分离工程--07 多级分离计算一三对角矩阵法
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我们从上面的MESH方程可知，任一组分i 任一平衡级j(j1且j N)的M方程只相关于相互比
13
邻的三个平衡级，就是说，第j级只与第j-1级、 第j+1极之间存在物料平衡关系，如果将M方程 与其他方程分割并以级 温度Tj及级流率Vj作迭代 变量赋以确定的值，则M方程便是一组以组成xji 为变量的线性方程组，由于任一式只涉及三个平 衡级，当按级排成矩阵式时，就是具有三对角矩 阵的结构，用Gauss消去法不难解出全部。
7-1-2 通用数学模型的建立 对于一个平衡级可以建立如下的四类方程，
称为MESH方程。 (1)组分物料平衡方程—M方程，当物系有C个组分 时，每级可有C个方程：
Lj1x j1,i Vj1y j1,i Fjzji (Lj Sj )x ji (Vj Gj )y ji 0
0
(7-5)
为了简化MESH方程组，将L表示成V的函数，以
减少未知量。为此，从冷凝器到第j级做物料恒算，
如图7-3所示。从冷凝器至第j级总进料量以FS表 示，总气相采出量以GS表示，总液相采出量以SS 表示。则总物料恒算得：
Lj Vj1 FS SS GS V1 S1
(7-6)
第七章 多组分多级分离计算
——三对角矩阵法
前章介绍的逐级计算法时是早期提出的，并 在实践中不断得到改进的一种方法，特别是收 敛法的引入，大大拓宽了适用领域，对于平衡级 的物料平衡关系式基本相同的，结构简单的常规 塔，用逐级计算法计算常能获得满意的结果。但 是，对于功能较多，结构复杂的复述各平衡级的 关系式差异较大给逐级计算带来困难，对于这类 问题经常采用矩阵法求解。逐级法是逐个方程一
Aij (q j1 p j1xi, j ) Bij xi, j Cij xi, j1 Dij
Aijq j1 Aij p j x 1 i, j Bij xi, j Cij xi, j1 Dij
(Bij Aij p j1)xi, j Dij Aijq j1 Cij xi, j1
其中：
qj
Dj Bj
A jq j1 A jp j1
,
pj
Bj
Cj Ajpj1
j=N xNi=qN
其中：
qN
DN BN
A Nq N1 A N p N1
,
(7-18)
(7-19) (7-20)
18
Aij xi, j1 Bij xi, j Cij xi, j1 Dij
时，具有强度性质xji，hj，Tj及Pj的液流(Lj+Sj) 与气流(Vj+Gj)处于相平衡状态，它们离开本级 亦可分成两股，一股为侧线采出流Sj，另一股Lj 流向j+1级，对于最下一级(j=N)的下流液体既作
为塔底产品离开设备。
8
热量Qj或为正或为负值代表段间冷却器或段 间加热器的热负荷，而在两端的Q1及QN则为冷凝 器及再沸器的热负荷。
(7-1)
9
(2) 组分相平衡方程—E方程，每级有C个方程：
yji-Kjixji=0
(7-2)
式中Kji为相平衡常数
(3) 摩尔分率加合方程—S方程，每级有C个方程：
C
yji1 1 0
(7-3a)
i1
C
xji1 1 0
i1
(7-3b)
(4) 热量平衡方程—H方程，每级有1个方程：
11
式中：
j
j
FS Fk Fk
k2
k 1
j
j
GS Gk Gk
k2
k 1
(7-7) (7-8)
V1
} D=V1+S1
GS
S1
FS
j
SS
Vj+1 Lj
j
SS Sk
k2
(7-9) 图7-3 冷凝器到j级物料衡算图
代入式(7-6)得可导出相邻两级汽液相流率的关系 式：
LN-2
N-1
LN-1 N
SN-3 SN-2 SN-1
GN QR=QN
(GN= SN=0)
LN
图7-1 多组分复杂精流塔模型
冷凝器 分离罐
再沸器
4
yj,Hj,Tj,Pj Vj Gj
xj-1,hj-1,Tj-1,Pj-1
Lj-1 L 位头
Zj Fj
HFj TFj
F阀
第j级
PFj
V阀
Sj
Vj+1
Lj xj,hj,Tj,Pj
j
Lj Vj1 (Fk Sk Gk ) V1
k 1
(7-10)
12
以上诸式中的变量不是一成不变的，可以用另外 的变量加以取代。例如，可以用组分流率取代摩 尔分率vji=Vjyji， lji=Ljxji。 7-1-3 三对角矩阵算法
三对角矩阵也称Thomas算法，它具有简便、 灵活及通用性好的特点，当被引入平衡级计算， 便极大地推动了多组分多级计算的发展。
Yj+1,Hj+1,Tj+1,Pj+1
Qj
(+) (-)
图7-2 通用平衡级模型图
5
设想一个功能齐全的通用的平衡级模型如上 图所示。用它表示任一种类级联分离设备的任一 平衡级，当表示汽液平衡关系时，图中Vj及Lj代 表汽、液相流率，下标j表示级序，级序自上而 下排列，下标i为组分标号。Qj为传递热量，自 本级向外传递以“+”号，向本级传入标“-”号。 Hj及hj分别为第j级汽相及液相物流摩尔焓。
121.1
0.054
93.3
0.093
65.6
...
Aj Bj Cj
...
x3i ... x ji ...
D3 ... Dj ...
A N1
BN1
CN1
x
N1,i
DN1
AN BN xN,i DN
xi, j
Dij Aijq j1 Bij Aij p j1
Bij
Cij Aij p j1
xi, j1
xi, j q j p j xi, j1
19
计算时，由第1级开始算出q1，p1，接着按顺 序递推地算出q2，p2，q3，p3，…一直算出qN， 由 式 (7-20) 便 求 出 xNi 值 ， 随 后 ， 将 xNi 代 入 式 (719 )算出xN-1,i，然后反复使用式(7-19 )算出xN-2,i， xN-3,i，…， x2,i， x1,i各值。
3
V2
GF22 GF33 GFjj--11 Gj
Gj+1 Fj+1
V2 Q2 2
V3 Q3 L2 3
j-1 Vj Qj
j Lj
j+1
L1
S2 S3 Sj-1 Sj Sj+1
QC=Q1 (F1=G1=0)
V1 D=V1+S1
S1
GN-2 FN-2
GN-1 FN-1
VN-2QN-2
N-2 VN-1QN-1
当 式 (7-10) 代 入 ME 方 程 ， 用 汽 相 组 成 vji 代 替液相组成lji，消lji得到：
14
j 1
j
(V j (Fk Gk Sk ) V1)x j1,i [V j1 (Fk Gk Sk )
k 1
k 1
V1 S j (V j G j )K j,i ]x ji V j1K j1,i x j1,i
7
为Pj)H通j+过同1，V样温阀，绝度由热为下减T部j压+1j+，而1压级降流力为来为零的P。j+汽1，流其Vj压+1,差i，(焓Pj+值1具有强度性质yji，Hj，Tj及Pj的蒸汽流Vj离
开本级可以分成两股，一股为侧线采出流，流
率为Gj，另一股以Vj的流率送往j-1级。而最上 一级(j=1)的上升蒸汽即作为产品送出设备。同
1
一顺次求解，矩阵法是将全部平衡级的关系式组 成联立方程组同时求解的方法，这种方法一次求 解的变量多，计算量大，手续复杂，用手算的办 法是很难办到的，然而，由于它可以具体描述每 一平衡级的不同情况，建立相应的关系式，可以 满足多种复杂塔计算的要求，对于复杂冗长的计 算，借助电子计算机大容量、快速运算的功能已 不成其为问题。因而，矩阵法特别是被称为托马 斯算法(Thomas algorithm)的三对角矩阵法近年来 得到广泛的研究于应用。
(7-17)
16
系数矩阵有三对角矩阵结构，当组分数为c时，
便可有c个独立的三对角矩阵方程。只要迭代变
量Tj及Vj赋以定值，可以算出Kji值，则系数矩阵 各元素Aj，Bj，Cj均为已知量，式(7-17)便可用 高斯消去法求解。高斯消去法所用公式由变形的
M方程式(7-16)导出。
j=1 B1x1i+C1x2i=D1
6
进入本级的原料Fj可以是单相的或是两相 的，随组成Zji，摩尔焓HFj，温度TFj及在压力PFj 而定，原料压力可以等于本级压力Pj，也可以高 于Pj，假如高于Pj则压差(PFj-Pj)将通过F阀绝热 减压降为零。
由上部j-1级流来的液流Lj-1，组成为xj-1,i， 焓值为hj-1，温度为Tj-1，压力为Pj-1，此压力可 能等于或小于本级压力Pj，若Pj-1<Pj，此压力将 因经静压头而得以绝热地提高至Pj。
D j Fj zi, j
(2 j N 1)
(7-15)
15
得到新的ME方程
Ajxj-1,i+Bjxji+Cjxj+1,i=Dj 列成矩阵方程：
(7-16)
B1 C1 A2 B2 C2
x1i D1
x2i
Baidu Nhomakorabea
D2
A3 B3 C3
2
7-1 三对角线矩阵算法
7-1-1 通用模型塔的建立 为了设计一个通用的模型塔，设模型塔共有N
个理想平衡级，冷凝器为第一级，再沸器为第N 级，除第1级和第N级外，每个平衡级都有进料Fj 和侧线出料Sj(j=2,3,…,N-1)，并有加热或冷却设 备(即有±Qj)。根据具体条件可将塔简化成任何 一个实际塔，不需要的量可定为零。图7-1是一 个通用模型塔，它也可以简化成简单塔或任何塔。
Lj1hj1 Vj1Hj1 FjHFj (Lj Sj )hj (Vj Gj )Hj Qj 0
(7-4)
10
将E方程带入M方程，得ME方程：
L j1x j1,i V j1 K j1,i x j1,i Fj z ji [(L j S j ) (V j G j )K j,i ]x ji
Fj z ji
(7-11)
令：Aj
Vj
j 1
(Fk
Gk
Sk ) V1
k 1
(7-12)
j
B
j
[V j1
(Fk
k 1
Gk
Sk )
V1
Sj
(V j
Gj )K
j,i ]
(7-13)
C j V j1Ki, j1
(7-14)
x1i
D1 B1
C1 B1
x2i
令 q1=D1/B1，p1=C1/B1
则上式变为x1i=q1-p1x2i
(7-18) 17
x2i=q2-p2x3i
其中：
q2
D2 B2
A 2q1 A 2p1
,
p2
B2
C2 A2p1
依此类推，对于任一级(2jN-1)
j=j xji=qj-pjxj+1,i
分离物系，由于其组成变化不会引起泡点温度大
幅度变化，泡点法对它的计算特别有效，精馏过
程多涉及此种物系。
22
对于温度对组成非常敏感的情况，例如， 甲烷与正丁烷的双组分物系，在28.12kg/mm2压 力下，其组成与泡点温度的关系如下：
甲烷在溶液中的摩尔分率
泡点温度 OC
0.000
135.0
0.018
21
7-2 泡点法(BP法) 泡点法(Bubble Point Method)是三对角矩阵
多组分多级计算法中的一种计算方案，由于它是
在迭代过程中利用三对角矩阵解出各级组成后，
通过求泡点的方法确定新一轮各级温度，因而得
名。通常，为使迭代计算有稳定的收敛，泡点温
度对组成不宜过分敏感，平衡常数K值范围窄的
这种算法运算中通常不涉及两相近数相减， 从而避免了舍入误差，而且算出的xji很少出现负 值, 加之此法效率高，需要的计算机存储容量小， 因此比起矩阵求逆法，此法的优越性是明显的，
20
虽然如此，此法的应用范围也是有限制的，当所 需平衡级很多且各组分的吸收因子在某一段中小 于1，而在另一段中大于1的情况，计算将遇到麻 烦，必须改用其它更适合的方法。 常用的MESH方程组的解法有以下几种： 1). 顺序收敛法，包括BP法，DP法，SR法 2).同时收敛法，包括有多元牛顿法(或2N牛顿法) 3).松弛法，主要用于不稳定工况的精流计算。
13
邻的三个平衡级，就是说，第j级只与第j-1级、 第j+1极之间存在物料平衡关系，如果将M方程 与其他方程分割并以级 温度Tj及级流率Vj作迭代 变量赋以确定的值，则M方程便是一组以组成xji 为变量的线性方程组，由于任一式只涉及三个平 衡级，当按级排成矩阵式时，就是具有三对角矩 阵的结构，用Gauss消去法不难解出全部。
7-1-2 通用数学模型的建立 对于一个平衡级可以建立如下的四类方程，
称为MESH方程。 (1)组分物料平衡方程—M方程，当物系有C个组分 时，每级可有C个方程：
Lj1x j1,i Vj1y j1,i Fjzji (Lj Sj )x ji (Vj Gj )y ji 0
0
(7-5)
为了简化MESH方程组，将L表示成V的函数，以
减少未知量。为此，从冷凝器到第j级做物料恒算，
如图7-3所示。从冷凝器至第j级总进料量以FS表 示，总气相采出量以GS表示，总液相采出量以SS 表示。则总物料恒算得：
Lj Vj1 FS SS GS V1 S1
(7-6)
第七章 多组分多级分离计算
——三对角矩阵法
前章介绍的逐级计算法时是早期提出的，并 在实践中不断得到改进的一种方法，特别是收 敛法的引入，大大拓宽了适用领域，对于平衡级 的物料平衡关系式基本相同的，结构简单的常规 塔，用逐级计算法计算常能获得满意的结果。但 是，对于功能较多，结构复杂的复述各平衡级的 关系式差异较大给逐级计算带来困难，对于这类 问题经常采用矩阵法求解。逐级法是逐个方程一
Aij (q j1 p j1xi, j ) Bij xi, j Cij xi, j1 Dij
Aijq j1 Aij p j x 1 i, j Bij xi, j Cij xi, j1 Dij
(Bij Aij p j1)xi, j Dij Aijq j1 Cij xi, j1
其中：
qj
Dj Bj
A jq j1 A jp j1
,
pj
Bj
Cj Ajpj1
j=N xNi=qN
其中：
qN
DN BN
A Nq N1 A N p N1
,
(7-18)
(7-19) (7-20)
18
Aij xi, j1 Bij xi, j Cij xi, j1 Dij
时，具有强度性质xji，hj，Tj及Pj的液流(Lj+Sj) 与气流(Vj+Gj)处于相平衡状态，它们离开本级 亦可分成两股，一股为侧线采出流Sj，另一股Lj 流向j+1级，对于最下一级(j=N)的下流液体既作
为塔底产品离开设备。
8
热量Qj或为正或为负值代表段间冷却器或段 间加热器的热负荷，而在两端的Q1及QN则为冷凝 器及再沸器的热负荷。
(7-1)
9
(2) 组分相平衡方程—E方程，每级有C个方程：
yji-Kjixji=0
(7-2)
式中Kji为相平衡常数
(3) 摩尔分率加合方程—S方程，每级有C个方程：
C
yji1 1 0
(7-3a)
i1
C
xji1 1 0
i1
(7-3b)
(4) 热量平衡方程—H方程，每级有1个方程：
11
式中：
j
j
FS Fk Fk
k2
k 1
j
j
GS Gk Gk
k2
k 1
(7-7) (7-8)
V1
} D=V1+S1
GS
S1
FS
j
SS
Vj+1 Lj
j
SS Sk
k2
(7-9) 图7-3 冷凝器到j级物料衡算图
代入式(7-6)得可导出相邻两级汽液相流率的关系 式：
LN-2
N-1
LN-1 N
SN-3 SN-2 SN-1
GN QR=QN
(GN= SN=0)
LN
图7-1 多组分复杂精流塔模型
冷凝器 分离罐
再沸器
4
yj,Hj,Tj,Pj Vj Gj
xj-1,hj-1,Tj-1,Pj-1
Lj-1 L 位头
Zj Fj
HFj TFj
F阀
第j级
PFj
V阀
Sj
Vj+1
Lj xj,hj,Tj,Pj
j
Lj Vj1 (Fk Sk Gk ) V1
k 1
(7-10)
12
以上诸式中的变量不是一成不变的，可以用另外 的变量加以取代。例如，可以用组分流率取代摩 尔分率vji=Vjyji， lji=Ljxji。 7-1-3 三对角矩阵算法
三对角矩阵也称Thomas算法，它具有简便、 灵活及通用性好的特点，当被引入平衡级计算， 便极大地推动了多组分多级计算的发展。
Yj+1,Hj+1,Tj+1,Pj+1
Qj
(+) (-)
图7-2 通用平衡级模型图
5
设想一个功能齐全的通用的平衡级模型如上 图所示。用它表示任一种类级联分离设备的任一 平衡级，当表示汽液平衡关系时，图中Vj及Lj代 表汽、液相流率，下标j表示级序，级序自上而 下排列，下标i为组分标号。Qj为传递热量，自 本级向外传递以“+”号，向本级传入标“-”号。 Hj及hj分别为第j级汽相及液相物流摩尔焓。
121.1
0.054
93.3
0.093
65.6
...
Aj Bj Cj
...
x3i ... x ji ...
D3 ... Dj ...
A N1
BN1
CN1
x
N1,i
DN1
AN BN xN,i DN
xi, j
Dij Aijq j1 Bij Aij p j1
Bij
Cij Aij p j1
xi, j1
xi, j q j p j xi, j1
19
计算时，由第1级开始算出q1，p1，接着按顺 序递推地算出q2，p2，q3，p3，…一直算出qN， 由 式 (7-20) 便 求 出 xNi 值 ， 随 后 ， 将 xNi 代 入 式 (719 )算出xN-1,i，然后反复使用式(7-19 )算出xN-2,i， xN-3,i，…， x2,i， x1,i各值。
3
V2
GF22 GF33 GFjj--11 Gj
Gj+1 Fj+1
V2 Q2 2
V3 Q3 L2 3
j-1 Vj Qj
j Lj
j+1
L1
S2 S3 Sj-1 Sj Sj+1
QC=Q1 (F1=G1=0)
V1 D=V1+S1
S1
GN-2 FN-2
GN-1 FN-1
VN-2QN-2
N-2 VN-1QN-1
当 式 (7-10) 代 入 ME 方 程 ， 用 汽 相 组 成 vji 代 替液相组成lji，消lji得到：
14
j 1
j
(V j (Fk Gk Sk ) V1)x j1,i [V j1 (Fk Gk Sk )
k 1
k 1
V1 S j (V j G j )K j,i ]x ji V j1K j1,i x j1,i
7
为Pj)H通j+过同1，V样温阀，绝度由热为下减T部j压+1j+，而1压级降流力为来为零的P。j+汽1，流其Vj压+1,差i，(焓Pj+值1具有强度性质yji，Hj，Tj及Pj的蒸汽流Vj离
开本级可以分成两股，一股为侧线采出流，流
率为Gj，另一股以Vj的流率送往j-1级。而最上 一级(j=1)的上升蒸汽即作为产品送出设备。同
1
一顺次求解，矩阵法是将全部平衡级的关系式组 成联立方程组同时求解的方法，这种方法一次求 解的变量多，计算量大，手续复杂，用手算的办 法是很难办到的，然而，由于它可以具体描述每 一平衡级的不同情况，建立相应的关系式，可以 满足多种复杂塔计算的要求，对于复杂冗长的计 算，借助电子计算机大容量、快速运算的功能已 不成其为问题。因而，矩阵法特别是被称为托马 斯算法(Thomas algorithm)的三对角矩阵法近年来 得到广泛的研究于应用。
(7-17)
16
系数矩阵有三对角矩阵结构，当组分数为c时，
便可有c个独立的三对角矩阵方程。只要迭代变
量Tj及Vj赋以定值，可以算出Kji值，则系数矩阵 各元素Aj，Bj，Cj均为已知量，式(7-17)便可用 高斯消去法求解。高斯消去法所用公式由变形的
M方程式(7-16)导出。
j=1 B1x1i+C1x2i=D1
6
进入本级的原料Fj可以是单相的或是两相 的，随组成Zji，摩尔焓HFj，温度TFj及在压力PFj 而定，原料压力可以等于本级压力Pj，也可以高 于Pj，假如高于Pj则压差(PFj-Pj)将通过F阀绝热 减压降为零。
由上部j-1级流来的液流Lj-1，组成为xj-1,i， 焓值为hj-1，温度为Tj-1，压力为Pj-1，此压力可 能等于或小于本级压力Pj，若Pj-1<Pj，此压力将 因经静压头而得以绝热地提高至Pj。
D j Fj zi, j
(2 j N 1)
(7-15)
15
得到新的ME方程
Ajxj-1,i+Bjxji+Cjxj+1,i=Dj 列成矩阵方程：
(7-16)
B1 C1 A2 B2 C2
x1i D1
x2i
Baidu Nhomakorabea
D2
A3 B3 C3
2
7-1 三对角线矩阵算法
7-1-1 通用模型塔的建立 为了设计一个通用的模型塔，设模型塔共有N
个理想平衡级，冷凝器为第一级，再沸器为第N 级，除第1级和第N级外，每个平衡级都有进料Fj 和侧线出料Sj(j=2,3,…,N-1)，并有加热或冷却设 备(即有±Qj)。根据具体条件可将塔简化成任何 一个实际塔，不需要的量可定为零。图7-1是一 个通用模型塔，它也可以简化成简单塔或任何塔。
Lj1hj1 Vj1Hj1 FjHFj (Lj Sj )hj (Vj Gj )Hj Qj 0
(7-4)
10
将E方程带入M方程，得ME方程：
L j1x j1,i V j1 K j1,i x j1,i Fj z ji [(L j S j ) (V j G j )K j,i ]x ji
Fj z ji
(7-11)
令：Aj
Vj
j 1
(Fk
Gk
Sk ) V1
k 1
(7-12)
j
B
j
[V j1
(Fk
k 1
Gk
Sk )
V1
Sj
(V j
Gj )K
j,i ]
(7-13)
C j V j1Ki, j1
(7-14)
x1i
D1 B1
C1 B1
x2i
令 q1=D1/B1，p1=C1/B1
则上式变为x1i=q1-p1x2i
(7-18) 17
x2i=q2-p2x3i
其中：
q2
D2 B2
A 2q1 A 2p1
,
p2
B2
C2 A2p1
依此类推，对于任一级(2jN-1)
j=j xji=qj-pjxj+1,i
分离物系，由于其组成变化不会引起泡点温度大
幅度变化，泡点法对它的计算特别有效，精馏过
程多涉及此种物系。
22
对于温度对组成非常敏感的情况，例如， 甲烷与正丁烷的双组分物系，在28.12kg/mm2压 力下，其组成与泡点温度的关系如下：
甲烷在溶液中的摩尔分率
泡点温度 OC
0.000
135.0
0.018
21
7-2 泡点法(BP法) 泡点法(Bubble Point Method)是三对角矩阵
多组分多级计算法中的一种计算方案，由于它是
在迭代过程中利用三对角矩阵解出各级组成后，
通过求泡点的方法确定新一轮各级温度，因而得
名。通常，为使迭代计算有稳定的收敛，泡点温
度对组成不宜过分敏感，平衡常数K值范围窄的
这种算法运算中通常不涉及两相近数相减， 从而避免了舍入误差，而且算出的xji很少出现负 值, 加之此法效率高，需要的计算机存储容量小， 因此比起矩阵求逆法，此法的优越性是明显的，
20
虽然如此，此法的应用范围也是有限制的，当所 需平衡级很多且各组分的吸收因子在某一段中小 于1，而在另一段中大于1的情况，计算将遇到麻 烦，必须改用其它更适合的方法。 常用的MESH方程组的解法有以下几种： 1). 顺序收敛法，包括BP法，DP法，SR法 2).同时收敛法，包括有多元牛顿法(或2N牛顿法) 3).松弛法，主要用于不稳定工况的精流计算。