第二十四章--《相似三角形》知识点总结(一)
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
新人教版八年级上册《相似三角形》知识点归纳总结-(1)
新人教版八年级上册《相似三角形》知识
点归纳总结-(1)
本文档主要介绍了新人教版八年级上册《相似三角形》的相关
知识点总结。
一、相似三角形
1.1 比例
- 全等三角形的对应边长相等，相似三角形的对应边长成比例。
1.2 判定方法
- 两个三角形对应角相等，则这两个三角形相似。
- 两个三角形有一对对应边成比例，且对应角相等，则这两个
三角形相似。
1.3 性质
- 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高成比例。
二、相似三角形的应用
2.1 海拔高度计算
- 利用相似三角形的性质，可以用已知高度和倾角计算出高处物体的距离。
2.2 建筑高度计算
- 利用相似三角形的性质，可以用已知长度和倾角计算出建筑物的高度。
2.3 尺规作图
- 尺规作图中的相似三角形一般用于解决带根式的等分问题。
三、注意事项
- 相似三角形只是形态相似，大小不一定相同。
- 应用相似三角形解题时，注意单位的转换和精度要求。
以上就是新人教版八年级上册《相似三角形》的知识点总结，希望可以帮助大家更好地理解和掌握这一部分的知识。
相似三角形知识点归纳(全)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质E BD DB C(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
相似三角形的知识点总结
相似三角形的知识点总结相似三角形是几何学中的重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在相似三角形中，对应角度相等，对应边的比例相等。
相似三角形的知识点包括相似比例、相似条件、相似性质以及相似定理等。
下面将逐一介绍这些知识点。
1. 相似比例：相似三角形的对应边的比例相等。
即若两个三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE = AC/DF = BC/EF。
2. 相似条件：两个三角形相似的条件有三种情况：a) 两个三角形的对应角度相等；b) 两个三角形的两个对应角度相等，且两个对应边的比例相等；c) 两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等。
3. 相似性质：相似三角形具有以下性质：a) 相似三角形的对应角度相等；b) 相似三角形的对应边的比例相等；c) 相似三角形的对应角的平分线相交于一点；d) 相似三角形的内角平分线相交于一点。
4. 相似定理：相似三角形的定理有多个，其中一些重要的定理包括：a) AA相似定理：若两个三角形的两个对应角度相等，则两个三角形相似；b) SSS相似定理：若两个三角形的对应边的比例相等，则两个三角形相似；c) SAS相似定理：若两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等，则两个三角形相似；d) 勾股定理的相似定理：若两个直角三角形的两条直角边分别成比例，则两个三角形相似。
相似三角形的知识点对于解决实际问题非常重要。
例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量阴影的长度和角度，计算出高楼的高度。
又如，在地图上测量两地的距离时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量地图上两地的距离和角度，计算出实际距离。
相似三角形是几何学中的重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
通过掌握相似三角形的知识点，我们可以更好地理解几何学中的相似性质，从而应用于实际生活中的测量和计算中。
九年级数学相似三角形知识点汇总参考(搜集整理全面细致)
.
（ 5）平行线分线段成比例定理 ：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例
.
（ 6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在
另一条直线上截得的线段也相等 .
这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之
, 有比例可得到平行线 . 首先要弄清三个基本图形：
九年级数学相似三角形知识点汇总参考
一、比例线段及比例的性质
1.比例线段： （ 1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段
a， b 的长度分别是 m， n，那么就说这两条线段的比是
a:b=m:n ，或写成
, 其中 a 叫做比的前项 ;b 叫做比的后项 .
（ 2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比
（ 3）向量平行的 判定定理： a 是一个非零向量，若存在一个实数 m ，使 b ma ，则向量 b 与非零向量 a 平行 .
（ 4）向量平行的性质定理：若向量 b与非零向量 a 平行 ，则存在一个实数 m ，使 b ma .
（ 5） A、 B、 C 三点的共线
AB// BC 若存在实数 λ ，使 AB λBC .
3
诠释： （ 1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （ 2）实数与向量不能进行加减运算；
（ 3） ka 表示向量的数乘运算， 书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，
面；
（ 4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系
.
3.实数与向量相乘的运算律
设 m 、 n 为实数，则：
注意不要将表示向量的箭头写在数字上
, 所截得的三角形的
三边与原三角形三边的对应成比例 .
相似三角形性质总结
相似三角形性质总结相似三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它在几何证明、计算以及实际问题中都有着广泛的应用。
接下来，我们就来详细总结一下相似三角形的性质。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
三、相似三角形的性质1、对应角相等相似三角形的对应角相等，这是相似三角形最基本的性质之一。
例如，若三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，那么∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。
2、对应边成比例相似三角形的对应边成比例。
设三角形ABC 与三角形A'B'C'相似，且相似比为 k，则有：AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C' ＝ k3、对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比。
假设 AD 和 A'D'分别是三角形ABC 和三角形 A'B'C'的高，那么 AD/A'D' ＝ k。
4、对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比。
例如，中线 AE 和 A'E'，则AE/A'E' ＝ k。
5、对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
角平分线 AF 和 A'F'，则 AF/A'F' ＝ k。
6、周长的比等于相似比两个相似三角形的周长比等于它们的相似比。
若三角形 ABC 的周长为 C1，三角形 A'B'C'的周长为 C2，则 C1/C2 ＝ k。
7、面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方。
《相似三角形的性质》 知识清单
《相似三角形的性质》知识清单一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比。
二、相似三角形的性质1、对应角相等相似三角形的对应角相等，这是相似三角形的最基本性质之一。
也就是说，如果两个三角形相似，那么它们的三个角分别对应相等。
例如，若三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，那么∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。
2、对应边成比例相似三角形的对应边成比例。
如果三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，且相似比为 k，那么：AB ／ A'B' ＝ BC ／ B'C' ＝ AC ／ A'C' ＝ k3、对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比。
从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
设三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，相似比为 k，AD 和 A'D'分别是它们的高，则：AD ／ A'D' ＝ k4、对应中线的比等于相似比中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段。
相似三角形对应中线的比等于相似比。
若三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，相似比为 k，AE 和 A'E'分别是它们的中线，则：AE ／ A'E' ＝ k5、对应角平分线的比等于相似比角平分线是将一个角平分为两个相等角的射线。
相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
假如三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，相似比为 k，AF 和 A'F'分别是它们的角平分线，则：AF ／ A'F' ＝ k6、周长的比等于相似比三角形的周长是三条边长度之和。
相似三角形知识点整理精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理 推论(骨干定理)平行线分线段成比例定理(基本定理)应用于△中 相似三角形定理1定理2 定理3 Rt △ 推论推论的逆定理推论角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形的计算与应用知识点总结
相似三角形的计算与应用知识点总结相似三角形是初中数学中较为重要的一个概念，它在几何图形的相似性以及角度和边长比例计算等方面有着广泛的应用。
掌握相似三角形的计算与应用是解决几何问题的关键。
本文将从相似三角形的定义入手，逐步介绍计算和应用知识点。
1. 相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状但可能不等大小的两个三角形。
两个相似三角形的对应角度相等，对应边长之比称为相似比。
具体而言：- 两个三角形的对应角度分别相等，即对应的三个角度完全相等或者对应的两个角度以及包含它们的一对对应边的夹角相等；- 对应边长之比相等，即三个边长的比值相等。
2. 相似三角形的性质相似三角形具有一些重要的性质，我们可以通过这些性质来进行计算和解决问题。
以下是常见的相似三角形性质：- 对应角的相等性：两个相似三角形的对应角度相等；- 对应边长的比例性：两个相似三角形的对应边长之比等于两个三角形的相似比；- 高度和底边之比的相等性：两个相似三角形的相似比等于其中一个三角形的高度和底边之比；- 面积之比的相等性：两个相似三角形的面积之比等于两个三角形的相似比的平方。
3. 相似三角形的计算方法a. 已知两个相似三角形的相似比和一个边长若已知两个相似三角形的相似比为k，求未知三角形的对应边长时，可以使用如下方法：- 若已知对应边边长：未知边长 = 已知边长 × k；- 若已知对应边边比：未知边长与已知边长的比等于对应边边比，即未知边长/已知边长 = 对应边边比。
b. 已知两个相似三角形的一个边长和一个角度若已知两个相似三角形的一个角度和一个边长，求未知三角形的对应边长时，可以使用正弦定理和余弦定理。
- 正弦定理：在一个三角形中，任意一对角和其对边的比值相等。
即 sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c；- 余弦定理：在一个三角形中，两个边和夹角的平方和等于第三边和其所对角的平方。
即 a² = b² + c² - 2bc * cos(A)。
初中数学相似三角形定理知识点总结
初中数学相似三角形定理知识点总结相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
下面是小编为大家带来的初中数学相似三角形定理知识点总结，欢迎阅读。
相似三角形定理1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号"∽"表示，读作"相似于"。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的`预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的"对应边相等"的条件改为"对应边成比例"就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2。
平面几何中的相似三角形知识点总结
平面几何中的相似三角形知识点总结
相似三角形是平面几何中重要的概念，它在解决实际问题和证明几何定理中起到重要的作用。
以下是相似三角形的知识点总结：
1. 相似三角形定义：相似三角形定义：
相似三角形是指具有对应角度相等且对应边长成比例的两个三角形。
2. 相似三角形定理：相似三角形定理：
- AAA相似定理：如果两个三角形的三个对应角度分别相等，那么这两个三角形是相似的。
- AA相似定理：如果两个三角形的一个角度相等，且它们的对边成比例，那么这两个三角形是相似的。
- SSS相似定理：如果两个三角形的三条对边成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. 相似三角形特性：相似三角形特性：
- 对应角相等：相似三角形的对应角度是相等的。
- 对边成比例：相似三角形的对应边长成比例，即各对应边的比值相等。
- 外接圆相似：相似三角形的外接圆是相似的。
4. 相似三角形的性质：相似三角形的性质：
- 相似三角形的周长比等于对应边长比。
- 相似三角形的面积比等于对应边长比的平方。
- 两个相似三角形的高度和底边成比例。
5. 相似三角形的应用：相似三角形的应用：
- 测量不可直接测量的长度：利用相似三角形的边长比例，可以测量无法直接测量的长度，如建筑物的高度、山的高度等。
- 解决实际问题：相似三角形的概念经常用于解决实际问题，如计算建筑物的阴影长度、确定图像的放大缩小比例等。
以上是平面几何中相似三角形的重要知识点总结。
掌握这些知识，能帮助我们更好地理解和解决与相似三角形相关的问题。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
1. 平行线分线段成比例定理
例.
已知 l 1∥ l 2∥ l 3,
A Dl
B El
: 三条平行线截两条直线
1 2
, 所得的 对应线段成比 .
C
Fl
可得 AB
DE AB 或
DE 等.
BC EF AC DF
2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其它两边
3
( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .
注意 ：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：黄金分割
1） 定义 ：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC＞BC ），如果 AC AB
ad bc
（两外项的积等于两内项积）
2. 反比性质：
ac bd
bd a c ( 把比的前项、后项交换 )
3. 更比性质 ( 交换比例的内项或外项 ) ：
ac bd
a b ，(交换内项 ) cd d c ，(交换外项 ) ba d b ．(同时交换内外项 ) ca
4. 合比性质
a
：
c
bd
ab b
cd （分子加（减）分母 , 分母不变）
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、 AF 、AC ，问图中是否存在非全 等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证： DF AC=BC FE
初中数学相似三角形知识总结
初中数学相似三角形知识总结在初中数学的学习中，相似三角形是一个非常重要的知识点。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，对于我们解决实际问题也具有重要的意义。
接下来，让我们一起深入了解相似三角形的相关知识。
一、相似三角形的定义相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
也就是说，如果两个三角形的对应角相等，对应边的比值都相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'，且 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'，那么三角形ABC 就与三角形 A'B'C'相似，记作：△ABC ∽△A'B'C'。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
比如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，若∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，那么△ABC ∽△DEF。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，若AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且∠A ＝∠A'，则△ABC ∽△A'B'C'。
3、三边成比例的两个三角形相似。
当两个三角形的三条边对应成比例时，这两个三角形相似。
比如三角形 MNP 和三角形 XYZ 中，若 MN/XY ＝ NP/YZ ＝ MP/XZ，那么△MNP ∽△XYZ。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等。
这是相似三角形的基本性质之一，也是判断两个三角形相似的重要依据。
相似三角形章节知识点
相似三角形章节知识点在数学中，相似三角形是一种重要的几何概念。
当两个三角形的对应角度相等，并且对应边长成比例时，我们称这两个三角形为相似三角形。
在本文中，我们将探讨相似三角形的性质、判定条件以及相关定理和应用。
一、相似三角形的性质1. 相似三角形的角度是相等的：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似的。
2. 相似三角形的对应边长成比例：在相似三角形中，对应边长之间的比值是相等的。
例如，如果AB / DE = BC / EF = AC / DF，那么三角形ABC与三角形DEF相似。
二、相似三角形的判断条件1. AAA相似判别法：如果两个三角形的对应角度分别相等，那么它们是相似的。
这个判断条件称为“角-角-角”相似判别法。
2. AA相似判别法：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的对边成比例，那么它们是相似的。
这个判断条件称为“角-角-比”相似判别法。
3. SAS相似判别法：如果两个三角形的一个角相等，两个边成比例，那么它们是相似的。
这个判断条件称为“边-角-边”相似判别法。
三、相似三角形的重要定理1. 相似三角形的边长比定理：如果两个三角形相似，那么它们对应边的比值等于它们对应角的比值。
2. 相似三角形的高比定理：如果两个相似三角形的对应边成比例，那么它们的高也成比例。
3. 相似三角形的面积比定理：如果两个相似三角形的对应边成比例，那么它们的面积的比值等于对应边的平方的比值。
四、相似三角形的应用1. 海伦公式：海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式。
如果我们知道三角形的三边长度，可以使用海伦公式来计算其面积。
在相似三角形中，海伦公式也适用，只需要将对应边的比值代入公式即可。
2. 测量高度：相似三角形的高比定理可以用于测量难以直接测量的高度。
例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，测量与高楼顶端相似的三角形的高度，然后通过比例关系计算出高楼的实际高度。
相似三角形知识点总结 1(1)
相似三⻆形知识点总结知识点1有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三⻆形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应⻆相等，对应边成⽐例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边⻓度的⽐叫做相似⽐(相似系数)．知识点2⽐例线段的相关概念（1）如果选⽤同⼀单位量得两条线段的⻓度分别为，那么就说这两条线段的⽐是，或写成．注：在求线段⽐时，线段单位要统⼀。
（2）在四条线段中，如果的⽐等于的⽐，那么这四条线段叫做成⽐例线段，简称⽐例线段．注：①⽐例线段是有顺序的，如果说是的第四⽐例项，那么应得⽐例式为：．②a、d叫⽐例外项，b、c叫⽐例内项,a、c叫⽐例前项，b、d叫⽐例后项，d叫第四⽐例项，如果b=c，即那么b叫做a、d的⽐例中项，此时有。
（3）⻩⾦分割：把线段分成两条线段，且使是的⽐例中项，即，叫做把线段⻩⾦分割，点叫做线段的⻩⾦分割点，其中≈0.618．即简记为：注：⻩⾦三⻆形：顶⻆是360知识点3⽐例的性质（注意性质⽴的条件：分⺟不能为0）（1）基本性质：1；②．（2）反⽐性质(把⽐的前项、后项交换)：．（3）等⽐性质：如果，那么．可利⽤分式性质将连等式的每⼀个⽐的前项与后项同时乘以⼀个数，再利⽤等⽐性质也成⽴．如：；其中．知识点4⽐例线段的有关定理1.三⻆形中平⾏线分线段成⽐例定理:平⾏于三⻆形⼀边的直线截其它两边(或两边的延⻓线)所得的对应线段成⽐例.由DE∥BC可得：①结论：平⾏于三⻆形的⼀边,并且和其它两边相交的直线,所截的三⻆形的三边．．．．．．对．．．．．．与原三⻆形三边应成⽐例.②三⻆形中平⾏线分线段成⽐例定理的逆定理：如果⼀条直线截三⻆形的两边(或两边的延⻓线)所得的对应线段成⽐例.那么这条直线平⾏于三⻆形的第三边.此定理给出了⼀种证明两直线平⾏⽅法,即：利⽤⽐例式证平⾏线.③平⾏线的应⽤：在证明有关⽐例线段时，辅助线往往做平⾏线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的⽐及所求的两条线段的⽐.2.平⾏线分线段成⽐例定理:三条平⾏线截两条直线,所截得的对应线段成⽐例.已知AD∥BE∥CF,可得等.知识点5三⻆形相似的判定⽅法1、定义法：三个对应⻆相等，三条对应边成⽐例的两个三⻆形相似．2、平⾏法：平⾏于三⻆形⼀边的直线和其它两边(或两边的延⻓线)相交，所构成的三⻆形与原三⻆形相似．3、判定定理1：如果⼀个三⻆形的两个⻆与另⼀个三⻆形的两个⻆对应相等，那么这两个三⻆形相似．简述为：两⻆对应相等，两三⻆形相似．4、判定定理2：如果⼀个三⻆形的两条边与另⼀个三⻆形的两条边对应成⽐例，并且夹⻆相等，那么这两个三⻆形相似．简述为：两边对应成⽐例且夹⻆相等，两三⻆形相似．5、判定定理3：如果⼀个三⻆形的三条边与另⼀个三⻆形的三条边对应成⽐例，那么这两个三⻆形相似．简述为：三边对应成⽐例，两三⻆形相似．6、判定直⻆三⻆形相似的⽅法：射影定理：在直⻆三⻆形中，斜边上的⾼是两直⻆边在斜边上射影的⽐例中项。
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
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数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点大总结
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点大总结相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。
相似三角形具有许多重要的性质和应用，在初中数学中经常会用到。
以下是相似三角形的知识点总结。
一、相似三角形的定义和性质：1.相似三角形的定义：两个三角形的对应角相等且对应边成比例。
2.相似三角形的性质：-两个相似三角形的对应边成比例。
-两个相似三角形的对应角相等。
-相似三角形的形状相似但大小不一定相等。
3.相似三角形的判定：-AAA准则：两个三角形的对应角相等，则它们相似。
-AA准则：两个三角形的两个对应角相等，则它们相似。
4.相似三角形的比例关系：-相似三角形的对应边成比例。
-相似三角形的周长成比例。
-相似三角形的面积成比例。
二、相似三角形的证明方法：1.直接证明法：通过角度和边的对应关系，直接证明两个三角形的对应角相等且对应边成比例。
2.间接证明法：通过反证法，假设两个三角形不相似，通过推理产生矛盾，证明假设错误。
三、相似三角形的应用：1.相似三角形的便利性：在研究形状相似的图形时，可以利用相似三角形的性质，简化问题的解决过程。
2.相似三角形的比例问题：通过相似三角形的比例关系，可以解决线段的比例问题、面积的比例问题等。
3.相似三角形的定理应用：如比例定理、高度定理、角平分线定理等，都是通过相似三角形的性质来证明的。
4.相似三角形的构造问题：如已知一个三角形和一条边的比例，可以利用相似三角形的性质，构造出一个相似的三角形。
四、相似三角形与图形的应用：1.相似三角形与勾股定理的应用：根据勾股定理和角度的对应关系，可以判断两条线段之间的关系，如判断一个三角形是否为直角三角形。
2.相似三角形与平行四边形的应用：通过相似三角形的性质，可以证明平行四边形的对边成比例。
3.相似三角形与平行线的应用：通过相似三角形的性质，可以证明平行线与直线之间的角度关系。
五、相似三角形的注意事项：1.相似三角形的顺序：在比较两个三角形相似性时，对应的角和边的位置要一一对应。
相似三角形知识点
相似三角形知识点相似三角形是指两个或者更多的三角形，它们的对应角度相等，而且对应边的比例也相等。
相似三角形在数学中具有重要的应用，可以帮助解决实际问题和推导出其他几何定理。
首先，了解相似三角形的定义是非常重要的。
两个三角形如果它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等，那么它们就是相似的。
这可以表示为∠A ≌∠D，∠B ≌∠E，∠C ≌∠F，且AB/DE = AC/DF = BC/EF。
接下来是相似三角形的性质。
相似三角形的性质包括边的比例关系、角度的对应关系和周长、面积的比例关系。
对于相似三角形ABC和DEF，有以下性质：1. 长度比例：AB/DE = AC/DF = BC/EF相似三角形的边长之比在相似三角形的所有对应边中都成立。
2. 高度比例：h1/h2 = AB/DE = AC/DF = BC/EF相似三角形的高度之比在相似三角形的所有对应边中都成立。
3. 面积比例：S1/S2 = (AB/DE)² = (AC/DF)² = (BC/EF)²相似三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。
4. 角度相等：∠A ≌∠D，∠B ≌∠E，∠C ≌∠F相似三角形的所有对应角度相等。
5. 直角三角形的性质：直角三角形的相似三角形仍为直角三角形。
在实际应用中，相似三角形可以用来解决各种问题。
其中一种常见的应用是测量无法直接测量的高度。
通过相似三角形的高度比例公式，我们可以通过测量已知三角形的高度和边长，来计算未知三角形的高度。
另外，相似三角形还可以用来解决追踪问题。
当两个物体以相似的速度移动时，它们的轨迹将是相似三角形。
我们可以通过测量已知三角形的边长和角度，来推算未知三角形的边长和角度。
除了以上的应用，相似三角形还可以用来证明其他几何定理。
例如，利用相似三角形的边长比例关系，可以证明平行线的等式，推导出面积定理和角平分线定理等。
总结来说，相似三角形是研究几何形状和计算测量的重要工具。