实系数代数方程的精确解

关于实系数代数方程的精确解

一元三次方程的传统解法

1，首先我们来回顾一下所学过的代数方程

⑴N ⎧⎪⎨⎪⎩

①一元一次方程（小学）

一次方程②二元一次方程组，三元一次方程组（中学）

③元一次方程组（大学） ⑵二次方程⎧⎨⎩① 一元二次方程

② 二元二次方程组（中学）

⑶高次方程......⎧⎪⎨⎪⎩

① 一元三次方程

② 一元四次方程

2，下面我们先对前两大类进行分别研究 ⑴一次方程x ,b a N Ax b ⎧≠⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩①一元一次方程形如ax=b(a 0) 其解为 =②二元一次方程组，三元一次方程组 我们通过代入法或者加减消元法求其解③元一次方程组我们通过矩阵的初等变换来进行求解

在这里需要强调一点：在中学阶段我们求解的一次方程绝大多数是只有一个解的，而在大学阶段我们求解的方程（组）有很多情况时候解是不唯一的（这里面需要用到的有基础解系和特解），甚至有时候会出现方程组无解的情况，这里不再赘述

⑵

二次方程

2

2

12

1212

12

2

0(0)

()()

,

=4(

ax bx c a

ax bx c a x x x x

b c

x x x

a a

b ac

++=≠

++=--

+=-=

==

∆-

①一元二次方程形如

我们通过设

可得到韦达定理 x

通过配方法可得到求根公式 x x

其中判别式这里没有写当判别式等于零或者小于

零的情况）

②二元二次方程组中学阶段我们学的方法很有限，

只是当能分解因式时我们通过降次进行求解，而在大学阶段

我

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

们的高等代数书上（选学内容）又介绍了一些其他的方法，

感兴趣的可看看

3, 最后我们进入今天的核心主题：一元三次方程的传统解法.

在讲解之前我们先给大家讲一个关于三次方程求解方程的两个人物卡尔丹（卡当或者卡尔丹诺）和塔里塔利亚（塔塔里亚）

塔里塔利亚：意大利人，年幼口吃，其名因此而得。没有上过一天学，但是他的数学天赋极高，凭借他个人的天赋和坚持不懈的努力，最终他发现了一元三次方程的求根公式。这也使他在古希腊的几次数学大赛中大获全胜，但是他却不愿与世人分享这一先进的优秀成果，因而在一定程度上阻碍了数学向前发展

卡尔丹：意大利医生兼数学家。当他知道塔里塔利亚拥有了一元三次方程求根公式时，便虚心的向其讨教，并发誓不把这一机密公诸于世。但是心高气傲的塔里塔利亚不想搭理他。而卡尔丹使用了各种方法迫使塔里塔利亚交给他，最后塔里塔利亚无奈之下写了几句魔咒，心想卡尔丹绝不会明白其中的奥秘。或许是天意，卡尔丹的悟性实在是太高了，他通过亲自解一元三次方程的实践，很快就参悟了塔里塔利亚的魔咒。最后卡尔丹将一元三次方程的求根公式公诸于世，并注明是

塔里塔利亚首先发现的。这一公式被收录于英国的大法一书中 下面将要介绍一元三次方程

⑴一元三次方程的形式33232323321,2,0

3,0(0)4,0

5,06,0ax b ax bx ax bx cx a ax bx c ax bx c ax bx cx d ⎧=⎪+=⎪⎪++=⎪≠⎨++=⎪⎪++=⎪⎪+++=⎩

对于前三种形式 我们很熟悉，都可以很快解出来。然而对于后面的三种形式却一筹莫展。然而我们可以通过平移变换可以将后面的三种形式归一，即为形式5

⑵对于一元三次方程的最一般式320(0)ax bx cx d a +++=≠

① 第一步，通过平移去掉二次项。可令(1)3b x y a =-

化简后可得232323

329270,(2),327ac b b abc a d y py q p q a a --+++===其中 ② 第二步，接下来呢，就是见证奇迹的时刻，请大家睁大眼睛

(

)3

633

3212321211,20,(3)327

4,0(5)27

5,2=2427

==22

z p p y z qz z p t z t qt q q q p q q

=-+-==+-=

==-+

==-∆+

-+--=令带入方程（）整理可得

z 再令（）即可得到一个一元二次方程解方程可得到 t t 记作判别式，则方程的解可以表示为

t t 然后将t

代入（4

）得2311122233333331z p z z y z z p y z z p y z z p y z z y ϖϖ===⎝===-

⎝=-=

=

=-

==

-=的值代入可

得到而后我们再将

的值代入到方程（）即112233333333b b y a a b b x y a a b b x y a a ϖϖ=-

+=-+=-+=-+=-+=-+可得到原方程的解

即为x

23y y 最后我们再来讨论一下有方程实数根的个数

在高等代数里面我们已经知道实系数代数方程中 复根成对定理

所以实系数一元三次方程要么没有复根，要么有一对共轭复根。由上面的结论可知道和是互为共轭的。