2020-2021学年北师大版(2019)高中数学必修一教案::2.2.2 函数的表示法

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2021北师大版(2019)高中数学必修一教案::1.2.1 必要条件与充分条件含解析

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第一章预备知识第二节常用逻辑用语2.1必要条件和充分条件常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言,是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具.本节的内容包括必要条件、充分条件、充要条件,通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用,培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.一.教学目标:1、理解必要条件,充分条件,充要条件的概念,2、能够判断命题之间的充分必要关系二. 核心素养1.数学抽象:必要条件,充分条件,充要条件概念抽象概括2.逻辑推理:本节内容依初中所学的定理,研究条件和结论的关系,引出本节知识点,从而体现数学知识的连贯性和逻辑性3. 数学运算:判断命题之间的充分必要关系;利用充分必要关系求参数4.直观想象:讲解本节知识,利用初中所学过的定理,分析它们条件与结论的关系,从而引出抽象概述了充分,必要的概念,这种教学方式让学生更能直接的理解一个命题中,条件与结论的关系5. 数学建模:常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言,是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具.,培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.重点:充分条件、必要条件的概念.难点:判断命题的充分条件、必要条件。

PPT一:必要条件与性质定理(1)知识引入定理1菱形的对角线互相垂直,即如果四边形为菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直.定理1是菱形的性质定理,即对角线互相垂直是菱形必有的性质.也就是说,如果能确定四边形为菱形,那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直,而一旦某个四边形的对角线不互相垂直,那么这个四边形一定不是菱形.思考交流:试用上面的方法分析定理2,定理3定理2如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.定理3如果两个三角形是全等三角形,那么这两个三角形的对应角相等.(2)必要条件的概述:一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件.也就是说,一旦q 不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.例如,在定理1中,“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.例1:将下面的性质定理写成“若p则q”的形式,并用必要条件的语言表述:(1) 平面四边形的外角和是360°;(2) 在平面直角坐标系中,关于(轴对称的两个点的横坐标相同.解(1) “平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形,则它的外角和为360°”,所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件;(2)“在平面直角坐标系中,关于(轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“若平面直角坐标系中的两个点关于(轴对称,则这两个点的横坐标相同”,所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中,两个点关于(轴对称”的必要条件.二.充分条件与性质判断(1)知识引入定理 4 若a>0, b>0,则ab>0.定理4是说:如果满足了条件a>0, b>0”,一定有结论ab>0. ,但要注意,使得ab>0的条件不唯一,例如,由a<0,b<0,也可以判定ab>0.实际上,定理4告诉我们:只要有了a>0,b>0"这个条件,就可以判定a b>0”.思考交流:试用上面的方法分析定理5,定理6定理5对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理6平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原三角形相似.(2)充分条件概述一般地,当命题“若p则q”是真命题时,称p是q的充分条件.综上,对于真命题“若p,则q”,即p q时,称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件例2:用充分条件的语言表述下面的命题:(1) 若a=-b,则|a|=|b|(2) 若点C是线段AB的中点,则|AC|=|BC|(3) 当ac<0时,一元二次方程ax2十bx十c = 0有两个不相等的实数根.解( 1) “a = —b"是"|a|=|b|"的充分条件;(2)“点C是线段AB的中点”是“ | AC | =| BC|的充分条件;(3)“a c<0”是“一元二次方程ax2十bx十c = 0有两个不相等的实数根”的充分条件.三. 充要条件(1)知识引入勾股定理如果一个三角形为直角三角形,那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的逆定理如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。

2020_2021学年新教材高中数学第2章等式与不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性质第1课时不等关系与不等式学

2020_2021学年新教材高中数学第2章等式与不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性质第1课时不等关系与不等式学

2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质第1课时不等关系与不等式学习目标核心素养1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.(难点)2.会用比较法比较两实数的大小.(重点)1. 借助实际问题表示不等式,提升数学建模素养.2. 通过大小比较,培养逻辑推理素养.如图,在日常生活中,我们经常看到下列标志:其含义分别为①最低限速:限制行驶速度v不得低于50 km/h;②限制质量:装载总质量m不得超过10 t;③限制高度:装载高度h不得超过3.5 m;④限制宽度:装载宽度a不得超过3 m.你能用数学式子表示上述关系吗?1.不等式的定义我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,称为不等式.2.不等式a≤b和a≥b的含义(1)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“a<b,或者a=b”,等价于“a不大于b”,即若a<b与a=b之中有一个正确,则a≤b正确.(2)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”,其含义是指“a>b,或者a=b”,等价于“a不小于b”,即若a>b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确.3.实数大小比较的依据我们已经知道,实数与数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.一般地,如果点P对应的数为x,则称x 为点P的坐标,并记作P(x).另外,数轴上的点往数轴的正方向运动时,它所对应的实数会变大,这就是说,两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小.如图所示的数轴中,A(a),B(b),不难看出b>1>0>a.此外,我们也知道,一个数加上一个正数,相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离;一个数减去一个正数(即加上一个负数),相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离.由此可以看出,要比较两个实数a,b的大小,只要考察a-b与0的相对大小就可以了,即a-b<0⇔a<b,a-b=0⇔a=b,a-b>0⇔a>b.上面等价符号的左式反映的是实数的运算性质,右式反映的则是实数的大小顺序,合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系.它是不等式的理论基础,也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据.1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. ( )(2)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.( )(3)若a>b,则ac2>bc2. ( )(4)若a+c>b+d,则a>b,c>d. ( )[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2.某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h,同一车道上的车间距d 不得小于10 m,用不等式表示为( )A.v≤120 km/h且d≥10 mB.v≤120 km/h或d≥10 mC.v≤120 km/hD.d≥10 mA[v的最大值为120 km/h,即v≤120 km/h,车间距d不得小于10 m,即d≥10 m,故选A.]3.雷电的温度大约是28 000 ℃,比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t℃,那么t应满足的关系式是________.4.5t<28 000[由题意得,太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度,即4.5t<28 000.]4.设M=a2,N=-a-1,则M,N的大小关系为________.M>N[M-N=a2+a+1=⎝ ⎛⎭⎪⎫a +122+34>0, ∴M >N .]用不等式(组)表示不等关系【例1】 京沪线上,复兴号列车跑出了350 km/h 的速度,这个速度的2倍再加上100 km/h ,不超过民航飞机的最低时速,可这个速度已经超过了普通客车的3倍,请你用不等式表示三种交通工具的速度关系.[解] 设复兴号列车速度为v 1,民航飞机速度为v 2,普通客车速度为v 3.v 1,v 2的关系:2v 1+100≤v 2, v 1,v 3的关系:v 1>3v 3.在用不等式(组)表示不等关系时,要进行比较的各量必须具有相同性质,没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示.另外,在用不等式(组)表示实际问题时,一定要注意单位的统一.[跟进训练]1.用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m ,要求菜园的面积不小于216 m 2,靠墙的一边长为x m .试用不等式(组)表示其中的不等关系.[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ,而墙长为18 m ,所以0<x ≤18,这时菜园的另一条边长为30-x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫15-x 2(m).因此菜园面积S =x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫15-x 2,依题意有S ≥216,即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15-x 2≥216, 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18,x ⎝⎛⎭⎪⎫15-x 2≥216.比较两数(式)的大小【例2】 (教材P60例1改编)已知x ≤1,比较3x 3与3x 2-x +1的大小. [解] 3x 3-(3x 2-x +1)=(3x 3-3x 2)+(x -1) =3x 2(x -1)+(x -1)=(3x 2+1)(x -1). ∵x ≤1,∴x -1≤0,而3x 2+1>0, ∴(3x 2+1)(x -1)≤0,∴3x 3≤3x 2-x +1.把本例中“x ≤1”改为“x ∈R ”,再比较3x 3与3x 2-x +1的大小. [解] 3x 3-(3x 2-x +1)=(3x 3-3x 2)+(x -1) =(3x 2+1)(x -1). ∵3x 2+1>0,当x >1时,x -1>0,∴3x 3>3x 2-x +1; 当x =1时,x -1=0,∴3x 3=3x 2-x +1; 当x <1时,x -1<0,∴3x 3<3x 2-x +1.作差法比较两个实数大小的基本步骤[跟进训练]2.比较2x 2+5x +3与x 2+4x +2的大小. [解] (2x 2+5x +3)-(x 2+4x +2)=x 2+x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+34. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122≥0,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+34≥34>0. ∴(2x 2+5x +3)-(x 2+4x +2)>0, ∴2x 2+5x +3>x 2+4x +2.不等关系的实际应用【例3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买全票一张,其余人可享受 7.5 折优惠”.乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠”.这两车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *),全票价为x 元,坐甲车需花y 1元,坐乙车需花y 2元,则y 1=x +34x (n -1)=14x +34xn ,y 2=45nx .因为y 1-y 2=14x +34xn -45nx=14x -120nx =14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-n 5, 当n =5时,y 1=y 2;当n >5时,y 1<y 2;当0<n <5时,y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.解决决策优化型应用题,首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个,然后再用作差法比较它们的大小即可.[跟进训练]3.甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案.甲旅行社提出:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠;乙旅行社提出:家庭旅游算集体票,按七五折优惠.如果这两家旅行社的原价相同,那么哪家旅行社价格更优惠?[解] 设该家庭除户主外,还有x 人参加旅游,甲、乙两旅行社收费总额分别为y 甲、y乙,一张全票价为a 元,则y 甲=a +0.55ax ,y 乙=0.75(x +1)a . y 甲-y 乙=(a +0.55ax )-0.75(x +1)a=0.2a (1.25-x ),当x >1.25(x ∈N )时,y 甲<y 乙;当x <1.25(x ∈N )时,即x =1时,y 甲>y 乙.因此两口之家,乙旅行社较优惠,三口之家或多于三口的家庭,甲旅行社较优惠.知识:比较两个实数的大小,只要求出它们的差就可以了.a -b >0⇔a >b ;a -b =0⇔a =b ;a -b <0⇔a <b .方法:作差法比较大小的一般步骤 第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“和”或“积”; 第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论); 最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键.1.如图,在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地,仓库的长a 大于宽b 的4倍,则表示上面叙述中的不等关系正确的是( )A .a >4bB .(a +4)(b +4)=200C .⎩⎪⎨⎪⎧a >4b (a +4)(b +4)=200 D .⎩⎪⎨⎪⎧a >4b4ab =200 C [∵仓库的长a 大于宽b 的4倍,∴a >4b .又矩形地基的面积为200 m 2,∴(a +4)(b +4)=200,故选C.]2.下面表示“a 与b 的差是非负数”的不等关系的是( ) A .a -b >0 B .a -b <0 C .a -b ≥0 D .a -b ≤0[答案] C3.设M =(a +1)(a -3),N =2a (a -2),则( ) A .M >N B .M ≥N C .M <ND .M ≤NC [N -M =2a (a -2)-(a +1)(a -3)=2a 2-4a -(a 2-2a -3)=a 2-2a +3=(a -1)2+2>0,即M <N ,故选C.]4.若实数a >b ,则a 2-ab ________ba -b 2.(填“>”或“<”) > [因为(a 2-ab )-(ba -b 2)=(a -b )2,又a >b ,所以(a -b )2>0.]5.完成一项装修工程,请木工共需付工资每人500元,请瓦工共需付工资每人400元,现有工人工资预算20 000元,设木工x 人,瓦工y 人,试用不等式表示上述关系.[解]由题意知,500x+400y≤20 000,即5x+4y≤200.。

(北师大版)高一数学必修1全套教案

(北师大版)高一数学必修1全套教案

第一章集合课题:§0 高中入学第一课(学法指导)教学目标:了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求,了解新课程标准的基本思路,了解高考意向,掌握高中数学学习基本方法,激发学生学习数学兴趣,强调布置有关数学学习要求和安排。

教学过程:一、欢迎词:1、祝贺同学们通过自己的努力,进入高一级学校深造。

希望同学们能够以新的行动,圆满完成高中三年的学习任务,并祝愿同学们取得优异成绩,实现宏伟目标。

2、同学们军训辛苦了,收获应是:吃苦耐劳、严肃认真、严格要求3、我将和同学们共同学习高中数学,暂定一年,…;4、本节课和同学们谈谈几个问题:为什么要学数学如何学数学高中数学知识结构新课程标准的基本思路本期数学教学、活动安排作业要求二、几个问题:1.为什么要学数学:数学是各科之研究工具,渗透到各个领域;活脑,训练思维;计算机等高科技应用的需要;生活实践应用的需要。

2.如何学数学:请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点:抓好自学和预习;带着问题认真听课;独立完成作业;及时复习。

注重自学能力的培养,在学习中有的放矢,形成学习能力。

高中数学由于高考要求,学习时与初中有所不同,精通书本知识外,还要适当加大难度,即能够思考完成一些课后练习册,教材上每章复习参考题一定要题题会做。

适当阅读一些课外资料,如订阅一份数学报刊,购买一本同步辅导资料.3.高中数学知识结构:书本:高一上期(必修①、②),高一下期(必修③、④),高二上期(必修⑤、选修系列),高二下期(选修系列),高三年级:复习资料。

*知识:密切联系,必修(五个模块)+选修系列(4个系列,分别有2、3、6、10个模块)能力:运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。

4.新课程标准的基本理念:①构建共同基础,提供发展平台;②提供多样课程,适应个性选择;③倡导积极主动、勇于探索的学习方式;④注重提高学生的数学思维能力;⑤发展学生的数学应用意识;⑥与时俱进地认识“双基”;⑦强调本质,注意适度形式化;⑧体现数学的文化价值;⑨注重信息技术与数学课程的整合;⑩建立合理、科学的评价体系。

新课标北师大版数学必修1全套教案 北师版

新课标北师大版数学必修1全套教案  北师版

新课标北师大版数学必修1全套教案北师版第一章集合与函数概念一. 课标要求:本章将集合作为一种语言来学习,使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象,开展学生运用数学语言进行交流的能力.函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而开展学生对变量数学的认识.1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于〞关系,掌握某些数集的专用符号.2. 理解集合的表示法,能选择自然语言、图形语言、集合语言〔列举法或描述法〕描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,培养学生分析、比拟、归纳的逻辑思维能力.4、能在具体情境中,了解全集与空集的含义.5、理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力.6. 理解在给定集合中,一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成的三要素,了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域,并熟练使用区间表示法.9. 了解函数的一些根本表示法〔列表法、图象法、分析法〕,并能在实际情境中,恰当地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象.10. 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.11. 结合熟悉的具体函数,理解函数的单调性、最大〔小〕值及其几何意义,了解奇偶性和周期性的含义,通过具体函数的图象,初步了解中心对称图形和轴对称图形.12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质,体会数形结合的数学方法.13. 通过实习作业,使学生初步了解对数学开展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二. 编写意图与教学建议1. 教材不涉及集合论理论,只将集合作为一种语言来学习,要求学生能够使用最根本的集合语言表示有关的数学对象,从而体会集合语言的简洁性和准确性,开展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例,使学生了解集合的含义,理解并掌握集合间的根本关系及集合的根本运算.教材突出了函数概念的背景教学,强调从实例出发,让学生对函数概念有充分的感性根底,再用集合与对应语言抽象出函数概念,这样比拟符合学生的认识规律,同时有利于培养学生的抽象概括的能力,增强学生应用数学的意识,教学中要高度重视数学概念的背景教学.2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和时机,并注意运用Venn图表达集合的关系及运算,帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中,要充分表达这种直观的数学思想,发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册:2.2 第1课时 基本不等式

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册:2.2 第1课时 基本不等式

关键能力·攻重难
题型探究 题型一 利用基本不等式判断命题真假
例 1 下列不等式一定成立的是( C )
A. x2+14> x(x>0)
B.x+1x≥2(x≠0)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.x2+1 1>1(x∈R)
[解析] 选项 A 中,x2+41≥x(当且仅当 x=12时,x2+14=x),故选项 A 不正确;选项 B 中,x+1x≥2(x>0),x+1x≤-2(x<0),故选项 B 不正确; 选项 C 中,x2-2|x|+1=(|x|-1)2≥0(x∈R),故选项 C 正确;选项 D 中, x2+1≥1,则 0<x2+1 1≤1,故选项 D 不正确.
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
【素养目标】 1.了解基本不等式的代数和几何背景.(数学抽象) 2.理解并掌握基本不等式及其变形.(逻辑推理) 3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(数学运算) 4.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式.(逻辑推 理) 5.会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题.(数学运算)
理的拆、凑、配等变换.
基础自测
1.判断正误(对的打“√”,错的打“×”)
(1) 两 个 不 等 式
a2 + b2≥2ab

a+b 2

ab 成 立 的 条 件 是 相 同
的.( × )
(2)当 a>0,b>0 时,a+b≥2 ab.( √ )
(3)当 a>0,b>0 时,ab≤(a+2 b)2.( √ )
(4)函数 y=x+1x的最小值是 2.( × )
[解析] (1)不等式 a2+b2≥2ab 成立的条件是 a,b∈R;不等式a+2 b ≥ ab成立的条件是 a>0,b>0.

北师大版高中数学必修1指数函数教案

北师大版高中数学必修1指数函数教案

指数函数教学目标(一)教学知识点1.对数的概念.2.对数式与指数式的互化.(二)能力训练要求1.理解对数概念.2.能够进行对数式与指数式的互化.3.培养学生应用数学的意识.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的相互联系与相互转化.2.用联系的观点看问题.3.了解对数在生产、生活实际中的应用.教学重点对数的定义.教学难点对数概念的理解.教学方法启发式启发学生从指数运算的需求中,提出本节的研究对象——对数,从而由指数与对数的关系认识对数,并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.引导学生在指数式与对数式的互化过程中,加深对于对数定义的理解,为下一节学习对数的运算性质打好基础.教具准备投影片三X第一X:复习举例(记作A)第二X:导入举例(记作 B)第三X:本节例题(记作 C)教学过程Ⅰ.复习回顾[师]上一单元,我们一起学习了指数与指数函数的有关知识,也就明确了如下问题:(打出投影片A))由32=9可得到(1)9是3的平方〔2〕3是9的平方根[师]其中(1)式中9、3、2依次叫什么名称?[生](1)式中,9叫幂值,3叫幂的底数,2叫幂的指数.[师](2)式中的9、3、2依次叫什么名称?[生](2)式中,9叫被开方数,3叫根式值,2叫根指数.[师]从上述过程不难看出,9与3、2有一定关系,即9=32,3与2、9之间也有一定的关系,即3=9,其中根指数为2时省略不写.那么,我们自然提出一个问题:2与3、9之间是何关系,2能否用3、9表示呢?这就将牵涉到我们这一节将学习的对数问题.Ⅱ.讲授新课[师]我们来看下面的问题.(打出投影片B)(说明:由于对数概念是本节重点,所以在导入新课上有所侧重.)假设1995年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是1995年时的2倍?假设经过x年国民生产总值为1995年时的2倍,根据题意有:a(1+8%)x=2a即1.08x=2[师]上述问题是底数和幂的值,求指数的问题,也就是我们这节将要学习的对数问题.1.对数的定义一般地,当a>0且a≠1时假设a b=N,那么b叫以a为底N的对数.记作:log a N=b其中a叫对数的底数,N叫真数.[师]从上述定义我们应明确对数的底数a>0且a≠1,N>0,真数N>0,也就是说,负数和零没有对数.2.常用对数N 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数,为了简便,N的常用对数log10简记作lg N5简记作lg5例如:log10log3.5简记作lg3.5.103.自然对数[师]在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数log e N简记作ln N例如:log e 3简记作ln3 log e 10简记作ln10[师]由对数的定义,可以看出指数与对数的密切关系.接下来,我们就学习指数式与对数式的互化.4.例题讲解[例1]将以下指数式写成对数式(1)54=625 (2)2-6=641(3)3a =27 (4)(31)m =5.73解:(1)log 5625=4(2)log 2641=-6(3)log 327=a (4)31log 5.73=m[例2]将以下对数式写成指数式 (1)21log 16=-4(2)log 2128=7 (3)lg0.01=-2 (4)ln10=2.303解:(1)(21)-4=16(2)27=128 (3)10-2=0.01 (4)e 2.303=10评述:例1、例2目的在于让学生熟悉对数的定义.[师]为使大家进一步熟悉对数式与指数式的互化,我们来做课堂练习. Ⅲ.课堂练习1.把以下指数式写成对数式 (1)23=8 〔2〕25=32〔3〕2-1=21〔4〕312731=-解:(1)log28=3 (2)log232=5(3)log221=-1 (4)log2731=-312.把以下对数式写成指数式 (1)log39=2 〔2〕log 5125=3〔3〕log 241=-2 〔4〕log3811=-4解:(1)32=9 (2)53=125(3)2-2=41(4)3-4=8113.求以下各式的值(1)log525〔2〕log216 1〔3〕lg100〔4〕lg0.01〔5〕lg10000〔6〕lg0.0001解:(1)log525=log552=2(2)log2161=-4(3)∵102=100∴lg100=2(4)∵10-2=0.01∴lg0.01=-2(5)∵104=10000∴lg10000=4(6)∵10-4=0.0001∴lg0.0001=-44.求以下各式的值(1)log1515〔2〕log0.41〔3〕log981〔4〕log2.56.25〔5〕log7343〔6〕log3243解:(1)∵151=15∴log1515=1(2)∵0.40=1∴log0.41=0(3)∵92=81∴log981=2(4)∵2.52=6.25∴log2.56.25=2(5)∵73=343∴log7343=3(6)∵35=243∴log243=53Ⅳ.课时小结[师]通过本节学习,大家要能在理解对数概念的基础上,掌握对数式与指数式的互化.Ⅴ.课后作业1.把以下各题的指数式写成对数式(1)4x=16〔2〕3x=1〔3〕4x=2〔4〕2x=0.5〔5〕3x=81〔6〕10x=251〔7〕5x=6〔8〕4x=61解:(1)x=log416 (2)x=log3(3)x=log42 (4)x=log20.5(5)x=log381 (6)x=log251(7)x=log56 (8)x=log462.把以下各题的对数式写成指数式(1)x=log527 (2)x=log871(3)x=log43 (4)x=log73(5)x=lg5 (6)x=lg0.3解:(1)5x=27 (2)8x=71(3)4x=3 (4)7x=3(5)10x=5 (6)10x=0.32.预习提纲:(1)对数的运算性质有哪些?(2)如何证明对数的运算性质?。

高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法一学案含解析北师大版必

高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法一学案含解析北师大版必

学习资料2.2 函数的表示法(一)内容标准学科素养1。

掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点.2。

在实际问题中,能够选择恰当的表示法来表示函数.3。

能利用函数图像求函数的值域,并确定函数值的变化趋势。

加强逻辑推理提升数学运算增强直观想象授课提示:对应学生用书第20页[基础认识]知识点函数的表示法错误!某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔,每支铅笔的价格为0。

5元,共需y元,于是y与x之间建立起了一个函数关系.(1)函数的定义域是什么?提示:{1,2,3,4,5}.(2)y与x有何关系?提示:y=0.5 x。

(3)试用表格表示y与x之间的关系.提示:表格如下:支数(x)1234 5钱数(y)0。

51 1.52 2.5知识梳理函数的表示方法错误!思考:1。

任何一个函数都能用解析法表示吗?提示:不一定.如一年内每天的气温与日期间的关系,每日股票的价格同开盘时间的关系等等,都不能用解析法表示.2.你能说一下三种表示法各自的优缺点吗?提示:表示法优点缺点解析法简明、全面概括了变量间的关系;利用解析式可以求任一点处的函数值不够形象、直观而且并非所有的函数都有解析式列表法不需计算可以直接看出自变量对应的函仅能表示自变量取较少的有限的对应关数值系图像法能形象直观地表示函数的变化情况只能近似求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大3。

如何判断一个图形是否可以作为函数的图像?提示:任取一条垂直于x轴的直线l,在定义域上移动此直线,若直线l与图形只有一个交点,则是函数的图像,若有两个或两个以上的交点,则不是函数的图像.[自我检测]1.下列各图像中,不可能是函数y=f(x)的图像的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:判断一个图像是否是函数图像,其关键是分析是否满足定义域内的任意一个x,都有唯一确定的y与之对应.故①②可能是函数图像.③④一定不是y=f(x)的图像.答案:B2.下列用图表给出的函数关系中,当x=6时,对应的函数值y=()x 0<x≤11<x≤55<x≤10x>10y 123 4A.2 B.解析:5<x≤10时,y=3,∴x=6时,y=3.答案:B3.已知f(x)是正比例函数且过点(1,1),则f(x)=________.解析:设f(x)=kx(k≠0),由题意可知f(1)=k=1,∴f(x)=x.答案:x授课提示:对应学生用书第21页探究一函数的三种表示方法[例1]下列式子或表格:①y=2x,其中x∈{0,1,2,3},y∈{0,2,4};②x2+y2=2;③y=x-2+1-x;④x 1234 5y 9089888595其中表示y是x[思路点拨]解答本题的关键是分析所给式子或表格是否满足函数的定义.[解析]①不表示y是x的函数,因为当x=3时,y没有值与其对应;②不表示y是x的函数,因为当x=1时,y=±1,即y有两个值与x的值对应;③不表示y是x的函数,因为原表达式中x∈∅;④能表示y是x的函数,因为该表格既满足函数概念中的确定性也满足唯一性.[答案]④方法技巧函数表示法的注意事项:(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法,无论用哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.(2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义.跟踪探究1。

高中数学第一章预备知识2常用逻辑用语2.2全称量词与存在量词第1课时全称量词命题与存在量词命题练测评

高中数学第一章预备知识2常用逻辑用语2.2全称量词与存在量词第1课时全称量词命题与存在量词命题练测评

第1课时全称量词命题与存在量词命题必备知识基础练进阶训练第一层知识点一全称量词与全称量词命题1.下列命题中全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.A.0 B.1C.2 D.32.试判断下列全称量词命题的真假:(1)∀x∈R,x2+2>0;(2)∀x∈N,x4≥1;(3)∀x∈R,x2+1≥2.知识点二存在量词与存在量词命题3。

下列命题中,存在量词命题的个数是()①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④任意x∈R,y∈R,都有x2+|y|〉0.A.0 B.1C.2 D.34.判断下列存在量词命题的真假:(1)有的集合中不含有任何元素.(2)存在对角线不互相垂直的菱形.(3)∃x∈R,满足3x2+2〉0.(4)有些整数只有两个正因数.知识点三全称量词命题与存在量词命题的应用5.已知命题p:“∀x∈R,mx2≥0”是真命题,则实数m的取值范围是________.6.已知命题p:∀错误!≤x≤2,2x-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+2=0.若p和q都是真命题,求实数a的取值范围.关键能力综合练进阶训练第二层1.下列命题中,不是全称量词命题的是()A.任何一个实数乘0都等于0B.自然数都是正整数C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数D.一定存在没有最大值的二次函数2.下列命题中,是真命题且是全称量词命题的是() A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0 B.菱形的两条对角线相等C.存在x∈R,使得x2=xD.二次函数y=x2-ax-1的图象与x轴恒有交点3.既是存在量词命题,又是真命题的是()A.斜三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个x∈R,使x2≤0C.两个无理数的和是无理数D.存在一个负数x,使错误!>24.下列四个命题:①没有一个无理数不是实数;②空集是任何一个非空集合的真子集;③1+1〈2;④至少存在一个整数x,使得x2-x+1是整数.其中是真命题的为()A.①②③④ B.①②③C.①②④ D.②③④5.下面四个命题:①∀x∈R,x2-3x+2〉0;②∃x∈Q,x2=2;③∃x∈R,x2+1=0;④∀x∈R,4x2〉2x-1+3x2.其中真命题的个数为()A.3 B.2C.1 D.06.(易错题)已知命题p:∃x∈R,x2+x+a=0,若命题p 是假命题,则实数a的取值范围是()A.a〉14B.a≤错误!C.a〈错误!D.a≥错误!7.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x2)〉0”用“∃”写成存在量词命题为_________________________________.8.下列命题:①偶数都可以被2整除;②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等;③有的实数是无限不循环小数;④有的菱形是正方形;⑤存在三角形其内角和大于180°.既是全称量词命题又是真命题的是________,既是存在量词命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号).9.已知命题“∀x∈R,函数y=2x2+x+a的函数值恒大于0”是真命题,则实数a的取值范围是________.10.(探究题)若存在一个实数x,使不等式m-(x2-2x+5)>0成立,求实数m的取值范围.学科素养升级练进阶训练第三层1.(多选题)已知A={x|1≤x≤2},命题“∀x∈A,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件可以是()A.a≥3 B.a≥4C.a≥5 D.a≥62.若对于任意x∈R,都有ax2+2x+a〈0,则实数a的取值范围是________.3.(学科素养—逻辑推理)已知函数y1=x错误!,y2=-2x2-m,若对∀x1∈{x|-1≤x≤3},∃x2∈{x|0≤x≤2},使得y1≥y2,求实数m的取值范围.2.2全称量词与存在量词第1课时全称量词命题与存在量词命题必备知识基础练1.解析:①②是全称量词命题,③是存在量词命题.答案:C2.解析:(1)由于∀x∈R,都有x2≥0.因而有x2+2≥2>0.即x2+2>0,所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题.(2)由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立,所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命题.(3)由于0∈R,当x=0时,x2+1≥2不成立,所以“∀x∈R,x2+1≥2”是假命题.3.解析:命题①含有存在量词;命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,故为全称量词命题;命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除",是全称量词命题;命题④是全称量词命题,故有1个存在量词命题.答案:B4.解析:(1)由于空集中不含有任何元素.因此“有的集合中不含有任何元素"为真命题.(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直.所以不存在对角线不垂直的菱形.因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形"为假命题.(3)∀x∈R,有3x2+2〉0,因此存在量词命题“∃x∈R,3x2+2>0”是真命题.(4)由于存在整数3只有正因数1和3。

2020-2021学年高中数学北师大版新教材必修一同步:1.2.2.1 全称量词命题与存在量词命题

2020-2021学年高中数学北师大版新教材必修一同步:1.2.2.1 全称量词命题与存在量词命题

【题组训练】
1.给出下列四个命题:
(1)∀x∈N*,(x-1)2>0. (2)∃x∈R,x+2 019<1. (3)有一个锐角α,使sin α= 1 .
2
(4)对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b.
其中的真命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假. (1)存在两个正实数x,y,使x2+y2=0. (2)所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形. (3)能被5整除的整数末位数是0. (4)所有的二次函数的图象都是开口向上的抛物线.
C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x,使 1 >2
x
3.指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假. (1)有的集合中存在两个相同的元素. (2)∀a,b∈R,(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3. (3)存在一个x∈R,使 1 =0.
x 1
(4)对任意直角三角形的两个锐角A,B,都有sin A=cos B.
关键能力·合作学习
类型一 全称量词命题与存在量词命题的识别(数学抽象) 【题组训练】 1.下列命题: ①至少有一个x,使x2+2x+1=0成立. ②对任意的x,都有x2+2x+1=0成立. ③对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立. ④存在x,使x2+2x+1=0不成立. 其中是全称量词命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
【解题策略】 全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧
(1)全称量词命题的真假判断. 要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x) 成立;要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0) 不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). (2)存在量词命题的真假判断. 要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成 立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.
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第二章函数
第2.2节函数的表示法教学设计
函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一.
学习函数表示法,可以加深对函数概念的理解,领悟数形结合,化归等函数思想,函数的不同表示法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.
一.教学目标:
(1)明确函数的三种表示方法;
(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数;a
(3)通过具体实例,了解简单的分段函数及应用.
二. 核心素养
1.数学抽象:函数的表示方法的理解
2.逻辑推理:通过引导学生回答问题,培养学生的自主学习能力;通
过画图像,培养学生的动手操作能力;
3.数学运算:会函数图像,根据图像分析函数的定义域,值域
4.直观想象:通过一些实际生活应用题,让学生感受到学习函数表示的必要性,并体
会数学源于生活用于生活的价值;通过函数的解析式与图像的结合,渗透数形结合思想方法。

5.数学建模:通过本节课的教学,使学生进一步认识到,数学源于生活,数学也可应用
于生活,能够解决生活中的实际问题.
教学重点
函数的三种表示方法,分段函数的概念
教学难点
根据题目的已知条件,写出函数的解析式并画出图像
PPT
1.函数的表示方法
(1)解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式。

如初中:学习的一次函数、一元二次函数、反比例函数的关系式,都是解析法.
(2)列表法:列表法直接通过表格读数,不必通过计算,就表示出了两个变量之间的对应值,非常直 观.但任何一个表格内标出的数都是有限个,也就只能表示有限个数值之间的函数关系.若 自变量有无限多个数,则只能给出局部的对应关系.
(3)图象法:用函数图象表示两个变量之间的关系。

例如:气象台应用自动记录器,描
绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。

(见课本P53页图2-2 我国人口出生变化曲线)比如心电图:
但不是所有函数都可以用图像表示:如狄利克雷函数:
{
1,0()x x f x =
为有理数,为无理数
2. 函数表示的三种方法对比:
函数表示方法 优点
缺点
解析法
1、简明、全面地概括了变量间的关系;
2、通过解析式求出任意一个自变量的值对应的函数值。

不够直观形象
列表法 不需要计算就可以直接看出 与自变量相对应的函数值
只适用于自变量数目
少的函数
图像法
直观形象反映变化趋势
不精确
所以:为了清楚地表示一个函数关系,需要有针对性地选择适当的表示方法,有时需要多种方 法综合运用.在实际问题中,还常常需要把函数的某种表示方法转化为另一种表示方法.
例3画出函数f(x)=|x|的图象. 解:由绝对值的意义,可知
重点强调
{,0.
,0.()||x x x x f x x ≥-<==
例4:画出取整函数y =[x 」的局部图象. 解 依题意知函数y=[x]的定义域为R,值域是Z . 它的局部图象如图:2-7
题型一:1.下列图象中不能表示函数的图象的是( )
A .
B .
C .
D .
新概念扩充:
设x 为任一实数,不超过x 的最大整数称为x 的整数部分,记作[x],如当x=3. 14吋,[x]=[3.14] = 3;当[x]=—3. 14 时,[x ]= [-3.14] =-4.于是,我们把 y =[x]叫作取整函数!
2.对于集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},则由下列图形给出的对应f中,能构成从A到B 的函数的是()
A.B.C.D.
题型二:求函数解析式的方法:
(1)代入法
例.已知函数f(x)=3x+2,则f(x+1)=3x+5.
【解答】解:∵函数f(x)=3x+2,
∴将上式中的“x”用“x+1”代入
f(x+1)=3(x+1)+2=3x+5.
故答案为:3x+5.
(2)换元法
例:.若f(2x+1)=6x+5,则f(x)的解析式是()
A.f(x)=3x+2 B.f(x)=3x+1 C.f(x)=3x﹣1 D.f(x)=3x+4
【解答】解:令2x+1=t,∴;
∴f(t)=3(t﹣1)+5=3t+2;
∴f(x)=3x+2.
故选:A
(3)配凑法
例.已知函数f(+2)=x+4+5,则f(x)的解析式为()
A.f(x)=x2+1 B.f(x)=x2+1(x≥2)
C.f(x)=x2D.f(x)=x2(x≥2)
【解答】解:;
∴f(x)=x2+1(x≥2).
故选:B.
(4)待定系数法
例.已知f(x)是一次函数,且f(x﹣1)=3x﹣5,则f(x)的解析式为()A.f(x)=3x+2 B.f(x)=3x﹣2 C.f(x)=2x+3 D.f(x)=2x﹣3 【解答】解:设f(x)=kx+b,(k≠0)
∴f(x﹣1)=k(x﹣1)+b=3x﹣5,即kx﹣k+b=3x﹣5,
比较得:k=3,b=﹣2,
∴f(x)=3x﹣2,
故选:B.
(5)方程组法
例1:若函数f(x)对于任意实数x恒有f(x)﹣2f(﹣x)=3x﹣1,则f(x)等于()
A.x+1 B.x﹣1 C.2x+1 D.3x+3
【解答】解:函数f(x)对于任意实数x恒有f(x)﹣2f(﹣x)=3x﹣1,
令x=﹣x,则:f(﹣x)﹣2f(x)=3(﹣x)﹣1.
则:,
解方程组得:f(x)=x+1.
故选:A.
例2.已知函数f(x)满足,则f(x)的解析式为【解答】解:在f(x)﹣2f()=2x﹣1 ①中令x=,
得f()﹣2f(x)=﹣1 ②,
由①②联立消去f()得f(x)=﹣x﹣+1,
故答案为:f(x)=﹣x﹣+1.
题型三:函数图像表示
例.如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图,根据该折线图,下列结论正确的是()
A.连续三天日平均温度的方差最大的是7日,8日,9日三天
B.这15天日平均温度的极差为15℃
C.由折线图能预测16日温度要低于19℃
D.由折线图能预测本月温度小于25℃的天数少于温度大于25℃的天数
【解答】解:A选项,日平均温度的方差的大小取决于日平均温度的波动的大小,7,8,9三日的日平均温度的波动最大,故日平均温度的方差最大,正确;
B选项,这15天日平均温度的极差为18℃,B错;
C选项,由折线图无法预测16日温度要是否低于19℃,故C错误;
D选项,由折线图无法预测本月温度小于25℃的天数是否少于温度大于25℃的天数,故D错误.
故选:A.
本章节主要让学生掌握函数的表示方法,列表发,图像法,解析法,同时,必需让学生掌握5种求解析式的方法。

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