高中数学竞赛知识点

数学

均值不等式

被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。

其中：，被称为调和平均数。

，被称为几何平均数。

，被称为算术平均数。

，被称为平方平均数。

一般形式

设函数（当r不等于0时）；（当r=0时），有时，。

可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即

。

特例

⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号）

⑵对非负实数a,b，有，即

⑶对非负实数a,b，有

⑷对实数a,b，有

⑸对非负实数a,b，有

⑹对实数a,b，有

⑺对实数a,b,c，有

⑻对非负数a,b，有

⑼对非负数a,b,c，有

在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：

当n=2时，上式即：

当且仅当时，等号成立。

根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。

排序不等式

基本形式：

排序不等式的证明

要证

只需证

根据基本不等式

只需证

∴原结论正确

棣莫弗定理

设两个复数（用三角形式表示），则：

复数乘方公式：.

圆排列

定义

从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相

同。

计算公式

n个不同元素的m-圆排列个数N为：

特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：。

费马小定理

费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

组合恒等式

组合数C(k,n)的定义：从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。

基本的组合恒等式

nC(k,n)=kC(k-1,n-1)

C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)

∑C(i,n)=2^n

∑[(-1)^i]*C(i,n)=0

C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】）

C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)

C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n)

韦达定理

逆定理

如果两数α和β满足如下关系：α+β=，α·β=，那么这两个数α和β是方程

的根。

通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。[5]

推广定理

韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

定理：

设（i=1、2、3、……n）是方程：

的n个根，记k为整数），则有：。[ 实系数方程虚根成对定理：

实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。

无穷递降法

无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为：

假设方程有解，并设X为最小的解。

从X推出一个更小的解Y。

从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。

孙子定理

又称中国剩余定理，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设

是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。

设为模的数论倒数：方程组的通解

形式：

在模的意义下，方程组只有一个解：

同余

同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表示:

1)a≡a(mod d)

2)a≡b(mod d)→b≡a(mod d)

3)(a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)

如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则

4)a+b≡x+m （mod d）

其中a≡x (mod d)，b≡m(mod d)

5)a-b≡x-m (mod d)

其中a≡x (mod d),b≡m (mod d)

6)a*b≡x*m (mod d )

其中a≡x (mod d),b≡m (mod d)

7）a≡b（mod d）则a-b整除d

欧拉函数

φ函数的值通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。(注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互

素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数

φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

若n为质数则φ(n)=n-1。

格点

定义

数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(lattice point)或整点。

性质

1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。

2、格点关于格点的对称点为格点。

3、格点多边形面积公式（坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念。）设某格点多边形内部有格点a个，格点多边形的边上有格点b个，该格点多边形面积为S，

则根据皮克公式有S=a+b/2-1。

4，格点正多边形只能是正方形。

5，格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。

三面角

定义

三面角：由三个面构成的多面角称为三面角，如图中三面角可记作∠O-ABC。

特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。

三面角的补三面角：由三条自已知三面角定点发出的垂直于已知三面角的三个平面的射线组成的三面角叫做已知三面角的补三面角。

性质

1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。

2、三面角的三个二面角的和大于180°，小于540°。

三面角相关定理

设三面角∠O-ABC的三个面角∠AOB、∠BOC、∠AOC所对的二面角依次为∠OC，∠OA，∠OB。