第十二单元 展开图

再分别以R+d／2、R-d／2为半径画圆弧，并画出弯管各节分界线，作出与半径R +d／2、R-d／2相外切的各节切线，即得弯管的主视图，如图b所示。
半节 d
15°
1)作相互垂直的两条直线，其交点为O。以O为圆心，R为半径画弯管中心圆，
全节
半节 出口 O 进口 进口
30° 30° 15°
R
图a 轴测图
Ⅳ Ⅰ D C B
b(c) a(d)
A
1(4) Ⅱ d (4) a (1)
2(3) c (3) b (2)
是底面四边形的边长，且展开后底
面的四条边成一直线。
图a 轴测图
图b 视图
作图步骤:
1)选棱线AⅠ为基准棱线，确定AⅠ在展开图中的位置，且取AⅠ＝a′1′。 2)过Ⅰ点作棱线AⅠ的垂直线，并在该垂直线上截取线段ⅠⅡ＝12、ⅡⅢ
作图步骤： 1)将正面投影的素线延长，求 出锥顶的正面投影s′ ，并作出正圆 锥面的展开图。 2)用旋转法求出被切去各素线 的实长。 3)以s′为圆心，被切去各素线 的实长为半径画圆弧与相应的正圆 锥素线相交可得到若干交点，例如 A、B、C、D…。
SⅠ= s′1′ ⅠⅡ = 12
Ⅴ Ⅳ E D C B A Ⅰ 1 2 3 4 5 S
a(d)
D A
Ⅳ
Ⅰ
1(4) Ⅱ d (4)
2(3) c (3) b (2)
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅰ
a (1)
2.正圆柱管的展开
分析：图a所示为正圆柱管的轴测图，图b为正圆柱管的已知视图，从图中
可以看出，正圆柱管的相邻两条素线互相图形为一矩形，矩形
底边的边长为正圆柱管底圆的周长π D，高为正圆柱管的高度H，通过计算， 即可进行展开。
a
b
c
d
e
f g
E A B C D
A
G
12 3 4 56 1
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
Ⅴ Ⅵ
Ⅶ
πD
Ⅰ
a (1) d (2) c (3)
g (7) f (6) e (5)
图c 展开图
图a 轴测图
d (4) 图b 视图
4.多节等径圆柱弯管的展开
分析：多节圆柱弯管采用多节斜圆柱管拼接而成。图a为四节等径圆柱弯管，中间
实长
旋转轴 实长
圆
三、放射线展开法的应用
放射线展开法主要用于锥体、锥台的表面展开。
1.四棱台管表面的展开
分析：图a所示为四棱台管的轴测图，图b所示为四棱台的主、俯视图。从 图中可以看出，四棱台的四个棱面都是等腰梯形，但在主视图和俯视图上都不 反映其实形，所以必须先求出四个等腰梯形的实形。 要求出等腰梯形的实形，必须先求出四条棱线的实长，并以它为半径 画出扇形，再在扇形内作出四个等腰梯形，就得到四棱台的展开图。
第五模块 其他图样简介
第十二单元
展开图
课题一 平行线展开法
课题二
课题三
放射线展开法
三角形展开法
在工业生产中，经常会遇到一些用金属薄板制成的机件，如下图所示。
这些机件在制造时需先在金属薄板上作出适用于它们轮廓的全部或部分展开
图，然后下料弯制成形，再通过焊接、冲压、铆接等方法加工成机件。因此， 展开图和焊接图也是机械工业生产中常用的技术图样。本模块主要介绍展开 图和焊接图的有关知识。
余量等因素)。
图a 轴测图
图b 视图
图c 展开图
课题一 平行线展开法
一、平行线展开法的原理
若形体表面是由无数条彼此平行的直线所构成的，那么其相邻的两条线
及其上下端口曲线所围的微小面积，就可近似地看成是长方形。当分成的面
积较多，各小平面面积按照原来的分割顺序和上下位置不遗漏、不重叠地铺 开时，则形体表面就被展开了。由于各线在摊平前是相互平行的，所以铺平 后仍相互平行。作图时可充分利用这一特性，只要找出这些直线之间的距离， 以及它们各自的实长，即可得到展开图。
Ⅳ0 Ⅰ2 Ⅱ2 Ⅲ2 Ⅳ2 Ⅰ0 Ⅲ0 Ⅱ0 Ⅱ0 Ⅰ0Ⅱ0=12 Ⅲ0 Ⅳ0
图d 圆柱管B的展开图
课题二 放射线展开法
如果形体表面是由一组交汇于一点的直线构成的，则该形体称为锥体，该
称为锥顶。展开后的直线仍交于一点，呈放射状，所以这种展开方法称放射线
形体表面称为锥面，如棱锥、圆锥。所有锥体表面的直线在展开前都交于一点，
Ⅶ Ⅵ Ⅴ Ⅳ Ⅲ
S
Ⅱ
图a 轴测图
1 2 3 4 5 6 7
Ⅰ 图c 展开图
3…，将首尾两点与圆心相连，
得正圆锥面的展开图。
1 2 3 4 5 图b 视图
7 6
3.斜切口圆锥管表面展开
分析：图a为斜切口正圆锥
管的轴测图，它的近似展开图如
图c所示。 斜切口正圆锥管的展开图为 正圆锥展开图的一部分。因此， 应首先作出正圆锥的展开图，然 后求出斜切口平面与圆锥面各素 线的交点，再确定这些交点在相 应素线实长上的真实位置，得到 被截素线的实长，最后依次连接 这些素线的端点，即可得所要求 作的展开图。 图a 轴测图 图b 视图 图c 展开图
面投影1′、2′、3′、…；过各等分点的正面投影作相应的素线，即得素线的实长，如1′a′、
a
b
c
d
e
f g
12 3 4 56 1
a (1)
图a 轴测图 图b 视图
g (7) f (6) e (5)
d (2) c (3)
d (4)
2)将底圆周长展开成直线，其长度为π D，并取同样的等分(图中为12等分)，得各 等分点；过这些等分点作该直线的垂直线，得圆柱面展开后各素线的位置线。 3)把斜切正圆柱管正面投影上各素线的实长移至展开图上，得相应素线的端点A、 B、C…点，再依次光滑连接各素线的端点，即得斜切正圆柱管的展开图，如图c所示。
Ⅰ1 1 2 3 Ⅱ1 Ⅲ1 4
F
4
Ⅳ1
图b 视图
图c 圆柱管A的展开图
作图步骤:
3 4 2 1
1 2 3 4
(2)水平圆柱管B展开图的作法
1)作水平圆柱管B的展开图。展开图为 矩形，矩形的宽度为圆柱管B的周长π d2， 长度为与主视图对应的矩形的长度，图中 用断开画法画出，如图d所示。 2)画出对称中心线，在垂直方向的中 心线上取Ⅰ0 Ⅱ0＝1″2″、Ⅱ0 Ⅲ0=2″3 ″、Ⅲ 0Ⅳ0=3″4″ (以弦长代替弧长)， 即得等分点Ⅰ0、Ⅱ0、Ⅲ0、Ⅳ0，再过各 等分点引水平线，与过主视图各素线上的 对应点1′、2′、3′、4′向下引的铅垂线相 交，得相应素线上的交点Ⅰ2、Ⅱ2、Ⅲ2、 Ⅳ2 。 3)用作对称点的方法得到相贯线上其 他对称点，并依次将各点光滑连接，即得 到水平圆柱管B的展开图。
C
D A Ⅱ
B
Ⅳ Ⅰ
图a 轴测图
图b 视图
作图步骤:
1)将主视图中的各棱线延长得交点s′，如图b所示。 2)用旋转法求棱线SⅠ、SA的实长s′1′1、s′a′1。 3)以S为圆心，s′1′1 半径画圆弧，在圆弧上依次截取ⅠⅡ=12、ⅡⅢ=23、Ⅲ Ⅳ =34、ⅣⅠ=41，并通过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅰ各点向S连线，在SⅠ上截SA= s′a′1,再过A 点依次作底边的平行线，得AB、BC、CD、DA，连接各点，即完成四棱台管的表面展开
展开法。
一、放射线展开法的原理
把锥体表面上任意相邻的两条直线 (素线或棱线)及其所夹的底边线看成 是一个近似的平面三角形。当各小三角形的底边足够短的时候，各小三角形 面积的和就等于原来形体的表面积。若把所有小三角形依次铺开成一平面， 原来的形体表面也就展开了。
二、用旋转法求棱线和素线的实长
分析：根据正投影规律，当一直线段平行于投影面时，则线段在该投影面 上的投影反映实长。因此，求一般位置线段的实长时，可将该线段绕垂直于某 一投影面的直线旋转到与另一投影面平行的位置，其投影即反映实长。 如图a所示，线段AB为一般位置直线，过端点A取垂直于H面的直线OO为轴， 将线段AB绕轴OO旋转到正平线的位置AB1，其新的正面投影a′b′1即为实长。 作图步骤：如图b所示。 1)以a为圆心，把ab旋转 到与投影轴平行的位置ab1。 2)过b′作投影轴的平行线。 与过b1作的投影轴的垂直线相 交得b′1。 3)连a′b′1即得线段AB 的实长。
两节是双斜口圆柱管(称为全节)，每节所对应的角度为30°，中间节的长度和形状都相 同，且中间节与各自中部的横截面相对称；两端的节为半节，是中间节的一半，为单斜 口圆柱管，每节所对应的角度为15°，该圆柱弯管共有6个半节(即3个全节)。 半节
全节
半节 出口
进口 进口
图a 轴测图
作图步骤:
已知四节等径直角圆柱弯管直径为d，弯头中心半径为R，其作图步骤如下：
＝23、Ⅲ Ⅳ＝34、ⅣⅠ＝41，得Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅰ点。 3)过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅰ点分别作直线平行于棱线AⅠ，并分别截取线段BⅡ＝ b′2′、CⅢ＝c′3′、DⅣ＝d′4′、AⅠ＝a′1′，得B、C、D、A点。 4)依次连接A、B、C、D、A各点，即得斜切直立四棱柱管的展开图。
C B
b(c)
A
B
C D A
展开图时必须先求出相贯线的投影，再分别画出两个圆柱管的展开图。为了 简化作图，可以不画水平投影，而把铅垂圆柱管A的水平投影用半个圆周画在
正面投影上，如图b所示，从而作出相贯线的正面投影和两圆柱管的展开图。
A B
图a 轴测图
图b 视图
作图步骤:
(1)直立圆柱管A展开图的作法
1)作出相贯线的投影，再将圆柱管A的顶端分为12等分，过各等分点作相 应素线的投影，如图b所示。
Ⅲ
Ⅱ
展开图
4)依次光滑连接上述各交点A、 B、C、D…，即可得到斜切正圆锥管 的展开图。
1 a 2 b c 3
e d 4
5
课题三 三角形展开法
在生产中，有些机件的表面是由平面、柱面和锥面的全体或部分曲面组 合而成的任意形状的表面。下图为变形管接头的轴测图，变形管接头可以看 成是由四个斜圆锥的部分表面和四个三角形平面组合而成的。
一、三角形展开法的原理
若形体的表面是由若干个平面与曲
部分斜圆锥
面、曲面与曲面或平面与平面构成的，
就可以把表面划分成若干个小三角形， 再把这些小三角形按原来的相互位置和
2)作一水平线EF，使其等于圆柱管A的周长π d1，并将其分成12等分，过 各等分点作垂线，使其长度等于相应素线的长度，得出各相应素线的端点Ⅰ1、 Ⅱ1 、Ⅲ1 、Ⅳ1 …，再光滑连接各端点，即得圆柱管A的展开图，如图c所示。
4 π d1
ⅠⅡ=12 ⅠⅡ ⅢⅣ Ⅴ Ⅵ Ⅰ
3 2 1 1 2
E 3
二、平行线展开法的应用
1.斜切直立四棱柱管的展开
分析：图示为斜切四棱柱管的 轴测图及斜切四棱柱管的已知视图。 从已知的主、俯视图可以看出，四 条棱线为铅垂线，其正面投影反映 棱线的实长；底面ⅠⅡ Ⅲ Ⅳ为水 平面，其水平投影反映实形。因棱 线垂直于底面，则棱线必然垂直于 底面的四条边，棱线之间的距离就
图b 主视图
作图步骤:
2)按斜切圆
柱管展开图的画
法画出弯管表面 的展开图，如图
c所示。
b a 1 2
c
d e
f g
A B C D
E
A
G
7 6 5
1 2
3 4
5 6
7
6 5
4 3
2 1
图c 展开图
5.等径直角三通管的展开
分析：图a所示为等径直角三通管的轴测图，它是由两个直径相同的圆
柱管A和B垂直相交而成的。两圆柱管表面的相贯线是两圆柱管的共有线，作
圆锥 球面 圆柱
圆柱 锥面 圆柱 平面
圆锥
正四棱柱
将机件各表面按实际大小和形状依次连续地展开在一个平面上，称为机
件的表面展开，展开后所得到的图形称为该机件的表面展开图，简称展开图。 下图是方圆接头管的展开图。从图中可以看出，画展开图就是根据机件的投
影图，用图解或计算的方法画出机件表面的实形(在实际生产中还要考虑板厚、
πD
图a 轴测图
图b 视图
图c 展开图
3.斜切正圆柱管的展开
分析：正圆柱管斜切后，使得圆柱面上各条素线的长度不相等。作展开图时应根
作图步骤：
据视图的投影关系求出若干素线的实长，然后光滑连接这些素线的端点，即可得展开图。
1)在俯视图上将圆柱管的底圆周长分成12等分，得若干等分点；求出各等分点的正
2′b′、3′c′ … 。
图。
S
C
SⅠ= s′1′1 S A B
3
SA= s′a′1 A D C
Ⅰ
D A
B
a1
Ⅱ
a
11
4
Ⅳ
Ⅳ Ⅰ
Ⅰ Ⅲ Ⅱ 图c 展开图
图a 轴测图
11 a1 a 1 图b 视图
s
2
2.圆锥管表面的展开
分析：正圆锥面的展开图是扇形。
作图步骤：
1)将水平投影圆周12等分， 在正面投影图上作出相应的投影 s′1′、s′2′、s′3 ′ 。 2)以s′为圆心，素线的 实长s′1′为半径画弧，在圆 弧上量取12段等距离，此时以 底圆上分段弦长近似代替分段 弧长，即ⅠⅡ＝12、ⅡⅢ＝2