等比数列前n项和及性质.ppt
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高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第30讲 等比数列及其前n项和(53张PPT)
向
固
3．关于等比数列的性质的方法技巧
基 础
(1)在等比数列{an}中，a3a7＝a10.( )
(2)若等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝12，则a2与a4的等
比中项为14.( ) (3)若等比数列{an}中，a1＝2，a5＝18，则a3＝±6.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
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令cn＝abnn，则cn－1＝abnn－ －11.
an 当n≥2时，ccn－n 1＝abn－n 1＝aan－n 1÷bbn－n 1＝qq12，故数列abnn也一
bn－1 定是等比数列．
(2)当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（11－－qqn）.
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第30讲 等比数列及其前n项和
双
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第30讲 等比数列及其前n项和
双
向
—— 链接教材 ——
固
基
础
1．[教材改编]
已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝
384，则该数列的通项公式an＝________．
[答案] 3×2n－3
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第30讲 等比数列及其前n项和
双
向
固
基 础
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，则 a3＝a1q2＝3，①
(1)求数列{an}的通项公式；
考 向
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若不等式 Sn>kan－2 对一切 n∈N*恒成立，求实数 k 的取值范围．
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第30讲 等比数列及其前n项和
［思考流程］ (1)条件：给出等比数列{an}的递推公
点 面 讲
式．目标：求数列{an}的通项公式．方法：利用等比数列 的定义及递推公式求解．
等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
高中数学同步课件 等比数列前n项和的性质及应用
四
随堂演练
1.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是
A.1
B.0
C.2
√D.－1
当q≠1时， Sn＝a111－－qqn＝1－a1 q－1－a1 qqn， ∴r＝－1.
1234
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于
√A.3∶4
B.2∶3
而S2n－Sn2＝a1q1n－1－q qn2， Sn(S3n－S2n)＝a111－－qqn×a1q21n－1－q qn，
故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
问题3 你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n?
提示 思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm ＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋ a2qn＋…＋amqn ＝Sn＋qnSm.
内容索引
一、等比数列前n项和公式的函数特征 二、等比数列前n项和的“片段和”性质 三、等比数列前n项和的“奇偶项”性质 随堂演练 课时对点练
一 等比数列前n项和 公式的函数特征
问题1 你能发现等比数列前n项和公式Sn＝a111－－qqn (q≠1)的函数 特征吗？
提示 Sn＝a11－－aq1qn＝－1－a1qqn＋1－a1 q，设 A＝－1－a1 q，则 Sn＝Aqn－A.
第2课时
等比数列前n项和的性质及应用
第1章
<<<
学习目标
1.了解等比数列前n项和公式的函数特征. 2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
等比数列的前项和公式 PPT
解:(1)因为
a1
=
1 2
,
q
=
1 2
所以当n=8时有等比数列的前n项
1
1
1
8
和知：S n
2 2 1 1
255 256
2
例1、求下列等比数列前8项得与
(1) 1 , 1 , 1 , 2 48
(2)a1
27, a9
1 ,q 243
0
(2)由a1
27, a9
1 243
,可得 :
1 27 q8 243
又由q 0,可得：
q 1 3
271
1
8Leabharlann 于是当n 8时Sn
3 1640
1 ( 1)
81
3
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
例2、在等比数列a n 中，求满足下列条件的量 :
(1)a1 a3 2, 求sn
(2)q
2, n
5, a1
1 2
.求an和sn
(3)a1 1,a n 512,s n 314.求q和n
由等比数列前n项和公式得：
255 1 2n 1-2
n8
说明: 解： ( 3(当代 当12)as因 解 )将 qq55入 q 32为 得 a4a1q1a1a时 a12n： 1１1２n11q， 时.即 1.n1221并作 在 在 41a,数 ，,a1naq且五为 利 a2q311(1列Snq212要n个0第 用n55n为 51根变一 公 q1,,212a常 12s,据量a要 式 514n所 )1q11数 (21具1a素 ， 21以 .q解 q列 ,,体812来 一 aqnS)2,12题 得 nn1考 定， 51,52意a， ： 1虑 要 22n[q12， 11，q, 。 注 qS3n((n选4中， 意1111得 ))3择n2代 ，所 q1] 2的 (： 适只入 以1取 当2知SS)的 值nnn三(1公，可1n)式应ana求111。把二aqn它q2，n可得
等比数列的前n项和PPT课件
讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
等比数列前n项和公式课件PPT
等比数列的特殊前n项和
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
高中数学理科基础知识讲解《63等比数列及其前n项和》教学课件
A
B
--
考点3
--
考点3
考向2 等比数列和的性质及应用例4(1)(2019云南十一校调研)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12等于( )A.40 B.60 C.32 D.50(2)已知数列{an}是各项都为正数的等比数列,Sn为其前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40=( )A.150 B.-200C.150或-200 D.400
--
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)满足an+1=qan(n∈ N*,q为常数)的数列{an}为等比数列. ( )(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab. ( )(3)等比数列中不存在数值为0的项. ( )(4)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列{bn}也是等比数列. ( )(5)如果数列{an}为等比数列,那么数列{ln an}是等差数列. ( )(6)若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为 ( )
--
考点2
等比数列的判定与证明例2(2019全国2,理19改编)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.
--
考点2
--
考点2
思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?解题心得1.证明数列{an}是等比数列常用的方法:(3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
B
--
考点3
--
考点3
考向2 等比数列和的性质及应用例4(1)(2019云南十一校调研)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12等于( )A.40 B.60 C.32 D.50(2)已知数列{an}是各项都为正数的等比数列,Sn为其前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40=( )A.150 B.-200C.150或-200 D.400
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考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)满足an+1=qan(n∈ N*,q为常数)的数列{an}为等比数列. ( )(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab. ( )(3)等比数列中不存在数值为0的项. ( )(4)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列{bn}也是等比数列. ( )(5)如果数列{an}为等比数列,那么数列{ln an}是等差数列. ( )(6)若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为 ( )
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考点2
等比数列的判定与证明例2(2019全国2,理19改编)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.
--
考点2
--
考点2
思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?解题心得1.证明数列{an}是等比数列常用的方法:(3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.5等比数列前n项和公式的推导及性质.ppt
• 1．数列{2n－1}的前99项和为( )
• A．2100－1 2100
B．1－
• C．299－1
D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1.
答案：C
• 2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96 ，Sn＝189，则n的值为( )
• A．4
B．5
• C．6
知三求二
已知 a1 、an、 q时
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1
(q 1)
Sn
a1 anq
1 q
(q
1)
na1
(q 1)
等比数列前n项和公式 你了解多少？
(1) 等比数列前n项和公式： 利用“错位相减法”推
{ { Sn=
na1
a1(1 qn )
(q=1)
(q=1)
导
Sn=
na1
(2)a1
27, a9
1 ,q 243
0
解：(1)因为
a1
1 ,q 2
1 2
所以当n 8时
1
1
1
8
Sn
2 2 1 1
255 256
(2)
由a1
27, a9
12 243
,可得
:
1 243
27 q8
又由q 0,可得：
1
q
3
27
1
1
8
于是当n 8时
Sn
3 1640
a1 anq
1-q
1-q
(q=1)
(q=1)
(2) 等比数列前n项和公式的应用：
高中数学等比数列的前n项和性质及应用课件
思路探究：(1 )由 S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 成等比数列求解．
S偶
(2 )利用
S奇
＝q ，及 S 2n＝S
奇＋S
偶求解．
合作探究
思
而
学
(1 )A (2)24 [(1)∵{a n}为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 也为等比数列， 即 7 ，S 4－7 ,9 1 －S 4 成等比数列， ∴(S 4－7 )2＝7 (9 1 －S 4)，解得 S 4＝2 8 或 S 4＝－2 1 . ∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2 ＝(a 1＋a 2)(1 ＋q 2)＝S 2(1 ＋q 2)> S 2，∴S 4＝2 8 .
2
2
128
S偶
1
[解]
设等比数列为{a n }，项数为
2n ，一个项数为
2n
的等比数列中， ＝q .则 S奇
q＝ ， 2
3
3
又
an
和
a n ＋1
为中间两项，则
a
n
＋a
n
＋1
＝ 1
2
8
，即
a1q
n －1＋a 1q
n＝ ， 128
1
1
又
a
1
＝ 2
，q
＝ 2
，
1 ∴
2
·21
n
－1
1 ＋
2
·21
n
＝ 1
高中数学
数列
等比数列
等比数列的前n项 和性质及应用
学习目标
学
而
思
1．等比数列前 n 项和的变式
a 1 1 －q n
等比数列求和公式及性质课件PPT
的符号相反。
公比为负数的等比数列求和公式： S = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)
公比为负数的等比数列具有特殊 的性质，如对称性、周期性等。
公比为1的性质
当公比q=1时，等比 数列退化为等差数列， 各项相等。
公比为1的等比数列 具有特殊的性质，如 对称性、周期性等。
公比为1的等比数列 求和公式：S = n * a_1
研究电磁波的传播特性
在研究电磁波的传播特性时，常常需要用到等比 数列求和公式来求解与波动相关的数学模型。
在经济中的应用
分析股票价格波动
评估投资回报
在股票市场中，股票价格常常呈现一 定的波动规律，利用等比数列求和公 式可以分析股票价格的波动规律。
在投资领域中，利用等比数列求和公 式可以评估投资回报的长期收益，为 投资者提供参考。
4. 在等比数列中，两个相同项之间的项数可以确定为n， 那么这两项之间的所有项的和可以表示为a_n * (q^n - 1) / (q - 1)。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示等比数列中每一项的数学表达式。
详细描述
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比，n是 项数。这个公式可以用来计算等比数列中的任何一项，只要知道首项、公比和 项数。
差数列、等比数列的性质、通项公式等。
在物理中的应用
1 2 3
解决与周期性运动相关的问题
等比数列求和公式在物理学中有广泛的应用，如 求解与周期性运动相关的问题，如简谐运动、波 动等。
分析量子力学中的概率幅
在量子力学中，概率幅常常以等比数列的形式出 现，利用等比数列求和公式可以方便地计算出概 率幅之和。
公比为负数的等比数列求和公式： S = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)
公比为负数的等比数列具有特殊 的性质，如对称性、周期性等。
公比为1的性质
当公比q=1时，等比 数列退化为等差数列， 各项相等。
公比为1的等比数列 具有特殊的性质，如 对称性、周期性等。
公比为1的等比数列 求和公式：S = n * a_1
研究电磁波的传播特性
在研究电磁波的传播特性时，常常需要用到等比 数列求和公式来求解与波动相关的数学模型。
在经济中的应用
分析股票价格波动
评估投资回报
在股票市场中，股票价格常常呈现一 定的波动规律，利用等比数列求和公 式可以分析股票价格的波动规律。
在投资领域中，利用等比数列求和公 式可以评估投资回报的长期收益，为 投资者提供参考。
4. 在等比数列中，两个相同项之间的项数可以确定为n， 那么这两项之间的所有项的和可以表示为a_n * (q^n - 1) / (q - 1)。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示等比数列中每一项的数学表达式。
详细描述
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比，n是 项数。这个公式可以用来计算等比数列中的任何一项，只要知道首项、公比和 项数。
差数列、等比数列的性质、通项公式等。
在物理中的应用
1 2 3
解决与周期性运动相关的问题
等比数列求和公式在物理学中有广泛的应用，如 求解与周期性运动相关的问题，如简谐运动、波 动等。
分析量子力学中的概率幅
在量子力学中，概率幅常常以等比数列的形式出 现，利用等比数列求和公式可以方便地计算出概 率幅之和。
2024届高考数学一轮总复习第四章数列第三讲等比数列及其前n项和课件
【题后反思】等比数列常见性质的应用 (1)通项公式的变形. (2)等比中项的变形. (3)前 n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体 的变化特征即可找出解决问题的突破口.
【变式训练】
1.(2021 年江淮十校月考)已知等比数列{an}的公比 q＝－21，该
数列前 9 项的乘积为 1，则 a1 等于(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
考点三 等比数列性质的应用
[例 2](1)在各项不为零的等差数列{an}中，2a2 019－a22 020＋ 2a2 021＝0，数列{bn}是等比数列，且 b2 020＝a2 020，则 log2(b2 019·b2 021) 的值为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
解析：因为等差数列{an}中 a2 019＋a2 021＝2a2 020， 所以 2a2 019－a22 020＋2a2 021＝4a2 020－a22 020＝0， 因为数列{an}各项不为零，所以 a2 020＝4，因为数列{bn}是等 比数列，所以 b2 019·b2 021＝a22 020＝16.所以 log2(b2 019·b2 021)＝log216 ＝4.C 正确.
【题后反思】等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等 比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通 过列方程(组)便可迎刃而解.
(2)等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q＝1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝na1；当 q≠1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝a1(11－－qqn)＝a11－－aqnq，当 q＞1 时，用公式 Sn＝a1(qq－n－11)代入计 算，当 q<1 时，用公式 Sn＝a1(11－－qqn)代入计算，可避免出现符号 错误.
等比数列的前n项和-优秀PPT课件
1
Sn
a1 anq 1 q
,q
1
na1, q 1
na1, q 1
练习1.判断是非
（ 2）n
①1 2 4 8 16 (2)n1 1 (1 2n) 1 (2)
n+1
② 1 2 22 23 2n 1 (1 2nn ) 12
③
c2
c4
c6
c2n
c2[1 (c2 )n ] 1 c2
, 14
,
1 8
,116
,
求前2n项中所有偶数项的和.
练习4
思考
资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达 7.4×108t，每吨占地1m2，环保部门每回收或 处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃 圾．如果环保部门2002年共回收处理了100t 废旧物资，且以后每年的回收量递增20%． (1)2010年能回收多少吨废旧物资？ (2)从2002年到2010年底，可节约土地多少m2?
小结：
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学
源于生活
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
na1
q 1
知三求二
a1 anq
Sn
1q
na1
数学 用于生活
q1
q1
分组求和
方
转
程
化
思
思
想
想
课后作业：
必做：P61 A组 1、4、6题 选做：
思考题(1): 求和 x + 2 x2 + 3 x3 + + nxn .
等比数列的前n项和
选自人教A版必修5第二章第五节
等比数列的前n项和性质PPT——公开课(幻灯片12张ppt)
(S20 S10 )2 S10 (S30 S20 )
S20 （3 舍）或 S20 4
练习：
2、等比数列 an的前n项和为 Sn
，若
S10 S5
3,
则 S15
S10
.
答案：7/3
思考：已知一等比数列{an},其项数为偶 数，其所有奇数项的和为S奇=100 ，公 比q=2，求其所有偶数项的和S偶。
为39，则该数列的前10项之和 为（ ）
答案：C
A. 3 2 C. 12
B. 3 13
D. 15
练习：
1、等比数列an中，
答案：4
S30 13S10 , S10 S30 14, 则 S20
.
解析：S30 13S10, S10 S30 14
S10 1, S30 13
S10 , S20 S10 , S30 S20 成等比数列
其中A 0, q 0且q 1,n N*
二、例题解析（一）
例1、若等比数列an中，Sn m3n 1, 则
实数m= -1 .
练习：1、已知等比数列an的前n项和为
Sn
x 3n1
1, 6
则x的值为
1
2.
2、已知等比数列an的前n项和为
Sn
3n2
2a,
则a的值为
1 18
.
3、已知等比数列 an的前n项和为
等比数列的前n项和的性质
授课班级 14-15班
一、复习回顾，引出课题
1、等比数列的前n项和公式：
na1, q 1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
,
q
1
=
n
a1,
q
1
S20 （3 舍）或 S20 4
练习：
2、等比数列 an的前n项和为 Sn
，若
S10 S5
3,
则 S15
S10
.
答案：7/3
思考：已知一等比数列{an},其项数为偶 数，其所有奇数项的和为S奇=100 ，公 比q=2，求其所有偶数项的和S偶。
为39，则该数列的前10项之和 为（ ）
答案：C
A. 3 2 C. 12
B. 3 13
D. 15
练习：
1、等比数列an中，
答案：4
S30 13S10 , S10 S30 14, 则 S20
.
解析：S30 13S10, S10 S30 14
S10 1, S30 13
S10 , S20 S10 , S30 S20 成等比数列
其中A 0, q 0且q 1,n N*
二、例题解析（一）
例1、若等比数列an中，Sn m3n 1, 则
实数m= -1 .
练习：1、已知等比数列an的前n项和为
Sn
x 3n1
1, 6
则x的值为
1
2.
2、已知等比数列an的前n项和为
Sn
3n2
2a,
则a的值为
1 18
.
3、已知等比数列 an的前n项和为
等比数列的前n项和的性质
授课班级 14-15班
一、复习回顾，引出课题
1、等比数列的前n项和公式：
na1, q 1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
,
q
1
=
n
a1,
q
1
4.3.2.1等比数列的前n项和课件(人教版)
易错辨析 忽略对公比 q 的讨论致误 例 5 已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，a3＝________. 解析：若 q＝1，则 S3＝3a1＝6，符合题意，此时 a3＝a1＝2. 若 q≠1 时，则 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6， 解得 q＝－2，此时 a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上 a3 的值为 2 或 8. 答案：2 或 8
2．已知等比数列{an}的首项 a1＝3，公比 q＝2，则 S5 等于( ) A．93 B．－93 C．45 D．－45 解析：S5＝a111－－qq5＝311－－225＝93.故选 A. 答案：A
3．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝1，S6＝9，则公 比 q＝________.
(4)当 q≠－1 时，连续 m 项的和(如 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…) 仍组成__等__比____数列(公比为__q_m_____，m≥2)，注意：这连续 m 项
的和必须非零才能成立．
笔记小结 (1)当 q ＝ －1 且 k 为偶数时，Sk，S2k －Sk，S3k －S2k，…不 是等比数列； (2)当 q≠ －1 时，或 q ＝ －1 且 k 为奇数时，Sk，S2k －Sk， S3k －S2k，…是等比数列．
解 析 ： S6 － S3 ＝ a4 ＋ a5 ＋ a6 ＝ (a1 ＋ a2 ＋ a3)q3 ＝ S3·q3 ＝ 1×q3 ＝ 8.∴q＝2.
答案：2
题型一 等比数列前 n 项和的基本运算 例 1 在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求 q.
等比数列的前n项和公式课件高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
例4. 在等比数列{an}中，若a1＋a3＝10，a4＋a6＝ 5 ，求a4和S5； 4
解设公比为 q，由通项公式及已知条件得
a1＋a1q2＝10， a1q3＋a1q5＝54，
a1（1＋q2 ）＝10， 即a1q（3 1＋q2）＝54.
① ②
∵a1≠0,1＋q2≠0，
∴②÷①得，q3＝18，即 q＝12，
a2 a3 an q，
a1 a2
an1
a2 a3 an q.
a1 a2 an1
即
Sn a1 Sn an
q.
q
为
2
或1. 2
[跟踪训练] 试求12，34，58，176，…，2n2－n 1的前 n 项和．
解
设
Sn＝12＋232＋253＋…
2n－31 2n－1 + 2n－1 + 2n ，①
②－①，得
2Sn＝1＋32＋252 ＋ …＋22nn－－11. ②
Sn＝1＋1＋12＋212＋…＋2n1－2－2n2－n 1
解:
S6 63 9 2, S3 7
q 1.
在等比数列{an}的五个量a1， q，an，n，Sn中，a1与q是最 基本的元素，当条件与结论
S3 7
S6 63,
7
63
a1(1 q3 ) ， 1 q
a1(1 q6 ) ，
1 q
① ②
间的联系不明显时，均可以 用a1与q表示an与Sn，从而列 方程组求解，在解方程组时
Sn a1 q(Sn an ). (1 q)Sn a1 anq.
方法拓展2
提取公比法
等比数列 {an},公比为 q ,它的前 n 项和
Sn a1等比a2数列a3{an},公比为anq1,它a的n 前 n 项和
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(2)穷人每天还钱数1, 2, 22, 23, , 229, 形成
怎样的数列？穷人30天共要还多少钱？
让我们来分析一下:
（1）富人30天借给穷人300万元 (2)穷人每天还钱数1, 2, 22, 23, ..., 229, 形成首项为1，公比为2的等比数列，
穷人30天共要还钱数：
1 2 22 23 229 = ?
等比数列的前n项和表述为：
{ Sn
na1 ,
( q=1).
a1 1 qn a1 anq ,
1 q
1 q
(q≠1).
由 Sn ,an ,q , a1 , n 知三可求二 .
引例的解决：
由a1 1, q 2, n 30得：
Sn
a1(1 qn ) 1 q
1 (1 230 ) 1 2
等比数列的前n项和
一穷人到富人那里借钱，原以为富人不会同 意，哪知富人一口答应，但有个条件：在30天中， 每天借给穷人10万，借钱第一天，穷人还1分钱； 第二天，还2分钱，以后每天所还的钱数都是前 一天的2倍，30天后，互不相欠，穷人听后觉得 很划算，本想一口气定下来，但又想到此富人平 时吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难，请 大家帮帮她： （1）富人30天借给穷人多少钱？
⑴. x 1 原式
1 1
1
1 y
1 y2
1 yn
n
1 y
1
1 yn
1 1
y
⑵. x 1 同例3
变形2.
求和：(x 1 ) (x2 y
1 y2
)
(xn
1 yn )
(x 0, x 1).
分析：当 x 0, x 1 时，对y分两种情况讨论 ⑴. y 1 原式= (x x2 xn ) (11 1)
一、回忆
1.等比数列的定义： an1 q 0
an
a a q 2．等比数列的通项公式： n
n1 1
３．数列的前ｎ项和与通项之间的关系：
Sn a1 a2 an
an
S1 Sn
Sn1
n1 n2
二、等比数列前n项和公式的推导
(一) 用等比定理推导 （定义特征及等比性质）
因为
a2 a3 a4 an q
∴
511.1n 30.
即 1.1n 1.6.
11.1
两边取对数，得 ： n×lg1.1 = lg1.6
∴ n = lg1.6 0.20 5 （年） lg1.1 0.041
答：约5年内可以使总产量达到30万吨.
例3.
求和：(x
1) (x2 y
1 y2
)
(xn
1 yn )
(x 0, x 1, y 1).
解：当 x 0, x 1, y 1 时，
原式=
(x
x2
xn )
1 y
1 y2
1 yn
x(1 xn ) 1 x
1 y
1
1 yn
1 1
y
x xn1 1 x
yn 1 y n1 y .
变形1.求和：(x
1) (x2 y
1 y, y 1).
分析：当 x 0, y 1 时，对x分两种情况讨论
= a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1
= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn
a1 (1 q n ) 1q
(q 1)
(三) 从 (二) 继续发散（错位相减法）
Sn = a1 + a1q + a1q2 +……+a1qn-2 + a1qn-1 (*) q Sn = a1q + a1q2 + a1q3 + …+ a1qn ( ** )
两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(q
1)
Sn = n a1 (q = 1)
S
=
S10
S4
1 210 1 2
1 24 或
12
S
a5
1 q6 1 q
24 1 26
12
例2某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年
的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约 几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？
分析：第1年产量为 5
第2年产量为 5×(1+10%)=5×1.1
第3年产量为 5×(1+10%) ×(1+10%)
1 2
1
1 2
8
1
2
练习1 根据下列条件，只需列出等比数列
an的Sn的式子 31 26
⑴ a1 = 3, q = 2,n = 6; Sn =
1 2
⑵ a1
=
2.4, q
=
-1.5, a n
=
1 2
;
Sn
=
2.4 1
1 1.5
2
1.5
⑶等比数列1，2，4，8…从第5项到第10项的和
分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，
x
1 y
, x2
1 y2
,
, xn
1 yn
其中括号内的前一项 x, x 2 , , x n ,
后一项
1 y
,
1 y2
,
,
1 yn
,
都是等比数列
首项 公比
xx
1
1
y
y
例3.
求和：(x
1) (x2 y
1 y2
)
(xn
1 yn )
(x 0, x 1, y 1).
230 1
230 1 107410（6 分）
107（ 4 万元）? 300（万元）
三、例题选讲 : 例1 . 求等比数列1/2 ,1/4 ,1/8 ,…的前8项和
解:
由
a1
1, 2
q 11 1, 42 2
n=8，得
S8
=
12×1
-
1 2
8
1- 1
2
=
1
-
1 2
8
=
255 256
x1
xn
n
1 x
⑵. y 1 同例3
a1 a2 a3
an1
所以 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3 an1
Sn
a1 anq 1q
或
Sn a1 q
Sn an
Sn
a1(1 qn ) 1q
(q
1)
Sn = n a1 (q = 1)
(二) 从基本问题出发（借和式的代数特征变形）
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an
……
51.12
第n年产量为 51.1n1
则n年内的总产量为：
5 51.1 51.12 L 51.1n1
例2某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产
量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几 年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？
解：由题意，从第1年起，每年的产量组成一个等比数列an,
其中 a1 = 5,q = 1 + 10% = 1.1,Sn = 30,
怎样的数列？穷人30天共要还多少钱？
让我们来分析一下:
（1）富人30天借给穷人300万元 (2)穷人每天还钱数1, 2, 22, 23, ..., 229, 形成首项为1，公比为2的等比数列，
穷人30天共要还钱数：
1 2 22 23 229 = ?
等比数列的前n项和表述为：
{ Sn
na1 ,
( q=1).
a1 1 qn a1 anq ,
1 q
1 q
(q≠1).
由 Sn ,an ,q , a1 , n 知三可求二 .
引例的解决：
由a1 1, q 2, n 30得：
Sn
a1(1 qn ) 1 q
1 (1 230 ) 1 2
等比数列的前n项和
一穷人到富人那里借钱，原以为富人不会同 意，哪知富人一口答应，但有个条件：在30天中， 每天借给穷人10万，借钱第一天，穷人还1分钱； 第二天，还2分钱，以后每天所还的钱数都是前 一天的2倍，30天后，互不相欠，穷人听后觉得 很划算，本想一口气定下来，但又想到此富人平 时吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难，请 大家帮帮她： （1）富人30天借给穷人多少钱？
⑴. x 1 原式
1 1
1
1 y
1 y2
1 yn
n
1 y
1
1 yn
1 1
y
⑵. x 1 同例3
变形2.
求和：(x 1 ) (x2 y
1 y2
)
(xn
1 yn )
(x 0, x 1).
分析：当 x 0, x 1 时，对y分两种情况讨论 ⑴. y 1 原式= (x x2 xn ) (11 1)
一、回忆
1.等比数列的定义： an1 q 0
an
a a q 2．等比数列的通项公式： n
n1 1
３．数列的前ｎ项和与通项之间的关系：
Sn a1 a2 an
an
S1 Sn
Sn1
n1 n2
二、等比数列前n项和公式的推导
(一) 用等比定理推导 （定义特征及等比性质）
因为
a2 a3 a4 an q
∴
511.1n 30.
即 1.1n 1.6.
11.1
两边取对数，得 ： n×lg1.1 = lg1.6
∴ n = lg1.6 0.20 5 （年） lg1.1 0.041
答：约5年内可以使总产量达到30万吨.
例3.
求和：(x
1) (x2 y
1 y2
)
(xn
1 yn )
(x 0, x 1, y 1).
解：当 x 0, x 1, y 1 时，
原式=
(x
x2
xn )
1 y
1 y2
1 yn
x(1 xn ) 1 x
1 y
1
1 yn
1 1
y
x xn1 1 x
yn 1 y n1 y .
变形1.求和：(x
1) (x2 y
1 y, y 1).
分析：当 x 0, y 1 时，对x分两种情况讨论
= a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1
= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn
a1 (1 q n ) 1q
(q 1)
(三) 从 (二) 继续发散（错位相减法）
Sn = a1 + a1q + a1q2 +……+a1qn-2 + a1qn-1 (*) q Sn = a1q + a1q2 + a1q3 + …+ a1qn ( ** )
两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(q
1)
Sn = n a1 (q = 1)
S
=
S10
S4
1 210 1 2
1 24 或
12
S
a5
1 q6 1 q
24 1 26
12
例2某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年
的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约 几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？
分析：第1年产量为 5
第2年产量为 5×(1+10%)=5×1.1
第3年产量为 5×(1+10%) ×(1+10%)
1 2
1
1 2
8
1
2
练习1 根据下列条件，只需列出等比数列
an的Sn的式子 31 26
⑴ a1 = 3, q = 2,n = 6; Sn =
1 2
⑵ a1
=
2.4, q
=
-1.5, a n
=
1 2
;
Sn
=
2.4 1
1 1.5
2
1.5
⑶等比数列1，2，4，8…从第5项到第10项的和
分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，
x
1 y
, x2
1 y2
,
, xn
1 yn
其中括号内的前一项 x, x 2 , , x n ,
后一项
1 y
,
1 y2
,
,
1 yn
,
都是等比数列
首项 公比
xx
1
1
y
y
例3.
求和：(x
1) (x2 y
1 y2
)
(xn
1 yn )
(x 0, x 1, y 1).
230 1
230 1 107410（6 分）
107（ 4 万元）? 300（万元）
三、例题选讲 : 例1 . 求等比数列1/2 ,1/4 ,1/8 ,…的前8项和
解:
由
a1
1, 2
q 11 1, 42 2
n=8，得
S8
=
12×1
-
1 2
8
1- 1
2
=
1
-
1 2
8
=
255 256
x1
xn
n
1 x
⑵. y 1 同例3
a1 a2 a3
an1
所以 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3 an1
Sn
a1 anq 1q
或
Sn a1 q
Sn an
Sn
a1(1 qn ) 1q
(q
1)
Sn = n a1 (q = 1)
(二) 从基本问题出发（借和式的代数特征变形）
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an
……
51.12
第n年产量为 51.1n1
则n年内的总产量为：
5 51.1 51.12 L 51.1n1
例2某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产
量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几 年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？
解：由题意，从第1年起，每年的产量组成一个等比数列an,
其中 a1 = 5,q = 1 + 10% = 1.1,Sn = 30,