§3.2.2 函数模型的应用举例

第三章函数的应用

3.2 函数模型及其应用

§3.2.2 函数模型的应用举例

【学习目标】

1.能够运用函数性质，解决某些简单的实际问题。

2.能够根据实际问题构建适当的函数模型，体会函数模型的广泛应用。

【预习提纲】

1.函数模型的分类及其建立与应用

根据实际应用问题提供的两个变量的数量关系是否确定，可把构建的函数模型分为两大类：第一类是确定函数模型，这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的；第二类是近似函数模型，或称拟合函数模型，这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）.

根据函数自身的种类，常见函数模型可分为一次函数模型、、、、、等.

2.解答应用问题的程序概括为以下几点：

（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符合语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义.

【例题精讲】

例1．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：

①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；

②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；

③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．

其中正确信息的序号是( )

A．①②③B．①③

C．②③D．①②

例2. 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象。

h

例3.一种药在病人血液中得量保持在1500 mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险。现给某病人的静脉注射了这种药2500 mg ，如果药在血液中以每小时%20的比例衰减，那么应在什么时间范围再向病人的血液补充这种药（精确到0.1 mg ）

【归纳点拨】 实际问题的建模方法： 1.认真审题，准确理解题意；

2.从实际问题出发，抓准数量关系，恰当引入变量或建立直角坐标系。运用已有的数学知识和方法，将数量关系用数学符号表示出来，建立函数关系式；

3.研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出解答。 【课堂反馈】

1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )

A ．)20000(8003.0≤≤+=x x y

B ．)20000(16003.0≤≤+=x x y

C ．)20000(8003.0≤≤+-=x x y

D ．)20000(16003.0≤≤+-=x x y

2．如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则)(x f y =的图象大致为四个选项中的( )

3．某工厂8年来某产品年产量y 与时间t 年的函数关系如图，则：

①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年中总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产；

④第3年后，这种产品年产量保持不变． 以上说法中正确的是________．

4．依法纳税是每个公民应尽的义务，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过2 000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过2 000元部分需征税，设全月纳税所得额(所得额指工资、薪金中应纳税的部分)为x ，x

(1)若应纳税额为)(x f (2)某人2008年10月份工资总收入为4 200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？

【总结思考】

本节课你都学会了什么？有哪些收获？

【巩固延伸】

1.某厂日产手套总成本y （元）与手套日产量x （副）的关系式为40005+=x y ，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（ ）

Ａ．２００副 Ｂ．400副 Ｃ．600副 Ｄ．800副 2.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的

4

3

，要使存留的污垢不超过%1，则至少要洗的次数（ ） A. 3 B.4 C.5 D.6

3.以每秒a 米的速度从地面垂直向上发射子弹，t 秒后的高度x 米可由2

9.4t at x -=确定，已知5秒后子弹高245米，问子弹保持245米以上（含245米）高度共有（ ） A ．4 秒 B ．5秒 C ．6秒 D ．7秒

4.某市有绿地100平方千米，计划每年按%10的速度扩大绿地面积，则三年后该市的绿地为 平方千米.

5.将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 .

6.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系可近似看作一次函数)0(≠+=k b kx y ，函数图象如图所示．

(1)根据图象，求一次函数)0(≠+=k b kx y 的表达式；

(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为s 元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？

7．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.

(1)经过x 年后，该地区的廉价住房为y 万平方米，求)(x f y =的表达式，并求此函数的定义域．

(2)作出函数)(x f y =的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？

【挑战自我】

1.某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

⎪⎩⎪⎨⎧

>≤≤-=)400(80000

)

4000(2

1400)(2

x x x x x R .

（1）将利润表示为月产量的函数);(x f

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）