第13讲圆的方程

求解过程
例3 若点P（1，1）在圆x2+y2+2x+ay+a=0的外
部，求实数a的取值范围． 解 由题意可知，
22 a 2 4a 0, 2 2 1 1 1 2 1 a a 0. 解之，得 a 2 且 a 2.
回顾反思
（1）思想方法：回归定义 （2）基本策略：将点和圆的位置关系转化为点与圆心
2 2
回顾反思
（1）思想方法：数形结合！
（2）基本策略：回归圆的方程的基本形式，对题中所 给的曲线方程的形式作出正确的判断， 关注每一种形式所体现的几何意义．
（3）思维误区：一味的联立消元，构造函数求最值，
运算冗长易错．
拓展延伸
已知直线 y=－x+m 与曲线 y x 2 x
2
有且仅有一个公共点，求 m 的取值范围.
2 2
P1 A
P2
P P3
P4
x
A1 A2
O
A3
A4
B
回顾反思
（1）思想方法：化归转化 （2）基本策略：在处理圆的实际应用问题时，建立
平面坐标系，将问题进行转化，从
而使问题得到了简化． （3）思维误区：建立坐标系若不够合理，则使得计算 量较大．
总结提炼
知识与内容 聚焦重点：圆的方程的形式．
廓清疑点：点与圆的位置关系．
C（1，3）
O
x
3x－4y－6=0
( x 1)2 ( y 3)2 r 2 .
圆心C（1，3）到直线3x － 4y － 6 =0的距离
r
| 31 4 3 6 | 32 42
3.
故所求的圆的方程为 ( x 1)2 ( y 3)2 9.
思路分析
（2） 经过A（5，1），B （7，－3），C（2，8） 三个点；
所求方程为 x2 y 2 4 x 6 y 12 0. 即 ( x 2)2 ( y 3)2 25.
求解过程
解法三：
y
A（5，1）
几何方法
O
E
x
B（7，－3）
C（2，－8）
圆心：两条弦的中垂线的交点
y
思路分析
（3）与直线y=x相切，圆心在直线
B
A
C
H
3x－y=0上，且被y轴截得的弦
一般方程：
x y Dx Ey F 0( D E 4F 0),
2 2 2 2
D E 1 D 2 E 2 4F . 其中圆心 ( , ), 半径 r 2 2 2
基础知识
求圆的方程的一般步骤
1．根据条件选择圆的方程：标准形式或一般形式．
由条件易得到圆心坐标和半径时，选用标准方程；
(2) x 2 y 2 的最值．
思路分析
例 2 若实数对(x , y)满足方程(x－2)2+(y－2)2=2，
y 求: (1) 的最小值. x y 思路1： 从圆的方程中解出 y，代入 ， x
构造关于 x 的函数，再求解函数 的最值. （过程繁冗复杂）
y
O
y y0 ，它的几何意义为动点 思路2： 即 x x x0
第13讲
圆的方程
主要内容
一、聚焦重点 圆的方程的形式． 二、廓清疑点 点与圆的位置关系．
三、破解难点
圆的方程的应用．
聚焦重点：圆的方程的形式
问题研究
1．圆的方程有哪几种常见的形式？ 2．如何合理选用圆的方程？
基础知识
圆的方程
标准方程：（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0）， 其中圆心（a，b），半径为r．
求解过程
已知直线 y=－x+m 与曲线 y x 2 2 x 有且仅有一个公共点，求 m 的取值范围.
解 y x 2 2 x 表示圆(x+1)2+y2=1(y≥0)在 x 轴上方部分及 x 轴上的点，y=－x+m 表示斜率 为－1 的平行直线.
m [2, 0) { 2 1}.
部，求实数a的取值范围．
思路分析
例3 若点P（1，1）在圆x2+y2+2x+ay+a=0的外 部，求实数a的取值范围．
思路1：先计算圆的圆心坐标和半径，将问题转化为判
断点P和圆心之间的距离大于半径，再求解a的
取值范围．
（过程不经济）
思路2：将点的坐标代入圆的方程，使得等式左边大于 零，解不等式求a的范围． （忽略圆的一般方程的基本要求）
思路分析
已知直线 y=－x+m 与曲线 y x 2 2 x 有且仅有一个公共点，求 m 的取值范围. 思路1：将直线方程和曲线方程联立，另所得的方程有
且仅有一解．（过程不经济，且易忽视变量的 取值范围） 思路2：将曲线方程变形为圆的方程，问题转化为直线 和圆有且仅有一公共点．（忽视变形的等价性） 思路3：将曲线方程变形为圆的方程时考虑等价性问题， 结合图像解决问题（数形结合）
2
4 4.
2
回顾反思
（1）思想方法：数形结合！
（2）基本策略：圆的标准方程及一般方程中均含有 三个基本量，因此必须具备三个独 立的条件才能确定圆的方程． （3）思维误区：忽略对圆的几何性质的应用．
经典例题2
例 2 若实数对(x , y)满足方程(x－2)2+(y－2)2=2，
y 求: (1) 的最小值; x
点与圆的位置关系：点在圆内、圆上及圆外． 点P（x0， y0）与圆（x－a）2+（y－b）2=r2的位置 关系的判定 点 P 在圆内（x0 －a）2+（y0 －b）2＜r2， 点 P 在圆上（x0 －a）2+（y0 －b）2=r2， 点 P 在圆外（x0 －a）2+（y0 －b）2＞r2．
基础知识
度． （行之有效）
求解过程
解 如图建立坐标系，设圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 (r>0).
把 P(0,4)、 B(10,0)代入圆的方程,
02 (4 b)2 r 2 , 得方程组 2 2 2 10 (0 b) r . 解之，得 b=－10.5，r2=14.52.
所求圆的方程为 ( x 2)2 ( y 3)2 25.
待定系数法
来自百度文库解过程
解法二 设所求圆的方程为
待定系数法
x y Dx Ey F 0.
2 2
因为 A（5，1） ， B （ 7 ， － 3） ，C（2，8） 都在圆上，
52 12 5D E F 0 , D 4, 2 2 所以 7 (1) 7 D E F 0, E 6, 22 82 2 D 8E F 0, F 12.
点（x,y）到原点距离.
求解过程
例 2 若实数对(x , y)满足方程(x－2)2+(y－2)2=2， 求: (2)
x 2 y 2 的最值．
y
解
x 2 y 2 可表示动点（x,y）到原点距离.
所以最短距离为圆心和原点距离减去半径, 最长距离为圆心和原点距离加上半径.
O
x
x 2 y 2 的最小值为 2; x y 的最大值为3 2 .
(x, y)与原点所在直线的斜率，结 合图像观察求解. （数形结合）
求解过程
解
y y0 即 ，它的几何意义为动点(x, y)与 x x0
原点所在直线的斜率，存在两条临界直
y
线与圆刚好相切.
设经过原点的直线方程为 kx－y=0，
O
r
x
2k 2 k2 1
2 , k 2 3 .
y 的最小值为 2 3 . x
思路分析
例 2 若实数对(x , y)满足方程(x－2)2+(y－2)2=2， 求: (2)
x 2 y 2 的最值．
y
思路1：
从圆的方程中解出 y，代入 x 2 y 2 ， 构造关于 x 的函数，再求解函数的最值.
O
x
思路2：
x 2 y 2 即 ( x 0)2 ( y 0)2 ，其几何意义是动
O
x
求解过程
B
y
解 设圆心为 C(a , 3a), a 3a 2a, 半径 r d 2 2 2 2 a 2 r 2a . 2 r 4. a= 2 ,
∴方程为 ( x 2) y 3 2
2
A
C
H
O
x
或 ( x 2)
2
y 3 2
条件与圆心、半径关系不密切时，用圆的一般方程．
2．根据条件列出关于a ， b ， r 或 D，E，F的方程组； 3．解方程组，代入所设方程即可．
经典例题1
例1 求适合下列条件的圆的方程： （1）以C（1， 3）为圆心，并和直线3x－4y－6
=0相切；
（2） 经过A（5，1），B （7，－3），C（2，8） 三个点； （3）与直线y=x相切，圆心在直线3x－y=0上，
P1 A
y P2 P P3
P4
x
A1 A2
O
A3
A4
B
求解过程
解 把点 P2 的横坐标 x= －2 代入圆的方程，
得 (－2)2+(y+10.5)2=14.52． 因为 y>0,所以 y 14.5 (2) 10.5 14.36 10.5 3.86. 答：支柱 A2P2 的长度约为 3.86m． y
的距离和半径的大小关系． （3）思维误区：易忽视圆的方程中对基本量的要求．
破解难点：圆的方程的应用
经典例题4
例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图．该圆拱 跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一 个支柱支撑，求支柱A2P2的长度．（精确到0.01m）
P1 A
P2
P P3
P4
A1 A2 O
思路1：设圆的标准方程．
思路2：设圆的一般方程．
（方程思想）
（方程思想）
思路3：几何性质：任意一条弦的中垂线经过圆的圆
心．（数形结合）
求解过程
解法一 设所求圆的方程为 ( x a )2 ( y b)2 r 2 ， 因为 A(5,1),B (7,－3),C(2,8)都在圆上,
(5 a) 2 (1 b) 2 r 2 , a 2, 所以 (7 a) 2 (3 b) 2 r 2 , b 3, (2 a) 2 (8 b) 2 r 2 , r 5.
且被y轴截得的弦长为 2 2
．
思路分析
（1）以C（1，3）为圆心，并和直线3x－4y－6 =0相切； 思路1：由圆的标准方程和直线方程联立，转化为所得 方程仅有一解． （不经济） 思路2：将直线和圆的相切转化为圆心到直线的距离
等于圆的半径．（位置关系转化为数量关系）
求解过程
解 设所求圆的方程为
y
破解难点：圆的方程的应用．
总结提炼
思想与方法 （1）化归与转化 （2）回到定义去
（3）数与形结合
（4）待定系数法
再
见
同步练习
1．求圆心在x轴上，且距原点距离3个单位，半径为 5的圆的方程． 2．圆心在直线 2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点
A（0，－4），B（0，－2） ，求圆C的方程．
3．求与 x 轴相切，圆心在直线 3x－y=0上，且被直线 x－y=0截得的弦长为 2 7 的圆的方程．
A3
A4
B
思路分析
例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图．该圆拱 跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一 个支柱支撑，求支柱A2P2的长度．（精确到0.01m） 思路1：利用平面几何中圆的知识求解．（行之有效）
思路2：将圆拱视为圆的一部分，建立合理的平面直角
坐标系，求解出圆的方程，进而求出A2P2的长
m 2 1
y
O
x
回顾反思
（1）思想方法：数形结合！ （2）基本策略：若曲线的方程不易明确曲线的类型时，
可适当的将方程变形，再结合图形做
出判断．
（3）思维误区：易忽视变形的等价性．
廓清疑点：点与圆的位置关系
问题研究
1．点和圆有哪几种不同的位置关系呢？ 2．点和圆的位置关系如何判定呢？
基础知识
相应的，
点P（x0， y0）与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系 的判定
点 P 在圆内 x2+y2+Dx+Ey+F<0 ，
点 P 在圆上 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，
点 P 在圆外 x2+y2+Dx+Ey+F>0．
经典例题3
例3 若点P（1，1）在圆x2+y2+2x+ay+a=0的外
长为 2 2 ．
O
x
思路1：设圆的圆心坐标和半径，将直线方程和圆的 方程联立，将相切的位置关系转化为方程有
且仅有一解，弦长则使用两点间的距离公式
表示，进而求出圆的圆心和半径．
（过程复杂，计算不经济）
思路分析
（3）与直线y=x相切，圆心在直线
B
A
y
C
H
3x－y=0上，且被y轴截得的弦
长为 2 2 ． 思路2：将直线和圆的相切转化为圆 心到直线的距离等于圆的半径， 截得的弦长则利用勾股定理求解． （行之有效）