参数的区间估计
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P { T1 T T 2 } 1
(4)将上式表达式变形为P{ˆ1 ˆ2}1 (5)写出参数的置信区间(ˆ1,ˆ2)
一 .正 态 分 布 中 参 数 的 区 间 估 计 :
(1)
2=
2 0
已 知 时 ,求 的 置 信 区 间
选用
U= X : N(0,1)
0/ n
对 给 定 的 1-
由 P{ Z U Z } 1
• 区间估计的定义与一般步骤 点估计方法有两个缺陷: (1)不能说明估计值与真值的偏差到底有多大(精 确性); (2)不能说明这个估计有多大的可信度(可靠性);
e
• 例:设有一批电子元件的寿命X~N(a，１），现 从中抽取容量为５的一组样本，算得其样本均 值为５０００小时，试估计a．
• 解：由点估计,a的估计值为aˆ 5000 .
当样本容量一定时,提高估计的可靠度，将降低 估计的精度，相反，提高估计的精度，将降低 估计的可靠度.
区间估计的一般步骤: (1)选 取 一 个 合 适 的 随 机 变 量 T,这 个 随 机 变 量 一 方 面 包 括 了 待 估 参 数 ,另 一 方 面 , 它的分布是已知的; (2)根 据 实 际 需 要 ,选 取 合 适 的 置 信 度 1-; (3)根 据 相 应 分 布 的 分 位 数 概 念 ,写 出 如 下 形式的概率表达式
1n 于 是 对 给 定 的 一 个 正 数 (0 1),有
P{
X 1
a n
<z }=1-
即
P{X
1 n
z <a<X
1 n
z
}=1-
由 于 aˆ = X 是 一 个 随 机 变 量 , 它 有 自 己 的 分 布
X : N (a, 1 ) n
因 此 , U X a : N (0,1) 1n
置信区间为(2.106, 2.140)
注:两种不同的条件,得到两种不同的结果.
其可靠性相同,而精度却不同,已知时的 估计精度比未知时的估计精度差.但一般
情况下,给定的信息越多,估计越精确,而本例 能说明什么问题呢?
二 .两 个 正 态 总 体 中 参 数 的 区 间 估 计 :
(
1
)
2 1
,
2
2
P { ˆ1 ˆ2 } 1 成 立,我 们 称1 为 置 信 度 或 置 信 概 率 ,区 间 ( ˆ1 ,ˆ2 )为 参 数 的 置 信 度 为1 的 置 信 区 间 .分 别 称 ˆ1 ,ˆ2为 置 信 上 限 和 置 信 下 限 .
• 需要指出:
区间估计中的精确性与可靠性是相互矛盾的.
(
-
1
2
)
:
t(m
n 2)
SW
1 1 mn
对 给 定 的 1-
由 P{ t (m n 2) T t (m n 2)} 1
2
2
得
( X Y SW
1 m
1
n
t
2
(
m
n
2 ),
11
X Y SW
m
n
t
2
(
m
n
2))
11
X Y SW
m
n
t
2
(
m
n
2
(3)
1, 2未
知
时
,求
2 1 2 2
的
置
信
区
间
选用
S
2 X
F=
2 1
S
2 Y
2 2
: F (m 1, n 1)
对 给 定 的 1-
由
P
{
F1
2
(
m
1, n
1)
F
F (m
2
1, n
1))}
1
得
(
S
2 X
n2
n2
( 3 ) 未 知 时 , 求 2的 置 信 区 间
选用
2
=
(n
1)S 2
2
:
2( n - 1 )
对 给 定 的 1-
由
P
{
1
2
2
(
n
1)
2
2(n
2
1)}
1
得 ( (n 1)S 2 , (n 1)S 2 )
2 (n 1)
2
1
2
2
(n
1
例 :随 机 地 从 一 批 钉 子 中 抽 取 6枚 ,测 得 长度为 2.14 2.10 2.15 2.10 2.13 2.12
0
Z)
n2
n2
这 里 ,Z0.05 1.645, n 6, 代 入 得 的 90%的
置 信 区 间 为 (2.056, 2.190)
(2) 未知时,选取
T= X : t(n-1)
Sn
置信区间为(
X
S
t(n-1),X
S
t (n-1)
n2
n2
这里,t0.05 (5) 2.015, 代入得的90%的
2
2
得 ( X 0 Z ,X 0 Z )
n2
n2
(2) 2未 知 时 ,求 的 置 信 区 间
选 用 T= X : T(n-1) S/ n
对 给 定 的 1-
由 P{ t (n 1) T t (n 1)} 1
2
2
得 ( X S t (n 1),X S t (n 1) )
已
知
时
,
求
1
-
的
2
置
信
区
间
选用
U= (X Y ) (1-2) : N(0,1)
12 22
mn
对 给 定 的 1-
由 P{ Z U Z } 1
2
2
得
( X Y
12 m
22 n
Z
2
,X
Y
2 1
m
2 2
n
Z )
2
(2)
2 1
22 =
2
未
知
时
,求
1-
的
2
置
信来自百度文库
区
间
选用
T=
(X
Y
)
实际上a的值是非真是５000呢？显然，不同的
抽样，可得到不同的 a ˆ aˆ
值，故５000与a会有差
异．这种差异有多大呢？
我们从另一个角度考虑
由 于 aˆ = X 是 一 个 随 机 变 量 , 它 有 自 己 的 分 布 X : N (a, 1 )
n 因 此 , U X a : N (0,1)
如 果 取 0.05有 Z 1.96,于 是 有 P {1 0 .7 2 < a <1 2 .4 8} = 0 .9 5
这 就 是 说 ,我 们 有 95%的 把 握 认 为 a在 区 间 (10.72 , 12.48) 内 .
定 义 :设 总 体 X 的 分 布 中 含 有 未 知 参 数 , 是 任 意 给 定 的 正 数 (0< <1),如 果 能 从 样 本 出 发 确 定 出 两 个 统 计 量 ˆ1 ( X 1 , X 2 ,L , X n ), ˆ2 ( X 1 , X 2 ,L , X n ), 使 得
并 设 总 体 X : N(, 2 ),试 求 下 列 情 况 下 的
90%的 置 信 区 间.
(1) 2 0.01; (2) 2未 知 ;
解 :容 易 求 出 x=2.123,
( 1 ) = 0 0 .1已 知 时 , 选 取
U= X : N(0,1) 0 n
置信区间为(
X
0
Z ,X
(4)将上式表达式变形为P{ˆ1 ˆ2}1 (5)写出参数的置信区间(ˆ1,ˆ2)
一 .正 态 分 布 中 参 数 的 区 间 估 计 :
(1)
2=
2 0
已 知 时 ,求 的 置 信 区 间
选用
U= X : N(0,1)
0/ n
对 给 定 的 1-
由 P{ Z U Z } 1
• 区间估计的定义与一般步骤 点估计方法有两个缺陷: (1)不能说明估计值与真值的偏差到底有多大(精 确性); (2)不能说明这个估计有多大的可信度(可靠性);
e
• 例:设有一批电子元件的寿命X~N(a，１），现 从中抽取容量为５的一组样本，算得其样本均 值为５０００小时，试估计a．
• 解：由点估计,a的估计值为aˆ 5000 .
当样本容量一定时,提高估计的可靠度，将降低 估计的精度，相反，提高估计的精度，将降低 估计的可靠度.
区间估计的一般步骤: (1)选 取 一 个 合 适 的 随 机 变 量 T,这 个 随 机 变 量 一 方 面 包 括 了 待 估 参 数 ,另 一 方 面 , 它的分布是已知的; (2)根 据 实 际 需 要 ,选 取 合 适 的 置 信 度 1-; (3)根 据 相 应 分 布 的 分 位 数 概 念 ,写 出 如 下 形式的概率表达式
1n 于 是 对 给 定 的 一 个 正 数 (0 1),有
P{
X 1
a n
<z }=1-
即
P{X
1 n
z <a<X
1 n
z
}=1-
由 于 aˆ = X 是 一 个 随 机 变 量 , 它 有 自 己 的 分 布
X : N (a, 1 ) n
因 此 , U X a : N (0,1) 1n
置信区间为(2.106, 2.140)
注:两种不同的条件,得到两种不同的结果.
其可靠性相同,而精度却不同,已知时的 估计精度比未知时的估计精度差.但一般
情况下,给定的信息越多,估计越精确,而本例 能说明什么问题呢?
二 .两 个 正 态 总 体 中 参 数 的 区 间 估 计 :
(
1
)
2 1
,
2
2
P { ˆ1 ˆ2 } 1 成 立,我 们 称1 为 置 信 度 或 置 信 概 率 ,区 间 ( ˆ1 ,ˆ2 )为 参 数 的 置 信 度 为1 的 置 信 区 间 .分 别 称 ˆ1 ,ˆ2为 置 信 上 限 和 置 信 下 限 .
• 需要指出:
区间估计中的精确性与可靠性是相互矛盾的.
(
-
1
2
)
:
t(m
n 2)
SW
1 1 mn
对 给 定 的 1-
由 P{ t (m n 2) T t (m n 2)} 1
2
2
得
( X Y SW
1 m
1
n
t
2
(
m
n
2 ),
11
X Y SW
m
n
t
2
(
m
n
2))
11
X Y SW
m
n
t
2
(
m
n
2
(3)
1, 2未
知
时
,求
2 1 2 2
的
置
信
区
间
选用
S
2 X
F=
2 1
S
2 Y
2 2
: F (m 1, n 1)
对 给 定 的 1-
由
P
{
F1
2
(
m
1, n
1)
F
F (m
2
1, n
1))}
1
得
(
S
2 X
n2
n2
( 3 ) 未 知 时 , 求 2的 置 信 区 间
选用
2
=
(n
1)S 2
2
:
2( n - 1 )
对 给 定 的 1-
由
P
{
1
2
2
(
n
1)
2
2(n
2
1)}
1
得 ( (n 1)S 2 , (n 1)S 2 )
2 (n 1)
2
1
2
2
(n
1
例 :随 机 地 从 一 批 钉 子 中 抽 取 6枚 ,测 得 长度为 2.14 2.10 2.15 2.10 2.13 2.12
0
Z)
n2
n2
这 里 ,Z0.05 1.645, n 6, 代 入 得 的 90%的
置 信 区 间 为 (2.056, 2.190)
(2) 未知时,选取
T= X : t(n-1)
Sn
置信区间为(
X
S
t(n-1),X
S
t (n-1)
n2
n2
这里,t0.05 (5) 2.015, 代入得的90%的
2
2
得 ( X 0 Z ,X 0 Z )
n2
n2
(2) 2未 知 时 ,求 的 置 信 区 间
选 用 T= X : T(n-1) S/ n
对 给 定 的 1-
由 P{ t (n 1) T t (n 1)} 1
2
2
得 ( X S t (n 1),X S t (n 1) )
已
知
时
,
求
1
-
的
2
置
信
区
间
选用
U= (X Y ) (1-2) : N(0,1)
12 22
mn
对 给 定 的 1-
由 P{ Z U Z } 1
2
2
得
( X Y
12 m
22 n
Z
2
,X
Y
2 1
m
2 2
n
Z )
2
(2)
2 1
22 =
2
未
知
时
,求
1-
的
2
置
信来自百度文库
区
间
选用
T=
(X
Y
)
实际上a的值是非真是５000呢？显然，不同的
抽样，可得到不同的 a ˆ aˆ
值，故５000与a会有差
异．这种差异有多大呢？
我们从另一个角度考虑
由 于 aˆ = X 是 一 个 随 机 变 量 , 它 有 自 己 的 分 布 X : N (a, 1 )
n 因 此 , U X a : N (0,1)
如 果 取 0.05有 Z 1.96,于 是 有 P {1 0 .7 2 < a <1 2 .4 8} = 0 .9 5
这 就 是 说 ,我 们 有 95%的 把 握 认 为 a在 区 间 (10.72 , 12.48) 内 .
定 义 :设 总 体 X 的 分 布 中 含 有 未 知 参 数 , 是 任 意 给 定 的 正 数 (0< <1),如 果 能 从 样 本 出 发 确 定 出 两 个 统 计 量 ˆ1 ( X 1 , X 2 ,L , X n ), ˆ2 ( X 1 , X 2 ,L , X n ), 使 得
并 设 总 体 X : N(, 2 ),试 求 下 列 情 况 下 的
90%的 置 信 区 间.
(1) 2 0.01; (2) 2未 知 ;
解 :容 易 求 出 x=2.123,
( 1 ) = 0 0 .1已 知 时 , 选 取
U= X : N(0,1) 0 n
置信区间为(
X
0
Z ,X