用初等数学方法求斐波那契数列的通项公式

用初等数学方法求斐波那契数列的通项公式

斐波那契 (Fibonacci) 数列是著名的数列，有很高的实用价值。多年来，学者们一直在探究它的通项公式的求解方法，已经涌现出了多种方法。但据笔者们所知，这些方法大都需要比较高深的数学知识，例如组合数学的方法、概率的方等等，让人比较难理解，不容易接受。基于此，研究给出了一种简易的初等数学方法，先探求它们的特征多项式，然后通过求解线性方程组的思想，得出它们的通项公式。这种方法深入浅出，有一定的实用价值。

1.斐波那契数列的由来

13 世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》的修订版中增加了一道著名的兔子繁殖问题. 问题是这样的: 如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子.假定这些兔子都没有死亡现象，那么从第一对刚出生的兔子开始，12 个月以后会有多少对兔子呢？解释说明为：一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子，共有1+1=2 对兔子.第四个月：最初的一对兔子又生一对兔子，共有2+1=3对兔子.则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波纳契，将这个兔子数列称为斐波那契数列，即把 1，1，2，3，5，8，13，21，34…这样的数列称为斐波那契数列。

2.斐波那契数列的定义

定义:数列F1,F2,… ,Fn,…如果满足条件121==F F ,21--+=n n n F F F (对所有的正整数n ≥ 3),则称此数列为斐波那契(Fibonacci)数列。

3.斐波那契数列的通项公式 推导方法一：利用特征方程

由通项公式F(n+2)=F(n+1)+F(n)可以得到特征方程

X 2=X+1 解得

X1 = 251+， X2 = 251-

所以F(n)可以表示成

F(n) = a n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+251+b n

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-251 (1)

由F(0) = 0和F(1) = 1得如下两个方程： a + b = 0

a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+251 +

b ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-251 = 1 解得

a = 5

1, b = 5

1-

带入（1）式可得

()5

251251⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+=

n n n F

推导方法二：待定系数法

设常数t s ,，使得()()()()[]211-⋅--=-⋅-n F s n F t n F s n F . 则1,1-==+st t s n ≥3时，有

()()()()[]()()()()[]()()()()[]()()()()[]122343323221211F s F t F s F n F s n F t n F s n F n F s n F t n F s n F n F s n F t n F s n F ⋅-=⋅--⋅--=-⋅---⋅--=-⋅---⋅--=-⋅-

将以上n-2个式子相乘，得：

()()()()[]1212F s F t n F s n F n ⋅-=-⋅--

()()121,1==-=F F s t

上式可化简为：

()()11

-⋅+=-n F s t n F n ()()()()

()s

t s t t

s t s t s t s t s st t F s t s t s st t n F s t s st t n F s st t n F s t n F n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n --=

-⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

+++++=⋅+++++==-⋅+++=-⋅++=-⋅+=∴-----------------1113211

1

23221123221332212211

1,1-==+st t s 的一解为2

5

1,251+=-=

t s

()⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴n

n n F 25125151

推导方法三：虑由数列{F1,F2,… ,Fn,…}中相邻两项组成的数组()

n n n F F ,11--=α组成的序列{

}...21，，αα.由21--+=n n n F F F 得到序列{an}的相邻两项),(122---=n n n F F α与),(1n n n F F --=α之间的关系

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥

⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡------12121

11110n n n n n n n F F F F F F F ， 即21--=n n A αα,其中⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡=1110A 。 序列{

}...21，，αα的每一项αn- 1可以由前一项αn- 2( n ≥ 3)乘矩阵A 得到,就好像是以A 为公比的等比数列,与等比数列类似可以得到它的通项:

2

1232211....------======⎥⎦

⎤⎢⎣⎡n n n n n n n A A A A F F αααα ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--1121n n n A F F 。

要得到Fn,就要先算出2-n A 。为了算出2-n A ,利用矩阵相似的理论和方法,先将A 相似于尽可能简单的形状。A 的特征多项式为()12--=λλλA f ,解得特征值为2511+=

λ和25-12=λ。分别求得特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111λX 和⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=221λX 以X1, X2为两列组成可逆方阵()⎥⎦⎤⎢⎣⎡==212111,λλX X P 则1

2100-⎥⎦⎤⎢⎣

⎡=P P A λλ,

1

222

112

212

000------⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=P P P P A

n n n n λλλλ，