高考压轴题之数列不等式恒成立问题解法例析
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
６ ３． ＞
２ ８
数 学 教 学研 究
第２ ９卷第 ３ 期
２ｌ Ｏ Ｏ年 ３月
法 ２ 分离 得
、
它 的定义域 是 自然 数 而非 实数 ， 只需 二 次 故
ｌ ３ ３ 一 ｂ ６— １
夕Ｔ
‘
函数 对 称轴 位 于 １和 ２中 点 的左 侧 就 足 够
＜ ４ ，
要使 此式 当 ｎ ４时恒 成 立 ， ≥ 只需
第 ２ 卷第 ３ ９ 期
２１ ０ ０年 ３月
数 学教 学 研 究
２ ７
１ ＼
Ｉ
高考压轴题之Leabharlann Baidu列不等式恒成立问题解法例析
余锦银
（ 北 省大 冶市 第 一 中学 湖 ４５０） ３ １ ０
不 等式的恒 成立 问题是考 生较难 理解 和
即
ｓ －６＋ 。
．
掌握的一 个难点 ， 以数 列 为 载体 的不 等式 恒 成立问题 的档次更 高 、 合性更 强 ， 是一类 综 它 非常常见 的考试 题 型 ， 出现在 高 考 压轴 题 常 中， 它与 函数 恒成立 问题 既有类 似之处 ， 又有
例 ２ 已知 ＜
法 ３ 令 ｇ ） （ —６ ＋３ —１ 则 一 （ 一ｎ １ ） ６ ，
次 函数 ｇ 在 ≥４单 调递减． （） 要使 ｇ ） （ ＜０在 ≥ ４时恒 成 立 ， 需 只
ｇ ４ｄＯ 即 ６ ３ （） ， ＞ ．
点评
这 ３种方法均 源于对 数列恒成立
（ 设 ｎ —１ — 一 一－ （ ， ∈Ｎ， Ｉ） １ ， 厂 “）ｎ
ａ ｎ １ ＋
问题本质 的理 解 ， 只是视角 不同 ， ３种方法 这
是将 数列看成 函数 问题 来解 决 ， ２分 离 变 法
量 后需解 不等 式 ， １ 离 变 量 ｂ后 需 求 法 分 最值． 若对 本题 （ ） 再作 如 下变 式 ， 更 易 １式 则
看透恒成立 问题 的方法本 质． 变式 １ 将 （ ） 变 为 关 于 ｂ的 二 次不 １式
ｌ ；
‘
法 １ 分离 ６ ６ 得，＞
， １时 ， 一， ０ ６ ＞ ２ ，恒 成 ｚ ＞ ２ ｚ ，， ≤ Ｉ 一ｌ
） ＝ １ ＋
， 令
，
立．
又由条 件得
Ｓ ｂ 一 ＝ ６ ＋ ｎ ２ ” － ｌ 一 ，
则 ， ， 在 ≥４时 的最小值 为 厂 ４ ＝３故 （） １ （） ，
（ｌ １ （ － ｂ ＋ （ ｂ ２ ， ＋ ）１ ） ３－ ）
６ “ 一１ ‘＋ ’
母 参数 ， 故求 其 最值 时可 避 免繁 锁 的 分类 讨
论 ． ０ ８年湖北 等地 的高 考压 轴题 就 属 于此 ２０
类 型．
’
例 １ 已知数 列 （ 的前 项 和 为 Ｓ ， ｎ｝
＞ （ ６ ２ （－ １ ． ３— ）ｂ ）
因为 １ ＜ Ｏ 所 以 —６ ，
， １ ｂ＜２ ３ ， ｌ － ｎ ＋ — ６ （ — ６ ＋ ３ － １ ０ １ ） ｂ ＜ ． （） １
， ） ｚ 成立 的条件 是 Ｓ ＞Ｏ且 ｂ ＞ ２ ｎ 一２ 件 － ． 因为 ６ ，≠ｌ 所 以 当 一 １ ， ６ ＞０ ６ ， 时 需 ＞
形为 ｇ ７ ＞口恒 成立 ， 由于 ｇ 中不 含字 （） １ 则 （）
一
（ － ｂ 十 （ ｂ ２ １ ） ３ － ）
— — — 一
’
ｒ。 １ ｂ一
（ 一１ ， ｎ ）
于 一 ｂ （２ 是 １ …） 【 ｌ ． …。 ≥
（ 因为 ａ＋ ＞口 ， ≥４ 所 以 Ⅱ） １ ， ， ｌ
（ 求 数列 （ 的通项公 式 ； Ｉ） ａ）
（ 若对 于 不 小 于 ４的 任 意 自然数 ， Ⅱ） 恒有不 等 式 ａ＋ ＞ ｎ 成 立 ， ｂ的 取 值 范 求
围． 解 （ ｌ 一１ ｌ ＝ ｌ（ ＋ Ｉ）ｇＳ ＋（ ）ｇ６＝ ｇ ｂ ＝
即
（－ｂ［ ） ｂ ３ １ ） （＋１ － ｎ
求 数列 ｛ 的通项公 式 ； ａ） （Ｉ 设 Ｓ 一日 ＋ａ ＋ … 十ｎ ， ： ｌ １） ｝ ； ： ｂ ＝Ｓ ＋
—
Ｓ ， 否存 在 整 数 ， 一 切 ” 是 对 ∈Ｎ， 都有
，。
“ ＜ ６
’ 立？ 若 存 在 ， 出 的 最 小值 ， ’ 成 求
等式 ： １ 。 ＋３ — １ （ 一ｂ ） ６ ｄＯ在 ｎ ４恒 成立 ， ≥
且满 足 ｌＳ ＋ （ １ ｌ ＝ｌ （ ＋， ） ｇ 一 ）ｇ６ ｇ ｂ ｌ 一２
（＞ Ｏ 且 ６ １ ． ６ ， ≠ ）
＞
业
．
由（ 已证 ６ １ 因为 Ｉ） ＞ ，
（ 十 １ （ － ｂ ＋ （ ６ ２ ” ）１ ） ３— ）
＞ ｂ （ －ｂ ＋６ ３ —２ ， ｎ１ ） （６ ）
１ 分 离变量法
ａ ＝ Ｓ 一 Ｓ ｌ 一
：
（ ）。 ） 鲁 一ｂ ＋
—
要使 厂 ＞Ｏ恒成 立 ， 键是求 出 ，（ （） 关 ）
的最值 ， 但常 常 － ） 厂 （ 中含 有 字母 参 数 ， 因此 要求 出 ＿（ 的 最 值 ， 需 要 繁 锁 的分 类 讨 厂 ） 就 论． 若能从 ｌ ＞Ｏ中分离 出字母 参 数 ｎ 变 厂 ） （ ，
一
当 一１时 ， 口 —Ｓ ＝ｂ — １ ， 只 需 ｌ ｌ ２ ＞０ 故
需 ６ １ ＞ ；
当 ≥ ２时 ， 为 ６ ０ 所 以 Ｓ ＝ｂ ＋ 因 ＞ ， ２
些差别 ， 生 容易 出错 ， 至不 知 所 措． 考 甚 这
ｎ ２ ＞Ｏ恒成立 －
．
里通过几个例 子归 纳这类 问题 的几种常 用解 法 和需要注意 的 问题 ．
即 ＞０６ ３ ，＞ ，
了即 需 。要≤ ， ≤． ，只 一 ６ 半 即６１
２ 单 调 性 法
要使 厂 ｎ ＞Ｏ恒 成立 ， 质上 只需 ． ｎ （） 本 厂 ） （ 的最小值 大于 ０ 因此 ， 解数 列不 等式 恒成 ， 求 立 问题 的关 键是求 出 ｌ（ 的最 值 ， 厂 ） 而数 列最 值 往往是借 助数列单 调性来 研究 的．
２ ８
数 学 教 学研 究
第２ ９卷第 ３ 期
２ｌ Ｏ Ｏ年 ３月
法 ２ 分离 得
、
它 的定义域 是 自然 数 而非 实数 ， 只需 二 次 故
ｌ ３ ３ 一 ｂ ６— １
夕Ｔ
‘
函数 对 称轴 位 于 １和 ２中 点 的左 侧 就 足 够
＜ ４ ，
要使 此式 当 ｎ ４时恒 成 立 ， ≥ 只需
第 ２ 卷第 ３ ９ 期
２１ ０ ０年 ３月
数 学教 学 研 究
２ ７
１ ＼
Ｉ
高考压轴题之Leabharlann Baidu列不等式恒成立问题解法例析
余锦银
（ 北 省大 冶市 第 一 中学 湖 ４５０） ３ １ ０
不 等式的恒 成立 问题是考 生较难 理解 和
即
ｓ －６＋ 。
．
掌握的一 个难点 ， 以数 列 为 载体 的不 等式 恒 成立问题 的档次更 高 、 合性更 强 ， 是一类 综 它 非常常见 的考试 题 型 ， 出现在 高 考 压轴 题 常 中， 它与 函数 恒成立 问题 既有类 似之处 ， 又有
例 ２ 已知 ＜
法 ３ 令 ｇ ） （ —６ ＋３ —１ 则 一 （ 一ｎ １ ） ６ ，
次 函数 ｇ 在 ≥４单 调递减． （） 要使 ｇ ） （ ＜０在 ≥ ４时恒 成 立 ， 需 只
ｇ ４ｄＯ 即 ６ ３ （） ， ＞ ．
点评
这 ３种方法均 源于对 数列恒成立
（ 设 ｎ —１ — 一 一－ （ ， ∈Ｎ， Ｉ） １ ， 厂 “）ｎ
ａ ｎ １ ＋
问题本质 的理 解 ， 只是视角 不同 ， ３种方法 这
是将 数列看成 函数 问题 来解 决 ， ２分 离 变 法
量 后需解 不等 式 ， １ 离 变 量 ｂ后 需 求 法 分 最值． 若对 本题 （ ） 再作 如 下变 式 ， 更 易 １式 则
看透恒成立 问题 的方法本 质． 变式 １ 将 （ ） 变 为 关 于 ｂ的 二 次不 １式
ｌ ；
‘
法 １ 分离 ６ ６ 得，＞
， １时 ， 一， ０ ６ ＞ ２ ，恒 成 ｚ ＞ ２ ｚ ，， ≤ Ｉ 一ｌ
） ＝ １ ＋
， 令
，
立．
又由条 件得
Ｓ ｂ 一 ＝ ６ ＋ ｎ ２ ” － ｌ 一 ，
则 ， ， 在 ≥４时 的最小值 为 厂 ４ ＝３故 （） １ （） ，
（ｌ １ （ － ｂ ＋ （ ｂ ２ ， ＋ ）１ ） ３－ ）
６ “ 一１ ‘＋ ’
母 参数 ， 故求 其 最值 时可 避 免繁 锁 的 分类 讨
论 ． ０ ８年湖北 等地 的高 考压 轴题 就 属 于此 ２０
类 型．
’
例 １ 已知数 列 （ 的前 项 和 为 Ｓ ， ｎ｝
＞ （ ６ ２ （－ １ ． ３— ）ｂ ）
因为 １ ＜ Ｏ 所 以 —６ ，
， １ ｂ＜２ ３ ， ｌ － ｎ ＋ — ６ （ — ６ ＋ ３ － １ ０ １ ） ｂ ＜ ． （） １
， ） ｚ 成立 的条件 是 Ｓ ＞Ｏ且 ｂ ＞ ２ ｎ 一２ 件 － ． 因为 ６ ，≠ｌ 所 以 当 一 １ ， ６ ＞０ ６ ， 时 需 ＞
形为 ｇ ７ ＞口恒 成立 ， 由于 ｇ 中不 含字 （） １ 则 （）
一
（ － ｂ 十 （ ｂ ２ １ ） ３ － ）
— — — 一
’
ｒ。 １ ｂ一
（ 一１ ， ｎ ）
于 一 ｂ （２ 是 １ …） 【 ｌ ． …。 ≥
（ 因为 ａ＋ ＞口 ， ≥４ 所 以 Ⅱ） １ ， ， ｌ
（ 求 数列 （ 的通项公 式 ； Ｉ） ａ）
（ 若对 于 不 小 于 ４的 任 意 自然数 ， Ⅱ） 恒有不 等 式 ａ＋ ＞ ｎ 成 立 ， ｂ的 取 值 范 求
围． 解 （ ｌ 一１ ｌ ＝ ｌ（ ＋ Ｉ）ｇＳ ＋（ ）ｇ６＝ ｇ ｂ ＝
即
（－ｂ［ ） ｂ ３ １ ） （＋１ － ｎ
求 数列 ｛ 的通项公 式 ； ａ） （Ｉ 设 Ｓ 一日 ＋ａ ＋ … 十ｎ ， ： ｌ １） ｝ ； ： ｂ ＝Ｓ ＋
—
Ｓ ， 否存 在 整 数 ， 一 切 ” 是 对 ∈Ｎ， 都有
，。
“ ＜ ６
’ 立？ 若 存 在 ， 出 的 最 小值 ， ’ 成 求
等式 ： １ 。 ＋３ — １ （ 一ｂ ） ６ ｄＯ在 ｎ ４恒 成立 ， ≥
且满 足 ｌＳ ＋ （ １ ｌ ＝ｌ （ ＋， ） ｇ 一 ）ｇ６ ｇ ｂ ｌ 一２
（＞ Ｏ 且 ６ １ ． ６ ， ≠ ）
＞
业
．
由（ 已证 ６ １ 因为 Ｉ） ＞ ，
（ 十 １ （ － ｂ ＋ （ ６ ２ ” ）１ ） ３— ）
＞ ｂ （ －ｂ ＋６ ３ —２ ， ｎ１ ） （６ ）
１ 分 离变量法
ａ ＝ Ｓ 一 Ｓ ｌ 一
：
（ ）。 ） 鲁 一ｂ ＋
—
要使 厂 ＞Ｏ恒成 立 ， 键是求 出 ，（ （） 关 ）
的最值 ， 但常 常 － ） 厂 （ 中含 有 字母 参 数 ， 因此 要求 出 ＿（ 的 最 值 ， 需 要 繁 锁 的分 类 讨 厂 ） 就 论． 若能从 ｌ ＞Ｏ中分离 出字母 参 数 ｎ 变 厂 ） （ ，
一
当 一１时 ， 口 —Ｓ ＝ｂ — １ ， 只 需 ｌ ｌ ２ ＞０ 故
需 ６ １ ＞ ；
当 ≥ ２时 ， 为 ６ ０ 所 以 Ｓ ＝ｂ ＋ 因 ＞ ， ２
些差别 ， 生 容易 出错 ， 至不 知 所 措． 考 甚 这
ｎ ２ ＞Ｏ恒成立 －
．
里通过几个例 子归 纳这类 问题 的几种常 用解 法 和需要注意 的 问题 ．
即 ＞０６ ３ ，＞ ，
了即 需 。要≤ ， ≤． ，只 一 ６ 半 即６１
２ 单 调 性 法
要使 厂 ｎ ＞Ｏ恒 成立 ， 质上 只需 ． ｎ （） 本 厂 ） （ 的最小值 大于 ０ 因此 ， 解数 列不 等式 恒成 ， 求 立 问题 的关 键是求 出 ｌ（ 的最 值 ， 厂 ） 而数 列最 值 往往是借 助数列单 调性来 研究 的．