基于四面体控制网格的模型变形算法 (1)

第20卷第9期2008年9月

计算机辅助设计与图形学学报

JO U RN A L O F COM PU T ER AID ED D ESIG N &COM P U T ER G RA PH ICS Vo l.20,N o.9

Sep.,2008

收稿日期:2008-07-15.基金项目:国家 九七三 重点基础研究发展规划项目(2002CB312101,2006CB303102);国家自然科学基金(60603078);新世纪优秀人才项目(NCET 06 0516).赵 勇,男,1982年生,博士研究生,主要研究方向为数字几何处理.刘新国,男,1972年生,博士,教授,博士生导师,主要研究方向为数字几何处理、真实感绘制、虚拟现实等.彭群生,男,1947年生,博士,教授,博士生导师,CC F 高级会员,主要研究方向为真实感图形、虚拟现实、科学计算可视化等.

基于四面体控制网格的模型变形算法

赵 勇 刘新国 彭群生

(浙江大学CAD &CG 国家重点实验室 杭州 310058)(z haoyong@cad.z )

摘要 提出一种鲁棒的保体积保表面细节的模型变形算法.首先将输入模型嵌入到一个稀疏的四面体控制网格

中,并且通过一种改进的重心坐标来建立两者的对应关系;然后通过用户的交互,对控制网格建立一个二次非线性能量函数对其进行变形,而输入模型的变形结果则可以通过插值来直接获得.由于能量函数的优化是在控制网格上进行的,从而大大提高了算法的效率.与此同时,提出一种新的能量!!!Laplacian 能量,可以使四面体控制网格进行尽量刚性的变形,从而有效地防止了大尺度编辑过程中模型形状的退化现象.文中算法还具有通用性,可支持多种模型的表示方式,如三角网格模型、点模型等.实验结果表明,该算法可以有效地保持输入模型的几何细节、防止明显的体积变化,得到了令人满意的结果.

关键词 模型编辑;四面体控制网格;刚性变形;L aplacian 能量;通用性中图法分类号 T P391

Shape Deformation Based on Tetrahedral Control Mesh

Zhao Yong Liu Xing uo Peng Qunsheng

(S tate K ey L abor atory of CA D &CG ,Zh ej iang Univ ersity ,H ang z hou 310058)

Abstract A robust shape deformation algo rithm w ith the feature o f both vo lum e and surface detail preserv ing is presented.Fir st,the input m odel is embedded into a coarse tetr ahedral co ntro l mesh,and the m odified bar ycentr ic coordinates are employ ed to establish their relationship.Then acco rding to user s editing,the contro l mesh is defor med by solving a quadric no nlinear ener gy m inimization pro blem,and the deform ation is passed to the embedded m odel by interpolatio n.As the optimization pro cess is applied to the control mesh composed of sparse vertices,the efficiency is g reatly improved.Meantime,w e incor porate a new energ y,called Laplacian energ y,into the energy equatio n to m ake the tetrahedral contro l m esh deform as rigidly as possible,thus avoiding shape degenerations even under ex treme editing.Our algor ithm acco mmodates various shape repr esentations,such as triangular meshes,point clouds etc.Experiments demonstrate that the Laplacian energy is very effective in preserv ing geom etric details and pr eventing unreasonable volume changes.

Key words shape editing;tetrahedral contr ol m esh;r ig id defor matio n;Laplacian energ y;generality 近年来,随着三维数据采集技术的不断发展,三维数字几何模型已经在数字娱乐、工业设计、医学辅

助诊断、文物保护等很多领域得到了广泛的应用.数字几何处理作为计算机图形学的一个重要分支也得

到了快速的发展,其中如何对复杂物体进行方便、有效的编辑一直是研究人员广泛关注的一个热点研究内容.三维模型编辑的主要目标是在满足用户指定约束的同时,尽量保持模型的几何细节,防止不合理的体积变化.

三维模型的形状编辑都会涉及到变形.已有的模型变形算法主要考虑的是如何保持面的细节,而对于体的特征,如刚性、体积等,则很难被保持,从而在大尺度变形时可能导致不自然的变形结果;此外,大部分算法是针对三角网格模型的,很难被直接推广到其他方式表示的模型上,如点模型.

最近,H uang等[1]提出了一种通过改进的重心坐标插值函数来实现对三维模型的自由变形的方法,但是其依赖于用户给定的四面体控制网格,在交互式变形中,输入模型会出现严重的细节扭曲和明显的体积变化.针对这一问题本文提出了一种新的能量!!!Laplacian能量,可以使得四面体控制网格进行尽量刚性的变形,以防止其在大尺度编辑过程中的退化现象.由于输入模型的变形结果是通过控制网格来插值获得的,因此该方法可以在最大程度上保持输入模型的几何细节,防止明显的体积变化.

本文的能量函数由以下4部分构成:连续性能量、振动能量、位置约束和Laplacian能量,其中前3种能量都是线性的,Laplacian能量则是二次非线性的.为了对该二次非线性能量函数进行有效的优化,我们采用了一个两阶段的编辑框架.

通过将输入模型嵌入到控制网格中并对控制网格建立能量函数,可以使得算法的复杂度与输入模型无关;而且控制网格的顶点个数远远少于输入模型的顶点个数,大大降低了求解优化问题的复杂性,提高了算法的效率.

对于输入模型,本文算法仅仅用到其空间信息(几何位置),不需要其拓扑信息或邻域信息,因此该算法具有通用性,可支持目前广泛使用的几种模型的离散表示方式,如三角网格模型、点模型等.

1 相关工作

近年来,对三维模型变形的研究取得了很大的进展,下面就基于几何的变形算法展开讨论,而基于物理的变形算法不在本文的考虑之列.

多分辨率技术[2 6]将原始网格分解为基网格和一系列高频细节来得到多分辨率表示.该技术在编辑过程中,首先对基网格进行变形,然后再与高频细节叠加就可以得到最终的变形结果.因为基网格是光滑的,对其进行变形不会损失高频细节,所以可以保持模型原有的几何特征.Sauvage等[6]通过将体积表示为多分辨率系数的三线性组合,给出了保体积的变形结果;但由于高频细节都是分开处理的,没有考虑相互之间的联系,多分辨率技术在变形较大的区域仍然会出现细节的扭曲.

自由变形技术[1,7 10]将原始模型嵌入到一个比较容易处理的空间中,得到原始模型在该空间中的表示,在变形时,只需要对该空间进行操作,并利用两者之间的关系就可以得到变形后的模型.H uang 等[1]针对四面体网格提出了一种具有高阶连续性的重心坐标插值函数.虽然自由变形技术方便实用,并且可以达到相对较高的效率,但却很难保持输入模型的几何细节,它一般只适用于光滑模型的变形.

微分坐标技术[11 24]将变形归结为一个能量优化问题,通过求解一系列常系数线性方程组或非线性优化来拟合改变的微分坐标,从而重建出最终的变形结果.微分坐标能够反映曲面的局部几何细节,其中应用最为广泛的是Laplacian坐标.但是大部分算法只考虑了面的约束,从而在大尺度变形时会导致不自然的变形结果.Zhou等[15]将Laplacian算子从面推广到体,以防止变形过程中明显的体积变化和局部自交现象.该体Laplacian算子与本文的Laplacian 能量具有相似之处,但是本文的Laplacian能量是针对四面体控制网格提出的,目的是使得其在变形过程中进行尽量刚性的变形.H uang等[21]提出了一个基于约束的统一的变形框架,其中包括保体积的体积约束和维持刚性的骨架约束.Lipman等[23]引入了一种活动标架的方法来保持曲面的细节和模型的体积.微分坐标技术由于需要求解大型稀疏线性方程组或非线性优化,其时间复杂度都比较高,需要长时间的预处理.

此外,Botsch等[25]在原始网格表面生成一层棱柱,通过维持棱柱的刚性来防止原始网格出现不自然的体积变化;并对此想法进一步推广[26],将输入模型嵌入到自适应空间六面体中,使得算法更加鲁棒、通用.Sumner等[27]通过将形变表达为一系列的刚性变换,使得模型进行尽量刚性的变形.但文献[25 27]中的算法最终都归结为直接求解非线性优化问题,因此效率比较低.

1133

9期赵 勇等:基于四面体控制网格的模型变形算法