浙教版因式分解复习讲义

合集下载

专题4-11 《因式分解》全章复习与巩固(知识讲解)-七年级数学下册(浙教版)

专题4.11 《因式分解》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1. 理解因式分解概念，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2. 掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等四种基本方法，并能进行因式分解；3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【要点梳理】把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.特别说明：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，直到每一项不能再分解为止。

【典型例题】类型一、提取公因式1．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）28()2()()m n m n m n +-+- 【答案】2()(35)m n m n ++ 【分析】先提公因式2（m+n ），再化简计算即可解答．解：原式=2（m+n ）[4(m+n)﹣（m ﹣n ）]=2(m+n)(4m+4n ﹣m+n) =2(m+n)(3m+5n)．【点拨】本题考查因式分解、合并同类项，熟练掌握用提公因式法分解因式的方法，找到公因式是解答的关键．举一反三：【变式】（2020·耒阳市冠湘中学八年级月考）分解因式：2318()12()a b b a ---【答案】26()(322)a b a b -+-【分析】原式先变形为()()231812a b a b +--，再利用提公因式法分解．解：原式=()()231812a b a b +--=()26()32b a b a +--⎡⎤⎣⎦=()()23622a b b a +--．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题目，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．类型二、公式法2．（2019·山西九年级专题练习）分解因式：()()229x y x y -+-．【答案】()()422x y x y ++ 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：()()()()()()2222229333x y x y x y x y x y x y -=-=⎡⎤⎣⎦+-+-+--∵()()()()()()22=3333334224x y x y x y x y y y x x x x y y ++-+-+=+++-- ∵()()()()()()224224=2942x y x y y x x y x y x y +++-=++-．【点拨】本题考查了平方差公式、整式运算的知识；求解的关键是熟练掌握平方差公式进行分解因式，即可得到答案．举一反三：【变式】（2020·北京西城区·北师大实验中学八年级期中）因式分解；22(2)(2)a b a b +-+．【答案】3()(-)+a b a b【分析】利用平方差公式进行因式分解后，再进行化简即可. 解:原式=[][](2)+(2)(2)(2)+++-+a b a b a b a b=(33)(-)+a b a b =3()(-)+a b a b【点拨】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的基础，注意检查分解要彻底．3（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）()()243624x y x y ++-+ 【答案】()243x y +- 【分析】先提公因式4，将（x+y ）看成一个整体，利用完全平方公式2222()a ab b a b ++=+分解因式即可．解：原式()()2496x y x y ⎡⎤=++-+⎣⎦()243x y =+-．【点拨】本题考查了提公因式法和完全平方公式法分解因式，解答的关键是掌握完全平方公式的结构特征，公式中的a 、b 可以表示数、字母，也可以是整式．举一反三：【变式】（2020·辽宁沈阳市·八年级期末）分解因式：（1）3x －12x 3；（2）4m 2＋2mn ＋14n 2．【答案】（1）3(12)(12)x x x +-；（2）21(4)4m n +．【分析】（1）先提取公因式3x ，再利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提取公因式14，再利用完全平方公式进行因式分解即可．解：（1）原式23(1)4x x =-231(2)x x ⎡⎤=-⎣⎦3(12)(12)x x x =+-；（2）原式221(1684)m mn n +=+ 2281(4)4m mn n =++⎡⎤⎣⎦ 21(4)4m n =+．【点拨】本题考查了利用提取公因式法和公式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．类型三、十字相乘法4．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）因式分解：()()2550x y x y -+-- 【答案】()()105x y x y -+--【分析】将（x -y ）当做一个整体，发现-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法进行分解即可．解：()()2550x y x y -+--=()()105x y x y -+--．【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．本题中注意整体思想的运用．举一反三：【变式】（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）32233672m n m n mn -- 【答案】()()364mn m n m n -+【分析】先提公因式3mn ，再利用十字相乘法分解因式即可．解：原式()223224mn m mn n=--()()364mn m n m n =-+．【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和十字相乘法分解因式是解答的关键．类型四、分组分解法5．（2020·上海松江区·七年级期末）因式分解：323412x x y x y +--．【答案】(3)(2)(2)x y x x ++-【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．解：原式=324312x x x y y -+-=22(4)3(4)x x y x -+- =2(3)(4)x y x +-=(3)(2)(2)x y x x ++-．【点拨】本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解．举一反三：【变式】（2019·上海奉贤区·七年级期末）分解因式：256152x y x xy +--．【答案】(3)(52)x x y --【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式．解：256152x y x xy +-- =2(515)(62)x x y xy -+- =5(3)2(3)x x y x -+- =(3)(52)x x y --．【点拨】此题考查分解因式：分组分解法、提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、因式分解法，根据每个多项式的特点选用适合的分解方法是解题的关键．6．（2020·信阳市商城思源实验学校八年级月考）分解因式 x 2-y 2-z 2-2yz 【答案】 ()()x y z x y z ++-- 【分析】（3）原式后三项运用完全平方公式分解，最后运用平方差公式进行因式分解即可；解： x 2-y 2-z 2-2yz ；=222(2)x y z yz -++ =22()x y z -+； =()()x y z x y z ++--【点拨】此题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键．【变式】（2020·上海市澧溪中学七年级月考）因式分解：2221--+x y x【答案】(1)(1)x y x y -+--【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有x 的二次项，x 的一次项，有常数项．所以要考虑后三项x 2-2x+1为一组．解：x 2-y 2-2x+1，=-y 2+（x 2-2x+1）， =-y 2+（x -1）2， =（x+y -1）（x -y -1）．【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有x 的二次项，x 的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．类型五、综合练习7．（2020·山东东营市·丁庄镇中心初级中学八年级月考）（一）因式分解（1）()()323a m n m n +++ （2）()222224a b a b +-（二）用简便方法计算（1）2222211111111...1123420182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）29991002998-⨯ ．【答案】（一）（1）(2)(3)a m n ++；（2）22()()a b a b -+；（二）（1）10102019；（2）1995- 【分析】（一）（1）根据提取公因式的方法分解即可；（2）首先运用平方差公式分解，然后运用完全平方公式继续分解；（二）（1）运用平方差公式解答便可；（2）根据平方差公式计算即可．解：（一）（1）原式(2)(3)a m n =++；（2）原式2222()(2)a b ab =+-，2222(2)(2)a b ab a b ab =+-++， 22()()a b a b =-+；（二）（1）原式11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22334420192019=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⋯⨯-⨯+， 1324352018202022334420192019，1202022019=⨯， 10102019=；（2）原式2(10001)(10002)(10002)=--+⨯-，2210002000110004=-+-+，1995=-．【点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解以及平方差公式的应用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，熟记公式是解答本题的关键．8.（2020·重庆南开中学八年级开学考试）()()()222222x y x y x y -+++-+- 【答案】84-+xy 【分析】运用完全平方公式、平方差公式进行计算．解：原式()()222222x y x y =-+-+()()222222x y x y =--++()()22224x y x y x y x y =-++---+()424x y =⋅-+ 84xy =-+．【点拨】本题考查完全平方公式、平方差公式，灵活变形应用平方差公式是关键．举一反三：【变式】（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）利用分解因式计算：（1）359910088⨯ （2）2220152253851-+⨯ 【答案】（1）39999964；（2）253000 【分析】（1）利用平方差公式运算；（2）先利用平方差公式进行运算，然后再提公因式继续运算即可．【详解】（1）原式5510010088⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2251008⎛⎫=- ⎪⎝⎭251000064=- 39999964= （2）原式()()2015220152253851=+⨯-+⨯253149253851=⨯+⨯ ()253149851=⨯+2531000=⨯ 253000=【点拨】本题考查了因式分解，根据具体数据分析确定因式分解的方法是解题的关键．类型六、因式分解的应用9．（2020·江西九江市·八年级期末）解答下列问题：()1一正方形的面积是()22690,0a ab b a b ++>>，则表示该正方形的边长的代数式是．()2求证：当n 为正整数时， ()()222121n n +--能被8整除．【答案】（1）3a b +；（2）见解析【分析】（1）根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，分解因式即可；（2）原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．解：（1）∵()22269=+3++a ab b a b ，该正方形的边长的代数式是3a b +，故答案为：3a b +．（2）证明：∵ ()()()()()()22212121212121n n n n n n ⎡⎤⎡⎤+--=++-+--⎣⎦⎣⎦=42n ⨯ =8n∵原式能被8整除．【点拨】本题考查了因式分解，是分解因式的实际应用，要知道分解所得的因式在实际环境中所表示的意思．同时还考查了用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的结构特点需要熟记．举一反三：【变式】（2020·成都市金牛实验中学校七年级月考）若a ，b ，c 为ABC 的三边．（1）化简：|a ﹣b+c|+|c ﹣a ﹣b|﹣|a+b|；（2）若a ，b ，c 都是正整数，且a 2+b 2﹣2a ﹣8b+17＝0，ABC 的周长．【答案】（1）a ﹣b ；（2）9 【分析】（1）根据三角形的三边关系化简即可；（2）根据非负数的性质和三角形的三边关系化简即可得到结论．解：（1）∵a ，b ，c 为∵ABC 的三边，∵a ﹣b+c ＞0，c ﹣a ﹣b ＜0，a+b ＞0，∵|a ﹣b+c|+|c ﹣a ﹣b|﹣|a+b|＝a ﹣b+c ﹣c+a+b ﹣a ﹣b ＝a ﹣b ；（2）∵a 2+b 2﹣2a ﹣8b+17＝（a 2﹣2a+1）+（b 2﹣8b+16）＝（a ﹣1）2+（b ﹣4）2＝0，∵a ＝1，b ＝4，∵a ，b ，c 为∵ABC 的三边， ∵4﹣1＜c ＜4+1， ∵3＜c ＜5，∵若a ，b ，c 都是正整数，。

浙教版因式分解复习讲义

浙教版因式分解复习讲义．一、基础知识因式分解概念：1.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，也可称为将这这就叫做把这个多项式因式分解，个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。

．常用的因式分解方法：2，分解成两个）提公因式法：把（1mcmb?ma?其中一个因式是各项的公因式因式乘积的形式，所得的商，除以mm，另一个因式是)?c(a?b mc??mbma像这种分解因式的方法叫做提公因式法。

叫做这①多项式各项都含有的相同因式，个多项式各项的公因式。

各项系数的最大②公因式的构成：系数：公约数；各项都含有的相字母：同字母；相同字母的最低指数：次幂。

）公式法：（2 ①常用公式平方差：完全平方：222)2ab?b?(a?b?a②常见的22)b)(a?b?ab?(a?两个二项式幂的变号规律：．（为正整数）；2n2n2n?12n?1)?(ab(?)b?()?b()?aa??ban）十字相乘法3（．①二次项系数为1的二次三项式2?px?xq的积，分解成两个因式中，如果能把常数项q ba,那么它就可以分解等于一次项系数中并且，pba?成??????22bxx?a??pxq?x??ab?xab?x?的二次三项式1②二次项系数不为分解成两个因中，如果能把二次项系数2cax?bx?a的积，分解成两个因数数的积，把常数项cc,a,ac2211，那么它就可以分等于一次项系数并且c?aac b1221??????解成：。

（4）分组分解法适用22c?axaax??ccaac?c?xacbxax???ax?12122112122于四项以上的分组分解法，①定义：没有公因式，又不能直接多项式，例如22b??aba?但是如果将前两项和后两项分利用分式法分解，别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式，即可达到分解因式的目的。

例如 =，这种利用分组来分221)??a)(?a()b?(?)?a)(?a()b?(?)?a(ba?bba?bb22b?b?a?a解因式的方法叫分组分解法。

浙教版初中数学七年级下册《因式分解》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《因式分解》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解因式分解的意义，了解分解因式与整式乘法的关系；2．掌握提公因式法分解因式，理解添括号法则；3. 会用公式法分解因式；4. 综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、添括号的法则括号前面是“﹢”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“﹣”号，括到括号里的各项都变号.要点四、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点五、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点六、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、已知21x x +-＝0，求3223x x ++的值．【思路点拨】观察题意可知21x x +=，将原式化简可得出答案．【答案与解析】解：依题意得：21x x +=，∴3223x x ++，＝3223x x x +++，＝22()3x x x x +++，＝23x x ++，＝4；【总结升华】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．类型二、公式法分解因式2、已知2x －3＝0，求代数式()()2259x x x x x -+--的值．【思路点拨】对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解．【答案与解析】解：()()2259x x x x x -+--，＝322359x x x x -+--，＝249x -．当2x －3＝0时，原式＝()()2492323x x x -=+-＝0．【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解．举一反三：【变式】()()33a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（）A ．229a y+ B ．229a y -+ C ．229a y - D ．229a y -- 【答案】C ；3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如()()()4422x y x y x y x y -=-++，当x ＝9，y ＝9时，x y -＝0，x y +＝18，22x y +＝162，则密码018162．对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式324x xy -进行因式分解，得到()()32422x xy x x y x y -=+-，然后把x ＝10，y ＝10代入，分别计算出()2x y +及()2x y -的值，从而得出密码．【答案与解析】解：()()()32224422x xy x x y x x y x y -=-=+-，当x ＝10，y ＝10时，x ＝10，2x ＋y ＝30，2x －y ＝10，故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．举一反三：【变式】利用因式分解计算（1）16.9×18＋15.1×18（2） 22683317- 【答案】解：（1）16.9×18＋15.1×18＝()116.915.18⨯+ ＝13248⨯= （2）22683317-＝()()683317683317+⨯-＝1000×366＝366000．4、因式分解：（1）()()269a b a b ++++；（2）222xy x y--- （3）()()22224222x xy y x xy y -+-+．【思路点拨】都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解．完全平方公式法：()2222a b a ab b ±=±+．【答案与解析】解：（1）()()()22693a b a b a b ++++=++（2）()()2222222xy x y xy x yx y ---=-++=-+ （3）()()22224222x xy y x xy y -+-+＝()()24222x xy y x y -+=-【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全．举一反三：【变式】下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（）A ．21x +B ．221x x +-C ．21x x ++D ．244x x ++【答案】D ；5、先阅读，再分解因式：()24422224444(2)2x x x x x x +=++-=+-()()222222x x x x =-+++，按照这种方法把多项式464x +分解因式．【思路点拨】根据材料，找出规律，再解答．【答案与解析】解：442264166416x x x x +=++-＝()222816x x +-＝()()228484x x x x +++-．【总结升华】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．（1）根据你发现的规律填空：2x px qx pq +++=()2x p q x pq +++=＿＿＿＿＿＿；（2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：①2710x x ++；②2712y y -+．【思路点拨】（1）根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答；（2）根据（1）的结论直接作答．【答案与解析】解：（1）()()x p x q +⨯+（2）①()()271025x x x x ++=++ ②()()271234y y x x -+=-- 【总结升华】本题实际上考查了利用十字相乘法分解因式．运用这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数12,a a 的积12a a ，把常数项c 分解成两个因数12c c 的积12,c c ，并使1221a c a c +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．举一反三：【变式】已知A ＝2a +，B ＝25a a -+，C ＝2519a a +-，其中a ＞2．（1）求证：B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系；（2）指出A 与C 哪个大？说明理由．解：（1）B －A ＝()21a -＋2＞0，所以B ＞A ；（2）C －A ＝25192a a a +---，＝2421a a +-，＝()()73a a +-．因为a ＞2，所以a ＋7＞0，从而当2＜a ＜3时，A ＞C ；当a ＝3时，A ＝C ；当a ＞3时，A ＜C ．。

浙教版初中数学中考复习-因式分解 (共36张PPT)

•
①＋③得：2x2＋4x－4＋2x2－4x＝4x2－4＝4(x＋1)(x－1)；
•
②＋③得：2x2＋12x＋4＋2x2－4x＝4x2＋8x＋4＝4(x2＋2x＋1)＝4(x＋1)2.
• 【思维提升】本题考查了提取公因式法、公式法分解因式．注意因式分解的步骤，先提取公因式，再利用公式法进行分解．注意分解要彻底．
• 【答案】(1)B
(2)D
14
考点二：运用提取公因式法或公式法因式分解
• 【练】(1) [2018·杭州] 因式分解:(a-b)2-(b-a)=
．
•
(2)分解因式：4a2－4a＋1＝
. (3)分解因式：xy2－9x＝
．
•
(4)分解因式：2a2＋4a＋2＝
＝
.
. (5)分解因式：(2a＋1)2－a2
.
• (4)(2015·盐城)若2m－n2＝4，则代数式10＋4m－2n2的值为________．
• 【解析】 (3)∵m－n＝2，
•
∴2m2－4mn＋2n2－1＝2(m－n)2－1＝2×22－1＝7.
•
(4)∵2m－n2＝4，∴10＋4m－2n2＝10＋2(2m－n2)＝10＋2×4＝18.
• 【答案】(3)7 (4)18
•
A.a(m+n)=am+an
B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2
•
C.10x2-5x=5x(2x-1)
D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
• (2)多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝
，n＝
.
• 【解析】∵(x＋5)(x＋n)＝x2＋(n＋5)x＋5n，

第4章因式分解复习浙教版数学七年级下册课件

ห้องสมุดไป่ตู้
（2 ）
an an2 a2n an ( 1＋a2＋an ) .
3、分解因式：m(x-y)2－x+y =(x－y)[m(x－y-1)]
知识点2 公式法
1．公式法： (1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．
2．用平方差公式分解因式，关键是将多项式转化为 a2－ b2 的形式，对所给多项式要先观察，再作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看做一个整体，分解后注
巩固练习
1、因式分解 x2－ax＋b，甲看错了 a 的值，分解的结果是(x＋6)(x－1)，乙看错了 b 的值，分解的结果为(x－2)(x＋1)，那么 x2＋ax＋b 分解因式正确的结果为（ B ）
3．已知 x4+y4+2x2y2﹣2x2﹣2y2﹣15=0，求 x2+y2 的值．【答案】x2+y2=5．
4．因式分解：x4-16y4
5【．答已知案】a，b 是实数，试说明 a2 b2 2a 4b 8 的值是正数.
3．已知 x4+y4+2x2y2﹣2x2﹣2y2﹣15=0，求 x2+y2 的值．
意合并同类项． 3．用完全平方公式分解因式，关键是掌握公式的特征．
例题LM解析
【例 2】分解因式：
(1)4x2－25．
(2)16x4－72x2y2＋81y4．
例题LM解析
【例 2】分解因式：
(1)4x2－25．
(2)16x4－72x2y2＋81y4．
【解析】 (1)原式＝(2x)2－52 ＝(2x＋5)(2x－5)． (2)原式＝(4x2－9y2)2＝[(2x＋3y)(2x－3y)]2 ＝(2x＋3y)2(2x－3y)2．【答案】 (1)(2x＋5)(2x－5) (2)(2x＋3y)2(2x－3y)2

新浙教版七年级数学下册第四章《因式分解复习课件》公开课课件

法方的式因公定确
1. 提公因式法
公因式多项式各项都含有的相同因式，
定系数系数的最大公约数
定字母各项中都有的相同的字母。
定指数字母的最低次幂。
提公因式法如果多项式的各项有公因式,把公因式提出来, 从而转化为几个因式乘积的形式
(1) a+b与b+a 互为相同数,
(a+b)n = (b+a)n (n是整数）
A. (x+5)(x-5)=x2-25
B. x2+3x+1=(x+1)(x+1)-1
C. x2+3x+2=(x+1)(x+2) D. a(m+n)=am+an
4.下列多项式是完全平方式的是( C )
A. 0.01x2+0.7x+49
B. 4a2+6ab+9b2
C. 9a2b2-12abc+4c2
D. X2-0.25x+0.25
练习: ：把m2 ? 5n? mn? 5m分解因式。把x2 ? y2 ? ax ? ay分解因式。
例2：把 a 2 ? 2ab ? b2 ? c2分解因式。解：原式 ? (a 2 ? 2ab ? b2 ) ? c2 ? (a ? b)2 ? c2 ? (a ? b ? c)(a ? b ? c)
a 2 ? 2ab ? b2
m(a ? b ? c)
(a ? b)(a ? b)
(a ? b)2
(a ? b)2
是互逆的关系．一定是恒等变形
填空
1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5), 则m= -7 ,n= -10 。 2．x2-8x+m=(x-4)2,m=16 。

浙教版初中数学第四章因式分解复习课件(共22张PPT)

应用3 应用因式分解解几何问题
6．已知三角形ABC的三边长a，b，c满足a2 － b2＝ac－bc，试判断三角形ABC的形状．
解：因为a2－b2＝ac－bc，所以(a－b)(a＋b)＝c(a －b)．所以(a－b)(a＋b)－c(a－b)＝0.所以(a－ b)(a＋b－c)＝0.因为a，b，c是三角形ABC的三边长，所以a＋b－c≠0.所以a－b＝0.所以a＝b.所以三角形ABC为等腰三角形．
知识点
(3)a2b＋2a2b2 ＋ ab2 ＝ ab(a ＋ 2ab ＋ b) ＝ ab[(a ＋ b) ＋ 2ab]．把 a＋b＝23，ab＝－2 代入上式，原式＝(－2)×23＋2×（－2）＝230.
方法2 公式法
应用2 应用因式分解判断整除问题
5．对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－5)2是否
能被24整除？
解：(n＋7)2－(n－5)2＝[(n＋7)＋(n－5)][(n＋ 7)－(n－5)]＝(n＋7＋n－5)(n＋7－n＋5)＝ (2n＋2)×12＝24(n＋1)．因为n是自然数，所以(n＋7)2－(n－5)2能被24整除．
全章热门考点整合
考点1：一个概念——因式分解考点2：两个方法考点3：三个应用考点4：三个技巧考点5：一种思想——整体思想
分类训练
1
2
3
4
5
知识考点点 1 一个概念——因式分解
1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是
(C ) A．(a＋5)(a－5)＝a2－25
B．mx＋my＋2＝m(x＋y)＋2 C．x2－9＝(x＋3)(x－3)
技巧3 换元法
10．因式分解：(m2－2m－1)(m2－2m＋3)＋4. 解：令m2－2m＝y，则原式＝(y－1)(y＋3)＋ 4＝y2＋2y－3＋4＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2. 将y＝m2－2m代入上式，则原式＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.

因式分解单元分类总复习-2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

《因式分解》单元分类总复习考点一因式分解知识总结：1.因式分解与整式乘法的关系：互为逆运算（故：将因式分解的结果乘出来可以用来检验因式分解的正误）2.因式分解基本步骤：一“提”→提取公因式（公因式可以是单独数字、单独字母、数字与字母乘积类的单项式；也可以是一个整体的多项式；提公因式一定要一次提完）二“套”→套用乘法公式（两项想平方差公式、三项想完全平方公式）3.分解因式时，一定要按照步骤，先观察能否提取公因式，再考虑用公式法分解，对于结果，一定要进行检查，看是否已分解彻底【例题典析】1．（2021春•拱墅区校级期中）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．x3﹣xy2＝x（x﹣y）2B．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2C．x2+4x﹣4＝x（x+4）﹣4D．4x2+2xy+y2＝（2x+y）2【分析】根据因式分解的概念进行逐项分析解答即可．（把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解）【解答】解：A、x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），是因式分解不完全，故这个选项不符合题意；B、﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，是因式分解，故这个选项符合题意；C、结果不是整式的积的形式，不是因式分解，故这个选项不符合题意；D、4x2+4xy+y2＝（2x+y）2，左右两边不相等，所以因式分解错误，故这个选项不符合题意．故选：B．2．（2021春•罗湖区校级期末）下列各式从左到右因式分解正确的是（）A．2x﹣6y+2＝2（x﹣3y）B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1C．x2﹣4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案．【解答】解：A、2x﹣6y+2＝2（x﹣3y+1），故原式分解因式错误，不合题意；B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故原式分解因式错误，不合题意；C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故原式分解因式错误，不合题意；D、x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），正确．故选：D．3．（2020春•绍兴期中）下列多项式可以用平方差公式进行因式分解的有（）①﹣a2+b2；②x2+x+；③x2﹣4y2；④（﹣m）2﹣（﹣n）2；⑤﹣121a2+36b2；⑥﹣s2+2s．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】直接利用平方差公式分别分解因式得出答案．【解答】解：①﹣a2+b2＝（b+a）（b﹣a），可以用平方差公式进行因式分解；②x2+x+＝（x+）2，不可以用平方差公式进行因式分解；③x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），可以用平方差公式进行因式分解；④（﹣m）2﹣（﹣n）2＝（m+n）（m﹣n），可以用平方差公式进行因式分解；⑤﹣121a2+36b2＝（6b﹣11a）（6b+11a），可以用平方差公式进行因式分解；⑥﹣s2+2s＝﹣s（s﹣4），不可以用平方差公式进行因式分解；故选：C．4．下列多项式能分解因式的是（）A．﹣m2﹣n2B．m2+2m+1C．m2﹣m+D．m2﹣n【分析】根据因式分解的方法逐个判断即可．【解答】解：A．不能分解因式，故本选项不符合题意；B．能用完全平方公式分解因式，故本选项符合题意；C．不能分解因式，故本选项不符合题意；D．不能分解因式，故本选项不符合题意；故选：B．5．（2021秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2 C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1【分析】根据提公因式法，公式法进行分解即可判断．【解答】解：A．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），故A不符合题意；B．﹣a2﹣b2在有理数范围不能进行因式分解，故B符合题意；C．a3﹣3a2+2a＝a（a﹣1）（a﹣2），故C不符合题意；D．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D不符合题意；故选：B．6．（2021秋•黄石港区期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】根据左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），利用面积相等即可解答．【解答】解：∵左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a ﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．7．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1B．a2+a C．（a﹣1）2﹣a+1D．（a+2）2﹣2（a+2）+1【分析】根据因式分解的意义求解即可．【解答】解：A、原式＝（a+1）（a﹣1），故A不符合题意；B、原式＝a（a+1），故B不符合题意；C、原式＝（a﹣1）（a﹣1﹣1）＝（a﹣2）（a﹣1），故C符合题意；D、原式＝（a+1）2，故D不符合题意；故选：C．8．（2021春•拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【分析】（1）运用平方差公式进行因式分解．（2）先提公因式，再运用完全平方公式．（3）先运用平方差公式，再提公因式．（4）运用十字相乘法进行因式分解，注意分解彻底．【解答】解：（1）﹣a2+1＝（1+a）（1﹣a）．（2）2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）2．（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2＝[2（x+2y）+5（x﹣y）][2（x+2y）﹣5（x﹣y）]＝（2x+4y+5x﹣5y）（2x+4y﹣5x+5y）＝（7x﹣y）（﹣3x+9y）＝﹣3（7x﹣y）（x﹣3y）．（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．9．（2021春•长清区期末）因式分解：（1）mx2﹣my2；（2）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．【分析】（1）直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（a﹣b），进而分解因式即可．【解答】解：（1）mx2﹣my2＝m（x2﹣y2）＝m（x+y）（x﹣y）；（2）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）．10．（2021春•北仑区期中）分解因式：（1）4x2﹣；（2）3a﹣6a2+3a3．【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）4x2﹣＝（2x﹣）（2x+）；（2）3a﹣6a2+3a3＝3a（1﹣2a+a2）＝3a（1﹣a）2．考点二因式分解方法拓展知识总结：分组分解因式：当多项式有四项及以上时常需要分组。

数学浙教版七下-《因式分解》复习课件PPT文档共29页

三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提” 或能“套”。[如(x+y)²-x-y=(x+y)(x+y-1）
四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。
第二步第二环节
主要应用
简化计算解方程多项式的除法
简化计算
超级变变变
(1)562+56×44 (2)1012 - 992
数学浙教版七下-《因式分解》复习课件
因式分解的复习
B层练习
基本概念
检验下列因式分解是否正确？(5′×4=20′)
(1)2ab2+8ab3=2ab2 (1 + 4b) (2) 2x2-9= (2x+3)(2x-3) (3) x2-2x-3=(x-3)(x+1) (4) 36a2-12a-1= (6a-1) 2
基本方法
挑战自我：
A层练习 B层练习 C层练习
A层练习
基本方法
将下列各式分解因式：(4′×5=20′)
⑴ -a²-ab；
=-a(a+b)
⑵ m²-n²； ⑶ x²+2xy+y²
= (m+n)(m-n) =(x+y)²
(4) 3am²-3an²； =3a (m+n)(m-n)
(5) 3x³+6x²y+3xy² =3x(x+y)²
是答
案
答否
案
答是
案
答否案
C层练习
基本概念
填空(5′×3=15′)
1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5), 则m= -7 ,n= -10 。
2．x2-8x+m=(x-4)(x-4 ),且m= 16 。

浙教版七年级下册数学第四章《因式分解》复习课件(共22张PPT)

(4) x2
2
1 x2
(x 1)2 x
(5)m(x y) mx my
(6)1
16 a2
(1
4 )(1 a
4) a
2、下列因式分解正确的是哪些？请将不正确的改成正确的。
(1)2x2 4xy 2xy2 2x(x 2 y y2 ) (2)9b2 4a2 (2a 3b)(2a 3b) (3)x2 3x 4 (x 4)(x 1) (4)4x4 2x3 y x3(4x 2 y) (5) x2 xy xz x(x2 y z) (6)3a2 y 6ay 3y 3y(a2 2a 1)
一、因式分解的定义
把一个多项式分成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。即：一个多项式→几个整式的积
因式分解互逆整式乘法
1、下列从左到右的变形中，哪些是因式分解，哪些不是？为什么？
(1)8a5b2 4a2b2 2a3
(2)m 1 1 (m 1) mm
(3)a2 16 3b (a 4)(a 4) 3b
3、一个多项式分解因式的结果
是 (b3 2)(2 b3 )，那么这个多项式
是：
。
4、若 x2 ax b能分解为 (x 6)(x 7) ，
试求 a, b 的值。
5、已知 1 x2 5 x 1 有一个因式
为
(
1
x
6
1)
6
，则另一个因式
2
是：
。
6、一个多项式若能因式分解成两个因式
的积，则这个多项式被其中任一个因式除，
19980 (5) 19992 19972
14、若 a b 7，b a 3 ，
求 a2 b2
7
15、若a b 1，ab 2 ，求

初一数学最新课件-第六章因式分解复习课浙教版浙教版

开始
概念
与整式乘法的关系：相反变形提取公因式法
因式分解
公平方差公式完全平方公式方法
式立方和（差）公式
x2+(a+b)x+ab 法 =(x+a)(x+b) 分组分组后再提取公因式分解分组后再运用公式法法或再运用十字相乘法
十字相乘法
例题讲解
例1把下列各式分解因式
例题讲解
例2，因式分解
(1) a3(m + n)2 - 4a3c2
(2) a4 - 7a2 - 18
(3) 4( 1- n2 - mn) - m2
(4) ( x2 + x + 1) ( x2 + x +5) + 4
例题讲解
例2，因式分解
(1) a3(m + n)2 - 4a3c2 = a3[(m + n)2 - 4c2] = a3(m + n + 2c)(m +n - 2c) (2) a4 - 7a2 - 18 = (a2 - 9)( a2 + 2) = (a + 3)( a - 3)( a2 + 2)
(3) 4( 1- n2 - mn) - m2 = = = =
4 - 4n2 - 4 mn - m2 4 - ( 4n2 + 4mn + m2) 22 - ( 2n + m)2 [2 + (2n + m)] [ 2 - ( 2n + m)]
= ( 2 + 2n + m )( 2 - 2n - m)
例题讲解
例2，因式分解
解：(4) ( x2 + x + 1) ( x2 + x +5) + 4 = [ ( x2 + x) + 1] [ ( x2 + x) +5] + 4 = ( x2 + x)2 + 6 ( x2 + x ) + 5 + 4 = ( x2 + x)2 + 6 ( x2 + x ) + 9

《因式分解》复习课件浙教版七年级下册

2
四.知识拓展运用
1.计算：
101 99
2
2
解原式（ 101 99 ）（ 101 99 ） 200 2 400
2．求值
(1)解 : x 2 y xy 2 xy( x y ) 当x y 3, xy 2时，原式 3 2 6
2 2 x y xy （1）当x y 3, xy 2 ，求的值.
1.把下列各式分解因式： 2 (1)4 x 16
(2)a 2a b b
4 2 2 4
(3)9(a b)2 4(a b)2
(4)a b a b
2 2
2.若多项式x2+ax+b因式分解为 (x+1)(x-2),则a=( -1 ),b=( -2 ).
2 3.如果|x-y-2|+(x+y+5) =0,则
2
2 2
C.a ab b
D.式分解因式：
做一做
(1)( x 1) (2 y 1)
2 2
2 2
(2)4(m n) 9(2m 3n) (3) x 4 y 4 xy
2 2
(4)(a b) 6(a b) 9
概念
知识梳理
与整式乘法的关系
因式分解
提公因式法
方法运用公式法完全平方公式平方差公式
提：提公因式
步骤
公：运用公式
查：查结果是否彻底
一.知识回顾: 1.什么叫因式分解? 把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解.因式分解是整式乘法的逆变形。 2.因式分解有哪些方法？（1）提公因式法；（2）运用公式法：
相信你能行!

《因式分解》复习课件--浙教版---七年级下册PPT共19页

1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
《因式分解》复习课件--浙教版---七年级下册
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新来燕，双双入我庐，先巢故尚在，相将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、陶渊明（约 365年 —427年），字元亮，（又一说名潜，字渊明）号五柳先生，私谥“靖节”，东晋末期南朝宋初期诗人、文学家、辞赋家、散
文家。汉族，东晋浔阳柴桑人（今江西九江）。曾做过几年小官，后辞官回家，从此隐居，田园生活是陶渊明诗的主要题材，相关作品有《饮酒》、《归园田居》、《桃花源记》、《五柳先生传》、《归去来兮辞》等。

浙教版因式分解复习讲义

专题4-11 《因式分解》全章复习与巩固(知识讲解)-七年级数学下册(浙教版)

浙教版因式分解复习讲义

浙教版初中数学七年级下册《因式分解》全章复习与巩固(基础)知识讲解

浙教版初中数学中考复习-因式分解 (共36张PPT)

第4章 因式分解复习 浙教版数学七年级下册课件

新浙教版七年级数学下册第四章《因式分解复习课件》公开课课件

浙教版初中数学第四章 因式分解复习课件(共22张PPT)

因式分解单元分类总复习-2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

数学浙教版七下-《因式分解》复习课件PPT文档共29页

浙教版七年级下册数学第四章《因式分解》复习课件(共22张PPT)

初一数学最新课件-第六章因式分解复习课浙教版浙教版

《因式分解》复习课件 浙教版 七年级下册

《因式分解》复习课件--浙教版---七年级下册PPT共19页

第4章因式分解复习浙教版数学七年级下册课件

浙教版初中数学第四章因式分解复习课件(共22张PPT)

《因式分解》复习课件浙教版七年级下册