第二章 不可修复系统的可靠性
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这四种情况属于互斥事件
则:Rs(t)=P｛[（t1>T）∩（t2>T）∩（t3>T）] ∪[（t1<T）∩（t2>T）∩（t3>T）] ∪[（t1>T）∩（t2<T）∩（t3>T）] ∪[（t1>T）∩（t2>T）∩（t3<T）]｝
即:Rs(t)=[P（t1>T）×P（t2>T）×P（t3>T）] +[P（t1<T）×P（t2>T）×P（t3>T）] +[P（t1>T）×P（t2<T）×P（t3>T）] +[P（t1>T）×P（t2>T）×P（t3<T）]
i 1
n
系统的平均寿命：
s
0
1 Rs (t ) ... (1) n 1 i 1 i 1i j n i j
n
1
1
i 1
n
i
系统的失效率：
Fs(t ) Rs (t ) s (t ) Rs (t ) Rs (t )
1s 2s
Ris (t ) Rij (t )
j 1
nm
ms
Rs (t ) 1 [1 Rij (t )]
i 1 j 1
m
nm
例2－3 若在m=n=5的串－并联系统与并－串联系统中，单 元可靠度均为R(t)=0.75，试分别求出这两个系统的可靠度。
解：（1）对于串－并联系统
当n=2时，平均寿命及失效率分别为：
1 s 1 2 1 2
s (t ) 1e t 2e t (1 2 )e ( )t
1 2 1 2
1
1
e 1t e 2t e ( 1 2 )t
结论：
（1)并联系统可靠度大于单元可靠度最大值； （2）n越大，系统可靠度越高； （3）并联系统单元数多，说明系统的结构尺寸大，重量及 造价高。故机械系统中一般采用并联单元数不多，例如在 动力装置、安全装置、制动装置采用并联时，常取n=2~3。
如果单元及系统的工作时间都为t，各单元可靠度均为 R(t)，则：
Rs (t ) 3R (t ) 2R (t )
2 3
第六节 旁联系统
一、储备单元完全可靠的旁联系统 二、储备单元不完全可靠的旁联系统
一、储备单元完全可靠的旁联系统
定义：
一个单元工作，其余单元处于非工作状态的储备，当工作 单元发生故障时，通过转换装置使储备单元逐个去替换， 直到所有的单元都发生故障时，系统实效。
Rs (t ) R1 (t1 ) R2 (t2 ) R3 (t3 ) [1 R1 (t1 )]R2 (t2 ) R3 (t3 ) R1 (t1 )[1 R2 (t2 )]R3 (t3 ) R1 (t1 ) R2 (t2 )[1 R3 (t3 )]
Rs (t ) R1 (t1 ) R2 (t2 ) R1 (t1 ) R3 (t3 ) R2 (t2 ) R3 (t3 ) 2R1 (t1 ) R2 (t2 ) R3 (t3 )
=0.8+0.9×0.7-0.9×0.8×0.7=0.926
第五节 表决系统
定义： 组成系统的n个单元中，至少r个单元正常工作， 系统才能正常工作，该系统为r/n表决系统。
要求：
掌握2/3表决系统
A
B
C 2/3表决系统逻辑框图
2/3
A A
B C
B
C
设由A、B、C三个单元组成的表决系统，
系统失效时间随机变Βιβλιοθήκη Baidu为T
常用的典型系统及其可靠性特征量计算。 假设：
（1）认为系统及其组成的各单元均可能处于两种状态－－ 正常和失效；
（2）各单元所处的状态是相互独立的。
第二节 串联系统
一、单元系统功能逻辑关系
单元 n个都正常 n个中任一个故障 功能逻辑框图：
1 2 n
系统 正常 故障
二、系统可靠度计算
事件A－－系统处于正常工作状态； Ai(i=1,2,…,n)－－单元i处于正常工作状态。 则： A
11 21 12 15 25
22
51 1s
52
55
2s
5s
R1s (t ) R2s (t ) ... R5s (t ) 1 [1 R(t )]5
Rs (t ) 1 [1 R(t )]
5 5
1 [1 0.75]
12 22 15 25
5 5
0.99513
1 2
系统 正常 故障
并联系统是最 简单的冗余系 统（有贮备模 型）。
n
二、系统可靠度计算
事件A－－系统处于正常工作状态； Ai(i=1,2,…,n)－－单元i处于正常工作状态。 则：
A
n
Ai
i 1
系统不可靠度为：
n n
Fs (t ) P( A) P( Ai ) Fi (t )
n
Ai
i 1
P( A) P( Ai )
i 1
n
系统可靠度与单元可靠度的关系：
Rs (t ) Ri (t )
i 1
n
在设计时，为提高串联系统的可靠性，可从下列三方面考虑：
(a) 尽可能减少串联单元数目 (b) 提高单元可靠性，降低其故障率 (c) 缩短工作时间
若各单元寿命均服从指数分布，单元失效率为λi（常 数），则系统可靠度为：
（2）对于并－串联系统
11 21
51
52
1s 2s
55
5s
Rs (t ) 1 [1 R5 (t )]5 1 [1 0.755 ]5 0.74192
结论： 单元数目和单元可靠度相同的情况下，串－并联系统 的可靠度大于并－串联系统的可靠度。
例如：某一系统有两种功能，功能Ⅰ要求组件A或者B工作，功能 Ⅱ要求组件B或者C工作，完成某一特定任务，要求功能Ⅰ、Ⅱ两 种功能都正常。此系统功能Ⅰ和功能Ⅱ及完成任务的可靠性框图 见下图。
单元失效时间随机变量为ti , i=1,2,3
要保证系统正常运行，就有下面4种情况。
A、B、C全部正常工作，即： (t1>T)∩（t2>T）∩（t3>T） A失效，B,C正常工作，即：（t1<T） ∩（t2>T）∩（t3>T） B失效，A,C正常工作，即：（t1>T） ∩（t2<T）∩（t3>T） C失效，A,B正常工作，即：（t1>T）∩ （t2>T）∩（t3<T）
Rs (t ) Ri (t ) e
i 1 i 1
n
n
i t
e
it
i 1
n
e s t
结论： （1）串联系统的寿命也服从指数分布；
（2）串联系统的失效率λs为常数，且
n
s i
i 1
s
1
s
例2－1
计算由两个单元组成的串联系统可靠度、失效率、 平均寿命。已知两个单元的失效率分别是λ1＝ 0.00005（1/h),λ2=0.00001(1/h),工作时间t=1000h。
A B A B
完成任务
B C E
B
功能Ⅰ
C
功能Ⅱ
各组件可靠度已给出： RA=0.9，RB=0.8，RC=0.7 求：系统的可靠度RS
R1=1-(1-0.9)(1-0.8)=0.98
R2=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94 应特别注意：RS≠0.98×0.94=0.9212 RS=RB+RARC-RARBRC
值得注意的是，成功完成6项任务的概率Ps不等于完成各项任务 可靠度RA、RB、RC、RD、RE、RF的乘积。因为有的设备，如设 备1、设备2、设备3及设备4具有多功能。若采用这种任务可靠度 相乘的办法，将会使某些设备多次参加计算，从而造成错误计算。
第三节 并联系统
一、单元系统功能逻辑关系
单元 n个中任一个正常 n个全部故障 功能逻辑框图：
任 A B C D E F
务
任 务 说 明 远距飞机侦察 远及（或）近距海面舰船探测 海区状态信息收集 水下监视 舰上发射导弹的远距末端制导 大范围气象资料收集
完成任务所需的设备组合 1 1，2 1，3 1，3，4 3，4，5 1，2，3，6
该系统各设备的可靠度如下： 设备 可靠度 1 0.95 2 0.93 3 0.99 4 0.91 5 0.90 6 0.95
整个任务时间为3h，为完成所有任务，要求在3h内所有设备都工 作。某一设备可能同时保证几项任务成功 求解：（1）成功完成每项任务的概率？ （2）在3h中成功完成所有6项任务的概率？
任务 A： RI RA=R1=0.95 任务 B： R1 R2 RB=R1R2=（0.95）(0.93)=0.88 任务 C： R1 R3 RC=R1R3=（0.95）(0.99)=0.94 任务 D： R1 R3 R4 RD=R1R2R3=（0.95） （0.99)（0.91)=0.85 任务 E： R3 R4 R5 RE=R3R4R5=（0.99） （0.91)（0.90)=0.81 任务 F： R1 R2 R3 R6 RF=R1R2R3R6 =（0.95） （0.93)（0.99)（0.95） =0.83
Rs3 (t ) 1 [1 Rs1 (t )][1 Rs2 (t )]
Rs4 (t ) 1 [1 R6 (t )][1 R7 (t )]
Rs (t ) Rs3 (t )Rs4 (t )R8 (t )
Rs (t ) s (t ) Rs (t )
s Rs (t )dt
i 1 i 1
系统可靠度为：
Rs (t ) 1 Fs (t ) 1 Fi (t ) 1 [1 Ri (t )]
i 1 i 1
n
n
若各单元寿命均服从指数分布，单元失效率为λi（常 数），则系统可靠度为：
Rs (t ) 1 (1 e it )
二、 系统可靠性功能逻辑框图
系统逻辑框图：用方框表示单元功能，方框之间用短线联接 起来，表示单元功能与系统功能的关系。 如图所示两个串联阀系统：
1
流 入 2 流 出
其功能逻辑框图：
1 2
三、 系统类型
非储备系统－－串联系统 并联系统 系统 工作储备
混联系统
表决系统
储备系统
非工作储备－－旁联系统
复杂系统
0
二、串－－并联系统
功能逻辑框图：
11 21 12 22 ij m11 1s m22 mnn 1n 2n
2s
ns
R js (t ) 1 [1 Rij (t )]
i 1
n
mj
Rs (t ) R js (t )
j 1
三、并－－串联系统
11 21 m1 12 22 m2 1n1 2n2 mnm
第四节 混联系统
一、一般混联系统 二、串－－并联系统 三、并－－串联系统
一、一般混联系统
由串联系统和并联系统混合组成的系统， 其逻辑框图如图所示。
1 4 2 5 6 8 s2 7 3 6 8 7
s1
s3
s4
8
Rs1 (t ) R1 (t )R2 (t )R3 (t )
Rs2 (t ) R4 (t )R5 (t )
第二章 不可修复系统的可靠性
第一节
系统的组成及功能 逻辑框图
一、 系统的组成
二、 系统可靠性功能逻辑框图 三、 系统类型
一、 系统的组成
系统：为了完成某一特定功能，由若干个彼此有联 系的而 且又能相互协调工作的单元组成的综合体。
系统和单元的含义是相对的。
系统
单机
单元
一条生产线 一台设备
部件或零件
要求：
掌握两个单元的旁联系统
1 K 故障监测和 转换装置 2
n
非工作贮备系统可靠性框图
1、转换装置完全可靠（理想开关）旁联系统 要求系统工作到时间t 事件1： 事件2： 第一单元单独运行到达时间t 第一单元在t1时发生故障，第二单元接着运行到 规定时间t 事件1与事件2为两互斥事件 系统的可靠度为：
① 在 3h 中成功完成全部 6 项任务的概率 Ps 等于 6 个设备的可靠度之积。 因为为了能在 3h 中成功地完成全部 6 项任务，所有设备必须工作。 ② R1 R2 R3 R4 R5 R6 Ps=R1R2R3R4R5R6 =（0.95） （0.93） （0.99） （0.91） （0.90） （0.95） =0.68
解：
s 1 2 0.00005 0.00001 0.00006( 1 h)
Rs (t ) e
1
st
e
0.000061000
e
0.06
0.9417
1 s 16667h s 0.00006
例2-2：一种机载侦察及武器控制系统将完成 6种专门的任务， 每项任务的定义见表 2-2，由于体积，重量及功率的限制， 为了能够完成各项任务，每一任务专用的设备必须与其他任 务专用设备组合使用。例如下表所示，为了完成任务E，必 须由设备3、4及5一起工作。
则:Rs(t)=P｛[（t1>T）∩（t2>T）∩（t3>T）] ∪[（t1<T）∩（t2>T）∩（t3>T）] ∪[（t1>T）∩（t2<T）∩（t3>T）] ∪[（t1>T）∩（t2>T）∩（t3<T）]｝
即:Rs(t)=[P（t1>T）×P（t2>T）×P（t3>T）] +[P（t1<T）×P（t2>T）×P（t3>T）] +[P（t1>T）×P（t2<T）×P（t3>T）] +[P（t1>T）×P（t2>T）×P（t3<T）]
i 1
n
系统的平均寿命：
s
0
1 Rs (t ) ... (1) n 1 i 1 i 1i j n i j
n
1
1
i 1
n
i
系统的失效率：
Fs(t ) Rs (t ) s (t ) Rs (t ) Rs (t )
1s 2s
Ris (t ) Rij (t )
j 1
nm
ms
Rs (t ) 1 [1 Rij (t )]
i 1 j 1
m
nm
例2－3 若在m=n=5的串－并联系统与并－串联系统中，单 元可靠度均为R(t)=0.75，试分别求出这两个系统的可靠度。
解：（1）对于串－并联系统
当n=2时，平均寿命及失效率分别为：
1 s 1 2 1 2
s (t ) 1e t 2e t (1 2 )e ( )t
1 2 1 2
1
1
e 1t e 2t e ( 1 2 )t
结论：
（1)并联系统可靠度大于单元可靠度最大值； （2）n越大，系统可靠度越高； （3）并联系统单元数多，说明系统的结构尺寸大，重量及 造价高。故机械系统中一般采用并联单元数不多，例如在 动力装置、安全装置、制动装置采用并联时，常取n=2~3。
如果单元及系统的工作时间都为t，各单元可靠度均为 R(t)，则：
Rs (t ) 3R (t ) 2R (t )
2 3
第六节 旁联系统
一、储备单元完全可靠的旁联系统 二、储备单元不完全可靠的旁联系统
一、储备单元完全可靠的旁联系统
定义：
一个单元工作，其余单元处于非工作状态的储备，当工作 单元发生故障时，通过转换装置使储备单元逐个去替换， 直到所有的单元都发生故障时，系统实效。
Rs (t ) R1 (t1 ) R2 (t2 ) R3 (t3 ) [1 R1 (t1 )]R2 (t2 ) R3 (t3 ) R1 (t1 )[1 R2 (t2 )]R3 (t3 ) R1 (t1 ) R2 (t2 )[1 R3 (t3 )]
Rs (t ) R1 (t1 ) R2 (t2 ) R1 (t1 ) R3 (t3 ) R2 (t2 ) R3 (t3 ) 2R1 (t1 ) R2 (t2 ) R3 (t3 )
=0.8+0.9×0.7-0.9×0.8×0.7=0.926
第五节 表决系统
定义： 组成系统的n个单元中，至少r个单元正常工作， 系统才能正常工作，该系统为r/n表决系统。
要求：
掌握2/3表决系统
A
B
C 2/3表决系统逻辑框图
2/3
A A
B C
B
C
设由A、B、C三个单元组成的表决系统，
系统失效时间随机变Βιβλιοθήκη Baidu为T
常用的典型系统及其可靠性特征量计算。 假设：
（1）认为系统及其组成的各单元均可能处于两种状态－－ 正常和失效；
（2）各单元所处的状态是相互独立的。
第二节 串联系统
一、单元系统功能逻辑关系
单元 n个都正常 n个中任一个故障 功能逻辑框图：
1 2 n
系统 正常 故障
二、系统可靠度计算
事件A－－系统处于正常工作状态； Ai(i=1,2,…,n)－－单元i处于正常工作状态。 则： A
11 21 12 15 25
22
51 1s
52
55
2s
5s
R1s (t ) R2s (t ) ... R5s (t ) 1 [1 R(t )]5
Rs (t ) 1 [1 R(t )]
5 5
1 [1 0.75]
12 22 15 25
5 5
0.99513
1 2
系统 正常 故障
并联系统是最 简单的冗余系 统（有贮备模 型）。
n
二、系统可靠度计算
事件A－－系统处于正常工作状态； Ai(i=1,2,…,n)－－单元i处于正常工作状态。 则：
A
n
Ai
i 1
系统不可靠度为：
n n
Fs (t ) P( A) P( Ai ) Fi (t )
n
Ai
i 1
P( A) P( Ai )
i 1
n
系统可靠度与单元可靠度的关系：
Rs (t ) Ri (t )
i 1
n
在设计时，为提高串联系统的可靠性，可从下列三方面考虑：
(a) 尽可能减少串联单元数目 (b) 提高单元可靠性，降低其故障率 (c) 缩短工作时间
若各单元寿命均服从指数分布，单元失效率为λi（常 数），则系统可靠度为：
（2）对于并－串联系统
11 21
51
52
1s 2s
55
5s
Rs (t ) 1 [1 R5 (t )]5 1 [1 0.755 ]5 0.74192
结论： 单元数目和单元可靠度相同的情况下，串－并联系统 的可靠度大于并－串联系统的可靠度。
例如：某一系统有两种功能，功能Ⅰ要求组件A或者B工作，功能 Ⅱ要求组件B或者C工作，完成某一特定任务，要求功能Ⅰ、Ⅱ两 种功能都正常。此系统功能Ⅰ和功能Ⅱ及完成任务的可靠性框图 见下图。
单元失效时间随机变量为ti , i=1,2,3
要保证系统正常运行，就有下面4种情况。
A、B、C全部正常工作，即： (t1>T)∩（t2>T）∩（t3>T） A失效，B,C正常工作，即：（t1<T） ∩（t2>T）∩（t3>T） B失效，A,C正常工作，即：（t1>T） ∩（t2<T）∩（t3>T） C失效，A,B正常工作，即：（t1>T）∩ （t2>T）∩（t3<T）
Rs (t ) Ri (t ) e
i 1 i 1
n
n
i t
e
it
i 1
n
e s t
结论： （1）串联系统的寿命也服从指数分布；
（2）串联系统的失效率λs为常数，且
n
s i
i 1
s
1
s
例2－1
计算由两个单元组成的串联系统可靠度、失效率、 平均寿命。已知两个单元的失效率分别是λ1＝ 0.00005（1/h),λ2=0.00001(1/h),工作时间t=1000h。
A B A B
完成任务
B C E
B
功能Ⅰ
C
功能Ⅱ
各组件可靠度已给出： RA=0.9，RB=0.8，RC=0.7 求：系统的可靠度RS
R1=1-(1-0.9)(1-0.8)=0.98
R2=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94 应特别注意：RS≠0.98×0.94=0.9212 RS=RB+RARC-RARBRC
值得注意的是，成功完成6项任务的概率Ps不等于完成各项任务 可靠度RA、RB、RC、RD、RE、RF的乘积。因为有的设备，如设 备1、设备2、设备3及设备4具有多功能。若采用这种任务可靠度 相乘的办法，将会使某些设备多次参加计算，从而造成错误计算。
第三节 并联系统
一、单元系统功能逻辑关系
单元 n个中任一个正常 n个全部故障 功能逻辑框图：
任 A B C D E F
务
任 务 说 明 远距飞机侦察 远及（或）近距海面舰船探测 海区状态信息收集 水下监视 舰上发射导弹的远距末端制导 大范围气象资料收集
完成任务所需的设备组合 1 1，2 1，3 1，3，4 3，4，5 1，2，3，6
该系统各设备的可靠度如下： 设备 可靠度 1 0.95 2 0.93 3 0.99 4 0.91 5 0.90 6 0.95
整个任务时间为3h，为完成所有任务，要求在3h内所有设备都工 作。某一设备可能同时保证几项任务成功 求解：（1）成功完成每项任务的概率？ （2）在3h中成功完成所有6项任务的概率？
任务 A： RI RA=R1=0.95 任务 B： R1 R2 RB=R1R2=（0.95）(0.93)=0.88 任务 C： R1 R3 RC=R1R3=（0.95）(0.99)=0.94 任务 D： R1 R3 R4 RD=R1R2R3=（0.95） （0.99)（0.91)=0.85 任务 E： R3 R4 R5 RE=R3R4R5=（0.99） （0.91)（0.90)=0.81 任务 F： R1 R2 R3 R6 RF=R1R2R3R6 =（0.95） （0.93)（0.99)（0.95） =0.83
Rs3 (t ) 1 [1 Rs1 (t )][1 Rs2 (t )]
Rs4 (t ) 1 [1 R6 (t )][1 R7 (t )]
Rs (t ) Rs3 (t )Rs4 (t )R8 (t )
Rs (t ) s (t ) Rs (t )
s Rs (t )dt
i 1 i 1
系统可靠度为：
Rs (t ) 1 Fs (t ) 1 Fi (t ) 1 [1 Ri (t )]
i 1 i 1
n
n
若各单元寿命均服从指数分布，单元失效率为λi（常 数），则系统可靠度为：
Rs (t ) 1 (1 e it )
二、 系统可靠性功能逻辑框图
系统逻辑框图：用方框表示单元功能，方框之间用短线联接 起来，表示单元功能与系统功能的关系。 如图所示两个串联阀系统：
1
流 入 2 流 出
其功能逻辑框图：
1 2
三、 系统类型
非储备系统－－串联系统 并联系统 系统 工作储备
混联系统
表决系统
储备系统
非工作储备－－旁联系统
复杂系统
0
二、串－－并联系统
功能逻辑框图：
11 21 12 22 ij m11 1s m22 mnn 1n 2n
2s
ns
R js (t ) 1 [1 Rij (t )]
i 1
n
mj
Rs (t ) R js (t )
j 1
三、并－－串联系统
11 21 m1 12 22 m2 1n1 2n2 mnm
第四节 混联系统
一、一般混联系统 二、串－－并联系统 三、并－－串联系统
一、一般混联系统
由串联系统和并联系统混合组成的系统， 其逻辑框图如图所示。
1 4 2 5 6 8 s2 7 3 6 8 7
s1
s3
s4
8
Rs1 (t ) R1 (t )R2 (t )R3 (t )
Rs2 (t ) R4 (t )R5 (t )
第二章 不可修复系统的可靠性
第一节
系统的组成及功能 逻辑框图
一、 系统的组成
二、 系统可靠性功能逻辑框图 三、 系统类型
一、 系统的组成
系统：为了完成某一特定功能，由若干个彼此有联 系的而 且又能相互协调工作的单元组成的综合体。
系统和单元的含义是相对的。
系统
单机
单元
一条生产线 一台设备
部件或零件
要求：
掌握两个单元的旁联系统
1 K 故障监测和 转换装置 2
n
非工作贮备系统可靠性框图
1、转换装置完全可靠（理想开关）旁联系统 要求系统工作到时间t 事件1： 事件2： 第一单元单独运行到达时间t 第一单元在t1时发生故障，第二单元接着运行到 规定时间t 事件1与事件2为两互斥事件 系统的可靠度为：
① 在 3h 中成功完成全部 6 项任务的概率 Ps 等于 6 个设备的可靠度之积。 因为为了能在 3h 中成功地完成全部 6 项任务，所有设备必须工作。 ② R1 R2 R3 R4 R5 R6 Ps=R1R2R3R4R5R6 =（0.95） （0.93） （0.99） （0.91） （0.90） （0.95） =0.68
解：
s 1 2 0.00005 0.00001 0.00006( 1 h)
Rs (t ) e
1
st
e
0.000061000
e
0.06
0.9417
1 s 16667h s 0.00006
例2-2：一种机载侦察及武器控制系统将完成 6种专门的任务， 每项任务的定义见表 2-2，由于体积，重量及功率的限制， 为了能够完成各项任务，每一任务专用的设备必须与其他任 务专用设备组合使用。例如下表所示，为了完成任务E，必 须由设备3、4及5一起工作。