“放缩法”技巧

例谈“放缩法”证明不等式的基本策略

近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例1、已知*

21().n n a n N =-∈求证：

*12

231

1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111

.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232

k k k k k k

k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q

1222311111111

...(...)(1),2322223223

n n n n a a a n n n a a a +∴

+++≥-+++=-->-

*122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的

值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k

-，从而是使和式得到化简.

2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）=

x

x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +

)(2

1

21*1

N n n ∈-+. 证明：由f (n )=

n

n 414+=1-

11

11422n n

>-+? 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n

2211221122112

1

?-

++?-

+?-Λ

)(21

2

1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ.

此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进

行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）

例3、已知a n =n ，求证：∑n

k=1

k a 2k

＜3．

证明：∑n

k=1

2

k a =∑n

k=1

＜1＋∑n

k=2

1

(k －1)k (k ＋1)

＜１＋∑n

k=2

2(

k －1)(k ＋

1) ( k ＋1

＋k －1 ) =1n

k =+=1＋ ∑n

k=2

(

1(k

－1) －1

(k ＋

1)

)

=1＋1＋

2

－1(n ＋1) ＜2＋2＜3． 本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.

4、放大或缩小“因式”；

例4、已知数列{}n a 满足2

111

,0,2n n

a a a +=<≤求证：121

1().32n

k k k k a a a ++=-<∑ 证明 22112131110,,,.2416n n a a a a a a +<≤

=∴=≤≤Q L 2311,0,16k k a a +∴≥<≤≤当时 12

1111

1111()()().161632

n

n k k k k k n k k a a a a a a a ++++==∴-≤-=-<∑∑ 本题通过对因式2k a +放大，而得到一个容易求和的式子11

()n

k

k k a

a +=-∑，最终得出证明.

5、逐项放大或缩小

例5、设)1(433221+++?+?+?=n n a n Λ求证：2

)1(2)1(2

+<<+n a n n n

证明：∵ n n n n =>+2)1( 2

1

2)21()1(2+=

+<+n n n n ∴ 2

1

2)1(+<+

∴ 2

)

12(31321++++<<++++n a n n ΛΛ， ∴2)1(2)1(2+<<+n a n n n

本题利用21

2

n n +<<，对n a 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的

数列，达到化简的目的。

6、固定一部分项，放缩另外的项； 例6、求证：2222111171234

n ++++

<=---Q

2222211111111151171()().1232231424

n n n n ∴

++++<++-++-=+-<-L L 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

7、利用基本不等式放缩

例7、已知54n a n =-1对任何正整数m n ，都成立.

1，只要证 51mn m n a a a >++

因为 54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++，

故只要证 5(54)12520()16mn mn m n ->+-+++

即只要证 202037m n +->

因为558m n a a m n ≤+=+-558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-， 所以命题得证.

本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由m n a a +放大即可.

8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩

例8、.已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n .

(1)证明：n i

A i m ＜m i

A i n ；(2)证明：(1+m )n

＞(1+n )m

证明：(1)对于1＜i ≤m ，且A i m =m ·…·(m －i +1)，

n i n n n n n n m i m m m m m m i

i m i i m 1

1A ,11A +-?

?-?=+-??-?=ΛΛ同理， 由于m ＜n ，对于整数k =1，2，…，i －1，有

m

k

m n k n ->

-， 所以i m i i n i i i m

i i n n m m

n A A ,A A >>即

(2)由二项式定理有：

(1+m )n

=1+C 1n m +C 2n m 2

+…+C n

n m n

，

(1+n )m

=1+C 1m n +C 2m n 2

+…+C m m n m

，

由(1)知m

i

A i n

＞n

i

A i m

(1＜i ≤m ＜n )，而

C i m

=!

A C ,!A i i i n

i n i m = ∴m i C i

n ＞n i C i

m (1＜m ＜n )

∴m 0

C 0n =n 0

C 0n =1，m C 1n =n C 1m =m ·n ，m 2

C 2n ＞n 2

C 2

m ，…，

m m C m n ＞n m C m m ，m m +1C 1+m n

＞0，…，m n C n n ＞0， ∴1+C 1n m +C 2n m 2

+…+C n n m n ＞1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m

，

即(1+m )n ＞(1+n )m

成立.

以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.

求证

证明

本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。

求证

证明

说明：若本题从第二项起放大，则左边<1+1-1n <2 ,这使的证明失败. 例 1 4

分析

1

2

1

121

1

2

11

1!

122

2111112!3!

!11111

2

221112

,(2)

11133

k n n n k n k ---???-

-<

=

>∴+++++<++

+

++

=+

=-

12!3!!13

n +++++

(1)1111231111111

233412111224

7

1()

1()()()

1()

K k k k k

n n n n ---<=-∴++++<++-+-++-=++-

2(1)(1),

2(1)(1)(1)(1)2, 1.

2(1)(1)2,2(1)(1)24, 2.

(2)424211,f x f c b f f b f f f f b a f f c a f f c a f a b c a b c ≤≤∴=≤=--∴=--≤+-≤∴≤=+--∴=+-+≤∴≤=++≤++=Q Q 当x 时，总有若不符合要求.

(2)42()3(1)38,f a b c a b c a b f a b =++=++++≤++=注意到f(1)=a+b+c

若也不符合要求.2(),1()1,

(2)7.

f x ax bx c f x f =++≤≤≤设当x 时，总有求证：

浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧

放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。

所谓放缩的技巧：即欲证B A ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使B C A ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”。

常用的放缩技巧还有：（1）若,A t A ,A t A ,0t <->+>（2）

,n 1n <-n n 2>,1n 11n ,1n ->-+-+),0n (n n )1n (n 2

>=>+<<+=+-2n 1)1n (n 11n 1n 1 ).

1n n (2n

1

n n 21n n 2)n 1n (2),1n (n 11n 1)1n (n 1--<=+<++=-+>--=-（3）若,R m b a +

∈、、则.b m a b a ,m b a b a +<+>（4）

+++<++++221211!n 1!31!211Λ.

211n -+Λ（5）.

n 12)n 11n 1()3121()211(1n 131211222-=--++-+-+<++++ΛΛ（6）

11n n 1n 11n 11n 1n 212n 11n 1<+=++++++≤+++++ΛΛ或≥+++++n 212n 11n 1Λ.21n 2n n 21n 21n 21==++Λ（7）

n

n n n 1n 1n 1n 131211==+++>++++ΛΛ等等。

(2)42())222211417,f a b c

a b c a b c a b c a b c a b c a b c =++=+++-++++≤+++-++++≤+++=若（符合要求.

用放缩法证明下列各题。 例1 求证：.133lg 3lg

,)2b a (

ab 2

+≤所以左边

,

)299lg ()233lg 3lg (22=+≤[因为99＜100（放大）]＜,

1)2100lg (

2

=所以.133lg 3lg

例2 （2000年海南理11）若,2n ,N n >∈求证：.1)1n (log )1n (log n n ≤+?-

证明：因为,11n ,2n >->所以,0)1n (log ,0)1n (log n n >+>-因为

4)]1n ([log ]2)1n (log )1n (log [)1n (log )1n (log 2

2n 2n n n n -=++-≤+?-［因为2

2n

1n <-（放大），所以,n log )1n (log 2

n 2n <-又,2n >所以x log n 是增函数］，所以

1

4)n (log 4)]1n ([log 2

2n 22n =<-，所以.1)1n (log )1n (log n n <+?-

例3 （2001年云南理1）求证：).N n ,1n )(2n (log )1n (log 1n n ∈>+>++

证明：n log )2n (log )1n (log )

2n (log 1n 1n n 1n +++?+=++=左边右边（因为1a log b log b a =?）

21n 2

1n 1n ]

2)2n (n log []

2

n log )2n (log [

+=++≤+++

［又因为2

)1n ()2n (n +<+（放大）］，所以,1]2)1n (log []2)2n (n log [2

21n 21n =+<+++所

以).2n (log )1n (log 1n n +>++

例4 已知,0b a >>求证：.b a b a -<- 证明：因为?>>0b a

.

b a b a b a )b a (b a ),(b a b a ,0b a ,b a 2-<-?-<-???????????????-+<->->两边同乘放大

例5 求证：.

2b a )2b a (2

22+≤+

证明：因为4b ab 2a )2b a (222++=+（因为2

2b a ab 2+≤）4b b a a 2222+++≤（放大）.2b a 22+=所以.

2b a )2b a (2

22+≤+

例 6 （2000年湖南省会考）求证：当0a >时，函数c bx ax y 2

++=的最小值是

;a 4b ac 42-当0a <时，函数c bx ax y 2

++=的最大值是.a 4b ac 42

-

证明：因为原函数配方得,

a 4

b a

c 4)a 2b x (a y 2

2-++=又因为

,0)a 2b x (a 0)a 2b x (,

0a 22≥+????

??≥+>所以a 4b ac 4a 4b ac 4)a 2b x (a y 2

22-≥-++=（缩小），所以

函数y 的最小值是a 4b ac 42-。当,0)a 2b x (a 0)a 2b x (,

0a 22

≤+??????≥+<所以a 4b ac 4a 4b ac 4)a 2b x (a y 222-≤-++=（放大），所以函数y 的最大值是.

a 4

b a

c 42

-

例7 求证： )N n )(n 1n (2n 1

∈-+>

证明：因为n 1n 2n n 2n

1++>

+=（分母有理化）),n 1n (2-+=所以原不等式成立。

例8 （2002年贵州省理21）若,0b a >≥求证：

)N n (a )b a (n b a b )b a (n 1n n n 1n ∈-≤-≤---

证明：因为),b b a b a a

)(b a (b a 1n 23n 2n 1

n n n ----++++-=-Λ而,0b a >≥所以),N n (b a n n ∈≥所以,na )b a ()a a a a a )(b a (b a 1n 1n 23n 2n 1n n n ------=++++-≤-Λ同理

可证n n 1

n b a b

)b a (n -≤--（当且仅当b a =时，取等号）。

例9 已知a 、b 、c 分别是一个三角形的三边之长，求证：.

2a c b

c b a b a c <+++++ 证明：不妨设,0c b a >≥≥据三角形三边关系定理有：,0a c b >>+便得

++++c b a b a c ,2c b a

1c a b c b a c b c a c b <++=+++++≤+所以原不等式成立。

例10 （1999年湖南省理16）求证：)

N n (1n 21

2n 11n 121∈<+++++≤Λ

证明：因为,

21n n n n n 1n n 1n n 1n n 12

n 11n 1=+=+++++≥++++++ΛΛ又,1n n n 1n 1n 1n n 12n 11n 1==+++<++++++ΛΛ所以原不等式成立。

例11 求证：

.2n 3211

32112111

ΛΛ

证明：因为左边+

+-+-+-+=-++?+?+≤ΛΛ)4

131()3121()211(1n )1n (13212111,2n 1

2)n 11n 1(

<-=--证毕。

例12 求证)

N n (1!n 1

!41!31!21∈<++++Λ

证明：因为,

2122211k 3211!k 11k -=????

32212121.1)21

(1211n 1n <-=+--

注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若,D C ,C B ,B A >>>则D A >。2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。