清华大学微积分B(1)第1次习题课答案(确界、极限、子列)
清华大学本科生微积分B(1)期末考试往年试题及解答
的收敛域是 ∑∞ an (x −1)n
．
n=1
答案： [0, 2)
．若 ，则 6
∫
lim
x→+∞
x x
− +
a a
x
=
+∞ xe−xdx
a
a=
.
答案：
．7
lim
n→∞
n
1 +1
+
n
1 +
2
+
⋯
+
n
1 +
n
=
.
函数 ≤ ≤ 的以 为周期的 级数是 8.
f
(x)
=
1, −1,
0 x π, −π<x < 0
+
x)
从而 ∑∞ (−1)n n=0
n+2 n +1
xn
=
1
1 +
x
+
ln(1 + x
2,
x)
,
x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), x = 0.
．证明 ，并计算定积分 ． 13
∫ ∫ π 3 π
cos2 x x(π − 2x)
dx
=
π
3 π
sin2 x x(π − 2x)
dx
∫ I =
π
3 π
3 π
6
． = ln 2 π
14. 已知曲线段 ：L y = ln x (1≤ x ≤ 3 ) ，有界区域 D 由 L 与 x 轴及直线 x = 3 围成．
（Ⅰ）求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；
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清华大学微积分A习题课_1 极限
x A, y B 均有 x a, y b
因此 x y a b ，即 a b 是集合 A B 的一个下界. 另一方面， 0, x A, y B ，使得 x a
, y b ， 2 2
因此 x y a b , 即 inf( A B) a b inf A inf B .
1 1 ( ) n 1 2 (ln x2 ln x1 ) ln x1 1 1 ( ) 2
两端令 n 得到，
2 1 2 . lim ln xn (ln x2 ln x1 ) ln x1 ln x1 x2 n 3 3
所以 lim xn lim e
1
故 lim ( n 1 n ) 0 ．
n
3．证明：若单调数列具有收敛的子列，则此单调数列收敛． 证明： 不妨设 an 为一单调增加数列， ank 为 an 的一个子列， 且 lim ank A sup{ank } ．
k
0 ，因为 lim ank A ，所以 N0 0 ，当 k N 0 时，有 ank A ．
n
注意到 xn 2 xn 1 xn ，因此， xn 2 xn 1 xn 1 xn
2 2
3 2 两端令 n 得到 a x2 x1 ，即 lim xn
x2 2 x1 .
3
n
x2 2 x1 .
(法二)由 xn 2
xn 1 xn ，知 xn 0 ，两边取对数，
x2 n 2 x2 n x2 n 1 x2 n 1 ， x2 n 3 x2 n 1 x2 n 2 x2 n 2 ，
清华微积分答案
清华微积分答案a=? f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，且大小a.e=||a||，称a是f的梯度场向量值函数的切平面、微分、偏导f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处可微，即f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||)，其中a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian (f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度，aij := ?fi/?xj)f的全微分df=adx当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f)div(f) = ?.f=?f1/?x1 +…+?fm/?xm复合函数求导一阶偏导：若g=g(x)在x0可微，f=f(u) (u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处可微，j(f○g) = j(f(u)) j(g(x))具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即ui=g(x1,…,xn)?f/?xj= ?f/?u * ?u/?xj= sum[?f/?ui * ?ui/?xj]{for each ui in u}高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数例：f(u):=f(u1,u2), u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))?2f/(?x1)2 = 数学分析教程p151隐函数、隐向量值函数由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数隐函数：1. 存在定理：若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续，且?(f)/?(y)(x0,y0)0，则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0)，使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0，即函数f 在b内确定了一个隐函数y=f(x)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续注：如果?(f)/?(y)=0，那么在x=x0超平面上，y在x0处取得了极值，那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数,??)处，2.偏导公式：在b内的(??????????/??????=???或者说????????/????=?????不正式的证明：f(x,y)≡0, 所以?f/?xi=0,即sum[?f/?xj* ?xj/?xi]=0 (把y记做xn+1)由于x的各分量都是自变量，?xj/?xi=0 (ij)所以?f/?xi + ?f/?y * ?y/?xi=0于是立即可得上述公式隐向量值函数：1.存在定理：若x∈rn,y∈rm，m维n+m元向量值函数f(x,y)=0，在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数，f(p0)=0，且?f/?y可逆，则存在p0的邻域b(x0)*b(y0)，使得对于在b(x0)内的任意x，存在唯一y∈b(y0)满足f(x,y)=0，即f在b内确定了一个连续可微隐函数y=f(x)2.偏导公式：j(f) :=?(y1,…,ym)/?(x1,…,xn) :=?y/?x= -[?f/?y]-1*?f/?x注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.如果只求j(f)中的一列，?(y)/?(xi)=-[?(f)/?(y)]-1* [?(f)/?(xi)]3.如果只求j(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题4.计算?f/?x时，忽略y是x的函数，将y当作自变量计算（从证明中可以看出原因，因为?y/?x的成分被移到了等式左侧j(f)里面)，而不用偏导公式，采取对f(x,y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，y要看做xi的函数）3.隐向量值函数的反函数：函数y=f(x)将rn映射至rm，如果j(f)= ?f/?x可逆，那么存在f的反函数x=f-1(y)，且j(f-1)=[j(f)]-1注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.|j(f-1)|=|j(f)|-1用参数形式给出的隐函数若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求曲面和曲线的切平面、法线、法向量三维空间下，函数f(x,y,z)=0确定了一个曲面。
微积分第1章习题解答(上)
第1章 习题参考解答习题1-11．确定下列函数的定义域： （1）912-=x y ；解：要使函数有意义，则：092>-x 即 3>x 或3-<x 所以定义域：),3()3,(+∞⋃--∞. （2）x y a arcsin log =；解：要使函数有意义，则0arcsin >x ，即10≤<x .所以函数定义域：(0,1].（3）2111x x y --+=； 解：要使函数有意义 则：21010x x -≥+≠且 即111-≠≤≤-x x 且. 所以定义域：(-1,1]. （4）)32(log 213-+-=x x y a ； 解：要使函数有意义 则：03202>-≠-x x 且即232>≠x x 且所以定义域：),2()2,23(+∞⋃.（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-=； 解：要使函数有意义，则：0412112>-≤-≤-x x 且， 即2231<<-≤≤-x x 且 所以定义域：)2,1[-（6）xy πsin 1=. 解：要使函数有意义，则：0sin ≠x π即Z k k x ∈≠,.(其中是Z 整数集) 所以定义域：_Z 或}{Z k k x x ∈≠,.2.求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1sin x x x y 的定义域和值域，并求2()f π和)0(f .解:定义域:),(+∞-∞. 当0≠x 时，01≠x ，故11sin 1≤≤-x. 所以值域:[-1,1]. 12sin )2(==ππf ,0)0(=f . 3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同,为什么?(1) 2)(,)(x x g x x f ==; 解: 不同因为||)(2x x x g ==,即)(x g 的值域是全体非负实数,而)(x f 的值域是全体实数. (2) 2sin 21)(,cos )(2x x g x x f -==; 解: 相同因为)(x f 和)(x g 的定义域均为实数R , 值域为[-1,1], 且)(cos 2sin 21)(2x f x xx g ==-= (3)1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ; 解: 不同因为)1(111)(2≠-=+-=x x x x x f .两函数的定义域不同.(4)0)(,)(x x g xxx f ==.解: 相同因为0()1(0),()1(0)xf x xg x x x x ==≠==≠定义域均为非零实数，在定义域内函数值恒等于1.4.设x x f sin )(=, 证明:)2cos(2sin 2)()(xx x x f x x f ∆+∆=-∆+.证明: 由三角函数的和差化积公式知:()()sin()sin f x x f x x x x +∆-=+∆-2sincos()22x x x ∆∆=+ 5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定a , b 的值.解: 因为 5)(2++=bx ax x f 故2(1)(1)(1)5f x a x b x +=++++2(2)(5)ax a b x a b =+++++由题设3852)()1(+=++=-+x a ax x f x f所以有:82=a 且3=+b a 得:4,1a b ==-.6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数? (1) )1(22x x y -=;解: 定义域:),(+∞-∞)()1(])(1[)()(2222x f x x x x x f =-=---=-所以函数)1(22x x y -=是偶函数. (2)323x x y -=; 解: 定义域:),(+∞-∞32323)()(3)(x x x x x f +=---=-)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-.所以函数323x x y -=是非奇非偶函数.(3)2211xx y +-=; 解: 定义域:),(+∞-∞)(11)(1)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-所以函数2211x x y +-=是偶函数.(4))1)(1(+-=x x x y 解: 定义域:),(+∞-∞x x x x x x f -=+-=3)1)(1()()()()()(33x f x x x x x f -=+-=---=-. 所以函数)1)(1(+-=x x x y 是奇函数. (5)1cos sin +-=x x y ; 解: 定义域:),(+∞-∞()sin()cos()1f x x x -=---+sin cos 1x x =--+则)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-所以函数1cos sin +-=x x y 是非奇非偶函数.(6)2xx a a y -+=.解: 定义域:),(+∞-∞)(2)(x f a a x f xx =+=--所以函数2xx a a y -+=是偶函数.7.设)(x f 为定义在),(+∞-∞上的任意函数,证明：(1))()()(1x f x f x F -+=为偶函数;(2) )()()(2x f x f x F --=为奇函数. 证明：由题设)(x f 为定义在),(+∞-∞的函数, 则)(),(21x F x F 的定义域也为),(+∞-∞ (1) 1()()()F x f x f x =+-11()()()()F x f x f x F x ⇒-=-+= 故)(1x F 是偶函数. (2) 2()()()F x f x f x =--22()()()()F x f x f x F x ⇒-=--=- 故)(2x F 为奇函数.8. 证明: 定义在),(+∞-∞上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和. 证明: 设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的任意函数，由7题知)()()(1x f x f x F -+=为偶函数, )()()(2x f x f x F --=为奇函数.且)(21)(21)(21x F x F x f +=. 故命题成立.9.设)(x f 为定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增, 证明: )(x f 在)0,(L -上也单增.证明：由题设知对于(,)x L L ∀∈-，有：)()(x f x f -=-不妨设12,x x ∀满足021<<<-x x L , 则012>-<->x x L)(x f 在),0(L 上单增, 则)()(21x f x f ->-)(x f 奇函数)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-∴ 即 )()(21x f x f ->-)()(21x f x f <所以)(x f 在)0,(L -上也单增.10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期: (1) )2cos(-=x y解:cos(22)cos(2)x x π-+=- , 函数是周期函数且周期π2=T . (2) x y 4cos =;解: x x x 4cos )24cos()2(4cos =+=+ππ函数x y 4cos =是周期函数且周期2π=T .(3) x y πsin 1+=; 解:1sin 1sin(2)1sin (2)x x x ππππ+=++=++函数x y πsin 1+=是周期函数且周期2=T . (4) x x y cos =; 解: 非周期函数 (5) x y 2sin =; 解: 21sin (1cos 2)2x x =- 11[1cos(22)][1cos 2()]22x x ππ=-+=-+ 函数x y 2sin =是周期函数且周期π=T . (6) x x y tan 3sin +=解: )32(3sin )23sin(3sin ππ+=+=x x x ,)tan(tan π+=x x故原函数的周期为两函数sin 3,tan x x 周期π32和π的最小公倍数，即π2=T . 11.下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域.(1) 3x y =,t x sin =; 解: 构成复合函数t y 3sin = 定义域: ),(+∞-∞. (2) u a y =,2x u =; 解: 构成复合函数2x a y =定义域: ),(+∞-∞. (3) u y a log =,232+=x u ; 解: 构成复合函数)22(log 2+=x y a 定义域: ),(+∞-∞. (4) u y =,2sin -=x u ;解: 不构成复合函数u y =要求0≥u 但是2sin -=x u 的值域:]1,3[--. (5) u y =,3x u =; 解: 构成复合函数3x y = 定义域: ),0[+∞.(6) u y a log =, 22-=x u . 解: 构成复合函数)2(log 2-=x y a 定义域: (,)-∞+∞ .12.下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) 321)1(++=x y ;解: 321)1(++=x y 是由3u y =，21u v =+，1u x =+复合而成的(2) 2)1(ln 3+=x y ;解: 2)1(ln 3+=x y 是由u y 3=, 2v u =,1ln +=x v 复合而成的(3) )13(sin 3+=x y ;解: )13(sin 3+=x y 是由3u y =, v u sin =,13+=x v .复合而成的(4) 32cos log x y a =.解: 32cos log x y a =是由3u y =,v u a log =, 2w v =, x w cos =复合而成的 13.求下列函数的反函数:(1) x y sin 2=;]2,2[ππ-∈x解: 原函数的定义域:[,]22ππ-, 值域:]2,2[-.反解: 2arcsin y x =，得反函数:2arcsin xy =.反函数的定义域：]2,2[-，值域: [,]22ππ-(2) )2(log 1++=x y a ; 解: 原函数的定义域:),2(+∞- 值域:),(+∞-∞. 反解: 21-=-y a x . 得反函数: 21-=-x a y反函数的定义域:),(+∞-∞值域:),2(+∞-(3) 122+=x xy .解: 221111212121x x x x x y +-===-+++由于112>+x , 则11210<+<x . 原函数的定义域: ),(+∞-∞, 值域:.)1,0( 反解: yy x -=12, y y x -=1log 2.得反函数: xx y -=1log 2反函数的定义域：（0, 1）, 值域：),(+∞-∞. 14.某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元; 当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元;当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元;当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设x 是销售量, y 是总价, 试建立总价y 和销售量x 之间的函数关系式,并作出它的图形.解: 由题知: 当200≤≤x 时, x y 5.2=; 当5020≤<x 时,43.2)20(3.2205.2+=-+⨯=x x y ;当10050≤<x 时,2.520 2.3(5020)2(50)y x =⨯+⨯-+- 219x =+ 当100>x 时,398.1)100(8.1219+=-+=x x y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤<+≤<+≤≤=100398.110050192502043.22005.2x x x x x x x xy 图形(略)15.设某商品的市场供应函数p p S Q 480)(+-==, 其中Q 为供应量, p为市场价格. 商品的单位生产成本是1.5元, 试建立总利润L 与市场价格p 的函数关系式.解: 供应函数p p S Q 480)(+-== 总利润( 1.5)L p Q =-( 1.5)(804)p p =--+2486120p p =-+ 16.用p 代表单价, 某商品的需求函数为p p D Q 500007)(-==, 当Q 超过1 000时成本函数为Q C 2500020+=, 试确定能达到损益平衡的价格 (提示: 当总收入=总成本时,便达到损益平衡). 解: 当1000>Q 时1000500007)(>-==p p D Q则价格120<p .达到损益平衡, 则C pQ = 即：(700050)2000025p p Q -=+2000025(700050)p =+-039001652=+-p p 得282.107165±=p 又因为价格120<p , 故59.28=p答: 当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17.在半径为r 的球内嵌入一个内接圆柱, 试将圆柱的体积V 表示为圆柱的高h 的函数, 并求此函数的定义域.解: 设圆柱的半径为R, 则满足4)2(22222h r h r R -=-=圆柱的体积:3222241)4(h h r h h r h R V ππππ-=-==.定义域: )2,0(r18.已知华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 在101325帕(一个标准大气压)下, 水的冰点温度不32F 或0℃, 水的沸点温度为212F 或100℃.（1）写出华氏温度F 与摄氏温度℃的函数关系;（2）画出该函数的图形;（3）摄氏20℃相当于华氏几度? 解：（1）由华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系,设当摄氏温度为x ℃时, 华氏温度为y F 则有关系式 b ax y += 其中a , b 为常数由题知：⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+⋅=328.1100212032b a b a b a 函数关系：328.1+=x y(其中x 的度量单位是℃，y 的度量单位是F)（2）函数图形(略)（3）摄氏20℃时 y =1.8⨯20℃+32=68(F)习题1-2 1．（1）0；（2）1；（3）-1；（4）发散 2．根据极限定义证明（1）1)11(lim =+∞→n n证明：0>∀ε，要使1111n nε+-=< 即ε1>n ，只须取1[]10N ε=+> 则当N n >时，有111n ε+-<因此 1)11(lim =+∞→nn 。
微积分B(2)第1次习题课参考答案(极限、连续、可微)_168607827
=
lim cos 2θ
ρ →0
=
0,
θ = π, 4
−1,
θ = π, 2
所以极限 不存在． lim (x, y)→(0,0)
x2 x2
− +
y2 y2
方法 3：因为 ， ，所以极限 不存在． x2
lim
x→0
lim
y→0
x2
− +
y2 y2
=1
lim lim
y→0 x→0
x2 x2
− +
y2 y2
(0, 0) ∂y
=
lim
y→0
f
(0, y) − y
f
(0, 0)
=
lim
y→0
f
(0, y
y)
= lim y→0
f
(0, y) y2
⋅
y
=
A×0
=
0
因为 ，所以 lim x→0 y→0
f
(x, y) − f (0, 0) x2 + y2
=
lim
x→0 y→0
f (x, y) x2 + y2
⋅
x2 + y2 = A× 0 = 0
1
ye xy + exy
=
∂ ∂y
y
−
y 1 + exy
=1−
1 + exy (1 +
− xyexy exy )2
所以 ， ． ∂z ∂x
(0,0)
=0
∂2z ∂y∂x
=1− 1 = 1 22
(0,0)
（ ）已知 ，求 ． 3
z = ln(2 + x2 + y4 )
清华大学微积分B1课程讲义及习题答案
(2) Z+. (思路: 当" ! 1, G¯" = {a1, a2, . . . , an, . . . }, 即当"足够大时, A的"邻域可包
含{a1, a2, . . . , an, . . . }, 此时G" = Z+. 注意等号的位置.)
证明: 令M=max{|a1 A|, |a2 A|, . . . , |an A|, . . . }, 8"M > M, G¯"M = {x|x 2
<
pp 2, 故 2是S的上界. p
8c < 2, 9x 2 (c, 2), x > c(满足定理1.2.3的第二个条件), 故supS= 2.
4. 若A,B为R中的非空有界集,则A[B与A\B也是有界集,并且 inf(A[B)=min{infA,infB}, sup(A[B)=max{supA,supB},
1.3.3 习题1.3解答
8
8
1.
设f (x)
=
<x + :0,
1,
1.2.2 定理1.2.3的证明
定理1.2.3 设E为非空集合, a, b为实数. 则有
(1) b=supE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 b是E的一个上界; 2 对于任意满足c < b的实数c, 9x 2 E, 使得x > c.
(2) b=infE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 a是E的一个下界; 2 对于任意满足c > a的实数c, 9x 2 E, 使得x < c.
微信: 18811708556 • 基础习题课的教学目标:
– 使同学掌握课程基本内容 – 使同学掌握常见问题的一般解法 – 使同学学会正确地书写解答过程 • 其他要求和说明:
微积分第一章课外习题参考答案
p14. 三.1.证明 : 令f ( x) x3 3x 1, 则f ( x)在[1,2]上连续,且
f (1) 3 0, f (2) 1 0, 由闭区间上连续函数的零点定理,
存在 (1,2),使得f ( ) 0,即 3 3 1.
1,
n2
lim
n
n2
1,
n2
1
n
)
1
lim
n
n(
n2
n2
1
2
n2
1
n
)
1.
p8. 2.证明 : (1) x1 2 0, x2 2 x1 x1 0,设xn xn1 0,则
xn1 2 xn 2 xn1 xn 0, 根据数学归纳法原理,{ xn }为单调增加序列, (2) x1 2 2,设xn 2,则
xn1 2 xn 2 2 2, 根据数学归纳法原理,xn 2, n 1,2, ,
(接上页p8.)
{ xn }为单调增加有界序列.
lim
n
xn存在
.
设
lim
n
xn
A,由xn
2 xn1 ,得
lim
n
xn
lim
n
2 xn1 ,
A 2 A, A 2, A 1(舍去),
lim
n
lim n k 1, lim n kAn 1
n
n
lim
n
xn
A
max(a1,a2 ,
ak ).
例如: lim n 1n 2n 8n 8. n
p15. 三.由导数定义知 :
1.
e xh lim
ex.
0910高等数学B(一)试题解答PPT课件
（2）求过拐点的法线方程；若法线过原点，试确定k的取值．
解： y 2k(x2 3) 2x 4kx3 12kx,
y 12kx2 12k 12k(x 1)(x 1),
令 y 0 ,得 x1 1, x2 1(舍去）. y在x1 1的两侧变号，
(1, 4k)为曲线的拐点. 切线斜率y |x1 所以过点(1, 4k)的法线方程为Y 4k
当a x a 时，f (x) 0,
x a是f ( x)的极大值点.
4.
设f ( x)在x a处有二阶导数，且lim f ( x) 1，则 （ A）
xa x a
A. x a是f ( x)的极大值点；B. x a是f (x)的极小值点；；
C. (a, f (a))是y f ( x)的拐点； D. x a是y f ( x)的拐点。
f (x) f (0) f
(0) x
f (0) x2
f
(n) (0) xn
2!
n!
o( xn )
一、 填空题（每小题3分，共15分） 4. 已知f ( x) x3 cos7 x x2，
则 1 f ( x)dx ______ . 1
知识点：对称区间上奇偶函数的积分性质
解 原式 1 x2dx 2 1 x2dx 2
x
x
y
e
1 dx x
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
eln x sin x eln x dx C
x
1 x
sin x
x
x dx C
1 cos x C .
x
把y( ) 1代入通解，得 C 1.
故特解为
y 1 ( cos x 1).
清华大学微积分-PART1
1
微积分
讲课教师 陆小援
Tel: 62782327
E-mail: xylu@
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2
参考书目：
1. 《微积分教程》 韩云瑞等
清华大学出版社
2. 《一元微积分》 萧树铁 主编
高教出版社
3. 《微积分学习指导》韩云瑞等
清华大学出版社
f 1 的 值 域 是f 的 定 义 域D.
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30
[例2] 设 y f ( x) sin x 则 f :[ , ] [1, 1] 严格单调
22 有反函数
x f 1( y) arcsin y y [1, 1]
[例3] y e x (, ) (0, )
在函数定义中，要求函数是单值的，即
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 但 是, x1 x2 , 不 一定 有 f ( x1 ) f ( x2 )
如果 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
则 在 定 义 域D与 值 域 f (D) 之 间 就 有 如下 关 系
有 理 数c". 2019/8/14
13
二、函数概念
存在
唯一
定义： 设 D R为 非 空 数 集.
如 果 x D , 按 确 定 的 规 则f , !实 数
y 与 之 对 应, 记 作 y f ( x).则 称 f 为 定 义
在D上 的 一 个 函 数.
或记 f : D R
x —自变量, y —因变量, D —定义域.
可以确定一个函数y f (g( x)),则称
这个函数为由f 与g 构成的复合函数.
微积分B(1)第1次习题课(确界、数列极限的概念、函数、归纳法等)题目
f
(x)
=
2
1 −
x
(x
≠
2,
x ≠ 3)
f ( f (x)) f ( f ( f (x)))
（ ）设 ， ≥ 求 ， ． 2
f (x) = x + x
g
(x)
=
x,
x2
,
x < 0, x 0,
f (g(x)) g( f (x))
3．（1）已知函数 f (x) 定义域为 R ．如果对于任意 x 都有 f (a + x) = f (b − x) ，那么 f (x) 的
（思考：一个函数不是周期函数如何叙述？） 5．已知函数 f (x) 满足：对任意的实数 x, y ，有 f (x + y) = f (x) + f (y) ．当 x > 0 时，有 f (x) < 0 ， 并且 ． f (−1) = 2 （1）求证 f (x) 为奇函数 ； （2） f (x) 在区间[−3,3]上是否存在最值？如果存在，求出最值，如果不存在，请说明理由；
{Fn }
F1 = F2 = 1 Fn+2 = Fn+1 + Fn
． Fn =
1 [(1 + 5 )n − (1 − 5 )n ]
52
2
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为两组实数，求证：
≤ ， (a1b1 + a2b2 + ⋯ + anbn )2 (a12 + a22 + ⋯ + an2 )(b12 + b22 + ⋯ + bn2 ) 并考虑取得等号的条件．
．证明：设 ，则 ≥ ． 2
a1, a2 ,⋯, an > 0
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。
微积分第一章课外习题参考答案
9
p4.3.证明 : { xn }有界, M 0, 使得 | xn | M , n 1,2,
n
.
0, lim yn 0, N ,当n N 时, | yn |
M | xn yn || xn || yn | , lim xn yn 0.
微积分课外习题参考答案
微积分第一章课外习题参考答案
1
第一章 极限与连续
微积分第一章课外习题参考答案
2
预备知识(1-2)
p1. 一.1. { x | x 3且x 0} . 2. [1,1],[2k ,(2k 1) ], k Z . 1 x 3. 1 1 e x 1 1 x1 , x2 , 1 x1 1 e x 1 x 1 . x 1
x0 1 三. f [ g ( x )] 0 x0 1 x 0 e | x | 1 g[ f ( x )] 1 | x | 1 注意作图形. 1 | x | 1 e
微积分第一章课外习题参考答案 5
p2. 四 . 证明: f ( x ) f (2a x ) f (2b 2a x ) f [2(b a ) x ] 周期 T 2 | b a | . 五 . 证明 f ( x ) log a ( x x 1)
8
p4.
2.
解 :由题意,
n 2
1 1 1 ( 1) P1 Pn 1 2 3 2 2 2 2n 2 1 n 1 1 n 1 1 ( ) 2 2( ) 2 2 1 3 1 2 1 n 1 2 2( ) 2 2 lim P1 Pn lim n n 3 3
大学数学2015-2016(1) 微积分B(1) 练习题参考答案
而 f (0) a, 故要使 lim f ( x) lim f ( x) f (0) ，须且只须 a 1 .
x 0 x 0
所以当且仅当 a 1 时，函数 f ( x) 在 x 0 处连续． （2）因为 lim f ( x) lim
5 t
1 t lim 1 t t
5
e 5 . e
1 2x
（13）因为 (1 2 x)
(1 2 x) lim e
x 0
x 1 6 2 x sin x
e
1
x 1 6 ln(1 2 x ) 2 x sin x
3 2
所以方程 x 4 x 1 0 在 (0,1) 内至少有一个根.
3 2
（2）设 f ( x ) e 3 x ，则 f ( x ) 在 [0,1] 上连续，
x
且 f ( 0) 1 0, f (1) e 3 0 ，故由零点定理知方程在 (0,1) 内至少有一个根.
x 0
所以， lim f ( x) 0 ，且 f (0) 0 ，因此，函数在 x 0 处连续．
x 0
f ( x) f (0) f ( x) f (0) 1 ， f ' (0) lim 1 ， x 0 x 0 x0 x0 所以函数在 x 0 处可导． f ' (0) lim
18、 y
1 2 1 x ，所以 y ( 4 ) x 2 2 2
1
1
x4
1 ， 4
所以切线方程为 y 2
1 ( x 4) ，法线方程为 y 2 4( x 4) ． 4
清华大学微积分第1次习题课答案
（5） lim
x y
x y . x xy y 2
2
解： （1） （2）
( x , y ) (1,0)
lim ( x y )
x y 1 x y 1
( x , y ) (1,0)
lim (1 ( x y 1))
1 ( x y 1) x y 1
2
因此 lim
x y =0. x x xy y 2 y
2
y 0 x 0 x 0 y 0 x 0 y 0
4.讨论下列函数的累次极限 lim lim f x, y , lim lim f x, y 与二重极限 lim f x, y
1 1 x sin y sin , x y 0 y x （1） f x, y = 0, x y 0 x2 y 2 （3） f ( x, y ) 2 2 . x y ( x y)2
即 U ( a, 0 ) f
1
(G ) ，即 f 1 (G ) 是 R n 中的开集，证毕。
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作者：闫浩, 章纪民
2014 年 3 月
二、多元函数的极限与连续 3. 下列极限是否存在？若存在，求出极限值；若不存在，说明理由。
（1）
( x , y ) (1, 0 )
lim ( x y )
n m m
f 1 (G ) {x R n | f ( x) G} 是 R n 中的开集。
证明: 由于 f : R R 是一个连续映射，由定义，有 a R ， 0, 0 ，当
n m
n
d n ( x, a ) 时，有 d m ( f ( x), f (a )) 。
清华大学微积分考试真题3
bn m bn an1q
n 1
an 2 q
n 2
an m q
nm
M q
n 1
1 qm 1 q
M n 1 q ． 1 q
由此易证数列 bn 是一 Cauchy 列，所以收敛． 6． 若数列 {a n } 满足 a n 1 a n q a n a n 1 ( n 1,2, ) ， 其中 0 q 1 ， 试证数列 {a n } 收敛． 证明： 0 ，因为
k →∞ k →∞
存在。 9. 证 明 ： 有 界 数 列 {an } 若 不 收 敛 ， 则 必 存 在 两 个 子 列 ank
{ } 、 {a } ， 使 得
mk
lim ank = a, lim amk = b 且 a ≠ b 。
k →∞ k →∞
10.（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛。 （2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛
n →∞
a1 + a2 + L + an = A ，证明： lim an = A 。 n →∞ n
二、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano 定理，区间套，有限覆盖） 4． 设 an = 收敛． 5．设 bn = a 0 + a1 q + a 2 q 2 + L + a n q n ，其中 q < 1 且数列 {a k } 有界，试证数列 {bn } 收敛． 6． 若数列 {a n } 满足 a n +1 − a n ≤ q a n − a n −1 ( n = 1, 2, L) ， 其中 0 < q < 1 ， 试证数列{a n } 收敛． 7.下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例。 （1）对于任意的 p ∈ ¥* ，均有 lim( an + p − an ) = 0 。
微积分习题一答案详解
x
2
x0 x0
1 x g( x ) D. f ( x ) x x 与 (1 x )
3
2
g( x )
3
x
4
x x0 B中 f ( x ) 与 g( x ) 不相同,所以选B. x x 0
f ( x) x 2 (3) 设函数
g( x ) 3 x ,则 f [ g( x )] ( ) ,
B. D.
A. C.
3 3x x
x
x
2
x
3
2x
2x
f [ g( x )] ( 3 x )2 得答案为D. 代入 g( x ) 3 得
(4) 函数
A.
y
x 2 1( x 0) 的反函数是( )
B. D.
2
y y
x2 1 x2 1
y x2 1 y x2 1
(1)
x2 9
0 ( x 2) 2 4
(2)
| x 4 | 7(3)(4)| ax x0 |
解:
(1)
x 9 3 x 3
2
(2)
| x 4 | 7 7 x 4 7 3 x 11
(3)
( x 2) 2 4 2 x 2 2 2 x2 ( x 2) 0
(4)
ye
e x 2
是由
ye
u
,
u ev
,
, v x2
三个简单函数复合而成的;
u
v 为中间变量.
13.一块正方形纸板的边长为 a ，将其四角各截去一个大
小相同的边长为 x 的小正方形，再将四边折起做成一个 无盖方盒，试将此无盖方盒的容积 V 表示为所截小正方形 边长的函数。 解:
清华大学微积分B2课程基础习题课讲义及习题答案
8p
)
@z @x
=
>>>>>><不2p|存yx| ,在,
>>>>>>:0,
p |y| p 2x
,
x > 0, x = 0且y 6= 0 x = 0, y = 0 x < 0.
y 6= 0 ，
y=0
3. 求下列偏导数：
(1)z
=
x+y xy
，求
@z @x
,
@z @y
；
(2)f (x,
y)
=
arctan
x2+y2 sin(x2+y2)
<
1 cos(x2+y2)
，即cos(x2
+ y2)
<
sin(x2+y2) x2+y2
<
1
* lim cos(x2 + y2) = 1 x!0 y!0
) lim f (x, y) = 1. x!0 y!0
(4)方法1：lim f (x, y) x!0
=
lim
x!0
1
cos(xy) x2+y2
y)
=
p x
ln(x
+
y)；
(2)f (x, y) = ln(y
x2)；
x
(3)f (x, y)
=
ey ；
xy
(4)f
(x,
y)
=
arcsin
x y
.
解：(1)由x 0, x + y > 0得该函数的定义域为{(x, y) | x
0且x + y > 0}.
《微积分[一]》同步练习册[各节练习参考答案解析]
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. .专业知识分享. .各章同步练习参考答案第二章 极限与连续§2.1 答 案1.（1）πn sin ，0； （2）()nn 211--，0.2.（1）1； （2）i ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=+1,1,11q n q q q q x n n ，ii ）当()1,1-∈q 时qq x n n -=∞→1lim ，当1,1-≠>q q 时∞=∞→n n x lim ，当1-=q 时n n x ∞→lim 不存在；（3）25； （4）2ln ； （5）41-；（6）5； （7）1； （8）23．3. 1lim =∞→n n x ．4. 21lim =∞→n n x . 5. {}k a a ,,max 1 .§2.2 答 案1. 极限状态分别为0，∞+，不存在．2.2π，2π-，不存在．3. （1）21； （2）57-； （3）32-； （4）15854； （5）23；（6）21-； （7）9． 4. ()0lim 0=→x f x ．5．极限不存在． 6. 23=a ． 7．()x x x f 22-=()f x ．§2.3 答 案. .专业知识分享. .1． 略. 2． 3． 3． 6. 4． 略．§2.4 答 案1．0．2．1）32； 2）1． 3．（1）43； （2）1-； （3）0．4．1=a ，1-=b .§2.5 答 案1．（1）2-e ； （2）21-e ； （3）e ； （4）2e .2．2=a ，2ln =b ．3．()⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=1,10,00,1x x x x f ，间断点0=x ．§2.6 答 案1~5．略．第三章 导数与微分§3.1 答 案1.（1）2+-=x y ； （2）0=y ．2.（1）当 1≠x 时，2)1(1+-='x y ；（2）x y 3cos 3='．3. 当c a 2=且2c b -=时，)(x f 在c 可导．. .专业知识分享. .4.（1）)(30x f '； （2）)(0x f '-； （3）)(20x f '．5.（1）函数)(x f 在0=x 处连续且可导，并且0)0(='f ； （2） 函数)(x f 在0=x 处可导，并且0)0(='f ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=≠-='0,00,1cos 1sin 2)(x x xx x x f 在0=x 处不连续，在其他点处连续．§3.2 答 案1.（1）221--+='x xy ； （2）1))((-++='b a ex b a e y ；（3）233225x x y π--='； （4）)(212321--+-='x x y ；（5）x x x x x x y ln cos sin ln sin ⋅++⋅='； （6）12211)()(-+--+++='b a b a x b a ab x xab y ；（7）x x x x x x y cot csc tan sec sec -+='；（8）2)cos (sin sec 3x x x y +='； （9）22)1(4--='x xy ． 2．（1）2)(4x x e e y -+='； （2）)11cot (2x x arc e y x+-='； （3）)sin cos (cos x x x x x e y x --='-．§3.3 答 案1．（1）4234)1(34x x x x y -+-='； （2）2ln )(ln 1ln 22ln x x y xx -⋅='； （3）))2(cos 26sin()4sin(22x x y -='； （4）x x x e e e y 3332)cot()(csc 6-='； （5）()()x x x y ln ln ln 2='；（6）22a x y +='.. .专业知识分享. .2．（1） 34414341)1()6)(32(31)1)()6)(32(41)6(2(+-+-+-++--x x x x x x x ； （2）))ln(sin sin cos (cot )(sin cos x x x x x y x -⋅='； （3）xx x y x 2)2(ln +='．3．（1）)](2)()[(22222x f x x f x xf dxdy'+=； （2）04==πx dxdy.4．（1）21； （2）yx yx dx dy -+=． 5．略．§3.4 答 案1．（1）dx xxdy 212--=； （2）dx x xe dy x )1(22+=； （3）dx x x e dy x )2sin (sin 2+=； （4）dx e e dy xx 21+=． 2．（1）dx y a xb dy 22=； （2）dx y y y dy 112122---=．3．008.21.83≈．4．)22)(12()12(π--+-=a x y ．5．t ba dy dx t ab dx dy tan ,cot -=-=．§3.5 答 案1．（1）2222)1(62,12--=''-='x x y x x y ； （2）12124,2--=''='x x e y e y ；（3）32222)1(26,)1(2x x y x x y +-=''+-='； （4）3))cos(1()sin(,)cos(1)cos(y x y x y y x y x y +-+-=''+-+='．2．（1）π21)1,0(-='-y ； （2）2)1,0(41-π=''-y ．. .专业知识分享. .3．)2)1(2sin(21)(π-+=-n x y n n ．§3.6 答 案1．,2105,6162x MR x x MC -=+-=21499x x MC MR ML -+=-=．2．2,48400150-====x x ML ML ． 3．（1）a E =； （2）)9(2-=x xE ．4．195)105(≈D 万（单位）．第四章 中值定理与导数的应用§4.1 答 案1~4．略．§4.2 答 案1~2．略． 3.21． 4. 1.02020134e 0.02≈．§4.3 答 案1．（1）16； （2）12； （3）12； （4）2π； （5）1； （6）e ； （7）2ln 2； （8）2e ； （9）2e ； （10）13-； （11）16．§4.4 答 案1．（1）单增区间为(,1)(3,)-∞+∞ ，单减区间为(1,3)；. .专业知识分享. .（2）单增区间为1(,)2+∞，单减区间为1(0,)2． 2． 略．3．（1）拐点为2x =，上凸区间为(,2)-∞，下凸区间为(2,)+∞； （2）拐点为2x =，上凸区间为(,1)(1,2)-∞-- ，下凸区间为(2,)+∞． 4． 略.§4.5 答 案1．（1）2)1(=f 为极小值，2)1(-=-f 为极大值； （2）0)5(=f 为极小值，108)3(=f 为极大值．2．61,32-=-=b a ；1x 是极小值点，2x 是极大值点． 3．（1）ee y 2)(2-=-为最小值，最大值不存在；（2）4)0(-=f 为最小值，2)3(=f 为最大值．4．36216)6(24222+-=-+=x x y x d ，)4,4(),(±=y x 时52min =d ．§4.6 答 案1．（1）垂直渐近线为1-=x ；斜渐近线为1-=x y ； （2）垂直渐近线为1-=x 与1=x ；水平渐近线为0=y ； （3）水平渐近线为0=y ．2．解：单调递增区间为)1,1(-，单调递减区间为)1,(--∞与),1(+∞；上凸区间为),2(+∞，下凸区间为)1,(--∞与)2,1(-．垂直渐近线为1-=x ，水平渐近线为0=y 。
高等数学B1答案(含综合练习)
高等数学（B ）（1）作业答案高等数学（B ）（1）作业1初等数学知识一、名词解释：邻域——设δ和a 是两个实数，且0>δ，满足不等式δ<-a x 的实数x 的全体，称为点a 的δ邻域。
绝对值——数轴上表示数a 的点到原点之间的距离称为数a 的绝对值。
记为a 。
区间——数轴上的一段实数。
分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间。
数轴——规定了原点、正方向和长度单位的直线。
实数——有理数和无理数统称为实数。
二、填空题1．绝对值的性质有0≥a 、b a ab =、)0(≠=b ba b a 、a a a ≤≤-、b a b a +≤+、b a b a -≥-。
2．开区间的表示有),(b a 、。
3．闭区间的表示有][b a ，、。
4．无穷大的记号为∞。
5．)(∞+-∞，表示全体实数，或记为+∞<<∞-x 。
6．)(b ，-∞表示小于b 的实数，或记为b x <<∞-。
7．)(∞+，a 表示大于a 的实数，或记为+∞<<x a 。
8．去心邻域是指)()(εε+-a a a a ，， 的全体。
用数轴表示即为9.MANZU9．满足不等式112-<≤-x 的数x 用区间可表示为]211(--，。
三、回答题 1．答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变。
（2）培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。
（3）培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。
（4）树立发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。
2．答：包括整数与分数。
3．答：不对，可能有无理数。
4．答：等价于]51(，。
5．答：)2321(，。
四、计算题1．解：12020102010)2)(1(<>⇒⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-⇒>--x x x x x x x x 或或。
),2()1,(+∞-∞∴ 解集为。
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得 x
a
, 2
y
b
2
，因此 x
y
a b , 即 inf( A
B)
ab
inf
A inf
B.
3.设 A, B 均是由非负实数构成的有界数集，定义 AB {xy | x A, y B} 。证明：
（1） inf AB inf Ainf B ； （2） sup AB sup Asup B
（3） 0 0 ，使得{an}中除有限项外，都满足| an A | 0 ；
（4） 0 0 ，使得{an}中有无穷多项满足| an A | 0 ；
解：（4）等价。
7．证明：若单调数列具有收敛的子列，则此单调数列收敛．
证明：不妨设an 为一单调增加数列， ank
为
an
的一个子列，且
lim
作者：闫浩 2013 年 9 月
微积分 B(1)第一次习题课参考答案（第四周）
教学目的：本次习题课希望巩固确界、极限、子列等一些基本概念，这些概念是微积分的
基础，通过对习题的演练，使同学们加强对相关概念的理解；另外，由于新课标中的高中
数学较为简单，本次习题课也准备了一些与常用的初等数学知识相关的习题，帮助大家衔
，对于
ab
x A, y B 使 得
x
a
a
b
,
y
b
”的技巧。 ab
二、数列极限的定义
4．用极限定义证明
(1) lim ( n 1 n ) 0
n
证明： 0 ，由于
| n 1 n |
1
1，
n1 n n
欲使 |
n 1
n | ，只需
1 ，即 n
n
1 2
便可．
取
N
1 2
1 ，则当 n
（6） k *, Nk
* ，只要 n
Nk ，就有| an
A |
1 2k
；
（7）
N
*
，只要
n
N
，就有 |；
（8）
0, N
* ，只要 n
N
，就有 |
an
A |
n
；
（9） 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | n ；
解：(2)(3)(4)(5)(6)等价
(1 b)n
Cn[k
b ]1 [k
]1
，
nk an
nk C[k ]1
n
1 b[k ]1
并且注意到
lim
n
nk C[k ]1
n
0 ，可以得到 lim nk a n n
0 。具体证明应用
N
定义叙述。
5.下列说法中，哪些与
lim
n
an
A 等价.
如果等价，请证明，如果不等价，请举出反例.
（1）对于无限多个正数 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | ；
（1） inf( A B) inf A inf B ； （2） sup( A B) sup A sup B
证明：仅证（1）；（2）的证法类似于（1）。
设 a inf A, b inf B ， 由 确 界 的 定 义 ， x A, y B 均 有 x a, y b ， 因 此
x y a b ，即 a b 是集合 A B 的一个下界，另一方面 0, x A, y B ，使
接中学与大学的内容。
必讲题:1--7.10.11.14.15.24.25.26. 其余题目留给同学自己练习。
一、集合的上下界、确界
1．证明 1） y 1 在定义域内有下界，无上界； x2
2）设
0 ，则
y
1 x2
在 (, ] [ , ) 上有界。
（思考：一个函数在某个区间上无界如何叙述？）
证明：1）
6. 用 N 语言叙述： “{an}不收敛于 A ”.并讨论下列哪些说法与“{an}不收敛于 A ”
等价：
（1） 0 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | 0 ；
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作者：闫浩 2013 年 9 月
（2） 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | ；
（2） 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | ；
（3） (0,1), N * ，只要 n N ，就有| an A | ；
（4） k 0, 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | k ；
2
（5） 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | 3 ；
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作者：闫浩 2013 年 9 月
证明：（1）略，仅证（2）。
设 a sup A, b sup B ，若 a=b=0 ，则结论显然成立，下面设 a，b 0 。
由确界的定义， x A, y B 均有 0 x a, 0 y b ，因此 0 xy ab ，即 ab 是集合
AB
的 一 个 上 界 。 另 一 方 面 0
，对于
ab
x A, y B
使得
x
a
a
b
,
y
b
，因此 ab
x
y
(a
)(b ab
) ab
ab
(a b) ( )2
ab
ab
ab
即 sup AB ab sup Asup B 。
注 ：（ 1 ） 的 证 明 中 ， 也 要 用 到 类 似 “ 0
作者：闫浩 2013 年 9 月
所以
0 an
2． n 1
因此
0 ，取
N
1
2 2
，则当
n N 时，有
0 an ，
故
lim
n
an
0 ．从而
lim (n n) 1．
n
（3）已知 a 1, k
0
。证明：
lim
n
nk an
0
提示：令 a
1 b(b 0) ，当 n [k] 1 时，an
k
ank
A sup{ank } ．
0 ，因为
lim
k
ank
A ，所以
N0 0 ，当 k N0 时，有 ank
A ．
由于 an 单增，所以当 n nN0 时，有 A anN0 an ．
N
时，有
|
n 1
n | ．
故 lim ( n 1 n) 0 ．
n
（2） lim (n n ) 1
n
证明： 因为
n
n
1，令 n
n
1
an ，则 an
0 ，且 lim (n
n
n)
1
等价于
lim
n
an
0．
由于
n
(1
an )n
1
nan
1 2
n(n
1)an2
ann
1 2
n(n
1)an2
，
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1 x2
0 ，因此 y
1 x2
有下界。
G
0 ，取 xG
1 2G
，得到 yG
1 xG2
4G
G ，因此
y
1 x2
无上界。
2）
0 ，当 x (, ] [ , ) 时，有 0
1 x2
1 2
，此时
y
1 x2
有界。
2.设 A, B 均是非空有界数集，定义 A+B {x+y | x A, y B} 。证明：