基于四面体控制网格的模型变形算法 (1)

第20卷第9期2008年9月计算机辅助设计与图形学学报JO U RN A L O F COM PU T ER AID ED D ESIG N &COM P U T ER G RA PH ICS Vo l.20,N o.9Sep.,2008收稿日期:2008-07-15.基金项目:国家 九七三 重点基础研究发展规划项目(2002CB312101,2006CB303102);国家自然科学基金(60603078);新世纪优秀人才项目(NCET 06 0516).赵 勇,男,1982年生,博士研究生,主要研究方向为数字几何处理.刘新国,男,1972年生,博士,教授,博士生导师,主要研究方向为数字几何处理、真实感绘制、虚拟现实等.彭群生,男,1947年生,博士,教授,博士生导师,CC F 高级会员,主要研究方向为真实感图形、虚拟现实、科学计算可视化等.基于四面体控制网格的模型变形算法赵 勇 刘新国 彭群生(浙江大学CAD &CG 国家重点实验室 杭州 310058)(z haoyong@cad.z )摘要 提出一种鲁棒的保体积保表面细节的模型变形算法.首先将输入模型嵌入到一个稀疏的四面体控制网格中,并且通过一种改进的重心坐标来建立两者的对应关系;然后通过用户的交互,对控制网格建立一个二次非线性能量函数对其进行变形,而输入模型的变形结果则可以通过插值来直接获得.由于能量函数的优化是在控制网格上进行的,从而大大提高了算法的效率.与此同时,提出一种新的能量!!!Laplacian 能量,可以使四面体控制网格进行尽量刚性的变形,从而有效地防止了大尺度编辑过程中模型形状的退化现象.文中算法还具有通用性,可支持多种模型的表示方式,如三角网格模型、点模型等.实验结果表明,该算法可以有效地保持输入模型的几何细节、防止明显的体积变化,得到了令人满意的结果.关键词 模型编辑;四面体控制网格;刚性变形;L aplacian 能量;通用性中图法分类号 T P391Shape Deformation Based on Tetrahedral Control MeshZhao Yong Liu Xing uo Peng Qunsheng(S tate K ey L abor atory of CA D &CG ,Zh ej iang Univ ersity ,H ang z hou 310058)Abstract A robust shape deformation algo rithm w ith the feature o f both vo lum e and surface detail preserv ing is presented.Fir st,the input m odel is embedded into a coarse tetr ahedral co ntro l mesh,and the m odified bar ycentr ic coordinates are employ ed to establish their relationship.Then acco rding to user s editing,the contro l mesh is defor med by solving a quadric no nlinear ener gy m inimization pro blem,and the deform ation is passed to the embedded m odel by interpolatio n.As the optimization pro cess is applied to the control mesh composed of sparse vertices,the efficiency is g reatly improved.Meantime,w e incor porate a new energ y,called Laplacian energ y,into the energy equatio n to m ake the tetrahedral contro l m esh deform as rigidly as possible,thus avoiding shape degenerations even under ex treme editing.Our algor ithm acco mmodates various shape repr esentations,such as triangular meshes,point clouds etc.Experiments demonstrate that the Laplacian energy is very effective in preserv ing geom etric details and pr eventing unreasonable volume changes.Key words shape editing;tetrahedral contr ol m esh;r ig id defor matio n;Laplacian energ y;generality 近年来,随着三维数据采集技术的不断发展,三维数字几何模型已经在数字娱乐、工业设计、医学辅助诊断、文物保护等很多领域得到了广泛的应用.数字几何处理作为计算机图形学的一个重要分支也得到了快速的发展,其中如何对复杂物体进行方便、有效的编辑一直是研究人员广泛关注的一个热点研究内容.三维模型编辑的主要目标是在满足用户指定约束的同时,尽量保持模型的几何细节,防止不合理的体积变化.三维模型的形状编辑都会涉及到变形.已有的模型变形算法主要考虑的是如何保持面的细节,而对于体的特征,如刚性、体积等,则很难被保持,从而在大尺度变形时可能导致不自然的变形结果;此外,大部分算法是针对三角网格模型的,很难被直接推广到其他方式表示的模型上,如点模型.最近,H uang等[1]提出了一种通过改进的重心坐标插值函数来实现对三维模型的自由变形的方法,但是其依赖于用户给定的四面体控制网格,在交互式变形中,输入模型会出现严重的细节扭曲和明显的体积变化.针对这一问题本文提出了一种新的能量!!!Laplacian能量,可以使得四面体控制网格进行尽量刚性的变形,以防止其在大尺度编辑过程中的退化现象.由于输入模型的变形结果是通过控制网格来插值获得的,因此该方法可以在最大程度上保持输入模型的几何细节,防止明显的体积变化.本文的能量函数由以下4部分构成:连续性能量、振动能量、位置约束和Laplacian能量,其中前3种能量都是线性的,Laplacian能量则是二次非线性的.为了对该二次非线性能量函数进行有效的优化,我们采用了一个两阶段的编辑框架.通过将输入模型嵌入到控制网格中并对控制网格建立能量函数,可以使得算法的复杂度与输入模型无关;而且控制网格的顶点个数远远少于输入模型的顶点个数,大大降低了求解优化问题的复杂性,提高了算法的效率.对于输入模型,本文算法仅仅用到其空间信息(几何位置),不需要其拓扑信息或邻域信息,因此该算法具有通用性,可支持目前广泛使用的几种模型的离散表示方式,如三角网格模型、点模型等.1 相关工作近年来,对三维模型变形的研究取得了很大的进展,下面就基于几何的变形算法展开讨论,而基于物理的变形算法不在本文的考虑之列.多分辨率技术[2 6]将原始网格分解为基网格和一系列高频细节来得到多分辨率表示.该技术在编辑过程中,首先对基网格进行变形,然后再与高频细节叠加就可以得到最终的变形结果.因为基网格是光滑的,对其进行变形不会损失高频细节,所以可以保持模型原有的几何特征.Sauvage等[6]通过将体积表示为多分辨率系数的三线性组合,给出了保体积的变形结果;但由于高频细节都是分开处理的,没有考虑相互之间的联系,多分辨率技术在变形较大的区域仍然会出现细节的扭曲.自由变形技术[1,7 10]将原始模型嵌入到一个比较容易处理的空间中,得到原始模型在该空间中的表示,在变形时,只需要对该空间进行操作,并利用两者之间的关系就可以得到变形后的模型.H uang 等[1]针对四面体网格提出了一种具有高阶连续性的重心坐标插值函数.虽然自由变形技术方便实用,并且可以达到相对较高的效率,但却很难保持输入模型的几何细节,它一般只适用于光滑模型的变形.微分坐标技术[11 24]将变形归结为一个能量优化问题,通过求解一系列常系数线性方程组或非线性优化来拟合改变的微分坐标,从而重建出最终的变形结果.微分坐标能够反映曲面的局部几何细节,其中应用最为广泛的是Laplacian坐标.但是大部分算法只考虑了面的约束,从而在大尺度变形时会导致不自然的变形结果.Zhou等[15]将Laplacian算子从面推广到体,以防止变形过程中明显的体积变化和局部自交现象.该体Laplacian算子与本文的Laplacian 能量具有相似之处,但是本文的Laplacian能量是针对四面体控制网格提出的,目的是使得其在变形过程中进行尽量刚性的变形.H uang等[21]提出了一个基于约束的统一的变形框架,其中包括保体积的体积约束和维持刚性的骨架约束.Lipman等[23]引入了一种活动标架的方法来保持曲面的细节和模型的体积.微分坐标技术由于需要求解大型稀疏线性方程组或非线性优化,其时间复杂度都比较高,需要长时间的预处理.此外,Botsch等[25]在原始网格表面生成一层棱柱,通过维持棱柱的刚性来防止原始网格出现不自然的体积变化;并对此想法进一步推广[26],将输入模型嵌入到自适应空间六面体中,使得算法更加鲁棒、通用.Sumner等[27]通过将形变表达为一系列的刚性变换,使得模型进行尽量刚性的变形.但文献[25 27]中的算法最终都归结为直接求解非线性优化问题,因此效率比较低.11339期赵 勇等:基于四面体控制网格的模型变形算法∀http: w w w.hpfem.jku.at netgen2 改进的重心坐标插值设输入模型为M,我们利用已有的软件NETGEN ∀自动生成其四面体控制网格T M =(U,T );其中,U =(u 1,u 2,#,u n )是所有四面体顶点的集合,T =(T 1,T 2,#,T m )是所有四面体的集合,并且要求TM 完全包含M.下面来建立M 与T M 之间的对应关系.重心坐标插值在计算机图形学中有着重要的应用.特别地,它具有局部支撑性,使得变形时能够进行局部控制和快速计算.对于空间中给定的一点u ,传统的重心坐标插值可以定义为x (u )=∃ii (u )x i ;其中,x i 是u i 变形后的位置, i (u )是重心坐标基函数.虽然这种传统的插值函数在四面体内部是连续定义的,但是在相邻四面体之间却存在一阶不连续性,直接进行插值会带来瑕疵,如图1b 所示.为了得到在整个区域上都连续的插值方式,H uang 等[1]提出一种改进的重心坐标插值函数,他们为每个四面体控制网格顶点都引入一个线性变换,对插值梯度进行调整,使得其在相邻四面体之间尽量保持一致.根据文献[1],改进的重心坐标插值定义为x (u )=∃ii (u )(x i +M i (u -u i ))(1)其中,M i 是一个线性变换矩阵,最终要通过优化一个由连续性能量和振动能量组成的二次能量函数得到.图1中对传统的重心坐标插值和改进的重心坐标插值进行了比较,其中变形后的四面体控制网格由用户给定.可以看出,图1b 中出现了明显的不连续的现象,而图1c 中有效地消除了瑕疵.图1 传统的重心坐标插值与改进的重心坐标插值的比较3 变形能量3.1 连续性能量由于重心坐标基函数 i (u )是关于u 的分段线性函数,所以在相邻四面体之间插值梯度 x (u )会出现不连续的现象.为了衡量这种不连续性,H uang 等[1]对插值梯度的平方差沿相邻四面体T i ,T j 的交界面ij进行积分E i j (x )=%i j&x (u )|i ∋j - x (u )|j ∋i&2Fd .其中,i ∋j ,j ∋i 分别表示在T i ,T j 一侧的交界面;&(&F 表示F 范数.将所有相邻四面体之间的E i j (x )进行累加,就得到了对 x (u )在整个区域上不连续性的衡量,即E disc (x )=∃{T i ,T j }E i j (x ).(2)3.2 振动能量在曲线、曲面设计中,光顺性是一个非常重要的衡量标准,H uang 等[1]通过将插值函数x (u )的H essian 矩阵 2x (u ) u u 在整个区域上进行积分,来衡量插值结果的光顺性,即E vibr (x )=%!& 2x (u ) u u &2Fd ∀=∃T i )TT i(& 2x (u ) u u &2F |Ti(3)由于x (u )是一个二阶函数,所以 2x (u ) u u在每个四面体T i 内都是常数矩阵,则E vibr (x )可以被进一步表示为一个有限和的形式,其中T i 表示四面体T i 的体积.3.3 位置约束基于第3.1,3.2节对连续性能量和振动能量的定义,H uang 等[1]通过优化以下的能量函数来得到每个控制网格顶点的线性变换矩阵M i :m in {M 1,#,M n}{E disc (x )+#E vibr (x )},其中参数#是用来协调2个能量项的权值.图1c 所示为改进的插值结果.然而,上述过程要求变形后的四面体控制网格顶点的位置(x 1,x 2,#,x n )已知,这样就使得用户必须经过复杂的前期处理来得到变形后的控制网格.为了提高算法的实用性,文献[1]引入了位置约束来达到交互式变形的目的,即用户只需要操纵若干个控制顶点就可以实现对整个模型的变形,而剩余顶点的位置则可以通过算法优化得到.1134计算机辅助设计与图形学学报 2008年设x pc 1,x pc 2,#,x pc k 是四面体控制网格上的k 个顶点,则位置约束定义为E pos (x )=∃ki=1&x pc i -x^pc i &2F (4)其中x^pc 1,x ^pc 2,#,x ^pc k 是用户为控制顶点指定的变形后的位置.那么要优化的能量函数就相应地变为m in {x 1,#,x n ,M 1,#,M n }{E disc (x )+#E vibr (x )+∃E pos ((x )}(5)其中参数#和∃是用来协调3个能量项的权值.3.4 Laplacian 能量虽然H uang 等[1]通过式(5)已经可以实现交互式的变形,但由于连续性能量和振动能量的作用仅仅是保证插值结果的连续性和光顺性,因此无法防止控制网格在编辑过程中出现退化现象.如图2b,3b 所示,Arm adillo,Dinosaur 及其四面体控制网格在大尺度变形时都出现了严重的细节扭曲和明显的体积变化.由于输入模型的变形结果是通过四面体控制网格来插值获得的,为了防止控制网格的退化现象,我们引入了Laplacian 能量.如图4a,4b 所示,四面体T i =(u i 1,u i 2,u i 3,u i 4)的Laplacian 能量表达为E T i (x )=∃4j =1&d ∗i j -R T i d i j &2F;其中,d i j =u i j -c T i ,d ∗i j =x i j -c ∗T i ,R T i 是一个旋转矩阵,而c T i 和c ∗T i 分别为变形前后四面体的重心.图2 A rmadillo 交互式变形结果的比较图3 Dinosaur 交互式变形结果的比较事实上,向量d i j (1+j +4)和重心c T i 可以唯一地确定四面体T i ,反之亦然;并且d i j (1+j +4)描述了T i 的体细节,只要它们在变形过程中保持各自的长度以及相互之间的夹角不变,即做刚性变形,就可以使得T i 也进行相同的刚性变形,从而保持其形状不变.在刚性变形(由旋转和平移组成)下,变形前后的向量d i j 与d ∗i j (1+j +4)之间的关系应该通过一个旋转矩阵R T i 来描述.而输入模型的变形结果是通过控制网格来插值获得的,因此可以在最大程度上保持输入模型的几何细节、防止明显的体积变化.下面估算旋转矩阵R T i .由于d i j (1+j +4)可以被四面体T i 唯一确定,那么它们在编辑过程中要进行相同的运动,因此T i 所做变形的旋转部分就可以用来描述d i j 与d ∗i j 之间的关系.如图4c 所示,首先11359期赵 勇等:基于四面体控制网格的模型变形算法图4 L aplacian能量的定义求出一个线性变换A Ti ,使得A TiU Ti=X Ti,其中U Ti =(u i2-u i1,u i3-u i1,u i4-u i1),X Ti=(x i2-x i1,x i3-x i1,x i4-x i1).由于初始的四面体控制网格是非退化的,则(u i2-u i1,u i3-u i1,u i4-u i1)构成一个非退化的仿射坐标系,即U Ti 是可逆的,则A Ti=X TiU-1Ti .根据文献[28],A Ti的旋转部分可以通过对其进行极分解得到,即R Ti =A TiA T TiA Ti-1(6)那么将所有四面体的Laplacian能量进行累加,就得到了整个控制网格的Laplacian能量E Laplacian(x)=∃T i)T E T i(x)(7)则最终要优化的能量函数就相应地变为E Deformation=min{x1,#,x n,M1,#,M n}{E disc(x)+#E vibr(x)+∃E pos(x)+%E Lap lacian(x)}(8)其中#,∃和%是用来协调4个能量项的权值.4 两阶段的编辑框架由于Laplacian能量是非线性的,因此对式(8)的求解是一个非线性优化问题,我们采用一个两阶段的求解框架[29]来解决这个问题.设四面体控制网格顶点的位置以及线性变换矩阵的向量式分别表示为x和m.第一阶段.不考虑Laplacian能量,只对连续性能量、振动能量和位置约束这3个线性能量进行求解,即优化式(5),得到初始的控制网格的变形结果x~和线性变换矩阵m~.由于式(5)中所包含的能量都是线性的,对其进行优化相当于在最小二乘意义下求解一个稀疏线性方程组A xm=b,其中A和b通过对式(2)~(4)进行离散得到,并且它只与初始四面体控制网格和用户的交互有关.因此初始的控制网格的变形结果和线性变换矩阵可以通过求解标准方程组A T Axm=A T b(9)获得.第二阶段.加入Laplacian能量,对式(8)进行迭代优化,得到最终的控制网格的变形结果和线性变换矩阵.由于Laplacian能量是非线性的,对式(8)的优化必须迭代地进行,这等价于在最小二乘意义下求解一系列常系数的稀疏线性方程组ABxm= bb-;其中,A和b通过对式(2)~(4)进行离散得到,而B和b-则通过对式(7)进行离散得到.因此最终的控制网格的变形结果和线性变换矩阵可以通过求解标准方程组A TB TABxm=A T B Tbb-(10)获得,即(A T A+B T B)xm=A T b+B T b-.其中,A,B 和b只与初始四面体控制网格和用户的交互有关, b-则与初始四面体控制网格、用户的交互和旋转矩阵R都有关,而对R的估算又与初始四面体控制网格和变形后的四面体控制网格都有关.因此,我们采用一个两步迭代法:设x t,m t和R t分别为t时刻控制网格的位置、线性变换矩阵和旋转矩阵,且x0=u,m0=0,R0=I, x1=x~,m1=m~.Step1.旋转矩阵的更新.通过比较控制网格的初始状态x0和当前状态x t,估算出当前的旋转矩阵R t(式(6)).Step2.控制网格的变形结果和线性变换矩阵的更新.当旋转矩阵被更新后,可以相应地更新b-;然后通过求解更1136计算机辅助设计与图形学学报 2008年新的标准方程组A T A+B T B x t+1m t+1=A T b+B T b-t得到下一时刻控制网格的位置x t+1和线性变换矩阵m t+1.以上两步可以一直迭代下去,直到式(8)的能量值小于用户给定的阈值,而输入模型的变形结果可以由最终的控制网格的变形结果x t+1和线性变换矩阵m t+1通过式(1)插值获得.5 实验结果与分析我们在P,1.9GHz CPU,512MB内存和Geforce FX5700显卡的PC机上,基于C++语言实现了本文算法,其程序运行环境是Windows XP.图2b所示为第一阶段优化能量函数式(5)得到的初始变形结果(即H uang等[1]的结果),出现了严重的细节扭曲和明显的体积变化.而图2c所示为经过第二阶段的迭代优化得到的最终变形结果,说明本文提出的Laplacian能量有效地防止了变形过程中的退化现象,得到了令人满意的结果.而图5,6分别给出了Armadillo和Dinosaur更复杂的变形结果.图5 A rmadillo的变形结果图6 D ino saur的变形结果图7中,我们固定Bar的四面体控制网格的一端,而对另一端进行扭曲、弯曲等操作.图8中,将本文算法与均值坐标[9]进行了比较.在弯曲较大的区域,出现了如图8b所示的不光顺的现象,而图8c所示的本文算法的结果则可以平滑地过渡.同时,本文算法的效率也高于文献[9],为了得到图中所示结果,本文算法需要5.39s,而均值坐标[9]则需要37.23s.图9,10所示为复杂物体Asian dragon和Dr ag on的大尺度变形结果,它们都具有丰富的细节,实验结果显示本文算法可以有效地保持输入模型的几何细节.图7 Bar的变形结果1137 9期赵 勇等:基于四面体控制网格的模型变形算法图8 本文算法与均值坐标[9]的比较图9 Asian Dr ago n 的变形结果图10 Dr ago n 的变形结果为了体现本文算法的通用性,我们在图11中给出了点模型Bunny 的变形结果.其中右上角为变形后的四面体控制网格.表1所示为本文所用模型及其四面体控制网格的相关信息.根据模型复杂度的不同,实现文中所示的结果一般需要0.11~14.59s,其中最耗时的是对图11 点模型Bunny 的变形结果式(9),(10)的求解.但由于它们的系数矩阵都是常数矩阵,可预分解为一些特殊矩阵的乘积,在迭代过程中只需要进行逐次向后回代就可以得到方程组的解;而且x ,y 和z 3个方向是无关的,可以分开进行求解.表1 本文所用模型及其四面体控制网格的相关信息输入模型顶点个数控制网格中四面体的个数控制网格中顶点的个数Bar 234027835Bun ny 34835297103Dinosaur 56194567204Ph on og raph 71495550187Dragon 101108648200Armadillo 172962849273Asian dragon2499344731736 结论与未来工作本文提出了一种新的模型变形算法,通过将输入模型嵌入到一个稀疏的四面体控制网格中,用户可以方便地操纵控制网格来实现对输入模型的变形.文中提出的Laplacian 能量能够使得四面体控制网格做尽量刚性的变形,从而有效地防止了大尺度编辑过程中模型形状的细节扭曲、体积变化等退1138计算机辅助设计与图形学学报 2008年化现象的出现.实验结果表明,本文算法直观、鲁棒,得到了令人满意的结果,具有现实应用价值.下一步我们将研究如何使四面体控制网格在变形过程中可以进行自适应的细分,从而对某些变形较大的区域进行更好地逼近来减少变形的误差;还将给出一些有意义的应用,如变形迁移、形状插值等.参 考 文 献[1]H uang J,Chen L,Liu X G,e t al.E fficient meshdeform ation us ing tetrah edron control mesh[C]Proceedin gs of ACM Solid and Ph ysical M odelingS ymposium,New York,2008:241-247[2]Zorin D,S chr der P,Sw eldens W.Interactivem ultiresolution mes h editing[C] Computer Graph icsProceedin gs,An nual Conference Series,ACM SIGGRAPH,L os Angeles,1997:259-268[3]Kobb elt L,Campagna S,Vorsatz J,et a l.Interactive mu ltir esolu tion modelin g on arbitrary mes hes[C] C om puterGraphics Proceedin gs,Annual 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