一类非线性偏微分方程人口模型解的存在唯一性
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其中Ｐｔ ４ ４ （ ） 人口 时 按年 分 数，（表示 时 人口 （＝［ ，ｄ ， ｆ 描述 在， 刻 龄 的 布函 尸ｆ 在， 刻的 总数， ） ） ｐ ） ， ）
为未考虑竞争 因素的 自 然死亡率，ｆ（）２ （） ｘｆ（ ｔ 为考虑与环境因素和人 口总数有关的死亡率 ，ｂ ） Ｐ） （ 为未考 ｘ
Ｎｏ２ ．
一
类 非线性偏微 分方程人 口模型解 的存在唯一性
陈 林 ，高 岭
（ ． 犁师范学院 数学 系， 疆 伊宁 １ 伊 新 ８ ５０ ；２ 宁市第六小学，新疆 伊 宁 ３ ００ ． 伊 ８５ ０ ） ３０ ０
摘
要：讨论 了一类非线性偏微分方程人 口模型解的整体存在唯一性 ，以及解关于初值的连
ｆ２） 。ｇＰ）［（ （一（ （ ）（ ｛ ｇ）（ ）＿ ）尸 ） ［ 一（ （】 ） ） （ ） ｊ ０－ （ ０
ｇ ， 一 一 －） （（）（ （） ＋ （ ＋ ０ Ｐ ） （ （］ｇ ０尸 ｏ ［ ０ （ （（） ０） ） （ｇ Ｐ ） ） ） ） ） ０］
，
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一
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一
Ｃ
（） ，） （） （ ｆ ｐ ， ） ） ｐ 一 尸（ ） （ ｘ 十ｇ ， ） ， （） １
ｆ ＝０： （，） ｏｘ ｐ Ｏ ＝ｐ （）
ｘ０ （）ｒ（一（ ：（ｐ， ＝：，＝ （ ） 。ｇ ｆ （） ｐ０ ６ ｇ ）尸）ｆ ｔ （） ）
’
续依 赖性 和 Ｃ 光 滑性 ． ’
关键词：偏微分方程人 口模型 ；整体经典解；压缩映射原理 中图分类号：Ｏ ７． 文献标识码：Ａ 文章编号：１７－９ ９ （０ １ ２ Ｏ ７＿ ５ １５ ９ ２ ６ ３－ ９ Ｘ ２ １）０—０ ｌ＿ ０ － －
１ 引言
人 口 问题 长期 以来 一直 是人们 所 关注 的 问题 ，用数 学模 型研 究人 口问题 的论 文也 不少 ，最常 见 的是一 些 常 微分 方程 模 型【 】这 些模 型没 有考 虑年龄 因 素的影 响．人 Ｉ的数 量不 仅和 时 间有关 ， ， Ｓ ｌ 还应 和年 龄有 关 ．
型在 大 范 围 内古 典解 的存 在性 及其 渐近 性质 ，而本文 则用 算 子不 动点 的方 法来 讨论解 的整体 存在 唯 一性 ， 进一步得到解对初值的连续依赖性即稳定性．
根据 问题 的实际背景作出如下假设： （ ）Ａ（） Ｈ１ ｘ ，Ａ（ ，ｇ ，） ｏ ） （） ２ ） ０，０ ｘ ） ，Ｐ（ ， ，ｇ （ 在， ｘ ｘ
用经典特征线法求解 （ ）可得其等价问题： １
－
：
ｆ（ ＋ 卜ｅ Ｆ， ｘ ｓ ｓ ｔ
ｅ［ Ｆ， ｘ ｄｄｘ ｘ－ （ ＋－ ｒ ， ｐｆ ｒ ］ ＞ ｒ ｓ
十一）］， ｆ ｔｒｓ ＜ ｄｄ
（ ２ ）
【ｔｘｘ一一 （ ｆ ］Ｌｇ ｃ Ｌ Ｂ —）ｐ ｊ， （ ｅ［ ＋— ＋ （ ） ＋ ｘ一 ｐ上
×
ｆ（一（ ：（］ ｇ， 一（． ［） ｇ ｏ ） （） ０ ６ ｇ ）尸） （ （ ） 一Ｏ ＝ ） ０
定理
若假设 （ １ 一 （ ５ Ｈ） Ｈ ）成立，则对任意给定的Ｔ≥ ０，模型 （ ）存在唯一的正解 ｐｔ ） １ （ 且此解 ，
以下将 逐 步证 明此 定理 ．
２ 局部解 的存在唯一性
Ａ上为非负一阶连续可微函数 ；
（ ２ ０ 】 Ａ ０ 【 （） Ｈ ）在［Ａ上当 ， 一 时， ‘ ｄ
＋ 及ｄｘ ＋ ： ∞以 （ 。 ） ｏ
（ ） （ （） ｇ（ （ ） Ｈ３ 尸ｆ ， ２尸 ｆ 满足 Ｌｐｃｉ条 件 ： ） ） ｉｓｈｚ
收稿 日期 ：２ １． ｏ ＿２ ０ｏ＿９ ６
且存在数 Ｍｌ ０，Ｍ ≥ ，使得 Ｐｔ ２ （） ＭＰｔ ，Ｍｌ（ ｇ （ （） ＭＰ ｔ； ０ （ ｆ（ ｔ ≤ （ ） Ｐ） ） Ｐｆ ２尸 ≤ （ ） ） ）
（４ Ｈ ）零 阶 相容 性条 件 ： ｐ （） ６ 一ｇ（ ） ：Ｊ ０） （ ） ＝ｐ ００ ； ｏ０ ＝ （ ） ｇ （ （） ｐ 】 （，）
因此，一个更适当的方法是考虑年龄结构，于是就有 了偏微分方程人口模型． 最初建立的 Ｍａ ｈｓ偏微分 ｌｕ ｔ 人 口模型 ，此模型是一个理想的模型，它没有考虑如果人 口总数过多引起死亡率 、出生率的变化 ，也没有 考虑移民因素等． 基于以上考虑，修改模型后为：
Ｏ （ ｘ ＋Ｏ （ ｘ ｐｔ ） ｐｔ） ＿ ，
基金项 目：伊 犁师范学院 ２０ 年度科研计划资助项 目 （ ０９ ３ ）． ０９ ２０— ４
作者简介 ：陈林 （ ９８ ） １７一 ，男，讲师 ，理学硕士 ，研 究方向 ：偏微 分方程及其应 用
ｌ ８
伊犁师范学院学报 （ 自然科学版 ）
２ １ 年 ０１
ｌＰ） Ａ／） Ｎ （一 ｌ Ｐ） ｇ Ⅳ 一 ｌ （一 （ｔ＜ Ｉｔ ， （一：（ｌ ） ， （ｆ ３） Ｐ） ｆ （ｆ＜ ） （ｌ ）
虑竞争因素的 自 出生率，ｇ（）：尸， 为考虑与环境因素和人口总数有关的出生率，ｇｔ ） 然 ｇ （ （） ） （ 为移 民率，ａ ，
为最低 生 育年 龄 ，则在 ［，】 ０ａ 的年 龄 区间 内 ｂｘ ＝０， ｇ（） （） ＝０， Ａ为 人 口的最 大寿命 ．
从长期的观点看， 研究非线性人口发展模型有着重要的意义． 文献 ［］ ３ 用算子半群的方法讨论相关的模
２１ ０ １年 ６月 第 ２期
伊犁师范学院学报 （ 然科学版 ） 自
Ｊ ｕ ａ ｆ ｌＮｏｍａ ｉｅ ｓ ｙ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃ ｉ ｏ ） ｏ ｒ ｌ ｉ ｒ ｌ ｖ ｒｉ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ｎ ｏ Ｙｉ Ｕｎ ｔ Ｓ ｉ
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．０ １
为未考虑竞争 因素的 自 然死亡率，ｆ（）２ （） ｘｆ（ ｔ 为考虑与环境因素和人 口总数有关的死亡率 ，ｂ ） Ｐ） （ 为未考 ｘ
Ｎｏ２ ．
一
类 非线性偏微 分方程人 口模型解 的存在唯一性
陈 林 ，高 岭
（ ． 犁师范学院 数学 系， 疆 伊宁 １ 伊 新 ８ ５０ ；２ 宁市第六小学，新疆 伊 宁 ３ ００ ． 伊 ８５ ０ ） ３０ ０
摘
要：讨论 了一类非线性偏微分方程人 口模型解的整体存在唯一性 ，以及解关于初值的连
ｆ２） 。ｇＰ）［（ （一（ （ ）（ ｛ ｇ）（ ）＿ ）尸 ） ［ 一（ （】 ） ） （ ） ｊ ０－ （ ０
ｇ ， 一 一 －） （（）（ （） ＋ （ ＋ ０ Ｐ ） （ （］ｇ ０尸 ｏ ［ ０ （ （（） ０） ） （ｇ Ｐ ） ） ） ） ） ０］
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ｆ ＝０： （，） ｏｘ ｐ Ｏ ＝ｐ （）
ｘ０ （）ｒ（一（ ：（ｐ， ＝：，＝ （ ） 。ｇ ｆ （） ｐ０ ６ ｇ ）尸）ｆ ｔ （） ）
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关键词：偏微分方程人 口模型 ；整体经典解；压缩映射原理 中图分类号：Ｏ ７． 文献标识码：Ａ 文章编号：１７－９ ９ （０ １ ２ Ｏ ７＿ ５ １５ ９ ２ ６ ３－ ９ Ｘ ２ １）０—０ ｌ＿ ０ － －
１ 引言
人 口 问题 长期 以来 一直 是人们 所 关注 的 问题 ，用数 学模 型研 究人 口问题 的论 文也 不少 ，最常 见 的是一 些 常 微分 方程 模 型【 】这 些模 型没 有考 虑年龄 因 素的影 响．人 Ｉ的数 量不 仅和 时 间有关 ， ， Ｓ ｌ 还应 和年 龄有 关 ．
型在 大 范 围 内古 典解 的存 在性 及其 渐近 性质 ，而本文 则用 算 子不 动点 的方 法来 讨论解 的整体 存在 唯 一性 ， 进一步得到解对初值的连续依赖性即稳定性．
根据 问题 的实际背景作出如下假设： （ ）Ａ（） Ｈ１ ｘ ，Ａ（ ，ｇ ，） ｏ ） （） ２ ） ０，０ ｘ ） ，Ｐ（ ， ，ｇ （ 在， ｘ ｘ
用经典特征线法求解 （ ）可得其等价问题： １
－
：
ｆ（ ＋ 卜ｅ Ｆ， ｘ ｓ ｓ ｔ
ｅ［ Ｆ， ｘ ｄｄｘ ｘ－ （ ＋－ ｒ ， ｐｆ ｒ ］ ＞ ｒ ｓ
十一）］， ｆ ｔｒｓ ＜ ｄｄ
（ ２ ）
【ｔｘｘ一一 （ ｆ ］Ｌｇ ｃ Ｌ Ｂ —）ｐ ｊ， （ ｅ［ ＋— ＋ （ ） ＋ ｘ一 ｐ上
×
ｆ（一（ ：（］ ｇ， 一（． ［） ｇ ｏ ） （） ０ ６ ｇ ）尸） （ （ ） 一Ｏ ＝ ） ０
定理
若假设 （ １ 一 （ ５ Ｈ） Ｈ ）成立，则对任意给定的Ｔ≥ ０，模型 （ ）存在唯一的正解 ｐｔ ） １ （ 且此解 ，
以下将 逐 步证 明此 定理 ．
２ 局部解 的存在唯一性
Ａ上为非负一阶连续可微函数 ；
（ ２ ０ 】 Ａ ０ 【 （） Ｈ ）在［Ａ上当 ， 一 时， ‘ ｄ
＋ 及ｄｘ ＋ ： ∞以 （ 。 ） ｏ
（ ） （ （） ｇ（ （ ） Ｈ３ 尸ｆ ， ２尸 ｆ 满足 Ｌｐｃｉ条 件 ： ） ） ｉｓｈｚ
收稿 日期 ：２ １． ｏ ＿２ ０ｏ＿９ ６
且存在数 Ｍｌ ０，Ｍ ≥ ，使得 Ｐｔ ２ （） ＭＰｔ ，Ｍｌ（ ｇ （ （） ＭＰ ｔ； ０ （ ｆ（ ｔ ≤ （ ） Ｐ） ） Ｐｆ ２尸 ≤ （ ） ） ）
（４ Ｈ ）零 阶 相容 性条 件 ： ｐ （） ６ 一ｇ（ ） ：Ｊ ０） （ ） ＝ｐ ００ ； ｏ０ ＝ （ ） ｇ （ （） ｐ 】 （，）
因此，一个更适当的方法是考虑年龄结构，于是就有 了偏微分方程人口模型． 最初建立的 Ｍａ ｈｓ偏微分 ｌｕ ｔ 人 口模型 ，此模型是一个理想的模型，它没有考虑如果人 口总数过多引起死亡率 、出生率的变化 ，也没有 考虑移民因素等． 基于以上考虑，修改模型后为：
Ｏ （ ｘ ＋Ｏ （ ｘ ｐｔ ） ｐｔ） ＿ ，
基金项 目：伊 犁师范学院 ２０ 年度科研计划资助项 目 （ ０９ ３ ）． ０９ ２０— ４
作者简介 ：陈林 （ ９８ ） １７一 ，男，讲师 ，理学硕士 ，研 究方向 ：偏微 分方程及其应 用
ｌ ８
伊犁师范学院学报 （ 自然科学版 ）
２ １ 年 ０１
ｌＰ） Ａ／） Ｎ （一 ｌ Ｐ） ｇ Ⅳ 一 ｌ （一 （ｔ＜ Ｉｔ ， （一：（ｌ ） ， （ｆ ３） Ｐ） ｆ （ｆ＜ ） （ｌ ）
虑竞争因素的 自 出生率，ｇ（）：尸， 为考虑与环境因素和人口总数有关的出生率，ｇｔ ） 然 ｇ （ （） ） （ 为移 民率，ａ ，
为最低 生 育年 龄 ，则在 ［，】 ０ａ 的年 龄 区间 内 ｂｘ ＝０， ｇ（） （） ＝０， Ａ为 人 口的最 大寿命 ．
从长期的观点看， 研究非线性人口发展模型有着重要的意义． 文献 ［］ ３ 用算子半群的方法讨论相关的模
２１ ０ １年 ６月 第 ２期
伊犁师范学院学报 （ 然科学版 ） 自
Ｊ ｕ ａ ｆ ｌＮｏｍａ ｉｅ ｓ ｙ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃ ｉ ｏ ） ｏ ｒ ｌ ｉ ｒ ｌ ｖ ｒｉ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ｎ ｏ Ｙｉ Ｕｎ ｔ Ｓ ｉ
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