材料力学压杆稳定第4节 压杆稳定条件
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材料力学之压杆稳定
材料力学之压杆稳定引言材料力学是研究物体内部受力和变形的学科，压杆稳定是其中的一个重要内容。
压杆稳定是指在受到压力作用时，压杆能够保持稳定，不发生失稳或破坏的现象。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、稳定条件以及一些常见的失稳形式。
压杆的受力分析在进行压杆稳定分析前，我们首先需要对压杆受力进行分析。
压杆通常是一根长条形材料，两端固定或铰接。
在受到外部压力作用时，压杆会受到内部的压力，这些压力会导致杆件产生变形和应力。
在分析压杆稳定性时，我们主要关注压杆的弯曲和侧向稳定性。
压杆的基本原理压杆的稳定性是由杆件的弯曲和侧向刚度共同决定的。
当压杆弯曲和侧向刚度足够大时，压杆能够保持稳定。
所以，为了提高压杆的稳定性，我们可以采取以下几种措施：1.增加杆件的截面面积，增加抗弯能力；2.增加杆件的高度或长度，增加抗弯刚度；3.增加杆件的横向剛性，增加抗侧向位移能力；4.添加支撑或加固结构，增加整体稳定性。
压杆的稳定条件压杆稳定的基本条件是在承受外部压力时，内部应力不超过材料的极限强度。
当内部应力超过材料的极限强度时，压杆将会发生失稳或破坏。
在实际工程中，我们一般采用压杆的临界压力比来判断压杆的稳定性。
临界压力比是指杆件在失稳前的临界弯曲载荷与临界弯曲载荷之比。
当临界压力比大于1时，压杆是稳定的；当临界压力比小于1时，压杆是不稳定的。
临界压力比的计算可以采用欧拉公式或者Vlasov公式等方法。
这些方法能够给出压杆在不同边界条件下的临界压力比。
在工程实践中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来计算临界压力比。
压杆的失稳形式压杆失稳通常有两种形式：弯曲失稳和侧向失稳。
弯曲失稳压杆的弯曲失稳是指杆件在受到外部压力作用时，发生弯曲变形并导致失稳。
在弯曲失稳中，压杆的弯曲形态可以分为四种：1.局部弯曲失稳：杆件出现弯曲局部失稳，形成凸起或凹陷；2.局部弯扭失稳：杆件出现弯曲和扭曲共同失稳；3.全截面失稳：整个杆件截面均发生失稳；4.全体失稳：整个杆件完全失稳并失去稳定性。
材料力学_压杆稳定
π 2E λp = σp
欧拉公式仅适用于细长压杆的稳定计算
对Q235 钢,E=200GPa,σp=200MPa,则 , ,
200 × 109 λp = π ≈ 100 6 200 × 10
9.2 压杆的临界应力
二,临界应力总图 大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): 细长压杆
σ cr σs
π 2 EI π 2E Fcr σ cr = = = 2 A (l / i )2 A(l )
其中
记
λ=
l
i
压杆的柔度或 压杆的柔度或长细比 欧拉临界应力
i=
I A
π 2E σ cr = 2 λ
(λ = λmax )
π 2E π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ ≥ λ σp
大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): λ ≥ λ p 细长压杆
σp
σ cr = σ s
σcr = a1 b1λ
2
π 2E σ cr = 2 λ
直线经验公式: 直线经验公式:
(λ ≥ λ p )
σ cr = a bλ
σ cr = π E λ2
2
中柔度压杆(中长压杆 中柔度压杆 中长压杆) 中长压杆
σ cr = a bλ (λs ≤ λ ≤ λ p )
σ cr ≤ σ s (σ b ) λs =
2
d y = M ( x) = M B + FBy (l x) Fy 2 dx
2
k2 =
F EI ~ M M= B F
y
A
y (0) = 0 y′(0) = 0 y (l ) = 0 y′(l ) = 0 ~ ~ B + M + F l = 0 0 1 1 l ~ k 0 0 1 A k F = 0 =0 ~ sin kl cos kl 1 0 A sin kl + B cos kl + M = 0 ~ k cos kl k sin kl 0 1 kA cos kl kB sin kl F = 0 kl sin = 0 or Det = k[kl sin kl 2(1 cos kl )] 2 kl kl kl kl kl = 2k sin ( kl cos 2 sin ) = 0 (kl cos 2 sin ) = 0 2 2 2 2 2
材料力学之压杆稳定
25
解: 图 (a) 中, AD 杆受压
N AD
2EI
2 P1
2
2a
1 2EI
P1 22
a2
图 (b) 中, AB , BD 杆受压
N AB
NBD
P2
2EI a2
2EI
P2 a 2
26
例: 长方形截面细长压杆, b/h=1/2 ; 如果将 b 改为 h 后
仍为细长杆, 临界力 Pcr 是原来的多少倍？
解: (1).
Pcr
2EI ( l)2
2E d4
64
( l)2
1 16
(2).
2E I正
Pcr正 ( l)2 Pcr圆 2 E I 圆
I正 I圆
a4
12
d4
d
4
2
2
12
d4
3
( l)2
64
64
28
例: 三种不同截面形状的细长压杆如图所示。 试: 标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主惯性轴转动。
解：
2E Ib
Pcr b Pcr a
( l)2 2EIa
( l)2
Ib Ia
h4
12 hb 3
h b
3
8
12
27
例: 圆截面的细长压杆, 材料、杆长和杆端约束保持
不变, 若将压杆的直径缩小一半, 则其临界力为 原压杆的＿116＿; 若将压杆的横截面改变为面积相同 的正方形截面, 则其临界力为原压杆的＿＿3 倍。
工程上要求 Pmax＜ Pcr
与压杆的材料、截面形式、 长度、及杆端约束有关1。8
§10-2 细长压杆的临界压力欧拉公式
一. 两端铰支细长压杆的临界压力 设: 理想的中心受压细长杆, 在最小抗弯平面内失稳。
材料力学课件——压杆稳定计算
第九章 压杆稳定计算
9.1 工程中压杆的稳定问题 9.2 细长压杆的临界力 9.3 欧拉公式的适用范围·临界应力的
经验公式 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
材料力学基本任务
构件的承载能力
问题
分析设计过程
失效方式
①强度 外力—内力—应力—强度条件 塑性屈服或脆断
②刚度 外力—变形—刚度条件 变形过大失去工作能力
P （压杆稳定性条件）
A
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
保国寺大殿的拼柱形式
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
1056年建，“双筒体”结 构，塔身平面为八角形。经 历了1305年的八级地震。
压杆的实验观察
总结以上实验观察，可得到如下结论： （1）压杆稳定与外载的大小、方式和杆的约束有关； （2）压杆稳定与杆件几何尺寸有关； （3）当尺寸确定、约束确定、加载方式确定的情况下， 存在一个临界载荷Plj：当P<Plj时，杆件处于稳定平衡状 态；当P>Plj时，处于不稳定平衡状态. 稳定问题的核心是寻找临界载荷。
解 螺旋千斤顶的螺杆一般简化为一端固定，另一端自由的压 杆，其长度系数 μ=2，为求此螺杆的临界力Plj，首先要计算此 螺杆的柔度λ，以确定此螺杆的临界应力Plj应当按哪一个公式 来计算。
l0
i
式中 l0=μl=2×500=1000(mm)
i
I A
d 4 / 64 d2/4
9.1 工程中压杆的稳定问题 9.2 细长压杆的临界力 9.3 欧拉公式的适用范围·临界应力的
经验公式 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
材料力学基本任务
构件的承载能力
问题
分析设计过程
失效方式
①强度 外力—内力—应力—强度条件 塑性屈服或脆断
②刚度 外力—变形—刚度条件 变形过大失去工作能力
P （压杆稳定性条件）
A
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
保国寺大殿的拼柱形式
• 压杆的合理截
面:
L i Imin
i
A
Plj
2 EImin (L)2
Imin Imax
合理
1056年建，“双筒体”结 构，塔身平面为八角形。经 历了1305年的八级地震。
压杆的实验观察
总结以上实验观察，可得到如下结论： （1）压杆稳定与外载的大小、方式和杆的约束有关； （2）压杆稳定与杆件几何尺寸有关； （3）当尺寸确定、约束确定、加载方式确定的情况下， 存在一个临界载荷Plj：当P<Plj时，杆件处于稳定平衡状 态；当P>Plj时，处于不稳定平衡状态. 稳定问题的核心是寻找临界载荷。
解 螺旋千斤顶的螺杆一般简化为一端固定，另一端自由的压 杆，其长度系数 μ=2，为求此螺杆的临界力Plj，首先要计算此 螺杆的柔度λ，以确定此螺杆的临界应力Plj应当按哪一个公式 来计算。
l0
i
式中 l0=μl=2×500=1000(mm)
i
I A
d 4 / 64 d2/4
材料力学：压杆稳定
坍塌后的奎拜克桥
材料力学教学课件
韩国汉城
1995年6月29日下午，韩国汉城三 丰百货大楼，由于盲目扩建、加层， 致使大楼四五层立柱不堪重负而产 生失稳破坏，大楼倒塌，死502人， 伤930人，失踪113人。
2020年2月3日星期一
10
第九章 压杆稳定
中国南京 2000年10月25日上午10时，南京电视台演播中 心演播大厅的屋顶的施工中，由于脚手架失稳， 造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人。
材料力学教学课件
2020年2月3日星期一
26
第九章 压杆稳定
1）、细长杆的临界应力
cr
2E 2
p
2E p
引入记号 1
2E p
欧拉公式的适用范围
l
i
1
2E p
2）、中长杆的临界应力（经验公式）
cr a b, 2 1
sin
kl
l
coskl
0
2020年2月3日星期一
19
第九章 压杆稳定
由于杆在微弯状态下保持平衡时，
Fy不可能等于零，故由上式得
1 sin kl l coskl 0 k 亦即 tan kl kl
满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即 Fcr l 4.49 EI
从而得到此压杆求临界力的欧拉公式：
受均匀压力的球形薄壳或薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将 不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式。
材料力学教学课件
2020年2月3日星期一
9
第九章 压杆稳定
由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。 历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。如1907年 加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失 稳，导致整座大桥倒塌。近代这类事故仍时有发生。
第十章 材料力学压杆稳定
2
y
即 : 189.325.612.74(1.52a/2) 时合理
a4.32 cm
求临界力：
L 0.76
i Iz 2A1
0.76 396.610 212.74104
8
106.5
2 E 220010 9 p 99.3 6 P 20010
2 EI
(2l ) 2
=1
0.7
=0.5
=2
2l
l
例1钢质细长杆，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面， h=50 mm，b=30 mm，材料是A3钢，弹性模量E=200GPa； 求临界力和临界应力。 解：
(1)由于杆截面是矩形，杆在不同方向发生弯曲的难易程度不同， 如下图
因为 Iy<Iz，所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下， 压杆最易在xz平面内发生弯曲；
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI min Pcr ( L) 2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
1.一端固定一端自由的细长压杆，它相当于两端铰支长为2l的 压杆的挠曲线的一半部分；
2 EI 2 EI
4l
2
Pcr
2l
2
P l l
2.二端固定的细长压杆，其中间部分(0.5l) 相当于两端铰支长为 0.5l的压杆；
②挠曲线近似微分方程： M P y y EI EI P y y y k 2 y0 EI P 2 其中 :k EI
y
P x
M
P
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y Asin xBcosx y(0) y( L)0
A0B0 即 : AsinkLBcoskL0
y
即 : 189.325.612.74(1.52a/2) 时合理
a4.32 cm
求临界力：
L 0.76
i Iz 2A1
0.76 396.610 212.74104
8
106.5
2 E 220010 9 p 99.3 6 P 20010
2 EI
(2l ) 2
=1
0.7
=0.5
=2
2l
l
例1钢质细长杆，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面， h=50 mm，b=30 mm，材料是A3钢，弹性模量E=200GPa； 求临界力和临界应力。 解：
(1)由于杆截面是矩形，杆在不同方向发生弯曲的难易程度不同， 如下图
因为 Iy<Iz，所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下， 压杆最易在xz平面内发生弯曲；
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI min Pcr ( L) 2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
1.一端固定一端自由的细长压杆，它相当于两端铰支长为2l的 压杆的挠曲线的一半部分；
2 EI 2 EI
4l
2
Pcr
2l
2
P l l
2.二端固定的细长压杆，其中间部分(0.5l) 相当于两端铰支长为 0.5l的压杆；
②挠曲线近似微分方程： M P y y EI EI P y y y k 2 y0 EI P 2 其中 :k EI
y
P x
M
P
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y Asin xBcosx y(0) y( L)0
A0B0 即 : AsinkLBcoskL0
第十章压杆稳定 第4节 临界应力的经验公式
查表得 a = 461 MPa、b = 2.568 MPa 临界应力 临界力
cr a bz 461 2.567 64.7 294.9 MPa
Fcr cr A 162.7 kN
3）由于连杆在 x-y、x-z 两个平面内的柔度 z = 64.7、y = 57.4 比 较接近，故该连杆横截面的设计较为合理。
iy
Iy A
14100 5.05 mm 552
y
y l2
iy
0.5 580 57.4 11.6
因为λz = 64.7 >λy ，故连杆将在 x-y 平面内失稳。
2）计算临界力 由优质碳钢 s = 306 MPa，查表得
p 100
s 60
由于 s < z < p ，连杆属于中长杆，故采用直线公式计算临界力
此时，立柱为中柔度杆，应用直线公式计算临界力
由表 10-2 查得 a = 304 MPa，b = 1.12 MPa 临界应力 临界力
cr a b 304 1.12 75 220 MPa
Fcr cr A 220 48.541 1068 kN
[例2] 图示连杆，已知材料为优质碳钢，弹性模量 E = 210 GPa，屈服 极限 s = 306 MPa。试确定该连杆的临界力Fcr ，并说明横截面的设计 是否合理。 解： 由于连杆在两
个方向上的约束情
况不同，故应分别 计算连杆在两个纵 向对称平面内的柔 度，柔度大的那个 平面为失稳平面。
1）计算柔度 在 x-y 平面（弯曲中性轴为 z 轴）： 两端铰支
z = 1
l1 = 750 mm
A 24 12 2 6 22 552 mm2
10.刘鸿文版材料力学-压杆稳定
a、b — 材料常数
经验公式
（直线公式）
cr a b
a s b
cr s
令
a s 2 b
2 (小柔度杆)
cr s
目录
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
•压杆柔度
l μ四种取值情况， i i
P — 比例极限
I A
d
l
i
I A
d 4 4 d 4 1cm 2 64 d 4 4
2 37.5 75 i 1 查得45钢的2=60，1=100，2<<1，属于中柔度杆。
目录
l
§9.5
压杆的稳定校核
（2）计算临界力，校核稳定 查表得a=589MPa,b=3.82MPa,得丝杠临界应力为
D d 4 64 D 2 d 2
4 4
FN 26.6kN
n
D2 d 2 16mm 4
Fcr 118 4.42 nst 3 FN 26.6
AB杆满足稳定性要求
目录
§9.5
压杆的稳定校核
例题 千斤顶如图所示，丝杠长度 l=37.5cm，内径d=4cm，材料为 45钢。最大起重量F=80kN，规定 的稳定安全系数nst=4。试校核丝 杠的稳定性。 （1）计算柔度
2、
1 Fcr 2 l
杆长，Fcr小，易失稳
•线弹性，小变形
•两端为铰支座
3、在
Fcr EI
刚度小，Fcr小，易失稳
Fcr作用下，
k
, w A sin l l l x ,w A 2
x
挠曲线为一条半波正弦曲线 即 A 为跨度中点的挠度
经验公式
（直线公式）
cr a b
a s b
cr s
令
a s 2 b
2 (小柔度杆)
cr s
目录
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
•压杆柔度
l μ四种取值情况， i i
P — 比例极限
I A
d
l
i
I A
d 4 4 d 4 1cm 2 64 d 4 4
2 37.5 75 i 1 查得45钢的2=60，1=100，2<<1，属于中柔度杆。
目录
l
§9.5
压杆的稳定校核
（2）计算临界力，校核稳定 查表得a=589MPa,b=3.82MPa,得丝杠临界应力为
D d 4 64 D 2 d 2
4 4
FN 26.6kN
n
D2 d 2 16mm 4
Fcr 118 4.42 nst 3 FN 26.6
AB杆满足稳定性要求
目录
§9.5
压杆的稳定校核
例题 千斤顶如图所示，丝杠长度 l=37.5cm，内径d=4cm，材料为 45钢。最大起重量F=80kN，规定 的稳定安全系数nst=4。试校核丝 杠的稳定性。 （1）计算柔度
2、
1 Fcr 2 l
杆长，Fcr小，易失稳
•线弹性，小变形
•两端为铰支座
3、在
Fcr EI
刚度小，Fcr小，易失稳
Fcr作用下，
k
, w A sin l l l x ,w A 2
x
挠曲线为一条半波正弦曲线 即 A 为跨度中点的挠度
第八章：压杆稳定
材料
（强度极限 b/ MPa ） （屈服点 S /MPa ）
a
b
（MPa） （MPa）
P
S
Q235 钢( b 372 , S 235 ) 304 1.12 100
62
优质碳钢( b 471 ,S 306 ) 461 2.568 100
60
硅钢 ( b 510 , S 353 ) 578 3.744 100
二、其他支座条件下细长压杆的临界应力 表8-1 压杆的长度系数
Fcr
2EI ( l)2
杆端约束 情况
一端固定 一端自由
两端铰支
一端固定 一端铰支
两端固定
挠 曲 线 形 状
长度系数
2.0
1.0
0.7
0.5
第二节：细长压杆的临界荷载
例8-3 图示细长压杆，已知材料的弹性模量 E 210GPa，压杆
第二节：细长压杆的临界荷载
例8-1 细长压杆为钢制空心圆管，外径和内径分别为 20mm 和 16mm，杆长 0.8m，钢材的弹性模量为 210GPa，
压杆两端铰支，试求压杆的临界载荷 Fcr。
解：压杆横截面的惯性矩为
I (D4 d 4 ) (0.024 0.0164 ) m4
64
64
4.63109 m4
(2)如果 F k l ，即 F k l ，则杆将继续偏斜，不能回复到原来的竖直平衡位
置，表明其原来的竖直平衡状态是不稳定的；
(3)如果 F k l ，即 F k l ，则杆不仅在竖直位置保持平衡，而且在偏斜状
态也能够保持平衡。
第一节：压杆稳定的概念
临界压力或临界力：当压力逐渐增加到某一极限值时，如果再作用 一个微小的侧向干扰力，使其产生微小的侧向变形，在除去干扰力 后，压杆将不再能够恢复其原来的直线平衡状态，这说明压杆原来 直线形状的平衡是不稳定的，上述压力的极限值称为临界压力或临 界力。一般用Fcr表示，它是判断压杆是否失稳的一个指标。
材料力学-压杆的稳定性
压杆的平衡条件
压杆在平衡状态下需要满足一定的条件，包括受力平衡和挠度平衡。我们将详细讨论这些条件，并是否能够保持稳定的重要方法。我们将介绍常用的稳 定性分析方法，包括欧拉稳定性理论和能量法。
影响压杆稳定性的因素
压杆的稳定性受到多种因素的影响，包括几何形状、材料性质、外部载荷等。我们将讨论这些因 素，并分析它们对压杆稳定性的影响。
建筑
压杆在建筑结构中起着支撑和 稳定的作用，使得建筑物能够 抵抗外部压力。
机械
压杆在机械设计中用于传递力 量和实现稳定性，使得机械装 置能够正常运行。
航空航天
压杆在航空航天工程中起着支 撑和稳定的作用，使得飞机和 航天器能够在飞行过程中保持 结构的完整性。
材料力学基础知识回顾
在开始讨论压杆的稳定性之前，让我们回顾一些材料力学的基础知识，包括材料的应力和应变，杨氏模 量等。
总结和展望
通过本次演讲，我们深入了解了压杆的定义和应用，回顾了材料力学的基础知识，讨论了压杆的平衡条 件和稳定性分析方法，并分析了影响压杆稳定性的因素。希望这些知识能对大家的学习和实际工程应用 有所帮助。
几何形状
压杆的几何形状对其稳定性有重要影响，包括长度、直径等。
材料性质
材料的强度和刚度对压杆稳定性起着关键作用。
外部载荷
外部载荷会改变压杆的受力状态，从而影响其稳定性。
实际工程中的应用案例
在实际工程中，压杆的稳定性是一个重要的设计考虑因素。我们将介绍一些真实的工程案例，并探讨如 何应用稳定性分析来改进设计。
材料力学-压杆的稳定性
欢迎大家来到本次关于材料力学中压杆的稳定性的演讲。在这个演讲中，我 们将探讨压杆的定义和应用，材料力学基础知识回顾，压杆的平衡条件，稳 定性分析的方法，影响压杆稳定性的因素，实际工程中的应用案例，以及对 这个话题的总结和展望。
材料力学课件(压杆稳定性)
2 EI
2 a2
改变力F指向，BD成为压杆，临界压力
F2
2 EI
2a 2
Fcr
比较：Fcr Fcr
1 2 EI
2FAB FBD 2 a 2
例9-4.一端固定一端自由压杆，长为 l，弯曲刚度
为EI，设挠曲线方程
w
2l 3
(3lx 2
x3)
，为自由
端挠度。试用能量法去定临界压力的近似值。
思考： P 3169-4，习题9-11，13，14，18
练习： P 319习题9-10，12，15，17
（3）合理稳定性设计
[ ]st
与
L
i
成反比
合理截面：约束性质接近时，iminimax ——组合截面 提高 i ——使截面积远离形心
增强约束：缩短相当长度
思考：含有压杆的超静定问题
温度变化引起的稳定性问题
、[]st与 成反比
值：木杆——式（9 11，12）
钢杆——表 92，3
（2）稳定性条件
F A
[ ]st
[ ]
稳定性r 或 与 或 i 为非线性关系，选择截面
尺寸时需用迭代法
例9-5. Q235钢连杆，工字型截面A＝552mm2，Iz＝ 7.40×104mm4，Iy＝1. 41×104mm4，有效长度l＝ 580mm，两端柱形铰约束，xy平面失稳μz＝1，xz 平面失稳μy＝0.6，属 a 类压杆，轴向压力F＝35kN， [σ]＝206MPa。试求稳定许用应力，并校核稳定性。
思考：比较一根杆的柔度与柔度的界限值
影响大柔度、中柔度和小柔度杆临 界应力因素的异同
3. 压杆的稳定性条件与合理设计
（1）稳定许用应力
实际压杆与理想压杆的差异：初曲率、压力偏心、 材料缺陷等
材料力学-压杆稳定
A
பைடு நூலகம்
B
L
L
C
3、钢制矩形截面杆的长度为L＝1.732米，横截面为 60×100，P＝100KN，许用应力为[σ]＝30MPａ， 弹性模量E＝200GPａ，比例极限σP＝80MPａ， 屈服极限σS＝160MPａ，稳定安全系数ｎw＝2， ａ＝304MPａ，ｂ＝1.12MPａ。构件安全吗？
L
100
60
4、AB杆的两端固定，在20OC时杆内无内力。已知： 杆长为L＝400毫米，杆的直径d＝8毫米，材料的弹性 模量为E＝200GPａ，比例极限为σP=200Mpa，线胀 系数α＝1.25×10-51/OC，杆的稳定安全系数为2，当 温度升高到40OC时，校核杆的稳定性。
i I D2d2 16mm A4
得11.713 61230108 P
3、选用公式，计算临界应力
AB为大柔度杆
FcrcrA
2E 2
A
2lE2I118kN
4、计算安全系数
n F cr FN
1184.4 26.6
2nst3
5、结论
AB杆满足稳定性要求
1、圆截面杆BD的直径为ｄ＝35毫米，采用普通碳 钢，弹性模量 Ｅ＝200GPａ，比例极限为σP＝ 200MPａ，屈服极限为σS＝235MPａ，ａ＝304 MPａ，ｂ＝1.12 MPａ，稳定安全系数取ｎw＝3， 载荷G＝30K N，校核BD杆的稳定性。
cr
2E 2
临界应力的欧拉公式
塑性材料在压缩时的应力应变曲线
σ
σp
σs
O
σ
σp
σs
O
细长杆 1
σ
当临界应力小于或等于材料的比例极限时 cr p σp
σs
材料力学第八章压杆的稳定性
第八章
压杆的稳定性
§8-1 压杆稳定性的概念
工程中存在着很多受压杆件。 受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式： 1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到 材料的极限应力，为强度破坏。 2）细长的直杆，其破坏 是由于杆不能保持原有的直线 平衡形式，为失稳破坏。 对于相对细长的压杆，其 破坏并非由于强度不足，而是 由于荷载（压力）增大到一定 数值后，不能保持原有直线平 衡形式而失效。
z y x 轴销
解：先计算压杆的柔度。 在xz面内，压杆两端可视为铰支，μ=1。查型钢表，得 l 1 2 iy=4.14cm，故 y 48.3 i y 0.0414
在xy面内，压杆两端可视为固支， μ=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm， 故 l 0.5 2 z 65.8 iz 0.0152
n2π2EI l2
(n = 0,1,2…）
（Euler公式）
x Fcr
π w =Asin l x （半波正弦曲线） l x= 2 时 w0= A
A是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。
l
w
F与中点挠度w0之间的关系 （1） 若采用近似微分方程，则F 与如折线OAB所示； （2） 若采用精确的挠曲线微 分方程，则可得F与w0之间的 关系如曲线OAB'所示； F B'
例 某钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料 为Q235钢，横截面如图所示，截面类型为b类。钢柱 的两端截面上有4个直径为30mm的螺栓孔。钢柱μ=1.3 ， 受260kN的轴向压力，材料的[σ]=170MPa。 （1）求两槽钢的间距h。 （2）校核钢柱的稳定性和强度。
解：(1) 确定两槽钢的间距h 钢柱两端约束在各方向均相同， 因此，最合理的设计应使Iy=Iz , 从 而使钢柱在各方向有相同的稳定性。
压杆的稳定性
§8-1 压杆稳定性的概念
工程中存在着很多受压杆件。 受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式： 1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到 材料的极限应力，为强度破坏。 2）细长的直杆，其破坏 是由于杆不能保持原有的直线 平衡形式，为失稳破坏。 对于相对细长的压杆，其 破坏并非由于强度不足，而是 由于荷载（压力）增大到一定 数值后，不能保持原有直线平 衡形式而失效。
z y x 轴销
解：先计算压杆的柔度。 在xz面内，压杆两端可视为铰支，μ=1。查型钢表，得 l 1 2 iy=4.14cm，故 y 48.3 i y 0.0414
在xy面内，压杆两端可视为固支， μ=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm， 故 l 0.5 2 z 65.8 iz 0.0152
n2π2EI l2
(n = 0,1,2…）
（Euler公式）
x Fcr
π w =Asin l x （半波正弦曲线） l x= 2 时 w0= A
A是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。
l
w
F与中点挠度w0之间的关系 （1） 若采用近似微分方程，则F 与如折线OAB所示； （2） 若采用精确的挠曲线微 分方程，则可得F与w0之间的 关系如曲线OAB'所示； F B'
例 某钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料 为Q235钢，横截面如图所示，截面类型为b类。钢柱 的两端截面上有4个直径为30mm的螺栓孔。钢柱μ=1.3 ， 受260kN的轴向压力，材料的[σ]=170MPa。 （1）求两槽钢的间距h。 （2）校核钢柱的稳定性和强度。
解：(1) 确定两槽钢的间距h 钢柱两端约束在各方向均相同， 因此，最合理的设计应使Iy=Iz , 从 而使钢柱在各方向有相同的稳定性。
材料力学第九章4-6压杆稳定
P
A C D B
1m E
1m F
1.5m
1m
算例3
图示结构, AB为18号工字钢梁,[]=120MPa, CD为两端铰链约束的圆截面钢杆，d=24mm, P=100, S=61.4， [n]st=2.8。 要求: 结构的许用载荷Pmax=？
P
A
C
3m D
B
1.8m
1m
解题思路
1 校核时，必须先按梁AB的强度估算一个许用载荷 Pmax 。 2 Pmax 。 再按杆CD梁的稳定要求，估算第二个许用载荷
图示结构, AB为18号工字钢梁,[]=120MPa, CE和DF均为两端铰链约束的圆截面钢杆， d=24mm, P=100, S=61.4。 求:结构整体失稳时的理论极限载荷Pmax=？
P
A C D B
1m E
1m F
1.5m
1m
解题思路
由于CE和DF杆与结构是并联关系，只有CE和DF杆都 失稳时，才导致结构整体失稳。（ DF杆先失稳， 此后杆内力保持不变为Pcr）因此，应当按照两压杆 的临界载荷Pcr对A点取力矩平衡而求出结构的理论 极限载荷Pmax。
思考：
如对于大柔度杆误用了经验公式，或对 于中柔度杆误用了欧拉公式，所得临界 应力比实际值大还是小？
算例1
分析: 哪一根压杆的 临界载荷比较大；
分析: 哪一根压杆的临界载荷比较大：
Pcr= crA , cr
E
2
2
= l / i , i a=20/d ,
I A
d 4
b=18/d .
b d A h C 3m 1.8m
B
解题思路
由于CE和DF杆与结构是串联关系，只要两杆中有 一根杆失稳，就导致结构整体失稳。 先求出AC杆和CB杆的临界载荷Pcr，再按静不定 杆方法，求出杆AC和杆CB的轴力。最后就可校 核系统的稳定性。
A C D B
1m E
1m F
1.5m
1m
算例3
图示结构, AB为18号工字钢梁,[]=120MPa, CD为两端铰链约束的圆截面钢杆，d=24mm, P=100, S=61.4， [n]st=2.8。 要求: 结构的许用载荷Pmax=？
P
A
C
3m D
B
1.8m
1m
解题思路
1 校核时，必须先按梁AB的强度估算一个许用载荷 Pmax 。 2 Pmax 。 再按杆CD梁的稳定要求，估算第二个许用载荷
图示结构, AB为18号工字钢梁,[]=120MPa, CE和DF均为两端铰链约束的圆截面钢杆， d=24mm, P=100, S=61.4。 求:结构整体失稳时的理论极限载荷Pmax=？
P
A C D B
1m E
1m F
1.5m
1m
解题思路
由于CE和DF杆与结构是并联关系，只有CE和DF杆都 失稳时，才导致结构整体失稳。（ DF杆先失稳， 此后杆内力保持不变为Pcr）因此，应当按照两压杆 的临界载荷Pcr对A点取力矩平衡而求出结构的理论 极限载荷Pmax。
思考：
如对于大柔度杆误用了经验公式，或对 于中柔度杆误用了欧拉公式，所得临界 应力比实际值大还是小？
算例1
分析: 哪一根压杆的 临界载荷比较大；
分析: 哪一根压杆的临界载荷比较大：
Pcr= crA , cr
E
2
2
= l / i , i a=20/d ,
I A
d 4
b=18/d .
b d A h C 3m 1.8m
B
解题思路
由于CE和DF杆与结构是串联关系，只要两杆中有 一根杆失稳，就导致结构整体失稳。 先求出AC杆和CB杆的临界载荷Pcr，再按静不定 杆方法，求出杆AC和杆CB的轴力。最后就可校 核系统的稳定性。
材料力学 压杆稳定
y F
l
F
x
O h b
(a )
l1
F
F
x
z
(b )
§5
实际压杆的稳定因数
st
cr cr
ncr cr
§6
压杆的稳定计算.压杆的合理截面
F
F A
A
§5
实际压杆的稳定因数
st
cr cr
ncr cr
然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和 小挠度微分方程以及端部约束条件，确定不同刚性 支承条件下弹性压杆的临界力。
压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉
FP FP
Δ
压杆从直线平衡构 形到弯曲平衡构形的 转变过程，称为“屈 曲”。由于屈曲，压 杆产生的侧向位移， 称为屈曲位移。
FP FP
FP FP FP
§6
压杆的稳定计算.压杆的合理截面
F 源自F AA影响压杆承载能力的因素:
1. 细长杆
Fcr
EI
2
L 2
影响因素较多,与弹性模量E，截 面形状，几何尺寸以及约束条件 等因素有关。
2. 中长杆
Fcr cr A a b A
L
利用欧拉公式计算前面钢板尺的临界应力
EI
2
Fcr
L
2
EI
2
L
2
I max
1 32 12
3
mm
4
I min
32 1 12
3
mm
4
210 10
2 3
32 1 12
l
F
x
O h b
(a )
l1
F
F
x
z
(b )
§5
实际压杆的稳定因数
st
cr cr
ncr cr
§6
压杆的稳定计算.压杆的合理截面
F
F A
A
§5
实际压杆的稳定因数
st
cr cr
ncr cr
然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和 小挠度微分方程以及端部约束条件，确定不同刚性 支承条件下弹性压杆的临界力。
压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉
FP FP
Δ
压杆从直线平衡构 形到弯曲平衡构形的 转变过程，称为“屈 曲”。由于屈曲，压 杆产生的侧向位移， 称为屈曲位移。
FP FP
FP FP FP
§6
压杆的稳定计算.压杆的合理截面
F 源自F AA影响压杆承载能力的因素:
1. 细长杆
Fcr
EI
2
L 2
影响因素较多,与弹性模量E，截 面形状，几何尺寸以及约束条件 等因素有关。
2. 中长杆
Fcr cr A a b A
L
利用欧拉公式计算前面钢板尺的临界应力
EI
2
Fcr
L
2
EI
2
L
2
I max
1 32 12
3
mm
4
I min
32 1 12
3
mm
4
210 10
2 3
32 1 12
材料力学压杆稳定
材料力学压杆稳定材料力学是研究物质在外力作用下的形变和破坏规律的学科。
在材料力学中，压杆是一种常见的结构元素，它能够承受压缩力，用来支撑、传递和稳定结构的荷载。
压杆的稳定性是指在外力作用下，压杆不会发生失稳或破坏。
稳定性的分析对于设计和使用压杆结构具有重要意义，可以保证结构的安全可靠性。
本文将从材料的稳定性理论出发，探讨压杆稳定的原理和影响因素。
压杆的稳定性主要受到两种力的影响：压缩力和弯曲力。
压缩力使得杆件在长轴方向上缩短，而弯曲力使得杆件发生侧向的弯曲变形。
这两种力的作用会引起杆件在截面上的应力分布，当这些应力达到一定的极限时，杆件就会发生失稳或破坏。
为了保证压杆的稳定性，需要考虑以下几个因素：1.杆件的形状和尺寸：杆件的形状和尺寸是影响压杆稳定性的重要因素。
一般来说，杆件的截面形状应当是圆形或类圆形，这样能够均匀地分配应力，在承受压力时能够更好地抵抗失稳。
此外，杆件的直径或截面积也应当足够大，以提高材料的稳定性。
2.材料的性质：材料的性质对杆件的稳定性有着重要的影响。
一般来说，杆件所使用的材料应当具有足够的强度和刚度。
强度可以提供杆件抵抗失稳的能力，而刚度可以减小失稳时的弯曲变形。
此外，材料应当具有足够的韧性，以防止杆件发生断裂。
3.杆件的支撑条件：杆件的支撑条件也会对稳定性产生影响。
一般来说，杆件的两端应当进行良好的支撑，以减小弯曲变形和失稳的发生。
支撑条件可以通过适当的连接方式、支撑点的设置和钢结构的设计来实现。
4.外力的作用：外力的作用是导致杆件发生失稳的主要原因。
外力可以包括静力荷载、动力荷载和温度荷载等。
在设计和使用压杆结构时，需要对外力进行充分的分析和计算，确保结构在外力作用下能够稳定运行。
总之，压杆的稳定性是确保结构安全可靠性的重要因素。
在材料力学中，通过对压杆受力和形变规律的分析，可以找到保证压杆稳定的途径和措施。
合理选择杆件的形状和尺寸，使用适当的材料，提供良好的支撑条件，并进行准确的外力分析和计算，可以有效地提高压杆的稳定性，确保结构的安全运行。
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-压杆稳定(圣才出品)
（1）各种支承情况下等截面细长压杆临界压力的欧拉公式，如表 9-2 所示。
支 承
两端铰接 情 况 失 稳 时 挠 曲 线 的 形 状 欧 拉 公 式
表 9-2
一端固定一段 铰接
两端固定
一 端 固 定 一 端 两端固定但可沿
自由
横截面相对移动
3 / 44
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（2）柔度或长细比 临界应力可表示为
4 / 44
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式中，λ 为柔度或长细比，
，集中反应了压杆的长度、约束条件、截面尺寸
和形状等因素对临界应力 σcr 的影响。λ 越大，相应的 σcr 越小，压杆越容易失稳。 注意：若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时
杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩；杆端
在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力，I 为
其相应中性轴的惯性矩。
三、欧拉公式的适用范围及临界应力总图 1．相关概念 （1）临界应力：与临界压力 Fcr 对应的应力，用 σcr 表示，即
2．提高压杆稳定性的措施
影响压杆稳定的因素包括压杆的截面形状、长度和约束条件、材料的性质等。因而，提
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高压杆稳定性的措施主要包括以下三个方面： （1）选择合理的截面形状 截面的惯性矩 I 越大，或惯性半径 i 越大，稳定性越好。 ①在截面积相等的情况下，尽可能将材料放在离截面形心较远处，使 I 或 i 较大，如图
应力
达到限值
小于限值
支 承
两端铰接 情 况 失 稳 时 挠 曲 线 的 形 状 欧 拉 公 式
表 9-2
一端固定一段 铰接
两端固定
一 端 固 定 一 端 两端固定但可沿
自由
横截面相对移动
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（2）柔度或长细比 临界应力可表示为
4 / 44
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式中，λ 为柔度或长细比，
，集中反应了压杆的长度、约束条件、截面尺寸
和形状等因素对临界应力 σcr 的影响。λ 越大，相应的 σcr 越小，压杆越容易失稳。 注意：若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时
杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩；杆端
在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力，I 为
其相应中性轴的惯性矩。
三、欧拉公式的适用范围及临界应力总图 1．相关概念 （1）临界应力：与临界压力 Fcr 对应的应力，用 σcr 表示，即
2．提高压杆稳定性的措施
影响压杆稳定的因素包括压杆的截面形状、长度和约束条件、材料的性质等。因而，提
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高压杆稳定性的措施主要包括以下三个方面： （1）选择合理的截面形状 截面的惯性矩 I 越大，或惯性半径 i 越大，稳定性越好。 ①在截面积相等的情况下，尽可能将材料放在离截面形心较远处，使 I 或 i 较大，如图
应力
达到限值
小于限值
材料力学10压杆稳定_4稳定条件_折减系数法
7
.7
查表得折减系数 1 0.354
l
由于所得 1与 1 相差过大，故需进行第二次试算
2）第二次试算
可取折减系数
2
1
1
2
0.427 ，根据稳定条件
F A2
300 103 A2
N
≤2
0.427 170 106
Pa
5
2）确定折减系数
压杆柔度 l 1 2000 mm 80.0
i cos 30o 28.87 mm
查表得折减系数
2m
1m
0.470
30o
3）稳定计算
a
a
根据压杆的稳定条件，
AB
FAB A
3F a2
3F 0.12 m2
≤ 0.47010106 Pa
F A1
300 103 A1
N
≤1
0.5 170 106
Pa
l
求得此时压杆的横截面面积
A1 ≥ 35.3cm2 查工字钢型钢表，可选 No. 20a 工字钢 根据 No. 20a 工字钢的截面几何参数，压杆柔度
1
l
i
0.7 420 cm 2.12 cm
138.7
减系数或稳定因数
1
二、压杆的稳定条件
F A
≤[st ] [ ]
说明： 1）对于等截面压杆，满足稳定条件一定满足强度条件 2）压杆局部截面的削弱不会影响整体的稳定性，但需补充对削弱 截面进行强度校核。
2
第七节 提高压杆稳定性的措施
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36mm，如图所示，材料为 Q235 钢，最大顶起重量
F 50 kN，规定稳定安全
因数 [ st ] 4 ，试校核丝
杠的稳定性。
F
解 （1）计算压杆的柔度
先计算惯性半径：
dl
i
I A
d 4 d 2
64 4
d 4
0.036 m 0.009 m 4
为了偏于安全起见，将螺杆看成一端固定，另
稳定许可载荷：保证压杆稳定可靠地工作时所允许 的最大载荷称为稳定许可载荷。
稳定条件：对于实际受压杆件，应使其在稳定方面
有一定的安全储备，让它的轴向工作压力 F 不超过
临界力的 nst 分之一，即稳定条件为
F Fcr [nst ]
或
n
Fcr F
[nst ]
式中：[nst] — 稳定安全系数。例如：金属结构中的压 杆 [nst] = 1.8~3.0；机床的丝杠 [nst] = 2.5~4.0；低速发动 机挺杆 [nst] = 4~6；高速发动机挺杆 [nst] = 2~5；起重螺 旋 [nst] = 4~6；矿山、冶金设备中的压杆 [nst] = 4~6。
214106 3.14 0.0362 4
N
2.18103 N
（3）校核稳定性
n
Fcr F
2.18103 50 103
4.36
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
nst
4.0
所以，螺杆的稳定性足够。
结论
• 截面有局部削弱（如油孔、螺孔等）的压杆，除 校核稳定外，还需作强度校核，在强度校核时， 面积为考虑了削弱后的横截面净面积。
• 在稳定计算中，为不考虑削弱的横截面面积。这 是因为，压杆的稳定是对杆的整体而言的，横截 面的局部削弱，对临界力数值的影响很小，可不 考虑。
例7-6 已知千斤顶丝杠长度 l 36 mm，内径 d
一端自由，查表得 = 2。于是柔度为：
l 2 0.36 80
i 0.009
（2）计算临界力 Fcr
因为 61.6 < < 100 ，所以属于中柔度杆，则：
cr a b (304 1.12 80) MPa 214 MPa
Fcr
cr
d 2
4