力学竞赛试题及答案

力学竞赛试题及答案

一、 四叶玫瑰线

解：（1）对于四叶玫瑰曲线θρ2cos a =，在直角坐标系中可写成（图3-1）

⎩

⎨

⎧==θρθ

ρsin cos y x 将θρ2cos a =代入上式， 得 ⎩

⎨⎧==θθθθsin 2cos cos 2cos a y a x （1） 利用三角函数的积化和差公式 )]cos()[cos(21

cos cos βαβαβα-++=

)]sin()[sin(2

1

sin cos βαβαβα-++=

可得 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=+=)sin 3(sin 2 )cos 3(cos 2

θθθθa y a x （2）

图3-1 图3-2

（2）现设计一行星齿轮机构来画此曲线。如图3-2所示的行星齿轮机构，小齿轮1O 在固定内齿轮O 内作纯滚动，其中内齿轮的半径为R ，小齿轮的半径为r ，画笔所在E 点离小齿轮圆心1O 的距离为e 。随系杆1OO 的转动，其E 点的轨迹为

⎩⎨

⎧--=+-=ϕθϕ

θsin sin )( cos cos )( e r R y e r R x E

E 利用小齿轮的纯滚动条件)(θϕθ+=r R ，有θϕr

r

R -=

，代入上式可得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

---=-+-=)sin(sin )( )cos(cos )( ϕθϕθr r R e r R y r r R e r R x E E 作变换，令βϑ3=，上式可改写为

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

---=-+-=)

3sin(3sin )( )3cos(3cos )( ϕβϕβr r R e r R y r r R e r R x E E （3）

对照式（2）和式（3）中的系数，有

2a e =

， 2a r R =-， 13=-r

r R 联解之，得

a R 2=， a r 23=

， 2

a

e = （4） 做一个如图3-2所示的行星齿轮绘图机构，取式（4）中的参数，即可画出θρ2cos a =的四叶玫瑰曲线。

二． 手指转笔

在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗？请你用下述刚体简化模型，进行分析计算： （1）本问题与力学中的什么内容有关系？

（2）求出笔绕手指无滑动转一周中，手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小； （3）给出笔与手指间的摩擦因数μ随AC 长度x 变化应满足的条件。

手指转笔的刚体简化模型：如题4图所示，设手指为半径为R 的圆柱，笔为一回转半径为ρ的细直杆（对质心C 转动惯量为2ρm ）。设手指保持不动，开始时笔在距质心C 距离为ρ的A 处与手指相切，初角速度为o ω，设R πρ>，且杆始终在垂直于手指的同一平面内转动，忽略重力的影响。

解：（1）关键词：平面运动学分析，刚体平面运动微分方程，机械能守恒。

（2）设某瞬时杆与圆柱相切于点A '（圆柱上的点），此时杆绕A '旋转的角速度为ω，质心C 与A 距离为x 。杆对A 的转动惯量为)(22x m J A +=ρ，依题意，A 为杆此刻的速度瞬心，由机械能守恒可得

2

o

222

1ωρωm J A = 故 2

22

o

22

2x +=

ρωρω （1）

设杆受压力N F 和摩擦力F ，如图4-1（a ）所示，n C a ，τ

C a 分别为质心加速度的径向和

切向分量，α为杆转动的角加速度。

（a ） （b ） 图4-1

A 和A '两点瞬时重合，A 相对于A '的加速度与A '相对于A 的加速度等值反向，而

2ωR a A A ='（纯滚动接触点的加速度），由A 指向O 。故有2ωR a A A ='，由O 指向A ，且A

点的加速度无切向分量，而由基点法可知

τ

τCA n CA A C n C C a a a a a a ++=+= （2）

方向如图4-1b 所示，其中 2ωR a a n A

A ==，ατ

x a CA =。代入式（2）后，投影得 x R a C αωτ-=2， x a n

C 2ω= （3）

根据刚体平面运动微分方程，可列出

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬⎫

=-=-===x F m F ma ma F

ma ma N N C cy n C cx αρτ

2 （4）

联立求解式（3）和式（4），可得

2

22

o

22

2x

m x m F +=

=ρωρω （5）

0)(22

222

o

4>+=

=x R m ma F C N ρωρτ

（6）

（3）、分析摩擦因数μ应满足的条件：若使杆始终不与圆柱脱离，则摩擦因数μ应满足

)()(2

22x R x x F F

N μρρμ=+=≥ （7）

因 θρR x -=，对[]πθ2 , 0∈，有[]ρ , 0∈x ，（R πρ>）。则

R

x ρ

ρμμ2)()(max =

= 故 R

ρμ2≥ 三、 小虫在转盘上爬行

一光滑水平面上的圆盘，中心O 用无摩擦轴固定，圆盘对此转轴的转动惯量为o J 。在圆盘上P 点有一个质量为m 的小虫，处于静止状态，如题5（a ）图所示。小虫在转盘上爬行将引起转盘的转动。请你分析计算。

（1）本问题与力学中的什么内容有关系？

（2）在1t 时刻小虫开始爬行，当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题5图（b ）所示时（假设小虫相对转盘逆时针运动），试求出转盘转过的角度。

（3）若我们在转盘中看到小虫的轨迹如题3图（c ）所示的圆弧时，试求出转盘转过的