安庆师范实变函数第三章测度概论3.3 可测集类

存在不是Borel集的可测集 （利用Cantor函数和不可测集构造） 参见：《实变函数》周民强 , p87
G 型集：
1
1

O

n1(i1(ri

n
2i1
, ri

)) n
2i1
F 型集：空集
注：上面的交与并不可交换次序
例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零 测度集的 G 型集或 F 型集。
G型集： (0,1)
F 型集：H

[0,1] n1(i1(ri
(2)若E可测，则 0, 闭集F， 使得F E且m(E F )
(1)若E可测，则 0, 开集G， (2)若E可测，则 0, 闭集F，
使得E G且m(G E)
使得F E且m(E F)
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
0, 开集G，使得Ec G且m(G Ec )

1 n
2i1
, ri

1
)) n
2i1
类似可证：
若E Rn，则存在 G 型集O，
使得E O且mO mE（称O为E的等测包） 证明:由外测度定义知



1 n
, 开区间列{I ni},使得E


i 1
I ni且m*E

|
Ini
|

m*E

1 n
i 1

令Gn


i 1
取F=G c，则F为闭集 F E
且m(E F) m(E F c )
m((Ec )c F c ) m(F c Ec ) m(G Ec )
证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知


0, 开区间列{Ii},使得E Ii且m*E | Ii | m*E i 1
i 1

令G


i 1
Ii
,
则G为开集，E

G，且


mE mG mIi | Ii | mE
i 1
i 1
从而（这里用到mE<+∞ ）
m(G E) mG mE
(2)当mE=+∞时，
这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：

E


i 1
Ei
Ei )
i 1
2i

例 设E Rn，若 0, 开集G，使得E G 且m(G E) ，则E是可测集。
证明：对任意的1/n，
开集 Gn，使得 E

Gn且m (Gn

E)

1 n

令O


n1
Gn，则O为G
型集，E

O且
m (O

E)

m (Gn
闭集：空集
例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一小 测度集的开集和闭集。
开集: (0,1)
闭集：
F
[0,1] i1(ri

2i1
, ri

)
2i1
三. 可测集与G 集和 F 集的关系 定理：
(1).若E可测，则存在 G 型集 O, 使 E O且m(O E) 0
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
G型O，使得E c O且m(O E c ) 0
取H=O c，则H为 F 型集 ，H E 且
m(E H ) m(E H c ) m((Ec )c H c ) m(H c Ec ) m(O Ec ) 0
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使
第三章 测度理论
第三节 可测集类
一 可测集的实例
例 区间 I 是可测集，且 mI | I | 证明见书本p66
注：零集、区间、开集、闭集、G 型集（可数个开集的交）、 F 型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发
通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。
注：开集、闭集既是G 型集也是 F 型集； 有理数集是 F 型集，但不是 G 型集； 无理数集是G 型集，但不是 F 型集。
可测集可由 G 型集去掉一零集， 或 F 型集添上一零集得到。
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E且m(E H ) 0
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使 E O且m(O E) 0
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E且m(E H ) 0
I
ni
,
则Gn为开集，E

Gn，且


m*E mGn
mIni
|
I ni
|

m*E

1 n
i 1
i 1

令O


n1
Gn，则O为G
型集，且O

E,mO=mE
第四节 不可测集
➢ 存在不可测集（利用选择公理构造，教材 p73 ; 1970，R.Solovay证明不可测集存在 蕴涵选择公理）
有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；
通过取余G 型集与 F 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）
二. 可测集与开集、闭集的关系
定理：
(1)若E可测，则 0, 开集G， 使得E G且m(G E)
即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集 （可测集“差不多”就是开集或闭集）， 从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。

E)

1 n
,
n
Fra Baidu bibliotek
1,2,3,
故m(O E) 0
从而E O (O E)为可测集
例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小 测度集的开集和闭集。
E {r1, r2 , r3 , }
开集：
G

i1(ri

2i1
, ri

)
2i1
E O且m(O E) 0
证明：对任意的1/n，
开集Gn，使得E

Gn且m(Gn

E)

1 n
令O



n 1
Gn
, 则O为G 型集，且
E

O
m(O

E)

m(Gn

E)

1 n
,
n

1,
2, 3,L
故m(O E) 0
例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的G 型集或 F 型集。
(mEi

)
对每个Ei应用上述结果
开集Gi，使得Ei

Gi且m(Gi

Ei )


2i

令G


i1
Gi
,
则G为开集，E

G，且




m(G

E)

m( i 1
Gi


i 1
Ei
)

m(i1(Gi


i 1
Ei
))




m(i1(Gi
Ei ))
i 1
m((Gi