屈服准则(《金属塑性成型原理》3.4)

在Tresca屈服准则中σs 可以在σ1到σ3之间任意变化而不影 响材料的屈服，但在Mises屈服准则中是有影响的。

( 2 3 ) ( 1 2 ) ( 1 3 )
罗德应力参数 当
2
1 3
2

1 3
2
2 1 , 1 2 3, 1
= s
静水应力不影响屈服，所以，以ON为轴线，以
为半径作一圆柱面，则此圆柱面上的点都满足米塞斯屈服准 则，这个圆柱面就称为主应力空间中的米塞斯屈服表面。
屈雷斯加六角柱面
N
σ3 屈服表面的几何
米塞斯圆柱面 I1
意义：若主应力 空间中的一点应 力状态矢量的端
J K
L
I
0
H
点位于屈服表面，
G F E C D
2 2 2
与等效应力比较得：
2 1 2 2 2 2 2 ( x y ) y z z x 6 xy yz zx s 2
用主应力表示为
1 2 2 (1 2 )2 2 3 3 1 s 2
1 2 2 MP 12 2 3 ( 1 2 3 )2 3 1 2 2 2 2 [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] 3 3
根据Mises屈服准则
P点屈服时
2 MP s 3 2 s 3
M
2 0
3
z

xz
屈雷斯加准则：
米塞斯准则：
xz 2 2 2 ( ) 4( ) 1 s b ( 2 ) 2 3( xz ) 2 1 s b
xz
M
z
P 薄壁管受轴向拉力 和扭矩作用
讨论两屈服准则的联系


假定两屈服准则所预测的单向拉伸屈服应力相同， 即根据单向拉伸试验来确定常数C。由于考察的是同 一点的应力状态，两屈服准则在应力空间中应在该 点处重合，此时,在 平面上，Mises圆将是Tresca 六边形的外接圆，半径为 2/ 3 s 。 假定两屈服准则所预测的剪切屈服应力相同，即根 据纯剪切试验来确定常数C。由于考察的是同一点的 应力状态，两屈服准则在应力空间中应在该点处重 合，此时,在 平面上，Mises圆将是Tresca六边形 的内切圆，半径为 2 K 。
f( 1 , 2 , 3 ) = C
塑性材料试样拉伸时拉力与 伸长量之间的关系
上式称为屈服函数，式中C是与材料性质有关而与应力状态 无关的常数
讨论：
f( ij ) C f( ij ) C f( ij ) C
质点处于弹性状态 质点处于塑性状态
在实际变形中不存在
质点屈服——部分区域屈服——整体屈服 屈服准则是求解塑性成形问题必要的补充方程
f( ij ) = C
屈服函数为：
f ( ij )=J 2 C
应力偏张量第二不变量为
2 2 1 2 2 2 2 J 2 x y y z z x 6 xy yz zx C 6
式（2）、式（3） ，称为屈雷斯加屈服准则的数学表达式， 式中K为材料屈服时的最大切应力值，即剪切屈服强度
设
1 2 3
1 3 2K
如果不知主应力大小顺序，则屈雷斯加表达式为
max 1 2 , 2 3 , 3 1 2K s
所以
1
3
4 s2 2 3
2 s
2 3

2
2 3
中间主应力影响系数，其变化 范围为：1~1.155
1 3 s 1 3 s
当
1, 1
两个准则的预测结果重合。 当 0, 1.155 两个准则的预测相差最大。
3、 平面上的屈服轨迹
在主应力空间中，通过坐标原点并垂直于等倾线 ON的平面称为 平面

OM 1l 2 m 3n 1 (1 2 3 ) 0 3
2 3 1
2
2 1 3
3
1
3 2 1
o
3
第四节：屈服准则
南昌航空大学 材料科学与工程学院
本章主要内容
1 基本概念 2 屈雷斯加屈服准则 3 米塞斯屈服准则 4 屈服准则的几何描述 5 屈服准则的实验验证与比较 6 应变硬化材料的屈服准则
一、基本概念
金属变形：弹性+塑性 （关心—什么时候开始 进入塑性） 一、屈服准则（塑性条件）：
f( ij ) = C
2
1 3
2
2

1 3
2
2
代入Mises表达式
2 2
( 1 2 ) 2 3 3 1
2
2 1 3 1 3 (1 ) (1 ) 3 1 2 2 2 2 1 3 1 3 1 2 1 2 2 1 3 3 2 s 2
当主应力不知时，上述Tresca准则不便使用
对于平面变形及主应力为异号的平面应力问题
max
x y 2 xy 2
2
屈雷斯加屈服准则可写成
2 x y 4 xy s2 4 K 2 2
例题
一两端封闭的薄壁圆筒，半径为 r=300mm，壁厚为t，受内压力p=35MPa 的作用。如果已知屈服强度，为了保证 薄壁圆筒处于弹性变形状态，筒壁最小 厚度应为多少？ t 2r P
σ2
则该点处于塑性
状态；若位于屈 服表面内部，则
A
B
σ1
C1
该点处于弹性状
态。
主应力空间中的屈服表面
2、两向应力状态下的屈服轨迹
屈服表面与主应力坐标平面的交线
σ2
1 s 2
' 2
2 s
D
E P F
1'
C
1 s
B
2 s 3
G A
2 s
H L
I J
K
1 2 s
Байду номын сангаас
z
p r 2 pr z 0 2 rt 2t
p 2r pr 0 2t t
p

（在外表面）
z

P

p （在内表面） 0
pr 1 t
2 z
pr 2t
3 0
三、Mises屈服准则
1913年，德国力学家米塞斯提出另一个屈服准则 对于各向同性材料，屈服函数式 与坐标的选择无关， 而塑性变形与应力偏张量有关，且只与应力偏张量的第二不变量 J 2 有关。 在一定的塑性变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张量的第 二不变量 J2 达到某一定值时，该点就进入塑性状态。
使用方便
四、屈服准则的几何描述
屈服轨迹和屈服表面 屈服表面：屈服准则的数学表达式在主应力 空间中的几何图形是一个封闭的空间曲面 称为屈服表面。 屈服轨迹：屈服准则在各种平面坐标系中的 几何图形是一封闭曲线，称为屈服轨迹。

1、主应力空间的屈服表面
引等倾线ON
1 lmn 3
σ3
N
在ON上任一点 1 2 3 m 过P点引直线 PM ON OM表示应力球张量，MP表示 应力偏张量 矢量
σ3
P
M
2 s 3
OP OM MP
MP OP OM
2 2
σ1
0
σ2
σ1
主应力空间
σ3
OP
2 2 1 2 2 2 3
N
σ3
P
M
OM 1l 2m 3n 1 ( 1 2 3 ) 3
由此得
2 s 3
σ1
σ1
0
σ2
主应力空间
则Mises屈服准则为
= s

两种屈服准则的共同点：
屈服准则的表达式都和坐标的选择无关，等式左边都是不变 量的函数 三个主应力可以任意置换而不影响屈服，拉应力和压应力作 用是一样的。
各表达式都和应力球张量无关

两种屈服准则的不同点： 未考虑中间应力 使用不方便
屈雷斯加屈服准则
米塞斯屈服准则
考虑中间应力
关于材料性质的基本概念
真实应力－应变曲线及某些简化形式
（1）理想弹性材料——图a,b,d （2）理想塑性材料——图b,c 理想弹塑性材料-图b （3）弹塑性材料 弹塑性硬化材料-图d 理想刚塑性材料-图c （4）刚塑性材料 刚塑性硬化材料-图e

s

讨论： 1、实际金属材料在比例极限以下——理想弹性
C K2
σ2 O σ1 σ
1 K s 3
2 2
M(0,-τ1)
2 2 2 ( x y ) y z z x 6 xy yz zx 2 s2 6 K 2 2
用主应力表示为
( 1 2 ) 2 3 3 1 2 s2 6 K 2
六、应变硬化材料的屈服准则

初始屈服服从上述屈服准则 硬化后，屈服准则发生变化（变形过程每一刻都 在变化）其轨迹或表面称为后继屈服表面或后续 屈服轨迹。
2
后继屈服轨迹 初始屈服轨迹
2
f ( ij ) Y
单一曲线假设
Y g

3
1
3
1
各向同性应变硬化材料的后继屈服轨迹
max
max min
2
C
……(1)
C：为材料性能常数，可通过单向均匀拉伸试验求得
材料单向拉伸时的应力
max 1 s
min 2 3 0
C
将其代入（1）式，解得 则
s
2
max
s
2
K
……(2) ……(3)
或
max min s 2K
用主应力表示
J2 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 C 6
对于单向拉伸
1 s
代入上式 得
2 3 0
1 2 C s 3
如在纯剪切应力状态时，
τ L(0,τ1)
xy 1 3 K
1, 2 1 1, 2 3
0, 2 ( 1 3 )
1 2
两种屈服准则的实验验证
P 薄壁管拉扭实验
1
1 z z 2 4 2 2
1 z z 2 4 2 2



泰勒及奎乃实验资料 1-米塞斯准则 2-屈雷斯加准则
3 1 2
p
1 2 3
1 2 3 0
纯剪切线
1
1 3 2
平面上的屈服轨迹
2
五、两种屈服准则的比较
设
1 2 3
2
1 3 s
2
( 1 2 ) 2 2 3 3 1 2 s2 6 K 2
一般金属材料是理想弹性材料 2、金属在慢速热变形时——接近理想塑性材料 3、金属在冷变形时——弹塑性硬化材料 4、金属在冷变形屈服平台部分——接近理想塑性
二、Tresca屈服准则
1864年，法国工程师屈雷斯加提出材料的屈服与最大切应力有关
当材料中的最大切应力达到某一定值时，材料就屈服。 即材料处于塑性状态时，其最大切应力是一不变的定 值 ——又称为最大切应力不变条件