赫空间第七章习题第八章有界线性算子和连续线性泛函1 有界线性算子和连续线性泛函2 有界线性算子空间和共轭空间3 广义函数第八章习题第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间1 内积空间的基本概念2 投影定理3 希尔伯特空间中的规范正交系4 希尔伯特空间上的连续线性泛函5 自伴算子、酉算子和正常算子第九章习题第十章巴拿赫空间中的基本定理1 泛函延拓定理2 C[a，b]的共轭空间3 共轭算子4 纲定理和一致有界性定理5 强收敛、弱收敛和一致收敛6 逆算子定理7 闭图像定理第十章习题第十一章线性算子的谱1 谱的概念2 有界线性算子谱的基本性质3 紧集和全连续算子4 自伴全连续算子的谱论5 具对称核的积分方程第十一章习题附录一内测度，L测度的另一定义附录二半序集和佐恩引理附录三实变函数增补例题参考书目。

可测集类

(1).若E可测，则存在Gδ 型集 O, 使 E ⊂ O且m(O − E ) = 0 若可测可测， (2).若E可测，则存在 Fσ 型集使 H ⊂ E且m( E − H ) = 0 若可测可测，型集H,
证明：已证明，证明：若(1)已证明，由Ec可测可知已证明
∃Gδ 型 O，使得 E c ⊂ O且 m (O − E c ) = 0
∀ 1 , ∃ 开区间列 { I ni }, 使得 E ⊂ ∪ I ni 且 m * E ≤ n
i =1 ∞
∑
i =1
∞
| I ni | ≤ m * E +
1 n
令 G n = ∪ I n i , 则 G n 为开集， E ⊂ G n，且
i =1
∞
m*E ≤ mGn ≤
∞
∑
∞
i =1
m I ni ≤
( 2 ) 若 E 可测，则 ∀ ε > 0 , ∃ 闭集 F ，使得 F ⊂ E 且 m ( E − F ) < ε
(1) 若 E 可测，则 ∀ ε > 0 , ∃ 开集 G ， ) 若 E 可测，则 ∀ ε > 0 , ∃ 闭集 F ， (2 使得 E ⊂ G 且 m ( G − E ) < ε
∃开集Gn，使得E ⊂ Gn且m (Gn − E ) <
∞ n =1
∗
1 n
令 O = ∩ G n，则 O 为 G δ 型集， E ⊂ O 且
m∗ (O − E ) ≤ m∗ (Gn − E ) ≤ 1 , n = 1,2,3,L n
故m (O − E ) = 0
从而E = O − (O − E )为可测集
H 取H=O c，则H为Fσ 型集， ⊂ E 且为

实变函数第三章测度论习题解答

实变函数第三章测度论习题解答第三章测度论习题解答1.证明：若E 有界，则+∞<="" m="" p="">证明 E 有界，必有有限开区间E 使得I E ?,因此+∞<≤I m E m **.2.证明可数点集的外测度为零证明设E ，对任意0>ε，存在开区间i I ，使得i i I x ∈，且i i I 2ε=（在p R 空间中取边长为pi2ε的包含i x 的开区间i I ），所以E Ii i∞= 1，且ε=∑∞=1i i I ，由ε的任意性得0*=E m 。

3.设E 是直线上一有界集合0*>E m ，则对任意小于E m *的正数c ，恒有E 的子集1E ，使c E m =1*。

证明设x b x a Ex Ex ∈∈==sup ,inf ，则[]b a E ,?，令[]E x a E x ,?，b x a ≤≤，)(x f =x E m *是[]b a ,上的连续函数；当0>?x 时，x x x m E E m E m E m x f x x f x x x x x x ?=?+≤-≤-=-?+?+?+),()()()(****于是当0→?x用类似方法可证明，当0>?x ，0→?x 时，)()(x f x x f →?-，即)(x f 是[]b a ,上的连续函数。

由闭区间上连续函数的介值定理)(a f ={}0)(**==a E m E m a ，)(b f =[]E m b a E m **),(= ，因此对任意正数c ，E m c *<，存在[]b a x ,0∈，使c x f =)(0，即[]c E x a m E m x ==),(0**0 ，令[]E E x a E ?= 01,，则c E m =1*。

4.设n S S S ,,,21 是一些互不相交的可测集合，n i S E i i ,,2,1, =?，求证 n n E m E m E m E E E m *2*1*21*)(+++=证明因为n S S S ,,,21 是一些互不相交的可测集合，由§2定理3 推论1，对任意T有∑===ni i ni i S T m S T m 1*1*)()( ，特别取 ni i S T 1==，则i i nj j i E S E S T === )(1，i in i i ES T 11)(===，所以∑∑=======ni i ni i ni i ni i E m S T m S T m E m 1*1*1*1*)())(()( 。

可测集

浅谈可测集的结构摘要实变函数论是普通微积分的继续,其目的是想克服牛顿和莱布尼茨所建立微积分学所存在的缺点,使得微积分的运算更对称更完美.可测集是实变函数中基本而重要的概念之一.内外测度相等的有界点集E 称为勒贝格可测集（简称可测集）.本论文就是通过介绍可测集的定义,性质以及可测集与开集,闭集,博雷尔集的关系,用他们刻画出开集可以从外部逼近可测集,闭集可以从内部逼近可测集,博雷尔集挖掉一个零集或者并上一个零集等于可测集.关键词可测集开集闭集博雷尔集1 引言可测集是实变函数中基本而重要的概念之一,本论文就是通过介绍可测集的定义,性质以及可测集与开集,闭集,博雷尔集的关系,用他们刻画出任何可测集可以由开集从外部逼近,闭集从内部逼近,博雷尔集挖掉一个零集或者并上一个零集.2 可测集的有关定义、性质以及实例 2.1 可测集的有关定义定义 1 (点集E 的L 外测度) 设E 为n R 中任一点集,对于每一列覆盖E 的开区间1ii IE ∞=⊃U ,作出它的体积总和1i i I μ∞==∑ ,(μ可以是+∞.今后把+∞、-∞看成广义实数).所有一切的μ组个下方有界的数集,它的下确界称为E 的L 外测度,并记为 *m E ,有*11inf :E i i i i i m E I I I ∞∞==⎧⎫=⊂⎨⎬⎩⎭∑U 为开集，定义2 （可测集）若,n T R ∀⊂有*()()c m T m T E m T E **=+I I （Caratheodory 条件）,则称E 为Lebesgue 可测集,此时E 的外测度称为E 的测度,记作mE . Lebesgue 开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集,但此方法对处理问题很不方便,故我们采用上述方法.定义3（G δ型集）设集合G 可以表示为一列开集{}i G 的交集：i G G =I , 则称G 是G δ型集. 定义4(F σ型集) 集合F 可以表示为一列闭集{}i F 的并集: i F F =U ,则称F 是F σ型集. 定义5 (Borol 集) 从开集出发,经过至多可数次交、并或补运算得到的集合称为Borol 集.2.2 可测集的性质定理 1 若,,i A B A 可测,则下述集合也可测即11,,,,,ci i i i A A B A B A B A A ∞∞==-U I I U 可测集类关于差,余,有限交和可数交,有限并和可数并,以及极限运算封闭；若A B =∅I 则n T R ∀⊂,有*(())()()m T A B m T A m T B **=+I U I I注上式由前面可测集的等价刻画立刻可得. 证明 1）由于A 可测,则nR T I ∀⊂有*()(A)(A )c m T m T m T **=+I I*=(A )(A )cc cm T m T *+I I （）A c 所以可测2）只要证nT R ∀⊂有[]()()+()c m T m T A B m T A B ***⎡⎤≥⎣⎦I U I U由于A 可测,B 可测,则nT R ∀⊂*****()(A)(A )(A)(A )(A )(A)(A )()c c c c c cm T m T m T m T m T B m T B m T m T B m T A B ****=+=++⎡⎤=++⎣⎦I I I I I I I I I I I U而[][]*()(())(())(A)(A )(A)(A )ccc m T A B m T A B A m T A B A m T T B m T m T B *****=-⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦≤+I U I U I U I I U I I I I I所以[]()()c m T m T A B m T A B ***⎡⎤≥+⎣⎦I U I U即A B U 可测.3）A B I =(A )cc cB U 则A B I 可测. 4）A B - =A c B I 则A B -可测.定理2 i A 可测, 1,2,i n =L ,且1212=i i A A i i ∅∀≠I （）1nn i i A ==U ,SnI T R ∀⊂则有**1(=()nn i i m T m T A =∑I I S ）证明用数学归纳法1）当1n =时显然成立;2）假设n k =时命题成立则当1n k =+时令S 1(1,2,1)kk i i A k n ===-LU 则11k k k A ++=U S S于是***111()()()c k k k k k m T m T m T +++=+I I I I I S S S S S=**1()()k k m T m T A ++I I S=**11()()kik i m T A m T A +=+∑I I=1*1()k i i m T A +=∑I所以结论成立.定理3 i A 可测, 1,2,i n =L ,且1212=i i A A i i ∅∀≠I （）则11()()n ni i i i m A m A ===∑U证明在上性质的证明中令nT IR =即得.定理4 若,A B 可测,,,A B mA ⊂<+∞则有可减性()m B A mB mA -=-证明 ()()B A B A A B A =--=∅U I 且,B ()+A m A mm B -（））则=（有又mA <+∞所以()B B A A m m m -=-（）（）定理5 设i A 可测,则1i i A ∞=U 可测,1i i A ∞=I可测.证明只要证nT R ∀⊂***11()()()c i i i i m T m T A m T A ∞∞==⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦I I U U,n z +∀∈有,令***11()()()c n n i i i i m T m T A m T A ==⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦I I U U**11()()c n i i i i m T A m T A ∞==⎡⎤⎡⎤≥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦I I U U令n →+∞***11()()()c i i i i m T m T A m T A ∞∞==⎡⎤⎡⎤≥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦I I U U所以1i i A ∞=U 可测又1i i A ∞=I=1()c c i i A ∞=U可测.定理6 设i A 可测（1,2,i n =L ）且1212=i i A A i i ∅∀≠I （）则,nT R ∀⊂,有*1()i i m T A ∞=⎡⎤⎢⎥⎣⎦I U =*1()i i m T A ∞=∑I证明 n z +∀∈令11n n i i i i A A ∞===⊂U U S于是nT IR ∀⊂,*1()i i m T A ∞=⎡⎤⎢⎥⎣⎦I U *()n m T S ≥I=*1()nii m T A =∑I令n →+∞有**11()()i i i i m T A m T A ∞∞==⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦∑I I U反之**11()()i i i i m T A m T A ∞∞==⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦I I U U *1()i i m T A ∞=≤∑I则结论得证.定理7 设i A 可测（1,2,i =L ）且1212=i i A A i i ∅∀≠I （）则11()i i i i m A mA ∞∞===∑U证明 nT R ∀⊂，有*11(()(())n n ci i i i m T m T A m T A **===+I I U U *11(()(())n c i i i i m T A m T A ∞*==≥+I I U U*11()(())n c i i i i m T A m T A ∞*===+∑I I U从而*11()(())c i i i i m T A m T A ∞∞*==+∑II U*11(())(())c i i i i m T A m T A ∞∞*==≥+∞I I U U （*）另外显然有*11(())(())c i i i i m T m T A m T A ∞∞**==≤+I I U U从而1ii A ∞=U 可测,并用1ii T A ∞==U 代入（*）式,即得结论.例1设[0,1]中可测集12,,,n A A A L 满足条件11nii mAn =>-∑,则1i i A ∞=I 必有正测度.证明111()((()))([0,1]())n n nc cc i i i i i i m A m A m A =====-I I I11([0,1])([0,1])()n ncc i i i i m A m m A ===-=-U U11([0,1])ni i m A =≥--∑111(1)(1)0n ni i i i mA mA n ===--=-->∑∑2.3 可测集的实例例2 零集一定是可测集.证明设*0n E IR m E ⊂=，且,则任意,,ncT IR T E E T E T ⊂⊂⊂I I ,于是*()()c m T E m T E *+I I **()()c m T E m T =≤I例3 开集和闭集都是可测集.证明因为任何非空开集可表示为可数多个互不相交的左开右闭区间的并.而区间是可测的,开集既是可测的,则闭集作为开集的余集自然可测.例4 G δ型集与F σ型集是可测集. 例5 Borol 集是可测集. 例6 Cantor 集是可测集.3 可测集的结构引理 nR 中任何可测集都可表为至多可列个互不相交的有界可测集的并.引理的意义在于当我们讨论无界可测集的性质时,可将其分解而转化为有界可测集的情形来讨论.证明设E 为nR 中任一可测集.令(){}|,1,0,1,2,n n S x x R n d x n n =∈-≤<=L其中0表示nR 中的坐标原点,则(1,2,)n S n =L 可测.令n n E E S =I ,则n E 是有界可测集且彼此互不相交,而且1nn E E∞==U .3.1开集逼近定理8 点集E 可测的充要条件是对任意0ε>,恒有开集G E ⊃,使()*\m G E ε<.证明必要性设E 可测,有引理可设,1nii E E==U ,1212=i i E E i i ∅∀≠I （）,nE（1,2,i =L ）可测且n mE <+∞,对任意的0ε>及每个n E ,由测度定义,有一开区间列(){}n i I ,使得()1nn i i E I ∞=⊂U ,且()1,(1,2,)2n i n ni I mE n ε∞=<+=∑L令()1n n i i G I ∞==U ,则nG为开集,n n G E ⊃,且()12n n n i n ni mE mG I mE ε∞=≤≤<+∑因此()\2n n nm G E ε<（注意,这里用到了n mE <+∞）令 1nn G G∞==U ,则 G 为开集且G E ⊃,又因为1111\\cn n n n n n n n G E G E G E ∞∞∞∞====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭I U U U U=()()1111\c cn n n n n n n n n n G E G E G E ∞∞∞∞====⎛⎫⎛⎫⊂= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭I I U I U U于是,注意到 \G E 为可测集,我们有()()()*1\\\n n n m G E m G E m G E ∞=⎡⎤=≤⎢⎥⎣⎦U()1\nn n m GE ∞=≤∑12nn εε∞=<=∑充分性由条件知,对任意自然数 n ,有开集 n G E ⊃,使得()*1\(1,2,)n m G E n n<=L令G 1n n G ∞==I,则 G E ⊃, G 可测集,且()()**10\\,(1,2,)n m G E m G E n n≤≤<=L由10n>的任意性得 ()*\0m G E =,从而 \G E 可测. 又因 G E ⊃,所以\(\)E G G E =因此E 为可测集.推论1 对任一可测集 E ,恒有 G δ型集 G E ⊃,使得(\)0m G E =. 证明对1(1,2,)n n n ε==L ,由定理1知,存在开集n G E ⊃,使得()1\n m G E n<. 令G 1n n G ∞==I,则G 为G δ型集,G E ⊃,并且()()1\\,(1,2,)n m G E m G E n n≤<=L由10n>的任意性得 ()\0m G E =3.2 闭集逼近定理9 点集E 可测的充要条件是对任意 0ε>,恒有闭集F E ⊂,使()*\m E F ε<. 证明利用定理1的结果即可得到此定理的结论.事实上,因为 E 可测的充要条件是cE 可测,再由定理1知,cE 可测的充要条件是对任意 0ε>,存在开集cG E ⊃,使()*c m G E ε⊃<但 \\ccG E E G =,只要令cF G =,则显然F 为闭集且F E ⊂,()*\m E F ε<,这就证明了此定理.以上两个定理揭示了可测集与开集、闭集间的内在联系. 定理1说明开集可以从外部逼近可测集,定理2说明闭集可以从内部逼近可测集.推论2 对任一可测集E ,恒有F σ型集F E ⊂,便得(\)0m E F =.证明因E 可测,故cE 可测. 由定理3可知,存在G δ型集c G E ⊃,使(\)0cm G E =.令cF G =,则F 为F σ型集且F E ⊂,并且(\)(\)0c m E F m G E ==定理3和定理4的结论蕴含着mG mE =与mF mE =. 事实上,在定理3中,由(\)G E G E =⋃,得(\)mG mE m G E =+,而(\)0m G E =,因此mG mE =. 在定理4中,由(\)E F E F =⋃,得(\)mE mF m E F =+,而(\)0m E F =,因此mE mF =.3.3 可测集同Borol 集的关系任何可测集必是一个波雷尔集与一个测度为零的可测集并集；同时也必是一个波雷尔集与一个测度为零的可测集的差集.证明设E 是可测集,由定理3和定理4知,分别有G δ型集G ,F σ型集F ,使得G E F ⊃⊃且(\)(\)0m G E m E F ==.令12\,\N G E N E F ==,则120mN mN ==且12\,E G N E F N ==U这里的,G F 显然是波雷尔集.定理得证.上述定理指出了可测集同Borol 集的关系,可测集等于Borol 集并上一个零集也等于Borol 集与零集的差 .例7 设E 为[]0,1 中的有理数全体, 试各写出一个与E 只相差一零测度集的G δ型集或F σ型集.G δ型集111111,22i i i i n i n n O r r ∞∞++==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭I U F σ型集空集注上面的交与并不可交换次序.例8 设*E 为[0,1]中的无理数全体,试各写出一个与*E 只相差一零测度集的G δ型集或F σ型集.G δ型集 (0,1) F σ型集111111[0,1],22i i i i n i n n H r r ∞∞++==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭I U类似可证若n E R ⊂，则存在G δ型集O 使得E O ⊂且mO m E *=（称O 为E 的等测包）证明由外测度定义知1,n ∀∃{}ni I ,使得1ni i E I ∞=⊂U 且**11||ni i m E I m E n∞=≤≤+∑ 令1n nii G I∞==U 则n G 为开集,n E G ⊂且**111||n ni ni i i m E mG mI I m E n∞∞==≤≤≤<+∑∑ 令1n n O G ∞==I,则O 为G δ型集,且*,O E mO m E ⊂=最后,我们指出,nR 中的点集并不都是可测集. 而且,每一具有正测度的点集均含有不可测子集. 当然,我们要构造这样的不可测集是不容易的,因为通常构造集合往往从区间出发经过一系列并、交、差等运算而得出的,而这样得到的集都是波雷尔集,当然是可测的. 因此要构造不可测集必须从别的途径入手,关于不可测集例子,这里就不介绍了.结束语本论文主要讨论两个问题. 第一个问题是哪样一些常见的集合是可测的,我们得到任何区间、开集、闭集、G δ型集、 F σ型集以及所有的波雷尔集合都是可测的.第二个问题是可测集的结构,主要讨论了可测集同开集、闭集之间的关系以及可测集同 G δ型集、 F σ型集之间的关系以及可测集同Borol 集的关系. 可测集可以由开集从外部逼近由闭集从内部逼近,可测集可以由Borol 集并上一个零集或者挖掉一个零集得到.参考书目[1] 程其襄等,实变函数与泛函分析基础（第二版）[M],北京;高等教育出版社,2003. [2] 江泽坚、吴志泉,实变函数（第二版）[M],北京;高等教育出版社,1994.[3] 吴炯圻、周戈,实变与泛函——基本原理与思想方法[M],厦门;厦门大学出版社,2004.[4] 夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌,实变函数与泛函分析（上册）[M],北京;人民教育出版社,1987.[5] 周民强,实变函数论[M],北京;北京大学出版社,1992.[6] W.Rudin,Real and Complex Analysis[M], New York:McGraw-Hill,1966.Discusses the Measurable Set Shallowly the StructureAuthor : GONG Aili Supervisor : HU YongmoAbstract The theory of functs are ordinary calculus continuation, its goal is wants to overcome Newton and lai the Nepali tribulus establishes the shortcoming which the calculus study exist, causes the calculus the operation to be more symmetrical is more perfect. The measurable set is in the real variable function basic and one of important concepts. The inside and outside measures equal have volume of E to be called force the Begg measurable set (i.e. measurable set). The present paper is through the introduction measurable set definition, the nature as well as the measurable set and the open set, the closed set, theBorell collection relations, portrays the open set with them to be possible to approach the measurable set from exterior, the closed set may approach the measurable set from the interior, the Borell collection exhausts a null set or and on a null set is equal to the measurable set.Key words Measurable set Open set Closed set Borell collection。

实变函数3.3

故m(O − E) = 0
例：设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一 [0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E 零测度集的 Gδ 型集或 Fσ 型集。
O ∩ Gδ 型集： = n =1( ∪1( ri − i=
∞
∞
2
1 n i +1
, ri +
2
1 n i +1
))
Fσ 型集：空集
证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知
∀ ε > 0 , ∃ 开区间列 { I i }, 使得 E ⊂ ∪ I i 且 m * E ≤
i =1 ∞
∑
i =1
∞
| Ii | ≤ m*E + ε
令G = ∪ I i , 则G为开集，E ⊂ G，且
i =1
∞
mE ≤ mG ≤ ∑ mI i ≤ ∑ | I i | < mE + ε
取F=G c，则F为闭集 F ⊂ E
且m( E − F ) = m( E ∩ F c ) = m(( E c ) c ∩ F c ) = m( F c − E c ) = m(G − E c ) < ε
(1).若 (1).若E可测，则 ∀ε
> 0, ∃开集G，使得E ⊂ G且m(G − E ) < ε
i =1 i =1Fra bibliotek∞∞
从而（这里用到mE<+∞ ）
m(G − E ) = mG − mE < ε
(2)当mE=+∞时，这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：
E = ∪ E i ( mE i < +∞ )
i =1 ∞

实变函数论课件3 可数集和不可数集

P0 ~ Z Pn ~ ( Z {0}) Z Z Z （有限个可数集作卡氏积） (n个Z 相乘)为可数集(n 1)
定义不是可列集的无限集称为不可列集或不可数集。
P Pn为可数集（可数个可数集的并）
n 0

[ 0
][ 1/3
][ 2/3
1
]
由区间套定理，存在唯一点 x 0 I n [0,1],
n 1

{x1 , x2 , , xn , } 将[0， 1]三等分，取其中一个不含点x1的闭区间，记为I1 , 再将I1三等分，取其中一个不含点x2的闭区间，记为I 2 , 这样继续下去得到一个闭区间套： [0,1] I1 I 2 I n | I n | 1 , xn I n , ( n 1,2, ) 3n
1 2
, a , a , a , a
1 3
, a
1 4
，，
说明: •与Hilbert 旅馆问题比较 ; •如何把无限集分解成无限个无限集合的并 ?
2 1
2 2
2 3
, a , a , a
2 4
•有限集与可数集的并仍为可数集 •有限个可数集的并仍为可数集 •可数个可数集的并仍为可数集
3 1
2016-9-16
一．可数集合目的：熟悉常见的两类集合的势，掌握其基本性质。重点与难点：可数集合的性质，连续势的性质。定义凡是与自然数对等的集称为可数集或可列集，凡与 R1对等的集称为具有连续势。
显然一个集是可列集当且仅当它的所有元素可排列成一个无穷序列。
可列集当然是无限集。
1、空集的基数记作 0, 2、具有 n ( n 为自然数)个元素的集的基数就记作 n, 3、可列集的基数通常记作 0，还往往用a 表示. 4、与实数集 R1 对等的集的基数又称为连续基数或连续势, 通常记作, 还往往用 c 表示. 注：诸无限集所具有的基数远非仅仅 a 与 c.

33实变函数与泛函分析第三章测度论

Ei )
2i
令G
i1
Gi
,ห้องสมุดไป่ตู้
则G为开集，E
G，且
m(G
E)
m( i 1
Gi
i 1
Ei
)
m(i1(Gi
Ei ))
i 1
m((Gi
Ei )
i 1
2i
例1.设E Rn，若 0, 开集G，使得E G 且m(G E) ，则E是可测集。
证明：对任意的1/n，
开集 Gn，使得 E
Gn且m (Gn
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
G型O，使得E c O且m(O E c ) 0
取H=O c，则H为 F 型集，H E 且
m(E H ) m(E H c ) m((Ec )c H c ) m(H c Ec ) m(O Ec ) 0
下证(1)：
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使 E O且m(O E) 0
n
2i1
, ri
)) n
2i1
F 型集：空集
注：上面的交与并不可交换次序
例5：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零测度集的G 型集或F 型集。
G型集： (0,1)
F 型集：H
[0,1] n1(i1(ri
1 n
2i1
, ri
1
)) n
2i1
定理7：若E可测，则
(1) mE inf{mG : G是开集，E G} (2) mE sup{mK : G是开集，K E} 外、内正规性
有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；
通过取余G 型集与 F 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）

实变函数与泛函分析基础(第三版)-----第三章_复习指导

主要内容本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质.外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集.但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论.我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义3.2.3），为此，首先讨论了外测度的性质（定理3.1.1）.注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别.我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求.本章详细地讨论了勒贝格测度的性质.其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质.由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论.本章还详细地讨论了勒贝格可测集类.这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类.我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和型集逼近.正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用.本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子.因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性.限于本书的篇幅而把它略去.读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.复习题一、判断题1、对任意2、对任意E R n，m*E都存在。

（√）E R n，mE都存在。

（×）3、设E R n，则m*E可能小于零。

（×）4、设5、设A B，则m* A m*B。

（√）A B，则m* A m*B。

（×）6、m*(S n) m*S n。

（×）n1n17、m*(S n) m*S n。

（√）n1n118、设E为R n中的可数集，则m*E0 。

第三章测度

第三章可测集合一、内容结构在R积分的情形，被积函数的定义域是区间或简单区域, 定义域的度量有明确的意义——长度、面积或体积。

在实变函数论中，被积函数的定义域是可测点集，推广积分的概念，首先要定义一般点集的度量，就是本章讨论的集合测度。

测度理论的建立有多种方法，不同的实变函数教材引入的方法有所不同，本章为了更直观、更好地理解掌握L积分，通过测度理论的建立推广R积分的数学思想与方法，直接从L测度的引入建立测度理论。

对于可测集合性质，主要讨论可测集合的充要条件、零测度集及其性质、可测集合的运算性质、可测集合与Gδ型集、Fδ型集的关系、最常用的可测集类型。

主要内容：勒贝格外测度的定义及其基本性质；勒贝格可测集及其基本性质；勒贝格可测集类；开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集、Borel集之间的联系。

基本要求：理解勒贝格可测集的定义及其几何意义、勒贝格测度及其基本性质，特别是可数可加性；掌握怎样用开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集刻画勒贝格可测集；可测集合的类型与充要条件。

二、主要的数学思想与方法1、从长度、面积、体积到一般点集测度概念由内、外测度建立的思想与方法。

2、Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度 m*,然后通过条件m* A = m*A 定义可测集， Caratheodory 给出的可测集的导入法：m*T = m * (T∩E ) + m *(T∩CT) (∀T)称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。

两种定义引入的背景、相互间的关系、在学习讨论可测集相关性质等问题时的意义与作用。

3、合列极限定义的思想与方法。

4、零测集的引入及其在实变函数学习中的意义与作用。

5、一般可测集由Gδ集、Fδ集、零测集构成的思想与方法。

三、疑难点学习方法（一）直线上有界点集的测度点集的测度更着重于直线上有界点集的测度。

用构造的方法来讲解点集的测度，从中我们可以学到一种成套理论的模型。

先从最简单的开集测度出发，再学习闭集的测度、一般点集的内测度与外测度及可测集合。

实变函数教材

目录1．数论的内容......... ... (3)2．实变函数论的特点......... (4)3．学习实变函数论的方法......... (5)4．本教材的特色处理之处......... (5)第一章集合论§１.１集合概念与运算......... (6)§１.２集合的势、可数集与不可数集 (13)习题...... (25)第二章点集§２.１R n空间...... ... (26)§２.２几类特殊点和集......... (30)§２.３有限覆盖定理与隔离性定理 (35)§２.４开集的构造及其体积... (38)习题......... (45)第三章测度论§３.１Lebesgue外测度定义及其性质 (46)§３.２可测集的定义及其性质...... ... (48)§３.３可测集的构造......... (55)习题......... (59)第四章可测函数§４.１可测函数定义及其性质... ...... (59)§４.２可测函数的结构......... (63)§４.３可测函数列的依测度收敛 (70)习题第五章Lebesgues积分理论§５.１Lebesgue积分的定义及其基本性质... (77)§５.２Lebesgue积分的极限定理 (84)§５.３(L)积分的计算... (88)§５.４Fubini定理......... (93)习题......... (98)第六章积分与微分§６.１单调函数与有界变差函数... (101)§６.２绝对连续函数......... (106)§６.３微分与积分......... (108)习题......... (112)附录1．不可测集......... (113)2.一般集合的抽象测度和抽象积分...... (115)3.单调函数的可微性绪论1.实变函数论的内容顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函只做一件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。

实变函数论课后答案第三章3

实变函数论课后答案第三章3 第三章第三节习题 1.证明集合的测度为零，并在上作一测度大于零的无处稠密的完备集，进而证明存在开集，使. 证明：回忆集的产生过程：先从中删除中间的开区间，剩下两个闭区间，再删除这两个区间的中间的，第一次删去一个开区间，其长度为；第二次删去二个开区间，其长度为；第三次删去四个开区间，其长度为；故集是由删去了可列个开区间之并而成，删去的区间都互不相交，总长度设这可列个开区间之并为，则则. 故由定理1知，为可测集. 用下面的方法在闭区间上作集：已给正数的降序列，，使，从中去掉中心在闭区间中点，而长为的开区间；其次，从剩下的两个闭区间中去掉中心在这些闭区间中点，而长为的开区间；再其次从剩下的四个闭区间中去掉中心在这些闭区间中点，而长为的开区间，如此作可数多次之后，剩下的集记为，则为闭集，这里为去掉那些互不相交的开区间，如何证明集是完备的无处稠密集一样，可证是完备的无处稠密集. 是自密的，这个证明与证明集是自密的是一致的，只需注意以下的关键：第一次删去一个长为的开区间后，剩下两个闭区间，总长度为，每个长度为，设为；第二步在中删去两个长为的开区间后，剩下四个闭区间，每个长度为；第步后剩下每个长度为的个闭区间. 现设包含的任一开区间，令，则，故只要充分大，便有，既然是永远删不去的点，也应该属于删去次后所余下的某一个闭区间，则，（），于是它的两个端点也应该在中，但它们都是中的点，所以至少有一异于的点属于，这说明. 无处稠密：由上一步已知，包含，，取充分大，使，则，但第步将删去一个中的开区间，删去的部分不在中，这说明无内点，即无处稠密.故是上的无处稠密的完备集.
使得则从，
是至多可数集，从而知也是至多可数集，从而有（P54习题2）
（，，）令，我们来证明是完备集 1）是闭集：，存在，则，推出，若，则，，为至多可数集，，充分大时，，（）

(完整版)实变函数论主要知识点

实变函数论主要知识点第一章集合1、集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习： ①证明()()A B C A BC --=-； ②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+；2、对等与基数的定义及性质；练习： ①证明(0,1)； ②证明(0,1)[0,1]；3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、不可数集合、连续基数的定义及性质；练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；第二章点集1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。

具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。

2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。

内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。

3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor集的构造和性质；5、练习：①P =，P'=，P=；②111,,,,2n'⎧⎫⎨⎬⎩⎭= ；第三章测度论1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、零测度集的例子和性质；4、可测集的例子和性质；练习：①mQ=，mP=；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E的相关结论；5、存在不可测集合；第四章可测函数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；第五章积分论1、非负简单函数L 积分的定义；练习： ①Direchlet 函数在1上的L 积分2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；4、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、Riemann 可积的充要条件；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数不是R-可积的；6、Lebesgue 可积的充要条件：若f 是可测集合E 上的有界函数，则f 在E 上L-可积⇔f 在E 上可测；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数是L-可积的；②设3,()10,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

实变函数知识点总结(杂)

定理 3 （D Morgan 法则）
( ) （1） X
\
∪
α ∈Λ
Aα
=∩ α ∈Λ
X \ Aα
；
( ) （2） X
\∩ α ∈Λ
Aα
=∪ α ∈Λ
X \ Aα
；
特别的，若 X 为全集，有
( )c
（3）
∪
α ∈Λ
Aα
=
∩
α ∈Λ
Aα
c
；
( )c
（4）
∩
α ∈Λ
Aα
=
∪
α ∈Λ
Aα c
。
定义 5 设 X 与 Y 是两个集合，称集合 X ×Y = {( x, y) | x ∈ X , y ∈Y} 是 X 与 Y 的直
常用结论：①有理数集 Q 是可数集， R n 中有理点集 Q n 为可数集。
② R 1 中互不相交的开区间族是至多可数集。
定理 6 若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则 A ∪ B ～ A 由证明归纳出两种证明对等的方法：
（１）建立一一映射；
设 B = {b1, b2 , } 为可数集， A∩ B = ∅ ，由性质１知，Ａ存在可数子集
定理 2（Bernstein）设 A、B 为两个集合，若 A ≤ B 且 A ≥ B ，则 A = B
三、可数集定义 6 凡是与自然数集 N 对等的集合称为可数集或可列集，它们的势（或基数）
记作“阿列夫零”或 a，称为可数势或可数基数。至多可数集的重要性质：
性质 1 任一无限集 A 必含有可数子集，即 a 为无限集中最小的势；（定理 3）
( ) （5）T −1
∪
α∈Λ
Bα
=
∪ T −1

《实变函数》第三章_测度论

《实变函数》第三章_测度论第三章测度论（总授课时数 14学时）教学⽬的引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点要引导学⽣注意外测度与测度之间的重要差别，测度概念抽象，要与具体点集诸如⾯积体积等概念进⾏⽐较.§1、外测度教学⽬的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明⽅法.本节要点外测度的定义及其基本性质. 本节难点外测度的定义. 授课时数 4学时——————————————————————————————⼀、引⾔(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==?∑?，1ii i xx x -?=-，1i i i x x ξ-≤≤积分与分割、介点集的取法⽆关。

⼏何意义（⾮负函数）：函数图象下⽅图形的⾯积。

（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域⼊⼿）记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑?问题：如何把长度,⾯积,体积概念推⼴? 达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限）||||01()limnbiiaT i f x dx M x →==?∑?下积分（内填）达布下和的极限||||01()limnbiiaT i f x dx m x →==?∑?⼆、Lebesgue 外测度(外包)1．定义：设 nE R ?，称⾮负⼴义实数*({})R R ?±∞=11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===??∑为开区间}为E 的Lebesgue 外测度。

下确界：（1）ξ是数集S 的下界，即x S ?∈，x ξ≤（2）ξ是数集S 的最⼤下界，即0,,x S ε?>?∈使得x ξε≤+ 11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===??∑为开区间}0,ε?>?开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=??且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：⽤⼀开区间列{}i I “近似”替换集合E例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令123[0,1]{,,,}E Q r r r =?=0,ε?>作开区间11(,),1,2,3,22i i i i i I r r i εε++=-+=则1i i E I ∞=??且111||2i i i i I εε∞∞+====∑∑，从⽽*m E ε≤ ，再由ε的任意性知*0m E = 思考：１. 设E 是平⾯上的有理点全体，则E 的外测度为0提⽰：找⼀列包含有理点集的开区间112212((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =?-∈?=2.平⾯上的x 轴的外测度为0提⽰：找⼀列包含x 轴的开区间11(1,1)(,),1,2,3,22i i i i i i I r r r Z i εε++=-+?-∈= ，3. 对Lebesgue 外测度，我们⽤可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不⼀定有从左到右的⼀个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质（1）⾮负性：0m E *≥，当E 为空集时，0m E *=（2）单调性：若A B ?，则m A m B **≤证明:能覆盖B 的开区间列也⼀定能覆盖A ，从⽽能覆盖B 的开区间列⽐能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反⽽⼤。

可测集

浅谈可测集的结构摘要实变函数论是普通微积分的继续,其目的是想克服牛顿和莱布尼茨所建立微积分学所存在的缺点,使得微积分的运算更对称更完美.可测集是实变函数中基本而重要的概念之一.内外测度相等的有界点集E 称为勒贝格可测集（简称可测集）.本论文就是通过介绍可测集的定义,性质以及可测集与开集,闭集,博雷尔集的关系,用他们刻画出开集可以从外部逼近可测集,闭集可以从内部逼近可测集,博雷尔集挖掉一个零集或者并上一个零集等于可测集.关键词可测集开集闭集博雷尔集1 引言可测集是实变函数中基本而重要的概念之一,本论文就是通过介绍可测集的定义,性质以及可测集与开集,闭集,博雷尔集的关系,用他们刻画出任何可测集可以由开集从外部逼近,闭集从内部逼近,博雷尔集挖掉一个零集或者并上一个零集.2 可测集的有关定义、性质以及实例 2.1 可测集的有关定义定义 1 (点集E 的L 外测度) 设E 为n R 中任一点集,对于每一列覆盖E 的开区间1ii IE ∞=⊃U ,作出它的体积总和1i i I μ∞==∑ ,(μ可以是+∞.今后把+∞、-∞看成广义实数).所有一切的μ组个下方有界的数集,它的下确界称为E 的L 外测度,并记为 *m E ,有*11inf :E i i i i i m E I I I ∞∞==⎧⎫=⊂⎨⎬⎩⎭∑U 为开集，定义2 （可测集）若,n T R ∀⊂有*()()c m T m T E m T E **=+I I （Caratheodory 条件）,则称E 为Lebesgue 可测集,此时E 的外测度称为E 的测度,记作mE . Lebesgue 开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集,但此方法对处理问题很不方便,故我们采用上述方法.定义3（G δ型集）设集合G 可以表示为一列开集{}i G 的交集：i G G =I , 则称G 是G δ型集. 定义4(F σ型集) 集合F 可以表示为一列闭集{}i F 的并集: i F F =U ,则称F 是F σ型集. 定义5 (Borol 集) 从开集出发,经过至多可数次交、并或补运算得到的集合称为Borol 集.2.2 可测集的性质定理 1 若,,i A B A 可测,则下述集合也可测即11,,,,,ci i i i A A B A B A B A A ∞∞==-U I I U 可测集类关于差,余,有限交和可数交,有限并和可数并,以及极限运算封闭；若A B =∅I 则n T R ∀⊂,有*(())()()m T A B m T A m T B **=+I U I I注上式由前面可测集的等价刻画立刻可得. 证明 1）由于A 可测,则nR T I ∀⊂有*()(A)(A )c m T m T m T **=+I I*=(A )(A )cc cm T m T *+I I （）A c 所以可测2）只要证nT R ∀⊂有[]()()+()c m T m T A B m T A B ***⎡⎤≥⎣⎦I U I U由于A 可测,B 可测,则nT R ∀⊂*****()(A)(A )(A)(A )(A )(A)(A )()c c c c c cm T m T m T m T m T B m T B m T m T B m T A B ****=+=++⎡⎤=++⎣⎦I I I I I I I I I I I U而[][]*()(())(())(A)(A )(A)(A )ccc m T A B m T A B A m T A B A m T T B m T m T B *****=-⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦≤+I U I U I U I I U I I I I I所以[]()()c m T m T A B m T A B ***⎡⎤≥+⎣⎦I U I U即A B U 可测.3）A B I =(A )cc cB U 则A B I 可测. 4）A B - =A c B I 则A B -可测.定理2 i A 可测, 1,2,i n =L ,且1212=i i A A i i ∅∀≠I （）1nn i i A ==U ,SnI T R ∀⊂则有**1(=()nn i i m T m T A =∑I I S ）证明用数学归纳法1）当1n =时显然成立;2）假设n k =时命题成立则当1n k =+时令S 1(1,2,1)kk i i A k n ===-LU 则11k k k A ++=U S S于是***111()()()c k k k k k m T m T m T +++=+I I I I I S S S S S=**1()()k k m T m T A ++I I S=**11()()kik i m T A m T A +=+∑I I=1*1()k i i m T A +=∑I所以结论成立.定理3 i A 可测, 1,2,i n =L ,且1212=i i A A i i ∅∀≠I （）则11()()n ni i i i m A m A ===∑U证明在上性质的证明中令nT IR =即得.定理4 若,A B 可测,,,A B mA ⊂<+∞则有可减性()m B A mB mA -=-证明 ()()B A B A A B A =--=∅U I 且,B ()+A m A mm B -（））则=（有又mA <+∞所以()B B A A m m m -=-（）（）定理5 设i A 可测,则1i i A ∞=U 可测,1i i A ∞=I可测.证明只要证nT R ∀⊂***11()()()c i i i i m T m T A m T A ∞∞==⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦I I U U,n z +∀∈有,令***11()()()c n n i i i i m T m T A m T A ==⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦I I U U**11()()c n i i i i m T A m T A ∞==⎡⎤⎡⎤≥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦I I U U令n →+∞***11()()()c i i i i m T m T A m T A ∞∞==⎡⎤⎡⎤≥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦I I U U所以1i i A ∞=U 可测又1i i A ∞=I=1()c c i i A ∞=U可测.定理6 设i A 可测（1,2,i n =L ）且1212=i i A A i i ∅∀≠I （）则,nT R ∀⊂,有*1()i i m T A ∞=⎡⎤⎢⎥⎣⎦I U =*1()i i m T A ∞=∑I证明 n z +∀∈令11n n i i i i A A ∞===⊂U U S于是nT IR ∀⊂,*1()i i m T A ∞=⎡⎤⎢⎥⎣⎦I U *()n m T S ≥I=*1()nii m T A =∑I令n →+∞有**11()()i i i i m T A m T A ∞∞==⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦∑I I U反之**11()()i i i i m T A m T A ∞∞==⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦I I U U *1()i i m T A ∞=≤∑I则结论得证.定理7 设i A 可测（1,2,i =L ）且1212=i i A A i i ∅∀≠I （）则11()i i i i m A mA ∞∞===∑U证明 nT R ∀⊂，有*11(()(())n n ci i i i m T m T A m T A **===+I I U U *11(()(())n c i i i i m T A m T A ∞*==≥+I I U U*11()(())n c i i i i m T A m T A ∞*===+∑I I U从而*11()(())c i i i i m T A m T A ∞∞*==+∑II U*11(())(())c i i i i m T A m T A ∞∞*==≥+∞I I U U （*）另外显然有*11(())(())c i i i i m T m T A m T A ∞∞**==≤+I I U U从而1ii A ∞=U 可测,并用1ii T A ∞==U 代入（*）式,即得结论.例1设[0,1]中可测集12,,,n A A A L 满足条件11nii mAn =>-∑,则1i i A ∞=I 必有正测度.证明111()((()))([0,1]())n n nc cc i i i i i i m A m A m A =====-I I I11([0,1])([0,1])()n ncc i i i i m A m m A ===-=-U U11([0,1])ni i m A =≥--∑111(1)(1)0n ni i i i mA mA n ===--=-->∑∑2.3 可测集的实例例2 零集一定是可测集.证明设*0n E IR m E ⊂=，且,则任意,,ncT IR T E E T E T ⊂⊂⊂I I ,于是*()()c m T E m T E *+I I **()()c m T E m T =≤I例3 开集和闭集都是可测集.证明因为任何非空开集可表示为可数多个互不相交的左开右闭区间的并.而区间是可测的,开集既是可测的,则闭集作为开集的余集自然可测.例4 G δ型集与F σ型集是可测集. 例5 Borol 集是可测集. 例6 Cantor 集是可测集.3 可测集的结构引理 nR 中任何可测集都可表为至多可列个互不相交的有界可测集的并.引理的意义在于当我们讨论无界可测集的性质时,可将其分解而转化为有界可测集的情形来讨论.证明设E 为nR 中任一可测集.令(){}|,1,0,1,2,n n S x x R n d x n n =∈-≤<=L其中0表示nR 中的坐标原点,则(1,2,)n S n =L 可测.令n n E E S =I ,则n E 是有界可测集且彼此互不相交,而且1nn E E∞==U .3.1开集逼近定理8 点集E 可测的充要条件是对任意0ε>,恒有开集G E ⊃,使()*\m G E ε<.证明必要性设E 可测,有引理可设,1nii E E==U ,1212=i i E E i i ∅∀≠I （）,nE（1,2,i =L ）可测且n mE <+∞,对任意的0ε>及每个n E ,由测度定义,有一开区间列(){}n i I ,使得()1nn i i E I ∞=⊂U ,且()1,(1,2,)2n i n ni I mE n ε∞=<+=∑L令()1n n i i G I ∞==U ,则nG为开集,n n G E ⊃,且()12n n n i n ni mE mG I mE ε∞=≤≤<+∑因此()\2n n nm G E ε<（注意,这里用到了n mE <+∞）令 1nn G G∞==U ,则 G 为开集且G E ⊃,又因为1111\\cn n n n n n n n G E G E G E ∞∞∞∞====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭I U U U U=()()1111\c cn n n n n n n n n n G E G E G E ∞∞∞∞====⎛⎫⎛⎫⊂= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭I I U I U U于是,注意到 \G E 为可测集,我们有()()()*1\\\n n n m G E m G E m G E ∞=⎡⎤=≤⎢⎥⎣⎦U()1\nn n m GE ∞=≤∑12nn εε∞=<=∑充分性由条件知,对任意自然数 n ,有开集 n G E ⊃,使得()*1\(1,2,)n m G E n n<=L令G 1n n G ∞==I,则 G E ⊃, G 可测集,且()()**10\\,(1,2,)n m G E m G E n n≤≤<=L由10n>的任意性得 ()*\0m G E =,从而 \G E 可测. 又因 G E ⊃,所以\(\)E G G E =因此E 为可测集.推论1 对任一可测集 E ,恒有 G δ型集 G E ⊃,使得(\)0m G E =. 证明对1(1,2,)n n n ε==L ,由定理1知,存在开集n G E ⊃,使得()1\n m G E n<. 令G 1n n G ∞==I,则G 为G δ型集,G E ⊃,并且()()1\\,(1,2,)n m G E m G E n n≤<=L由10n>的任意性得 ()\0m G E =3.2 闭集逼近定理9 点集E 可测的充要条件是对任意 0ε>,恒有闭集F E ⊂,使()*\m E F ε<. 证明利用定理1的结果即可得到此定理的结论.事实上,因为 E 可测的充要条件是cE 可测,再由定理1知,cE 可测的充要条件是对任意 0ε>,存在开集cG E ⊃,使()*c m G E ε⊃<但 \\ccG E E G =,只要令cF G =,则显然F 为闭集且F E ⊂,()*\m E F ε<,这就证明了此定理.以上两个定理揭示了可测集与开集、闭集间的内在联系. 定理1说明开集可以从外部逼近可测集,定理2说明闭集可以从内部逼近可测集.推论2 对任一可测集E ,恒有F σ型集F E ⊂,便得(\)0m E F =.证明因E 可测,故cE 可测. 由定理3可知,存在G δ型集c G E ⊃,使(\)0cm G E =.令cF G =,则F 为F σ型集且F E ⊂,并且(\)(\)0c m E F m G E ==定理3和定理4的结论蕴含着mG mE =与mF mE =. 事实上,在定理3中,由(\)G E G E =⋃,得(\)mG mE m G E =+,而(\)0m G E =,因此mG mE =. 在定理4中,由(\)E F E F =⋃,得(\)mE mF m E F =+,而(\)0m E F =,因此mE mF =.3.3 可测集同Borol 集的关系任何可测集必是一个波雷尔集与一个测度为零的可测集并集；同时也必是一个波雷尔集与一个测度为零的可测集的差集.证明设E 是可测集,由定理3和定理4知,分别有G δ型集G ,F σ型集F ,使得G E F ⊃⊃且(\)(\)0m G E m E F ==.令12\,\N G E N E F ==,则120mN mN ==且12\,E G N E F N ==U这里的,G F 显然是波雷尔集.定理得证.上述定理指出了可测集同Borol 集的关系,可测集等于Borol 集并上一个零集也等于Borol 集与零集的差 .例7 设E 为[]0,1 中的有理数全体, 试各写出一个与E 只相差一零测度集的G δ型集或F σ型集.G δ型集111111,22i i i i n i n n O r r ∞∞++==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭I U F σ型集空集注上面的交与并不可交换次序.例8 设*E 为[0,1]中的无理数全体,试各写出一个与*E 只相差一零测度集的G δ型集或F σ型集.G δ型集 (0,1) F σ型集111111[0,1],22i i i i n i n n H r r ∞∞++==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭I U类似可证若n E R ⊂，则存在G δ型集O 使得E O ⊂且mO m E *=（称O 为E 的等测包）证明由外测度定义知1,n ∀∃{}ni I ,使得1ni i E I ∞=⊂U 且**11||ni i m E I m E n∞=≤≤+∑ 令1n nii G I∞==U 则n G 为开集,n E G ⊂且**111||n ni ni i i m E mG mI I m E n∞∞==≤≤≤<+∑∑ 令1n n O G ∞==I,则O 为G δ型集,且*,O E mO m E ⊂=最后,我们指出,nR 中的点集并不都是可测集. 而且,每一具有正测度的点集均含有不可测子集. 当然,我们要构造这样的不可测集是不容易的,因为通常构造集合往往从区间出发经过一系列并、交、差等运算而得出的,而这样得到的集都是波雷尔集,当然是可测的. 因此要构造不可测集必须从别的途径入手,关于不可测集例子,这里就不介绍了.结束语本论文主要讨论两个问题. 第一个问题是哪样一些常见的集合是可测的,我们得到任何区间、开集、闭集、G δ型集、 F σ型集以及所有的波雷尔集合都是可测的.第二个问题是可测集的结构,主要讨论了可测集同开集、闭集之间的关系以及可测集同 G δ型集、 F σ型集之间的关系以及可测集同Borol 集的关系. 可测集可以由开集从外部逼近由闭集从内部逼近,可测集可以由Borol 集并上一个零集或者挖掉一个零集得到.参考书目[1] 程其襄等,实变函数与泛函分析基础（第二版）[M],北京;高等教育出版社,2003. [2] 江泽坚、吴志泉,实变函数（第二版）[M],北京;高等教育出版社,1994.[3] 吴炯圻、周戈,实变与泛函——基本原理与思想方法[M],厦门;厦门大学出版社,2004.[4] 夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌,实变函数与泛函分析（上册）[M],北京;人民教育出版社,1987.[5] 周民强,实变函数论[M],北京;北京大学出版社,1992.[6] W.Rudin,Real and Complex Analysis[M], New York:McGraw-Hill,1966.Discusses the Measurable Set Shallowly the StructureAuthor : GONG Aili Supervisor : HU YongmoAbstract The theory of functs are ordinary calculus continuation, its goal is wants to overcome Newton and lai the Nepali tribulus establishes the shortcoming which the calculus study exist, causes the calculus the operation to be more symmetrical is more perfect. The measurable set is in the real variable function basic and one of important concepts. The inside and outside measures equal have volume of E to be called force the Begg measurable set (i.e. measurable set). The present paper is through the introduction measurable set definition, the nature as well as the measurable set and the open set, the closed set, theBorell collection relations, portrays the open set with them to be possible to approach the measurable set from exterior, the closed set may approach the measurable set from the interior, the Borell collection exhausts a null set or and on a null set is equal to the measurable set.Key words Measurable set Open set Closed set Borell collection。

《实变函数》第三章期末复习题解答

《实变函数》第三章期末复习题解答一、填空题1. 有界可测集和无界可测集统称为（可）测集2. 点集为可测集的充要条件是为（可）测集.3.任何开集，闭集都是（可）测集.4. 任何波雷尔集都是（可）测集5. 任何可测集必是一个波雷尔集与一个测度为零的可测集的（并集和差集）mE=，则的任何子集也可测且测度为（零）．6. 如果0二、单选题1. 至少有一个内点的可测集的测度一定（A）零．A＞ B ＜ C ＝ D 以上答案都不对2. 中任何可测集都可表为至多可列个互不相交的有界可测集的（B）A交集 B 并集 C 交集的补集 D 并集的补集3. 设E是有限点集或可列点集，则mE=（A）A 0B 1C mD e4. 可列个外侧度为零的集合的并集的外侧度为（A）A 0B 1C 2D 不存在5. 若m E*（C）0，则E为可测集。

A＞ B ＜ C ＝ D ≠⊂.若(m B﹨A)=0,则mB（C）mA6. 设A和B均可测，且A BA＞ B ＜ C ＝ D ≠三、证明题或计算题1. .设都是中的点集，其中是可测集，并且.试证也是可测集.证因可测，，所以由卡拉皆屋独利条件，得因为. 所以. 由习题3中的第6题可知是可测集. 由此可知是可测集.2. 证明若为有界集，则．证因为为有界集，故存在中的长方体，使．由外测度的单调性，可知，但，所以．3. 设E ⊂[0，1]，且mE =0.求mE 的值.解：令E 为[0，1]中所有有理数集合，则mE =0，但由于E =[0，1]，故mE =m [0，1]=14. 证明[0，1]中的无理数集可测且测度为1.证明：设[0，1]中的有理数集为Q ，[0，1]中的无理数集为I ，则Q I φ=，且[0，1]=QI .由于Q 为可测集，故Q 可测且侧度为0，又因为I =[0，1]- Q ，且[0，1]和Q 都是可测集，故I 可测.于是从[0，1]= Q I ，Q I φ=及测度的可加性得m [0，1]=mQ mI +，因此mI =1.5. 设12,S S 均为可测集，12S S ⊂，且1mS ＜+∞，则2(m S ﹨1S )＝21mS mS - 证明:因为12S S ⊂，所以22(S S =﹨11)S S . 由题设条件1mS ＜+∞，于是21mS mS -=2(m S ﹨1S ).故2(m S ﹨1S )＝21mS mS - 6．设12,,,,n E E E 是[0，1] 中的一列可测集，且对任意正整数k ，有k mE ＞1-1k. 求证 m （1n i i E =）=1.证明：由于[0,1](1,2,)i E i n ⊂=，所以1n i i E =[0,1]⊂，于是m （1n i i E =）≤m [0，1]=1. 另一方面，由于对任意自然数k ，有k mE ＞1-1k ，故1-1k＜k mE ≤m （1n i i E =），1,2k =.因此，令k →∞，得 1≤m （1n i i E =）.总之m （1n i i E =）=1.7．设12,,,n S S S 是互不相交的可测集，(1,2,)i i E E i n ⊂=.证明11()nni i i i m E m E **===∑.证明：由题设条件易知(1,2,)i E i n =互不相交.令T=1n i i E =，则T ∩i S =(1,2,)i E i n =.由于(1,2,)i E i n =是互不相交的可测集，故由推论3.2.1得1[()]ni i m TS *==1()ni i m TS *=∑，即 11()nni i i i m E m E **===∑。