圆柱和圆锥体积中的典型题--等积变形
圆柱体积 的等积变换 练习题(附答案)
圆柱体积的等积变换练习题（附答案）1、把一块棱长12分米的正方体木料加工成一个体积最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是多少？2、把一个长10分米，宽6分米，高0.5分米的长方体铸造成一个圆柱体，这个圆柱体的体积应该是多少？3、一个长8分米，宽6分米，高4分米的长方体与一个圆柱体的体积相等，高相等，这个圆柱的底面积是多少？4、把一块长31.4厘米，宽20厘米，高4厘米的长方体钢坯，熔化后浇铸成底面半径是4厘米的圆柱体，圆柱体的高是多少厘米？（损耗不计）5、把一块长12.56厘米，宽2厘米，高10厘米的长方体铁块熔化后铸成底面半径是2厘米的圆柱，这个圆柱的高是多少厘米？6、把一个楞长是4厘米的正方体铁块浸没在一个圆柱形杯子中，水面升高0.8厘米，求杯子的底面积是多少？7、在一个底面直径为20厘米的圆柱形容器中装有水，将一个底面直径为10厘米的圆柱铁锤放入水中，当铁锤从圆柱形容器中取出后，水面下降1厘米，求铁锤的高。
8、一个圆柱形水桶的底面直径是40厘米，桶内水面的高度是20cm ,当把一些碎石头放入水中后，水面升高到30cm,你知道这些碎石头的体积是多少立方分米吗?9、一个圆柱形玻璃杯底面半径是10厘米，里面装不水，水的高度是12厘米，把一小块铁块放进杯中，水上升到15厘米，这块铁块重多少克？（每立方厘米铁重7.8克）10、一个圆柱形玻璃杯底面直径是20厘米，里面装有水，水的高度是15厘米，把一小块铁块放进杯中，水上升到35厘米，这块铁块重多少千克？（每立方厘米铁重7.8克）11、把一个棱长为6分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积多少立方分米？12、把一个棱长为6分米的正方体木块，加工成一个最大的圆柱，求削去木块的体积。
答案：1、12×12×12=1728立方分米2、10×6×0.5=30立方分米3、8×6=48立方分米4、31.4×20×4=2512立方厘米 4×4×3.14=50.24平方厘米2512÷50.24=50厘米5、12.56×2×10=251.2立方厘米 2×2×3.14=12.56平方厘米251.2÷12.56=20厘米6、4×4×4=64立方厘米 64÷0.8=80平方厘米7、20÷2=10厘米 10×10×3.14×1=314立方厘米10÷2=5厘米 5×5×3.14=78.5平方厘米314÷78.5=4厘米8、20厘米=2分米 30厘米=3分米 3-2=1分米 40厘米=4分米4÷2=2分米 2×2×3.14×1=12.56立方分米9、10×10×3.14=314平方厘米 15-12=3厘米314×3=942立方厘米 942×7.8=7347.6克10、20÷2=10厘米 10×10×3.14=314平方厘米35-15=20厘米 314×20=6280克=6.28千克11、6÷2=3分米 3×3×3.14=28.26平方分米 28.26×6=169.56立方分米12、6×6×6=216立方分米 6÷2=3分米 3×3×3.14=28.26平方分米 28.26×6=169.56立方分米 216-169.56=46.44立方分米。
关于六上圆柱等积变形的易错题和好题
圆柱等积变形的易错题和好题1．如图，把纸盒里的牛奶倒入圆柱体容器中正好倒满，这纸盒中的牛奶有多少毫升？2．一个底面内半径和高分别是12cm、20cm的空心圆锥和空心圆柱组合成如图①所示的容器。
若在这个密封容器内注入一些细沙，则不仅能填满圆锥，还能填注部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm。
若将这个容器如图①倒立，则沙子的高度是多少厘米？3．一个小圆锥体玩具被芳芳一不小心掉进了一个底面积为3平方分米，高4分米的圆柱体量杯中，她发现正好水面上升了1分米。
你能求出这个小圆锥体玩具的体积吗？4．下图中圆柱杯子与圆锥杯子底面积相等，把圆锥杯子装满水倒进圆柱杯子，至少需要倒（）杯才能把圆柱杯子装满。
请在下面用你喜欢的方式描述你的思考过程。
5．如图所示，一个长方体礼盒刚好能容纳6个圆柱形茶叶罐（单位：厘米）（1）一个圆柱形茶叶罐的体积是多少立方厘米？（2）做一个长方体礼盒至少需要多少平方厘米的包装材料？（接口处不计）（3）能容纳这6个茶叶罐的长方体礼盒还可以设计出不同的方案，你所设计的礼盒长是（），宽是（），高是（）。
6．一个底面半径是10厘米的圆柱形玻璃杯，原来水深15厘米，现在把一块长和宽都是8厘米，高是42厘米的长方体铁块垂直放入水中，水没有溢出，求水面上升了多少厘米？7．袁隆平爷爷，世界上第一个成功利用水稻杂交优势的科学家，被誉为“杂交水稻之父”，发展杂交水稻，造福世界人民是袁降平院士毕生的追求。
目前，我国杂交水稻年种植积约2.57亿亩，非杂交水稻年种植面积约1.94亿亩，2020年我国稻谷总产量约为120亿千克，其中杂交水稻产量与非杂交水稻产量的比为13①7，杂交水稻每年增产的稻谷，可为中国多养活8000万人。
（1）2020年杂交水稻产量约多少亿千克？，那么问题为___________________。
（2）根据上面的信息，如果列式为1.94 2.57（3）如下图，已知圆锥形谷堆的底面直径是圆柱形铁桶底面直径的2倍，它们的高一样，把这些稻谷装在铁桶中（铁桶厚度忽略不计），装得下吗？请把你的想法写下来。
圆柱和圆锥等积变形
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目录
添加目录项标题 圆柱和圆锥等积变形的性 质 圆柱和圆锥等积变形的实 例分析
圆柱和圆锥等积变形的基 本概念
圆柱和圆锥等积变形的实 现方法
圆柱和圆锥等积变形的未 来发展
01
添加பைடு நூலகம்节标题
02
圆柱和圆锥等积变 形的基本概念
圆柱和圆锥的体积公式
圆柱的体积公式：V=πr²h 圆锥的体积公式：V=(1/3)πr²h 等积变形：在保持体积不变的情况下，将圆柱或圆锥进行形状变化
基本概念：等积变形是几何学中一个重要的概念，涉及到形状的变化而不改变其体积
等积变形的定义和条件
定义：在几何形状的变换过程中，保持体积不变的变形称为等积变形。
条件：等积变形需要满足一定的条件，即变形前后体积相等。
应用：等积变形在几何学、物理学和工程学等领域有广泛的应用。
举例：圆柱和圆锥等积变形是等积变形的一个实例，通过变换可以得到圆锥的体积等于圆柱的 体积。
理论计算方法
圆柱和圆锥的体积公式 等积变形的条件：体积不变 变形前后体积相等的证明 变形过程中的变量关系和调整方法
实验测试方法
准备等积变形所需的圆柱和圆 锥模型
测量并记录圆柱和圆锥的初始 体积
对圆柱和圆锥进行变形操作， 使其变为等积形状
再次测量并记录变形后的体积， 验证是否相等
数值模拟方法
定义：通过数 学模型和计算 机技术模拟物 理现象的方法
案例分析结果和结论
圆柱和圆锥等积变形的实例分析表明，等积变形是可能的，但需要满足一定的条件。
实例分析中，我们发现变形后的圆锥体积与原圆柱体积相等，证明了等积变形的可行性。
实例分析还表明，等积变形的过程需要保持连续性和稳定性，以避免产生裂缝或变形。
圆柱和圆锥体积中的典型题--等积变形ppt课件
圆柱和圆锥中的典型题
讲解：数学老师
1
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【例1】把一块高为9cm的圆锥形钢坯浸在一个底面 积为28.26cm2的圆柱形水桶内，水面上升了2cm，这 个圆柱形钢坯的底面积是多少平方厘米？
解：上升的水的体积： 26.26×2=50.24（cm3）
圆锥的底面积： 50.24 ×3÷9=18.84（ cm2）
答：这个圆锥形钢坯的底面积是18.84 平方厘米。
2
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【例2】如图，圆柱形零件有多高？圆锥形零件有多 高？（单位：cm，结果保留整数）
·10
正方体零件熔铸成圆柱形零件
10 10
10 4
长方体零件熔铸成圆锥形零件
10 20
14
3
完整版课件
10
【例2】如图，圆柱形零件有多高？圆锥形零件有多 高？（单位：cm，结果保留整数）
4
长方体零件熔铸成圆锥形零件
10
20
14
解：长方体的体积： 20×10×4=800（cm3）
圆锥的底面积： 3.14×（14÷2）2 =153.86（cm2）
圆锥的高：
800 ×3 ÷153.86 ≈16（cm）
答：圆锥形零件的高是16厘米。
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5
正方体零件熔铸成圆柱形零件
10 10
解：正方体的体积： 10×10×10=1000（cm3）
圆柱的底面积： 3.14×52 =78.5（cm3）
圆柱的高： 1000 ÷78.5 ≈13（cm）
圆柱与圆锥的等积变形(课件)北师大版六年级下册数学
度。
S底=3.14×52=78.5(cm2)
V圆锥=13×3.14×62h×=130 76.8÷78.5
= 37.68×10 =4.8(cm)
=376.8(cm3)
答:圆柱内水面的高度为4.8厘米。
变式1： 在一个底面直径是8厘米，高10厘米的圆柱 形量杯内放入一些水，水面高是8厘米。把 一个小球浸没在量杯里，水满后还溢出 12.56克。求小球的体积。（每立方厘米水 重1克）
分析:放入小球前水的高度是8cm，还没达到量 杯的高度，放入小球后，水满溢出，水不仅升高 了10-8=2（cm）,还有水溢出，
溢出水的体积：12.56÷1=12.56（cm³）
3.14×（8÷2）²×（10-8）+12.56
=100.48+12.56 =113.04（cm³）
答：小球的体积是113.04cm³。
1250 20 100（0 毫升)
5 厘米
20 5
答：瓶内有饮料1000毫升。
20
厘 米
8、把一个正方体木块削成一个最大的圆 锥。正方体木块的棱长是6 dm，被削 去部分的体积是多少立方分米？
63－
1 3
×3.14×(6÷2)2×6＝159.48(dm3)
答：被削去部分的体积是159.48 dm3。
半径:15.7÷3.14÷2=2.5（dm） 体积：3.14×2.5²×2=39.25（dm³） 高：39.25×3÷10=11.775（dm）
答：圆锥的高是11.775 分米。
3、把一个体积是282.6立方厘米的铁块熔
铸成一个底面半径是6厘米的圆锥形机器零
件，求圆锥零件的高。
282.6÷（3.14×62× 1 ）
3-2.4= 0.6（分米）
圆柱与圆锥的等积变形问题
圆柱与圆锥的等积变形问题1.一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加1/3，现在的高和原来的高度比是多少？2.把三角形ABC沿着边AB或BC分别旋转一周，得到两个圆锥（如图1、图2），（单位：厘米）谁的体积大？大多少立方厘米？3.一个圆锥形钢锭，底面直径6分米，高5分米，体积多少？如果每立方分米重3千克，这个钢锭重几千克？4.两个盛满水的底面半径为10厘米、高30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器中，求水深。
5、有一个圆柱形钢材。
它的高是1.2米，它的侧面积是7.536平方米。
问：它的质量是多少吨？（每立方厘米钢重7.8克，得数保留整数吨）6、有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，以知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的长度为多少厘米？7 、有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30立方分米。
现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。
问：瓶内现有饮料多少立方分米？8、皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。
皮球的直径为15厘米，水桶底面直径厘米。
皮球又4/5的体积浸在水里，问：皮球吊进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？（半径为r的球的体积是4/3∏r³。
）9、有一个下面是圆柱体，上面是圆锥体的容器，圆柱体的高度是10厘米，圆锥体的高度是6厘米，容器内的液面高度是7厘米。
当将这个容器倒过来放时，从圆锥的见到液面的高是多少厘米？10有一种酒瓶，容积为495立方厘米，当酒瓶瓶口向上时，瓶内酒的高度是15厘米，瓶口向下时，余下部分的高是5厘米，求瓶内酒有多少立方厘米？11、一个封闭的圆柱体容器横放时长12厘米，侧面圆直径4厘米，现里面水位高2厘米，若竖放水位多高？12.一个圆锥与一个圆柱的底面积比是3:2，体积比是2:5，如果圆柱的高与圆锥之和是36厘米，求圆锥的高是多少厘米？。
圆柱与圆锥难题解析
二、切割问题 1、一根长4米,底面直径4厘米的圆柱形钢
材,把它锯成同样长的3段,表面积比原来增加了
多少平方厘米?
五、图形题 3、如图, 你能否求它的体积?( 单位:厘米)
3.14×(2÷2)2×(4+6) ÷2 = 15.7(cm3)
4
2
6
五、图形题 解法二： 4
2
6
3.14×(2÷2)2×4=12.56(cm3) 3.14×(2÷2)2×(6-4)÷2 =3.14(cm3)
12.56+3.14= 15.7(cm3)
五、图形题
2、如下图所示，有一块长方形铁皮，把其中 的阴影部分剪下，正好制成一个圆柱形油桶。求 这块长方形铁皮的面积是多少？
12.56cm
8÷2=4(cm)
3.14×4=12.56(cm)
8cm
12.56+4=16.56(cm)
16.56cm
16.56×8=132.48(cm 2)
V沙= 14V锥
11
4× ×33.14×12 ×0.6 = 0.157(m3)
六、动态几何
1、一个直角梯形，以它的下底为轴旋转一周，
形成一个图形（如图），你能算出这个图形的体积
吗？（单位：厘米解）法一：13×3.14×62×(4-2)
2
=75.36(cm3)
3.14×62×2
6
4 6 2=226.08(cm3)
五、图形题 1、如图，在一个棱长是20厘米的正方体铸铁
中，以相对的两个面为底，挖出一个最大的圆柱
体。求剩下的铸铁的体积是多少立方厘米？
解法一：20×20×20-3.14×（20÷2）2×20
解法二：
20×20 ÷4×（4-3.14）×20 = 17S正20(cm3S)底
圆柱与圆锥等底等积等高等积练习ppt课件
（2）在等底等体积的情况下，圆锥的高是1分
米，圆柱的高是（1/3）分米；如果圆柱的高
是1分米，圆锥的高是（ 3）分米。
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比一比，谁的反应最灵敏！
一、对号入座
1、一个圆柱和一个圆锥等底等体积，圆柱的高是3分米， 圆锥的高是（ ）分③米。 ①3 ②1 ③9
2、一个圆柱和一个圆锥等高等体积，圆锥的底面积是3 平方分米，圆柱的底面积是（ ①）平方分米
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大胆猜测：
如果在体积相等底面积相等的条件下， 圆锥和圆柱高之间又有怎样的关系？
在体积相等底面积相等的条件下，圆锥 的高与圆柱高的比是3：1。
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练一练（口答）：
（1）一个圆柱和一个圆锥体积相等，高也相 等，圆柱的底面半径是2厘米，圆锥的底面积 是（ 37.6）8 平方厘米。
•
4、把一个底面半径是6厘米，高是10厘米的 圆锥形容器灌满水，然后把水倒入一个 底面半径是5厘米的圆柱形容器里，求圆 柱形容器内水面的高度。
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圆柱与圆锥的体积关系 拓展练习
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1
圆柱与圆锥等底等高
精选ppt
2
圆锥体积： 圆柱体积：
1、一个圆柱的体积是60立方厘米，与它等 底等高圆锥的体积是（20 ）立方厘米。
2、一个圆柱比一个与它等底等高的圆锥的体积 多12立方米，这个圆柱的体积是（18）立方米。
3、一个圆柱和一个与它等底等高圆锥的体积
之和是24立方米，圆柱的体积是（18）立方 米，圆锥的体积是（ 6）立方米。
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圆柱圆锥练习等积变形
8、一个圆锥形沙堆，占地面积为15平方米， 高2米，把这堆沙铺在宽8米的路上，平 均厚度5厘米，能铺路多少米？
2厘米=0.02米
a×0.2= 10×π×0.4 a= 62.8
6、一个长方体钢坯，长50厘米，宽20厘 米，高10厘米，铸造成一个底面直径是 20厘米的圆柱形钢柱，高多少厘米？ （得数保留整数）
7、一个棱长为5分米的正方体油桶装满油， 倒入一个底面积是10平方米的圆柱形油桶 中，正好倒满，这个油桶高多少分米？
解：设圆锥的高为h。 体积不变：圆柱体积 圆锥体 h=6
3、一个圆锥形沙堆底面直径8米，高12分 米，把这些沙子铺在一条长31.4米，宽8米 的道路上，能铺多厚？
解：设能铺h米厚。 体积不变：长方体体积=圆锥体积
10×π×8×h= 16×π×0.4 8÷2=4米 12分米=1.2米 10×π×8×h= 16×π×0.4 5×h= 0.4 h= 0.08
等积变形问题
1、一辆货车箱是一个长方体，它的长是4 米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙， 卸后沙堆成一个高是1.5米的圆锥形，它的 底面积是多少平方米？
沙的体积不变
2、把一个底面积是12.56平方分米，高是 4.5分米的圆柱形钢材熔铸成一个底面直 径是6分米的圆锥，这个圆锥的高是多少 分米？
4、一个圆锥形沙堆，底面积是3.6平方米， 高是3米。将这堆沙装在一个底面积是2.4 的圆柱形沙坑里，能装多高？
解：设能铺h米厚。 体积不变：圆柱体积=圆锥体积
5、一个圆锥形沙堆，底面积是31.4平方米， 高是1.2米。用这堆沙在10米宽的公路上， 铺上2厘米厚的路，能铺多少米长？
解：设能铺a米长。 体积不变：长方体体积=圆锥体积
典例分析(等积变形问题)
等积变形问题【例1】要锻造一个直径为100毫米，高为80毫米的圆柱形毛坯，应截取直径为160毫米的圆钢多长？分析：需要直径为100mm、高为80mm的圆柱，用直径为160mm的圆钢锻造，在锻造过程中，圆柱的直径、高都变了，没有变化的是圆柱的体积．因此本题的相等关系是锻造前的圆柱体积=锻造后的圆柱体积．[解]根据题意，得802x=502×8080x=2500x=31.25答：应截取的圆钢长为31.25毫米．[说明]1．等积类应用题的基本关系式是：变形前的体积=变形后的体积．2．有关圆柱、圆锥、球等体积变换问题中，经常给的条件是直径，而公式中用的是半径，不注意这一点就会犯错误．【例2】有一个底面半径为5cm的圆柱形储油器，油中浸有钢珠，若从中捞出546π克钢珠．问液面将下降多少厘米？(1cm3钢珠重7.8克) [分析]设液面下降xcm，列表：等量关系：液面下降后减少的体积=钢珠的体积[解]设液面下降x厘米，依题意得方程两边同除以π，得70=25xx=2.8答：圆柱形储油器内液面下降2.8cm．[说明]当方程两边的每一项中都含有圆周率π时，一般采用在等号两边同除以π将方程化简的方法，而不用以π的近似数代入计算的苯方法．【例3】一圆柱形水桶，它的高和底面直径都是22厘米，盛满水后把水倒入底面长、宽分别是30厘米和20厘米的长方体容器．问这个长方体容器的高至少要多少厘米？(π取3.14，结果精确到0.1)．[分析]本题是等积问题，其等量关系：圆柱的体积=长方体的体积．这类问题也可用列表来分析前后变化的体积关系．[解]设这个长方体容器的高至少要x厘米．依题意，得答：这个长方体容器的高至少要13.9厘米．【例4】现有一条直径为12cm的圆柱形铅柱，若铸造12只直径为12cm的铅球，问应截取多长的铅柱？(损耗不计)[分析]此类题是等积变形问题．解等积变形的应用题．一般利用几何变形前后的体积相等的等量关系来列出方程．如果设变形前的圆柱形铅柱长为xcm，则可依据如下的等量关系列出方程：变形前的xcm长的圆柱形的体积=变形后12个直径为12cm的球的体积．[解]设应截取的圆柱形铅柱长为xcm，由题意列方程：答：应截取的铅圆柱长为96cm．[说明]半径为R的球的体积公式是：【例5】要铸造一个零件毛坯，其上部是底面直径为6cm，高是2cm 的圆锥体；下部是直径和高度都是6cm的圆柱体．问需要熔解多长截面边长为4cm的正方形钢锭？(精确到1cm)[分析]这个问题涉及到三个几何体，成品中的圆锥体、圆柱体和原料中的长方体．解题的关键是正确表示出三个几何体的体积．等量关系是：组合体的体积=长方体的体积．[解]设需要该种钢锭xcm，那么钢锭的体积为：42·x；由题意可得：∴x≈12(cm)答：需要该种钢锭12cm．[说明]等体积变形问题往往用到一些体积公式，要注意复习这些公式．底圆半径为r，高为h的。
数学北师大版六年级下册圆柱与圆锥的体积延伸---等积变形
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知识应用
一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相 等。 已知圆柱的高是4dm，圆锥的高是多少？ 想一想:当一个圆柱与一个圆锥 的底面积和体积分别相等时，圆 锥的高与圆柱的高又是什么关系 呢？
4× 3＝12（dm）
答：圆锥的高是12dm 。
A
B
C
D
E
圆锥( )与圆柱( )的体积相等
等积变形
勉县定军山镇中心小学教师 张玉华
看看想想:
圆柱和圆锥的底和高有什
么关系?
圆柱和ห้องสมุดไป่ตู้锥等底等高
你发现了什么?
圆柱的体积是与它等底 等高圆锥体积的3倍. 圆柱的体积是与它等底 1 等高圆锥体积的 3 .
圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝
高
圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝底面积
高 高
1 3
圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝底面积
高 高
1 3
努 力 吧 ！
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因为体积相等， 底面积相等， 所以圆锥的高应是圆柱的3倍： 因为体积相等， 高相等， 所以圆锥的底面积应是圆柱的3 倍
实践活动：
一个圆柱形橡皮泥，底面积是12 平方厘米，高是5厘米。 （1）如果把它捏成同样底面大 小的圆锥，这个圆锥的高是多少？
（2）如果把它捏成同样高的圆 锥，这个圆锥的底面积是多少？
第①小题：因为体积不变， 底面积不变， 所以圆锥的高应是圆柱的3倍： 5× 3＝15cm 第②小题：因为体积不变， 高不变， 所以圆锥的底面积应是圆柱的3 2 倍：12× 3＝36cm
圆锥体积练习(等积变形)(课件)-六年级下册数学苏教版
5厘米
等积变形二：锻造
把一个底面半径是3厘米、高32厘米的 圆锥形铁块熔铸成一个底面半径是4厘 米的圆柱形零件，这个圆柱形零件的 高是多少厘米？
等积变形
等积变形二：锻造
将一个体积是20立方厘米的圆柱形钢 块锻造成一个底面积是30平方厘米的 圆锥形零件，这个圆锥形零件的高是 多少厘米？
等积变形
圆柱、圆锥的体积练习
----- 等积变形
忆一忆：
圆柱和圆锥的体积 公式之间有什么联系?
说一说：
• 1、一个圆柱形橡皮泥，底面积是 15平方厘米，高6厘米。
(1)把它捏成一个底面积是15平方厘 米的圆锥形，这个圆锥形零件的高 是（ ）厘米。
• 1、一个圆柱形橡皮泥，底面积是 15平方厘米，高6厘米。
等积变形
1.在一个直径是20厘米的圆柱形容器里，放入 一个底面半径3厘米的圆锥体，圆锥体全部浸 没在水中，这时水面上升0.3厘米，并且没有 溢出。圆锥的高是多少厘米？
圆锥的体积＝上升圆柱水的体积
回顾反思：
• 通过这节课的学习，你有什么收获？
随堂练
• 1.小芳生病了，在医院要输液250毫升，输 液瓶液面高度是10厘米（如图①）。护士给 小芳设置了平均每分钟2.5毫升的输液速度， 20分钟后，空的部分高度是6厘米（如图 ②）。
• （1）这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？ （2）这个输液瓶的容积是多少？
10厘米
6厘米
• 2.一个修路队把一堆底面半径3米 、高1.5米的圆锥形沙石铺在10米 宽的公路上。若铺2厘米厚，则能 铺多少米？
3.把一个圆柱形铁块熔铸成一个圆锥 形铁块，已知圆柱的底面半径是4分米， 高3分米，熔铸成的圆锥的底面半径是 3分米，那么锥的高是多少分米？
圆柱和圆锥体积中的典型题-等积变形
例2
一个圆锥的底面半径为4cm，高为 6cm，将其等积变形为一个长方体， 求长方体的体积。
05 等积变形问题的解题技巧
灵活运用公式
1 2
熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式
V=πr²h（圆柱）和V=1/3πr²h（圆锥）。
理解等积变形的含义
等积变形是指形状改变，但体积保持不变。
3
正确运用等积Leabharlann 形定理在等积变形中，高度和半径的比值保持不变。
方程求解等。
等积变形问题的发展趋势
随着数学和物理学理论的不断发展，等积变形问题也在不断演变。未来， 这类问题可能会更加复杂和多样化，涉及到更多的几何形状和物理现象。
未来解决等积变形问题的方法可能会更加多样化和创新。例如，可能会 引入更高级的数学工具，如微分几何、线性代数等，来更好地描述和解 决这类问题。
等积变形问题的发展趋势还表现在实际应用中。随着科技的不断进步， 这类问题在工程、机械、建筑等领域的应用越来越广泛。未来，等积变 形问题可能会成为解决实际问题的重要工具之一。
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重要性及应用场景
等积变形问题在数学竞赛、高考数学中频繁出现，是考察学生数学综合素质的重 要题型之一。
等积变形问题不仅有助于培养学生的空间想象能力和几何变换能力，还可以为解 决实际问题提供思路和方法，如建筑设计、机械制造等领域中需要进行形状变换 的问题。
02 等积变形的概念
定义与性质
定义
等积变形是指两个或多个几何形 状的体积相等，但形状可能不同 。
03 圆柱等积变形问题
圆柱等积变形的基本类型
圆柱的底面半径不变， 高发生变化的等积变 形。
圆柱的底面半径和高 同时发生变化的等积 变形。
圆柱与圆锥中的等积变形
金桥学案六年级数学第五周圆柱与圆锥中的等积变形
圆柱和圆锥的关系
①一个圆柱的底面半径是3cm,高是12cm ,它的体积是（）cm³
②一个圆锥的底面周长是12.56cm，高是9cm，它的体积是（）cm³
二.解决问题
⒈一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56m，高是1.5m，把这堆沙铺在一个长5m,宽3m沙坑里，这堆沙能铺多少厘米厚？
2.有一段钢可做一个底面直径8cm，高９cm的圆柱形零件，如果把它改制成高是12cm的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？
3.一个圆锥形谷堆的底周长是12.56m，高是2.7m，现在把它全部装在一个底面积是６.２８cm²的圆柱形粮囤里，高是多少？
４.一辆货车箱是一个长方体，它的长是４m，宽是１.５m，高是4m，装满一车沙，卸后沙堆成一高是５dm的圆锥形，它的底面积是多少平方米？
5.一个直径是20cm的圆柱形玻璃杯中装有水，水里放有一个底面直径是6cm，高是10cm的圆锥形铁块。
当把圆锥形铁块取出来后，玻璃杯中的水面会下降多少厘米？
6.有甲、乙两个容器，先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。
7.把一块长15.7cm ，宽是8cm ，高５cm 的长方体铝锭和一块底面直径是６cm ，高２４cm 的圆柱形铝锭熔铸成一个底面半径８cm 的圆锥体铝块，求这个圆锥体铝块是多少厘米？
8.一个半径是3厘米、高是9厘米的圆锥形容器里装满水，把它倒入半径是2厘米、高是15厘米的圆柱形容器里，水深多少厘米？
9.一个圆柱形玻璃缸，底面直径长4分米，里面盛了水，投入一个底面积是1.2平方分米、高6分米的圆锥后（全部浸没在水中）玻璃缸的水面升高多少分米？（得数保留两位小数）。
专题：北师大版六上圆柱与圆锥体积关系分类练习
专题：圆柱与圆锥体积解题技巧类型一：用圆柱和圆锥的关系解决问题例1：一段圆柱形木材的底面周长是12.56 分米，高是4.5 分米。
将它削成最大的圆锥形木材，削去部分的体积是多少立方分米？练习1：一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积一共是72 立方分米，那么圆柱的体积是多少立方分米？类型二：用等积变形法解决与体积有关的问题例2：将一个底面半径为20 厘米，高为27 厘米的圆锥形铝材和一个底面半径为30 厘米，高为20 厘米的圆柱形铝材熔铸成一个底面半径为15 厘米的新圆柱形铝材，求这个新圆柱形铝材的高是多少？练习1：把一个长、宽、高分别是9 厘米、7 厘米、3 厘米的长方体铅块和一个棱长是5 厘米的正方体铅块熔铸成一个圆锥，圆锥的底面直径是20 厘米，它的高是多少厘米？练习2：一个圆柱与一个圆锥的体积相等，圆柱的高与圆锥的高之比是4:9，圆锥的底面积是20 平方厘米，圆柱的底面积是多少平方厘米？类型三：圆柱与圆锥体积的关系例3：一个圆柱和一个圆锥体积相等，这个圆柱和圆锥的底面直径的比是1:3.圆锥的高是3 厘米，圆柱的高是多少厘米？练习1：一个圆柱和一个圆锥体积相等，它们的底面半径之比是2:3，圆柱的高是4厘米，圆锥的高是多少厘米？类型四：求不规则物体的体积例4：在一个底面直径是20 厘米、高15 厘米的圆柱形容器中盛有一部分水，水面高度是10 厘米，将一块石头浸没在水中，容器溢出了8 毫升水。
这块石头的体积是多少立方厘米？（思路提示：因为有水溢出，所以石头的体积=上升部分圆柱形水柱的体积+溢出水的体积）练习1：有一个底面直径为20 厘米的圆柱形玻璃杯，里面装有一些水，已知杯中水面距杯口3 厘米，若将一个圆柱形铅锤浸没水中，水会溢出20 毫升，铅锤的体积是多少立方厘米？练习2：一个底面直径是10 厘米、高为12 厘米的圆锥形铅锤浸没在底面直径是20厘米的圆柱形玻璃容器中，如果把铅锤取出，圆柱形容器的水面会下降多少厘米？。
等积变形问题
等积变形问题【复习】1.（1）等底等高的圆柱体和圆锥体体积之和是28立方米, 圆柱体的体积是多少？(2)一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积相差50.24立方厘米。
如果圆锥体的底面半径是2厘米，这个圆锥体的高是多少厘米？2.（1）把一个棱长是10分米的正方形木块，削成一个最大的圆柱，需要削去多少立方分米的木块？(2)一个圆柱体木块，底面直径和高都是10厘米，若把它加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？3.（1）前进镇去年水稻总产量是2400吨，比小麦总产量多20％，小麦总产量是多少吨？（2）青山果园的苹果树和梨树一共有120棵，其中梨树的棵数是苹果树的1/4，青山果园的苹果树和梨树各有多少棵？（3）一只圆柱形玻璃杯，内底面直径是8厘米，内装药水的深度是16厘米，恰好占整杯容量的4/5。
这只玻璃杯最多能盛药水多少毫升？4.（1）某停车场，共停着18辆三轮车和小轿车，它们的轮子共有66个，问三轮车和小轿车各有几辆？（2）一群鸵鸟和斑马，眼睛共有100只，脚共有156只，问鸵鸟几只？斑马几匹？1一、等积变形问题1. (1)把一个体积是282.6立方厘米的铁块熔铸成一个底面半径是6厘米的圆锥形机器零件，求圆锥零件的高？(2)在一个直径是20厘米的圆柱形容器里，放入一个底面半径3里米的圆锥形铁块，全部浸没在水中，这时水面上升0.3厘米。
圆锥形铁块的高是多少厘米？(3)把一个底面半径是6厘米，高是10厘米的圆锥形容器灌满水，然后把水倒入一个底面半径是5厘米的圆柱形容器里，求圆柱形容器内水面的高度？(4)一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高6米，将这些沙铺在宽10米的道路上铺0.04厘米厚，可以铺多少米长？（5）把一个长、宽、高分别为9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长是5厘米的正方体铁块,熔铸成一个圆柱体, 这个圆柱体的底面直径是20厘米, 高是多少厘米?2二、阴影面积1.计算下面各图中阴影部分的面积。
体积的等积变形 小学数学 练习题
一、选择题1. 一个圆锥和一个圆柱体积和底面积都相等，圆锥的高是9cm，圆柱的高是（）A．3cm B．9cm C．18cm D．27cm2. 把一个长方体铁块熔铸成一个正方体后，体积（）。
A．变小B．变大C．不变3. 如图正方体和圆锥两个容器等底等高，用圆锥形容器装满水，倒进正方体容器中，正方体容器里的液面高度是（）厘米。
A．2 B．3 C．44. 将一个正方体坯铸造成一个长方体铁块（没有损耗），（）不变。
A．面积B．体积C．高度D．长度5. 把一块棱长是0.6米的正方体钢坯，锻成横截面是0.09平方米的长方体钢材，锻成的钢材长（）（用方程解）。
A．4米B．24米C．2.4米D．20米二、填空题6. 一个长方体的水槽，从里面量长24分米，宽5分米，深8分米。
如果将360升水倒入水槽，水槽中水深________分米。
7. 一块长方体橡皮泥，底面积是15平方厘米，高是6厘米。
把它捏成一个底面积是30平方厘米的圆锥，设圆锥的高是x厘米，根据( )不变，可以列出方程( )，解得圆锥的高是( )厘米。
8. 把60升水倒入一个长为5分米，宽为4分米的长方体容器里，水的高度是_____分米。
9. 一个圆锥形沙堆，底面周长是62.8米，高是6米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺10厘米厚的路面，能铺( )米长的路。
10. 一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是24立方分米，那么圆柱的体积是_________立方分米．三、解答题11. 一个圆柱形水槽，底面半径是8厘米，水槽中完全浸没一个铁块，当铁块取出时，水面下降了6厘米，这个铁块的体积是多少立方厘米？12. 如图，有两个长方体水箱，在甲箱中装入水，水深为15厘米，若将这些水倒入乙箱，水深多少厘米？13. 一个圆柱形容器的底面半径是4分米，高是6分米，里面盛满水，倒进棱长是8分米的正方体容器内，水深是多少分米？14. 把一个底面半径为6厘米，高为1分米的圆柱形钢柱，熔铸成一个底面直径为20厘米的圆锥，圆锥的高是多少厘米？。
人教版数学6年级下册 第3单元(圆柱和圆锥)专项训练《等积变形》(含答案)
人教版六年级数学下册第三单元专项训练《等积变形》（含答案）1．把一个圆柱底面平均分成若千个扇形，沿高切开拼成一个近似长方体。
这个长方体的宽是4厘米，高是20厘米，这个圆柱的体积是多少？2．把一个棱长是8分米的正方体铁块熔铸成一个底面直径是10分米的圆柱，这个圆柱的高大约是多少？（得数保留一位小数）3．一个圆柱形水池装满水，它的底面积是12.56平方米，深3米，将水池的水全部倒入一个长8米、宽3米、深2米的长方体水池，长方体的水面高是多少米？4．把一个棱长8分米的正方体木块加工成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少立方分米？5．一个圆柱体，如果把它的高截短2厘米，它的表面积就减少94.2平方厘米，这个圆柱体的体积减少多少立方厘米？6．将一个底面直径是20厘米，高为12厘米的金属圆锥体，全部浸没在直径是20厘米的圆柱形水槽中，水槽水面会升高多少厘米？7．一个圆锥形沙堆，底面积12.56平方米，高1.2米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？8．一个圆锥形沙堆，底面积是24平方米，高是1.8米。
用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？9．把一个长、宽、高分别是7厘米、3厘米、9厘米的长方体铁块和一个棱长是5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径是10厘米的圆柱，这个圆柱的高是多少？10．机灵狗有一块体积是753.6立方厘米的绿色橡皮泥，它用这块橡皮泥捏成了等底等高的一个圆柱体和一个圆锥体。
则这个圆柱体体积是多少立方分米？11．在底面半径为5厘米、高为18厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径3厘米、高为10厘米的圆锥形铅块，放水将铅块全部淹没。
当铅块取出后，玻璃缸中的水面下降了多少厘米？12．学校的跳远沙池长6.28米，宽2米，学校运来一堆沙子（堆放如图）。
如果把这些沙子均匀地铺在跳远沙池中，可以铺多厚？13．把一个棱长6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，需要削去多少立方分米的木头？14．把一个长是10厘米，宽和高都是5厘米的长方体铁块和一个棱长是4厘米的正方体铁块，一起熔铸成一个底面周长是314厘米的圆柱。
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圆柱和圆锥中的典型题
讲解：数学老师
精品课件
【例1】把一块高为9cm的圆锥形钢坯浸在一个底面 积为28.26cm2的圆柱形水桶内，水面上升了2cm，这 个圆柱形钢坯的底面积是多少平方厘米？
解：上升的水的体积： 26.26×2=50.24（cm3）
圆锥的底面积： 50.24 ×3÷9=18.84（ cm2）
4
长方体零件熔铸成圆锥形零件
10
20
14
解：长方体的体积： 20×10×4=800（cm3）
圆锥的底面积： 3.14×（14÷2）2 =153.86（cm2） 圆锥的高：
800 ×3 ÷153.86 ≈16（cm） 答：圆锥形零件的高是16厘米。
精品课件
答：这个圆锥形钢坯的底面积是18.84 平方厘米。
精品课件
【例2】如图，圆柱形零件有多高？圆锥形零件有多 高？（单位：cm，结果保留整数）
·10
正方体零件熔铸成圆柱形零件
10 10
10 4
长方体零件熔铸成圆锥形零件
10 20
14
精品课件
10【例2】如图，圆柱Fra bibliotek零件有多高？圆锥形零件有多 高？（单位：cm，结果保留整数）
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正方体零件熔铸成圆柱形零件 10 10
解：正方体的体积： 10×10×10=1000（cm3）
圆柱的底面积： 3.14×52 =78.5（cm3）
圆柱的高： 1000 ÷78.5 ≈13（cm）
答：圆柱形零件的高是13厘米。
精品课件
【例2】如图，圆柱形零件有多高？圆锥形零件有多 高？（单位：cm，结果保留整数）