人教版数学高二-课时作业 2-2第2课时 等差数列的性质

第2章 2.2 第2课时

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．已知{a n}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于()

A．20B．48

C．60 D．72

解析：∵a6＋a8＝2a7，

又a3＋a11＝2a7＝40.∴a7＝20.

∴a6－a7＋a8＝2a7－a7＝a7＝20，故选A.

答案： A

2．若{a n}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有()

①{a n＋3}②{a n2}③{a n＋1－a n}④{2a n}⑤{2a n＋n}

A．1个B．2个

C．3个D．4个

解析：①③④⑤是等差数列．

答案： D

3．已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m等于()

A．4 B．6

C．8 D．12

解析：因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.

答案： C

4．已知等差数列{a n}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是()

A．20 B．22

C．24 D．－8

解析：因为a8是a1与a15的等差中项，所以a1＋a15＝2a8，于是已知条件a1＋3a8＋a15＝120可变为5a8＝120.所以a8＝24.所以2a9－a10＝a8＝24.故选C.

答案： C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n

，则a n ＝____. 解析： 由1

a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列， 又1a 1＝1，公差d ＝1a 2－1a 1＝32－1＝12

， ∴通项公式1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12

， ∴a n ＝2n ＋1

. 答案： 2n ＋1

6．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{a n ＋2a n ＋2}是公差为________的等差数列．

解析： (a n ＋1＋2a n ＋3)－(a n ＋2a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋2(a n ＋3－a n ＋2)＝d ＋2d ＝3d . 答案： 3d

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，且a 11＝－26，a 51＝54，求a 14的值．你能知道该数列从第几项开始为正数吗？

解析： 方法一：由等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d 列方程组：

⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋10d ＝－26，a 1＋50d ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝－46，d ＝2.

∴a 14＝－46＋13×2＝－20.

∴a n ＝－46＋(n －1)·2＝2n －48.

令a n ≥0，即2n －48≥0⇒n ≥24.

∴从第25项开始，各项为正数．

方法二：在等差数列{a n }中，根据a n ＝a m ＋(n －m )d ，

∴a 51＝a 11＋40d ，

∴d ＝140

(54＋26)＝2. ∴a 14＝a 11＋3d ＝－26＋3×2＝－20.

∴a n＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)，

∴a n＝2n－48.显然当n≥25时，a n>0.

即从第25项开始，各项为正数．

8．已知等差数列{a n}，a1＝a，公差d＝1，若b n＝a n2－a n＋12(n∈N*)，试判断数列{b n}是否为等差数列？并证明你的结论．

解析：数列{b n}是等差数列，证明如下：

∵等差数列{a n}中，a1＝a，d＝1，

∴a n＝a＋(n－1)＝n－1＋a，

∴b n＝a n2－a n＋12

＝(n－1＋a)2－(n＋1－1＋a)2

＝1－2n－2a，

∴b n＋1＝1－2(n＋1)－2a.

∴b n＋1－b n＝[1－2(n＋1)－2a]－(1－2n－2a)＝－2.

所以数列{b n}是以b1＝a12－a22＝－2a－1为首项，－2为公差的等差数列．尖子生题库☆☆☆

9．(10分)为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，

从100 ℃开始第一次量细棒的长度，以后每升高50 ℃量一次，把依次量得的数据所成的数列{l n}表示成图象，如图所示．根据图象解答下列问题：

(1)第5次量得金属的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？

(2)若l n是关于测量序号n的一次函数，求{l n}的通项公式．

解析：(1)由题图得，l5＝2.005 m，

此时金属棒的温度是t＝100＋(5－1)×50＝300(℃)

∴第5次量得金属棒的长度是2.005 m，

此时金属棒的温度是300 ℃；

(2)设l n ＝dn ＋b ，由l 1＝2.001 m ，l 2＝2.002 m ， 得⎩

⎪⎨⎪⎧

2.001＝d ＋b 2.002＝2d ＋b ，解得d ＝0.001，b ＝2. 所以通项公式l n ＝0.001n ＋