清华大学微积分B(1)第1次习题课答案(确界、极限、子列)

（6） k *, Nk
* ，只要 n
Nk ，就有| an
A |
1 2k
；
（7）
N
*
，只要
n
N
，就有 |
an
A
|
1 n
；
（8）
0, N
* ，只要 n
N
，就有 |
an
A |
n
；
（9） 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | n ；
解：(2)(3)(4)(5)(6)等价
得 x
a
, 2
y
b
2
，因此 x
y
a b , 即 inf( A
B)
ab
inf
A inf
B.
3.设 A, B 均是由非负实数构成的有界数集，定义 AB {xy | x A, y B} 。证明：
（1） inf AB inf Ainf B ； （2） sup AB sup Asup B
k
ank
A sup{ank } ．
0 ，因为
lim
k
ank
A ，所以
N0 0 ，当 k N0 时，有 ank
A ．
由于 an 单增，所以当 n nN0 时，有 A anN0 an ．
6. 用 N 语言叙述： “{an}不收敛于 A ”.并讨论下列哪些说法与“{an}不收敛于 A ”
等价：
（1） 0 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | 0 ；
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作者：闫浩 2013 年 9 月
（2） 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | ；
（1） inf( A B) inf A inf B ； （2） sup( A B) sup A sup B
证明：仅证（1）；（2）的证法类似于（1）。
设 a inf A, b inf B ， 由 确 界 的 定 义 ， x A, y B 均 有 x a, y b ， 因 此
x y a b ，即 a b 是集合 A B 的一个下界，另一方面 0, x A, y B ，使
，对于
ab
x A, y B 使 得
x
a
a
b
,
y
b
”的技巧。 ab
二、数列极限的定义
4．用极限定义证明
(1) lim ( n 1 n ) 0
n
证明： 0 ，由于
| n 1 n |
1
1，
n1 n n
欲使 |
n 1
n | ，只需
1 ，即 n
n
1 2
便可．
取
N
1 2
1 ，则当 n
1 x2
0 ，因此 y
1 x2
有下界。
G
0 ，取 xG
1 2G
，得到 yG
1 xG2
4G
G ，因此
y
1 x2
无上界。
2）
0 ，当 x (, ] [ , ) 时，有 0
1 x2
1 2
，此时
y
1 x2
有界。
2.设 A, B 均是非空有界数集，定义 A+B {x+y | x A, y B} 。证明：
AB
的 一 个 上 界 。 另 一 方 面 0
，对于
ab
x A, y B
使得
x
a
a
b
,
y
b
，因此 ab
x
y
(a
)(b ab
) ab
ab
(a b) ( )2
ab
ab
ab
即 sup AB ab sup Asup B 。
注 ：（ 1 ） 的 证 明 中 ， 也 要 用 到 类 似 “ 0
（3） 0 0 ，使得{an}中除有限项外，都满足| an A | 0 ；
（4） 0 0 ，使得{an}中有无穷多项满足| an A | 0 ；
解：（4）等价。
7．证明：若单调数列具有收敛的子列，则此单调数列收敛．
证明：不妨设an 为一单调增加数列， ank
为
an
的一个子列，且
lim
接中学与大学的内容。
必讲题:1--7.10.11.14.15.24.25.26. 其余题目留给同学自己练习。
一、集合的上下界、确界
1．证明 1） y 1 在定义域内有下界，无上界； x2
2）设
0 ，则
y
1 x2
在 (, ] [ , ) 上有界。
（思考：一个函数在某个区间上无界如何叙述？）
证明：1）
（2） 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | ；
（3） (0,1), N * ，只要 n N ，就有| an A | ；
（4） k 0, 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | k ；
2
（5） 0, N * ，只要 n N ，就有| an A | 3 ；
(1 b)n
Cn[k
b ]1 [k
]1
，
nk an
nk C[k ]1
n
1 b[k ]1
并且注意到
lim
n
nk C[k ]1
n
0 ，可以得到 lim nk a n n
0 。具体证明应用
N
定义叙述。
5.下列说法中，哪些与
lim
n
an
A 等价.
如果等价，请证明，如果不等价，请举出反例.
（1）对于无限多个正数 0, N * ，只要 n N ，就有| an A |Leabharlann Baidu ；
作者：闫浩 2013 年 9 月
微积分 B(1)第一次习题课参考答案（第四周）
教学目的：本次习题课希望巩固确界、极限、子列等一些基本概念，这些概念是微积分的
基础，通过对习题的演练，使同学们加强对相关概念的理解；另外，由于新课标中的高中
数学较为简单，本次习题课也准备了一些与常用的初等数学知识相关的习题，帮助大家衔
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作者：闫浩 2013 年 9 月
证明：（1）略，仅证（2）。
设 a sup A, b sup B ，若 a=b=0 ，则结论显然成立，下面设 a，b 0 。
由确界的定义， x A, y B 均有 0 x a, 0 y b ，因此 0 xy ab ，即 ab 是集合
N
时，有
|
n 1
n | ．
故 lim ( n 1 n) 0 ．
n
（2） lim (n n ) 1
n
证明： 因为
n
n
1，令 n
n
1
an ，则 an
0 ，且 lim (n
n
n)
1
等价于
lim
n
an
0．
由于
n
(1
an )n
1
nan
1 2
n(n
1)an2
ann
1 2
n(n
1)an2
，
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所以
0 an
2． n 1
因此
0 ，取
N
1
2 2
，则当
n N 时，有
0 an ，
故
lim
n
an
0 ．从而
lim (n n) 1．
n
（3）已知 a 1, k
0
。证明：
lim
n
nk an
0
提示：令 a
1 b(b 0) ，当 n [k] 1 时，an