完整版阿波罗尼斯圆问题

一【问题背景】

苏教版《数学必修 2》P.112第12题：

1

已知点M (x,y)与两个定点0(0,0), A(3,0)的距离之比为—，那么点M 的坐标应满足

2

什么关系？画出满足条件的点

M 所构成的曲线.

二、【阿波罗尼斯圆】

公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯( Apollonius )在《平面轨迹》 究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：

到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆. 如图，点A, B 为两定点，动点 P 满足PA PB , 则 1时，动点P 的轨迹为直线；当 1时，动点P 的轨迹为圆，

后世称之为阿波罗尼斯圆

证：设AB 2m ( m 0),PA PB •以AB 中点为原点，直线 AB 为x 轴建立平面 直角坐标系，则 A (

m,0), B (m,0) •

又设 C (x , y ),则由 PA PB 得..(x m)2 y 2

长为半径的圆.

上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.

三、【范例】

AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则 A ( 1,0),

、、2BC 得.(x 1)2 y 2

2 .(x 1)2

阿波罗尼斯圆问题

两边平方并化简整理得 (2

1

)

x 2 2m ( 2 1) x

2

1) y 2

m 2(1

2

),

1

时,

0，轨迹为线段 AB 的垂直平分线; 1

时,

(x

2

1m)2

y 2

1

4 2m 2

6 ,轨迹为以点

(丁」m,0)为圆心,

1

(X m)2

例1满足条件AB 2, AC .2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是

解：以AB 中点为原点，直线

B (1,0)，设

C (x , y ),由 AC

书中，曾研

平方化简整理得寸 x 2 6x 1 (x 3)2 8 8 ,••• y 2 2，则

1 一 一 —2y 2y/

2 , • S ABC 的最大值是 2J2 . 2

变式 在 ABC 中，边BC 的中点为D ，若AB 2,BC 2 AD ,贝U ABC 的面积的

最大值是 _______ .

解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系， 则A ( 1,0), B (1,0), 由BD CD,BC .、2AD 知，AD 2BD , D 的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为 (x 3)2 y 2 8，设

C(x,y) , BC 的中点为D 得D (号，舟)，所以点C 的轨迹方程为 (宁 32

(y

)2 8，即(x 5)2

y 2 32 ,

1 ____________ — —

•

S ABC

2

2y y v ；32 ^'

2

，故

S ABC

的最大值是".

例2在平面直角坐标系 xOy 中，设点A(1,0), B(3,0), C(0, a), D(0,a 2)，若存在点

P ，使得PA 2PB, PC PD ，则实数a 的取值范围是 __________________ .

解：设 P(x,y)，则,(x 1)2 y 2

2 , (x 3)2 y 2 ,

整理得(x 5)2 y 2 8，即动点P 在以(5,0)为圆心，2,2为半径的圆上运动. 另一方面，由PC PD 知动点P 在线段CD 的垂直平分线y a 1上运动，因而问 题就转化为直线 y a 1与圆(x 5)2 y 2

8有交点，

所以a 1 2^2，故实数a 的取值范围是[2^2 1,242 1].

例3在平面直角坐标系 xOy 中，点A 0,3，直线I : y 2x 4.设圆的半径为1 , 圆心在丨上. 若圆C 上存在点M ，使MA 2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围•

2 2

x 0 y 。 1 4

S

ABC

解：设C a,2a 4 ，则圆方程为 2

y 2a 4 又设 M(x °,y °),

QMA 2MO

y 。

3 2 4x 02

4y °2,

这说明M 既在圆 2

小

x a y 2a

1上，又在圆x 2

2

4上，因而这

两个圆必有交点，即两圆相交或相切,

2 2

2 1 . a 0 2a 4 ( 1)

2 1 ,

12 12

解得0

a

-，即

a

的取值范围是［°,R

•切线I 方程为y 2

8

■ ^(x

15

解得a 2,b 1, i 2或a

(1) (2) (3)

例4已知O O : x 2 y 2

1和点 过点M 向O O 引切线I ，求直线 求以点M 为圆心，且被直线 y

设P 为（2） M(4,2).

I 的方程;

2x 1截得的弦长为4的O M 的方程;

中O M 上任一点，过点 P 向O O 引切线，切点为 Q.试探究：平面内是

否存在一定点R , PQ 使得 为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，

PR

请说明理由• 解：（1）设切线 I 方程为y 2 k(x

4)，易得

|4k 2|

1，解得

V'k 2 1

8帀 15

（2）圆心到直线y

2x 1的距离为 .5, 设圆的半径为r ，则r 2

22 (5)2

9

•••O M 的方程为（x 4)2 (y 2)2

9

（3）假设存在这样的点 R （a,b ），点P 的坐标为（x, y ），相应的定值为

根据题意可得PQ

'』(x a)2 (y b)2

即x 2

y 2 1

2

(x 2

y 2

2

2

2 ax 2 by a b )

(*),

又点 P 在圆上• (x 4)2 (y

2 2 2

2) 9，即 x y 8x 4y 11，代入(*)式得:

8x 4y 12

2

(8 2a)x (4 2b)y (a 2 b 2

11)

若系数对应相等，则等式恒成立,

2

(8 2

(4 2

(a 2

2a) 2b)

b 2 11) 12