2013届赣榆高级中学高三12月考
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（2）求证：A1B//平面ADC1．
17．（本小题满分14分）甲、乙两地相距500千米，一辆货车从甲地匀速行驶到乙地，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a>0)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）判断线段PQ的垂直平分线是否经过一个定点，若定点存在，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
19．（本小题满分16分）已知函数 (其中 是自然对数的底数)
(1)若 是奇函数,求实数 的值；
(2)若函数 在 上单调递增,试求实数 的取值范围；
(3)设函数 ,求证:对于任意的 ,总存在 ,满足 ,并确定这样的 的个数．
5．已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为．
6．在等比数列 中，已知 则数列 的前 项的和 ．
7．函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是．
8．右图是一个算法的流程图，最后输出的k＝．
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，
A＝60°，c＝，则△ABC的面积为．
故所求函数及其定义域为 ………………………….6分
(2)依题意知a，v都为正数，故有
当且仅当 ．即 时上式中等号成立………………………...8分
（1）若 ，即 时则当 时，全程运输成本y最小.10分
（2）若 ，即 时，则当 时，有
.
。也即当v=100时，全程运输成本y最小．…12分
综上知，为使全程运输成本y最小，当 时行驶速度应为 千米/时；
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）
＝ ＝
所以函数f(x)的最大值是 ，最小正周期为 。…………………7分
（2） = = ,所以 ,又C为 ABC的内角所以 ,
又因为在 ABC中, cosB= ,所以 ,所以
……14分
16．（本小题满分14分）
证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．
因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD平面ABC，
所以AD⊥平面BCC1B1．…………………5分
因为DC1平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．…………………7分
（2）(证法一)连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点．
且当 时，有唯一的 适合题意，
当 时，有两个不同的 适合题意。……………………………16分
20、解析：（1）∵
∴
(n≥2)
由 得 ， ，
∵ ，∴ ，
即 从第2项起是以2为公比的等比数列．
（2）由（1）知
当 时，
∵ 是等比数列，∴ 是常数
∴ ，即 ．
（3）由（1）知当 时， ，
∴ ，
∴数列 为 ， ， ， ， ……
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，P、Q是椭圆C上的两个动点， 是椭圆上一定点， 是其左焦点，且PF、MF、QF成等差数列．
20．（本小题满分16分）已知数列 的首项 ( 是常数，且 )， （ ），数列 的首项 ， （ ）．
（1）证明： 从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设 为数列 的前n项和，且 是等比数列，求实数 的值；
（3）当 时，求数列 的最小项。
数学附加题
21.已知矩阵 = ，求 的特征值 ， 及对应的特征向量 ．
∴ ，取 ，得到属于特征值3的一个特征向量 = ；……………………7分
当ห้องสมุดไป่ตู้2= 时，由 = ，得 ，
取 ，则 ，得到属于特征值 的一个特征向量 = ……………………10分
22．解：将方程 ， 分别化为普通方程：
， ………(6分)
江苏省赣榆高级中学2012-2013学年度第一学期高三教学质量检测
数学
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．
1．已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，则A∩Z中元素的个数为．
2．i是虚数单位，复数 =．
3．函数 的定义域为．
4．连续两次抛掷一枚骰子落在水平面上，则两次向上的点数和等于6的概率是．
当 时行驶速度应为v=100千米/时。………………………………………………14分
18．解：（1）由 及点 在椭圆上，直接代入求解得， ，椭圆的标准方程为 ………４分
（2）设 知
同理
…………………1０分
①当 ，
从而有
设线段PQ的中点为 ，
得线段PQ的中垂线方程为
②当
线段PQ的中垂线是x轴，也过点
…………………16分
（2）求二面角B－PC－D的余弦值．
24．已知 展开式的各项依次记为 ．
设 ．
（1）若 的系数依次成等差数列，求 的值；
（2）求证：对任意 ，恒有 ．
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．4 2． 3． 4． 5．1
6．364 7． 8．11 9．10．
11． 12．②③④ 13． 14．4
19．解：（1）由 ……………………………………………………………2分
（2） ， 在 上单调递增显然成立；……………………………………3分
令 ，因为 所以 且 递增，故 在 时递增
时， 在 时递增，故
所以 ……………………………………………………………5分
时， 在 时递增恒成立，故
所以 ……………………………………………………………7分
22．在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数），求直线 被曲线 所截得的弦长．
23．如图，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB的中点．
（1）求证：AE⊥平面PBC；
综上： ……………………………………………………………8分
（3） ，所以
即要证明任意的 ,方程 在 有实数解
令
所以
①当 时， ，
所以 在 有解，且只有一解……………………………12分
②当 时，
所以 在 有解，且有两解……………………………14分
③当 时，有且只有一解 ，当 时，有且只有一解 ，
综上所述，对于任意的 ,总存在 ,满足 ,
显然最小项是前三项中的一项。
当 时，最小项为 ；当 时，最小项为 或 ；
当 时，最小项为 ；当 时，最小项为 或 ；
当 时，最小项为2a+1．
附加题参考答案
21、解：矩阵 的特征多项式为
= = ……………………………2分
令 =0，得到矩阵 的特征值为 1=3， 2= ．………………4分
当 1=3时，由 =3 ，得 ，
所以D1B//平面ADC1．同理可证A1D1//平面ADC1．
因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，
所以平面A1BD1//平面ADC1．…………………11分
因为A1B平面A1BD1， 所以A1B//平面ADC1．…………………14分
17．解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，全程运输成本为 ……………………………………….4分
③使 的面积 的直线 仅有三条；④使 的面积 的直线 仅有四条．
其中所有真命题的序号是．
13．已知：点P的坐标（x，y）满足： 及A（4，0），则| |·cos∠AOP（O为坐标原点）的最大值是．
14．已知三次函数 在R上单调递增，则 的最小值为．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）设函数 .
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)设A,B,C为 ABC的三个内角，若cosB= ， ，求sinA．
16．（本小题满分14分）如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；
因为D为BC的中点，所以OD//A1B．…………………11分
因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，
所以A1B//平面ADC1．…………………14分
(证法二)
取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1BD．
所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B//C1D．
因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，
10．已知 则 的值为．
11．已知 为椭圆 的左右焦点， 为右准线上
一点，若线段 的中垂线过点 ，则椭圆的离心率 的取值范围是．
12．在平面直角坐标系 中， 是坐标原点，设函数 的图象
为直线 ，且 与 轴、 轴分别交于 、 两点，给出下列四个命题：
①使 的面积 的直线 仅有一条；②使 的面积 的直线 仅有两条；
17．（本小题满分14分）甲、乙两地相距500千米，一辆货车从甲地匀速行驶到乙地，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a>0)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）判断线段PQ的垂直平分线是否经过一个定点，若定点存在，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
19．（本小题满分16分）已知函数 (其中 是自然对数的底数)
(1)若 是奇函数,求实数 的值；
(2)若函数 在 上单调递增,试求实数 的取值范围；
(3)设函数 ,求证:对于任意的 ,总存在 ,满足 ,并确定这样的 的个数．
5．已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为．
6．在等比数列 中，已知 则数列 的前 项的和 ．
7．函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是．
8．右图是一个算法的流程图，最后输出的k＝．
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，
A＝60°，c＝，则△ABC的面积为．
故所求函数及其定义域为 ………………………….6分
(2)依题意知a，v都为正数，故有
当且仅当 ．即 时上式中等号成立………………………...8分
（1）若 ，即 时则当 时，全程运输成本y最小.10分
（2）若 ，即 时，则当 时，有
.
。也即当v=100时，全程运输成本y最小．…12分
综上知，为使全程运输成本y最小，当 时行驶速度应为 千米/时；
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）
＝ ＝
所以函数f(x)的最大值是 ，最小正周期为 。…………………7分
（2） = = ,所以 ,又C为 ABC的内角所以 ,
又因为在 ABC中, cosB= ,所以 ,所以
……14分
16．（本小题满分14分）
证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．
因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD平面ABC，
所以AD⊥平面BCC1B1．…………………5分
因为DC1平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．…………………7分
（2）(证法一)连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点．
且当 时，有唯一的 适合题意，
当 时，有两个不同的 适合题意。……………………………16分
20、解析：（1）∵
∴
(n≥2)
由 得 ， ，
∵ ，∴ ，
即 从第2项起是以2为公比的等比数列．
（2）由（1）知
当 时，
∵ 是等比数列，∴ 是常数
∴ ，即 ．
（3）由（1）知当 时， ，
∴ ，
∴数列 为 ， ， ， ， ……
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，P、Q是椭圆C上的两个动点， 是椭圆上一定点， 是其左焦点，且PF、MF、QF成等差数列．
20．（本小题满分16分）已知数列 的首项 ( 是常数，且 )， （ ），数列 的首项 ， （ ）．
（1）证明： 从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设 为数列 的前n项和，且 是等比数列，求实数 的值；
（3）当 时，求数列 的最小项。
数学附加题
21.已知矩阵 = ，求 的特征值 ， 及对应的特征向量 ．
∴ ，取 ，得到属于特征值3的一个特征向量 = ；……………………7分
当ห้องสมุดไป่ตู้2= 时，由 = ，得 ，
取 ，则 ，得到属于特征值 的一个特征向量 = ……………………10分
22．解：将方程 ， 分别化为普通方程：
， ………(6分)
江苏省赣榆高级中学2012-2013学年度第一学期高三教学质量检测
数学
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．
1．已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，则A∩Z中元素的个数为．
2．i是虚数单位，复数 =．
3．函数 的定义域为．
4．连续两次抛掷一枚骰子落在水平面上，则两次向上的点数和等于6的概率是．
当 时行驶速度应为v=100千米/时。………………………………………………14分
18．解：（1）由 及点 在椭圆上，直接代入求解得， ，椭圆的标准方程为 ………４分
（2）设 知
同理
…………………1０分
①当 ，
从而有
设线段PQ的中点为 ，
得线段PQ的中垂线方程为
②当
线段PQ的中垂线是x轴，也过点
…………………16分
（2）求二面角B－PC－D的余弦值．
24．已知 展开式的各项依次记为 ．
设 ．
（1）若 的系数依次成等差数列，求 的值；
（2）求证：对任意 ，恒有 ．
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．4 2． 3． 4． 5．1
6．364 7． 8．11 9．10．
11． 12．②③④ 13． 14．4
19．解：（1）由 ……………………………………………………………2分
（2） ， 在 上单调递增显然成立；……………………………………3分
令 ，因为 所以 且 递增，故 在 时递增
时， 在 时递增，故
所以 ……………………………………………………………5分
时， 在 时递增恒成立，故
所以 ……………………………………………………………7分
22．在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数），求直线 被曲线 所截得的弦长．
23．如图，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB的中点．
（1）求证：AE⊥平面PBC；
综上： ……………………………………………………………8分
（3） ，所以
即要证明任意的 ,方程 在 有实数解
令
所以
①当 时， ，
所以 在 有解，且只有一解……………………………12分
②当 时，
所以 在 有解，且有两解……………………………14分
③当 时，有且只有一解 ，当 时，有且只有一解 ，
综上所述，对于任意的 ,总存在 ,满足 ,
显然最小项是前三项中的一项。
当 时，最小项为 ；当 时，最小项为 或 ；
当 时，最小项为 ；当 时，最小项为 或 ；
当 时，最小项为2a+1．
附加题参考答案
21、解：矩阵 的特征多项式为
= = ……………………………2分
令 =0，得到矩阵 的特征值为 1=3， 2= ．………………4分
当 1=3时，由 =3 ，得 ，
所以D1B//平面ADC1．同理可证A1D1//平面ADC1．
因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，
所以平面A1BD1//平面ADC1．…………………11分
因为A1B平面A1BD1， 所以A1B//平面ADC1．…………………14分
17．解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，全程运输成本为 ……………………………………….4分
③使 的面积 的直线 仅有三条；④使 的面积 的直线 仅有四条．
其中所有真命题的序号是．
13．已知：点P的坐标（x，y）满足： 及A（4，0），则| |·cos∠AOP（O为坐标原点）的最大值是．
14．已知三次函数 在R上单调递增，则 的最小值为．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）设函数 .
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)设A,B,C为 ABC的三个内角，若cosB= ， ，求sinA．
16．（本小题满分14分）如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；
因为D为BC的中点，所以OD//A1B．…………………11分
因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，
所以A1B//平面ADC1．…………………14分
(证法二)
取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1BD．
所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B//C1D．
因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，
10．已知 则 的值为．
11．已知 为椭圆 的左右焦点， 为右准线上
一点，若线段 的中垂线过点 ，则椭圆的离心率 的取值范围是．
12．在平面直角坐标系 中， 是坐标原点，设函数 的图象
为直线 ，且 与 轴、 轴分别交于 、 两点，给出下列四个命题：
①使 的面积 的直线 仅有一条；②使 的面积 的直线 仅有两条；