数列全章知识点总结
数列基础 知识点总结大全
数列基础知识点总结大全一、数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一组数的集合。
数列中的每一个数称为数列的项，用a1, a2,a3, …, an 表示。
数列通常用以下形式来表示：{a1，a2，a3，…，an}其中a1, a2, a3，…，an为数列的项，n表示数列的个数。
二、数列的分类1. 等差数列等差数列是一种常见的数列，其中每一项与前一项之差都相等。
公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d2. 等比数列等比数列是一种每一项与前一项之比都相等的数列。
公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)3. 通项公式通项公式即能用一个公式来表示数列中任意一项的公式。
对于等差数列和等比数列，都有相应的通项公式。
4. Fibonacci数列Fibonacci数列是一个非常有趣的数列，它的每一项都是前两项之和。
其通项公式为：fn = fn-1 + fn-2，其中f1 = 1, f2 = 1。
5. 幂次数列幂次数列是一种每一项都是前一项的某个幂次方的数列。
其通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
6. 其他特殊数列除了上述的几种常见数列之外，还有各种各样的特殊数列，比如等差递增数列、等差递减数列、等比递增数列、等比递减数列等。
三、数列的性质1. 有界性如果数列的项数有限，则称该数列是有界的。
相反，如果数列的项数无限，则称该数列是无界的。
2. 单调性如果一个数列的每一项都大于或等于其前一项，则称该数列是单调递增的；如果一个数列的每一项都小于或等于其前一项，则称该数列是单调递减的。
3. 求和公式对于等差数列和等比数列，都有求和公式。
等差数列的求和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，等比数列的求和公式为：Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)。
数列知识点与技巧总结
数列知识点与技巧总结一、数列的定义与性质1.1 数列的定义数列是按一定顺序排列的一组数，其中每个数称为该数列的项，通常用下标 n 来表示。
数列可以用通项公式或递推公式来表示。
1.2 数列的基本性质（1）首项：数列中的第一个数称为首项，通常用 a1 表示。
（2）公差：如果数列中的每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个常数称为该数列的公差，通常用 d 表示。
（3）通项公式：通项公式用来表示数列中的第 n 项与 n 之间的关系，通常用 an 表示。
（4）递推公式：递推公式可以根据数列中的前几项来求出后面的项。
通常用 an = an-1 + d 表示。
1.3 常见数列（1）等差数列：相邻两项之间的差等于常数的数列称为等差数列。
通项公式为 an = a1 + (n-1)d。
（2）等比数列：相邻两项之间的比等于常数的数列称为等比数列。
通项公式为 an = a1 * q^(n-1)。
（3）斐波那契数列：这是一个特殊的数列，前两项是 1，以后每一项都等于其前两项的和。
通项公式为 an = an-1 + an-2。
1.4 数列的求和公式（1）等差数列求和：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中 an = a1 + (n-1)d。
（2）等比数列求和：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中 q 不等于 1。
二、数列的常见问题与解题方法2.1 确定数列类型当遇到一个数列时，首先要确定它的类型，即是等差数列、等比数列还是其他特殊类型的数列。
2.2 确定数列的首项和公差（或公比）确定了数列类型之后，要进一步确定数列的首项和公差（或公比），这样才能利用数列的性质来解题。
2.3 求解数列的通项公式对于已知数列的前几项，可以利用数列的性质来求解其通项公式，这样可以方便计算出数列中任意一项的值。
2.4 判断数列的性质有时需要判断一个给定的数列是不是等差数列或等比数列，可以利用数列的性质进行判断。
数列知识点所有性质总结知识讲解
数列知识点所有性质总结一、等差数列1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
数学数列知识点归纳总结
数学数列知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合，通常用一对大括号{}表示，其中的每个数称为数列的项。
例如：{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个数列，它包含了无穷多个项，每个项都是自然数。
1.2 数列的表示数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有公式法、图形表示法和文字描述法。
- 公式法：可以用一个通项公式来表示数列的每一项，例如：an = n^2表示数列{1, 4, 9, 16, ...}的通项公式。
- 图形表示法：可以用图形来表示数列，例如：等差数列可以用直线表示，等比数列可以用曲线表示。
- 文字描述法：可以用文字描述数列的规律，例如：数列{2, 4, 6, 8, ...}可以描述为“每一项都比前一项大2”。
1.3 数列的分类数列可以按照不同的规律进行分类，常见的分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
- 等差数列：数列中相邻两项的差等于一个常数，这个常数称为公差。
- 等比数列：数列中相邻两项的比等于一个常数，这个常数称为公比。
- 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和，例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...1.4 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中任意一项与项号之间的函数关系式，一般用an表示第n项的值，n表示项号。
如果一个数列存在通项公式，则可以利用通项公式计算数列的任意项的值。
1.5 数列的性质数列有许多重要的性质，例如数列的有界性、单调性、敛散性以及极限等。
- 有界性：如果数列的项有上界或下界，则称该数列是有界的。
- 单调性：如果数列的项都单调递增或单调递减，则称该数列是单调的。
- 敛散性：数列是否有极限，如果有极限则称该数列是收敛的，否则是发散的。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数的数列，这个常数称为公差。
例如：{2, 4, 6, 8, ...}就是一个等差数列，公差为2。
高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐
数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
数列知识点总结框架
数列知识点总结框架一、数列的概念和性质1. 数列的定义数列是指由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合，常用符号表示为{an}或(a1,a2, a3, …)，其中an表示第n个数。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
2. 数列的常见形式常见的数列形式包括等差数列、等比数列、等差-等比数列、递推数列等。
3. 数列的通项公式对于数列{an}，如果能找到一个关于n的表达式an=f(n)，使得对于任意n，an都能用f(n)来表示，则f(n)便为数列的通项公式。
4. 数列的性质数列的性质包括有界性、单调性、极限性等。
其中，有界性指数列的值在一定范围内；单调性指数列中的项是递增或递减的；极限性指数列随着n的增大，其值趋于某一定值。
二、等差数列1. 等差数列的定义等差数列是指数列中的任意两项之间的差都相等的数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等差数列的性质等差数列的性质包括前n项和公式、n项倒数和公式、性质及推导等。
3. 等差数列的应用等差数列常用于算术平均数的计算、数列求和、数列前n项和等问题的解答。
三、等比数列1. 等比数列的定义等比数列是指数列中的任意两项之间的比值都相等的数列，其通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2. 等比数列的性质等比数列的性质包括前n项和公式、无穷项和公式、收敛性等。
3. 等比数列的应用等比数列常用于几何平均数的计算、复利计算、无穷等比数列的求和等问题的解答。
四、递推数列1. 递推数列的定义递推数列是指数列中的每一项都是前面一项的某个函数，其通项公式可以通过前面一项来表示。
2. 递推数列的性质递推数列的性质包括递推关系、递推方程、解法等。
3. 递推数列的应用递推数列常用于递归函数的求解、动态规划问题的解答等。
五、数列求和1. 等差数列求和等差数列的前n项和可用公式S_n=(a1+an)n/2来表示，其中n为项数，a1为首项，an 为末项。
数列知识要点梳理
数列知识要点梳理知识点一：数列的概念1、数列的定义：数列是按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5，…，a n，…，可简记为{a n} 注意：（1）数列可以看作是定义在自然数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}上的函数。
函数当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值，，…，，…，通常用代替，于是数列的一般形式为a1，a2，…，，…，简记为。
其中是数列的第n项，也叫做通项。
（2）数列的特征：有序性。
一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的顺序有关，“顺序”是对数列本质属性的刻画。
（3）数列的定义域是离散的，因而其图象也是离散的点集。
2、数列的通项公式一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。
注意：①不是每个数列都能写出它的通项公式。
如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。
如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。
3、数列的表示：(1)列举法：如-2，-5，-8，…注意：数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。
(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。
(3)解析式法：用数列的通项公式a n=f(n)，n∈N*或其他式子表示的数列。
4、数列的分类：（1）按项数：有限数列和无限数列；（2）按单调性：递增数列、递减数列（递增数列与递减数列统称为单调数列）；（3）按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分：有界数列、无界数列；（4）其他数列：摆动数列、常数列。
5、数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。
注意：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。
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数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。
2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。
2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ； 若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ， 相加得 12n n a a S n +=， 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。
完整版)数列知识点归纳
完整版)数列知识点归纳数列一、等差数列性质总结1.等差数列的定义式为：$a_n-a_{n-1}=d$（其中$d$为常数，$n\geq2$）；2.等差数列通项公式为：$a_n=a_1+(n-1)d$（其中$a_1$为首项，$d$为公差）推广公式为：$a_n=a_m+(n-m)d$。
因此，$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$；3.等差数列中，如果$a$、$A$、$b$成等差数列，那么$A$叫做$a$与$b$的等差中项，即$A=\frac{a+b}{2}$；4.等差数列的前$n$项和公式为：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$。
特别地，当项数为奇数$2n-1$时，$a_n$是项数为$2n-1$的等差数列的中间项，且$S_{2n-1}=n\cdot a_n$；5.等差数列的判定方法：1）定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；2）等差中项：数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^*$）；3）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$a_n=kn+b$（其中$k$、$b$为常数）；4）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$S_n=An^2+Bn$（其中$A$、$B$为常数）；6.等差数列的证明方法：定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；等差中项性质法：$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^+$）。
7.提醒：1）等差数列的通项公式及前$n$项和公式中，涉及到5个元素：$a_1$、$d$、$n$、$a_n$及$S_n$，其中$a_1$、$d$称作为基本元素。
高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)
数列一、 知识梳理概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n=.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n na a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n na a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n nq a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==nS a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（ ） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
关于数列的知识点总结归纳
关于数列的知识点总结归纳【关于数列的知识点总结归纳】一、数列的定义和基本概念数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的序列。
其中，每个数字称为数列的项，项的位置称为项数。
二、数列的分类1.等差数列等差数列是指数列中各项之间的差值相等的数列。
其中，差值称为公差。
常用符号表示为an=a1+(n-1)d。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2.等比数列等比数列是指数列中各项之间的比值相等的数列。
其中，比值称为公比。
常用符号表示为an=a1*r^(n-1)。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和的数列。
其中，首项和次项为1，即F1=F2=1，第n项的值为Fn=Fn-1+Fn-2。
4.等差减数列等差减数列是指数列中各项之间的差值递减的数列。
例如，1，2，4，7，11就是一个等差减数列。
5.等差倍数数列等差倍数数列是指数列中各项之间的差值递增的数列，并且差值是递增的倍数关系。
例如，1，2，6，15，31就是一个等差倍数数列。
三、数列的性质和定理1.递推公式递推公式是指通过前面几个项计算后面项的公式。
根据不同数列的特点，可以得到相应的递推公式。
2.通项公式通项公式是指通过项数n直接计算出第n项的公式。
根据不同数列的特点，可以得到相应的通项公式。
3.前n项和公式前n项和公式是指数列前n项的和的公式。
通过该公式，可以快速计算数列前n项的和。
例如等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)*n/2。
4.数列的求和法则根据数列的性质，可以得到各类数列的求和法则。
例如，等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)*n/2，等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
5.数列的性质和规律数列中的项之间存在着一定的性质和规律，比如等差数列的项与项之差相等，等比数列的项与项之比相等等。
数列知识点归纳总结文字
数列知识点归纳总结文字一、数列的概念数列是按一定顺序排列的一系列数，数列中的每一个数称为这个数列的项。
数列一般用{}表示，例如{1, 2, 3, 4, 5}就是一个数列，这个数列有5个项。
二、数列的分类1. 等差数列等差数列是一个数列，其中每一项与它后面的项之差都是一个常数，这个常数称为公差。
等差数列通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
2. 等比数列等比数列是一个数列，其中每一项与它前面的项之比都是一个常数，这个常数称为公比。
等比数列通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
3. 部分和数列部分和数列是指数列的前n项和数构成的一个新数列。
部分和数列通常分为求和方法、性质及相关研究。
4. 斐波那契数列斐波那契数列是指这样的数列：第1项、第2项都为1，从第3项开始，每一项都等于它前两项之和。
斐波那契数列通项公式为：Fn = F(n-1) + F(n-2)，其中Fn为第n项。
5. 幂和数列幂和数列是指通项为各项的幂次和的数列。
幂和数列通项公式为：an = a1 + a2 + a3 + ... + an，其中n为项数。
三、数列的性质1. 数列的有界性如果数列的值在某一范围内，那么这个数列是有界的。
2. 数列的单调性如果数列中的每一项都大于或等于它前面的一项，那么这个数列是递增的。
如果数列中的每一项都小于或等于它前面的一项，那么这个数列是递减的。
3. 数列的极限性数列的极限性是指当n趋于无穷大时，数列的项趋于一个常数L，称数列收敛，常数L称为数列的极限。
如果数列的项没有极限，那么称数列发散。
4. 数列的求和公式对于等差数列，求和公式为：Sn = n(a1 + an)/2，其中Sn为前n项和。
对于等比数列，求和公式为：Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)，其中Sn为前n项和。
四、数列的应用1. 数学定理证明数列对于证明数学定理、推导公式等具有重要作用，如用等差数列证明等差数列的求和公式：Sn=n(a1+an)/2。
最全数列知识点归纳
最全数列知识点归纳数列概念及简单应用：数列是一定顺序的一列数，与集合有所不同。
在高中阶段，我们仅研究与等差、等比相关联的特殊数列。
等差（等比）数列定义为：从第二项开始，每一项与它前一项的差（比）等于同一个常数。
这个常数是与n无关的数字。
数列类型的判断：等差数列判断方法：（1）an+1 - an = d （2）an+1 + an-1= 2an （3）an = An + B （4）Sn = An^2 + Bn等比数列判断方法：（1）an+1/an = q (q≠0) （2）an+1 *an-1 = an^2 （3）an = a1qn-1 或an = kqn (q≠0.q≠1) （4）Sn = -k + kq^n通项公式的求法：数列的通项公式研究的是数列的通项an与序号n之间的函数关系an = f(n)。
类型一：如果给出一般数列的某几项或无穷项（例如：1，-2，3，-4.）类型二：如果已知数列为特殊的等差、等比数列，或者能够转换成等差、等比数列的情况。
类型三：如果已知数列Sn与n有一个函数关系，可以使用递推法（注意an的表示形式，思考是否需要分类表示）。
类型四：如果已知此数列的递推关系（an+1与an的关系）为an+1 = an + f(n)的形式，求an。
可以使用累加法。
类型五：如果已知此数列的递推关系（an+1与an的关系）为an+1 = an * f(n)的形式，求an。
可以使用累乘法。
类型六：如果已知此数列的递推关系为an+1 = pa_n + f(n)的形式，求an。
可以使用构造法。
类型七：如果已知此数列的递推关系为ka_n * a_n+1 = pa_n + qa_n+1的形式，求an。
可以使用构造法。
n的相互转化，即已知其中三个量，求另外两个量。
例如，已知等差数列的首项a1公差d和项数n，可以求出该数列的第n项an和前n项和Sn具体公式为：ana1n-1)dSnn/2(a1an同样地，已知等比数列的首项a1公比q和项数n，可以求出该数列的第n项a n和前n项和Sn具体公式为：ana1q^(n-1)Sna1q^n-1))/(q-1)在实际应用中，可以根据题目所给条件选择合适的公式求解。
数列知识点回顾高三复习
数列知识点回顾第一部分：数列的基本概念1．理解数列定义的四个要点⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项an与项数n是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．2．数列的通项公式一个数列{ an }的第n项an与项数n之间的函数关系，如果用一个公式an=)(nf来表示，就把这个公式叫做数列{ an }的通项公式。
若给出数列{ an}的通项公式，则这个数列是已知的。
若数列{ an }的前n项和记为Sn，则Sn与an的关系是：an=⎩⎨⎧≥-=-2.1,11nSSnSnn。
第二部分：等差数列1．等差数列定义的几个特点：⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = an －a1-n(n≥2)或d = a1+n －an(n∈N+)．⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意n∈N+，an－a1-n= d (n≥2)或d = a1+n－an都成立．一般采用的形式为：①当n≥2时，有a n－a1-n= d (d为常数)．②当n+∈N时，有a1+n－a n= d (d为常数)．③当n≥2时，有a1+n －an= an－a1-n成立．若判断数列{ an }不是等差数列，只需有a3－a2≠a2－a1即可．2．等差中项若a、A、b成等差数列，即A=2ba+，则A是a与b的等差中项；若A=2ba+，则a、A、b成等差数列，故A=2ba+是a、A、b成等差数列，的充要条件。
由于an =211-++nnaa，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。
3．等差数列的基本性质⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．⑶若{ an }、{ bn}为等差数列，则{ an±bn}与{kan＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．⑷对任何m、n+∈N，在等差数列{ a n}中有：a n= a m+ (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．⑸、一般地，如果l ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a n }为等差数列时，有：a l + a k + a p + … = a m + a n + a p + … ．⑹公差为d 的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k 为取出项数之差)．⑺如果{ a n }是等差数列，公差为d ，那么，a n ，a 1-n ，…，a 2、a 1也是等差数列，其公差为－d ；在等差数列{ a n }中，a l m +－a l = a k m +－a k = md ．(其中m 、k 、l ∈+N )⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．⑼当公差d ＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d ＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d ＝0时，等差数列中的数等于一个常数．⑽设a l ，a m ，a n 为等差数列中的三项，且a l 与a m ，a m 与a n 的项距差之比nm ml --=λ（λ≠－1），则a m =λλ++1nl a a ．4．等差数列前n 项和公式S n =2)(1n a a n +与S n = na 1＋d n n 2)1(-的比较5．等差数列前n 项和公式S n 的基本性质⑴数列{ a n }为等差数列的充要条件是：数列{ a n }的前n 项和S n 可以写成S n = an 2+ bn 的形式(其中a 、b 为常数)．⑵在等差数列{ a n }中，当项数为2n (n ∈N *)时，S 偶－S 奇= nd ，偶奇S S =1+n na a ；当项数为(2n －1) (n +∈N )时，S 偶－S 奇= a n ，偶奇S S =1-n n． ⑶若数列{ a n }为等差数列，则S n ，S n 2－S n ，S n 3－S n 2，…仍然成等差数列，公差为d n 2．⑷若两个等差数列{ a n }、{ b n }的前n 项和分别是S n 、T n (n 为奇数)，则n nT S =2121++n n b a ． ⑸在等差数列{ a n }中，S n = a ，S m = b (n ＞m)，则S n m +=mn mn -+(a －b)．⑹等差数列{a n }中，n S n 是n 的一次函数，且点（n ，n S n ）均在直线y =2dx + (a 1－2d)上． ⑺记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．①若a 1＞0，公差d ＜0，则当a n ≥0且a 1+n ≤0时，S n 最大；②若a 1＜0 ，公差d ＞0，则当a n ≤0且a 1+n ≥0时，S n 最小．第三部分：等比数列1．正确理解等比数列的含义⑴q 是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q =nn a a 1+ (n +∈N )或q=1-n na a (n ≥2)． ⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q 也不为0． ⑶要证明一个数列是等比数列，必须对任意n +∈N ，nn a a 1+= q ；或1-n na a = q (n ≥2)都成立．2．等比中项与等差中项的主要区别 如果G 是a 与b 的等比中项，那么a G =Gb，即G 2= ab ，G =±ab ．所以，只要两个同号．．的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果A 是a 与b 的等差中项，那么等差中项A 唯一地表示为A=2ba +，其中，a 与b 没有同号．．的限制．在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同．3．等比数列的基本性质⑴公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q m ( m 为等距离的项数之差)．⑵对任何m 、n +∈N ，在等比数列{ a n }中有：a n = a m · q m n -，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．⑶一般地，如果t ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且t + k ，p ，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a n }为等比数列时，有：a t ．a k ．a p ．… = a m ．a n ．a p ．… ．．⑷若{ a n }是公比为q 的等比数列，则{| a n |}、{a 2n }、{ka n }、{na 1}也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q 2}、{q}、{q1}．⑸如果{ a n }是等比数列，公比为q ，那么，a 1，a 3，a 5，…，a 12-n ，…是以q 2为公比的等比数列．⑹如果{ a n }是等比数列，那么对任意在n +∈N ，都有a n ·a 2+n = a 2n ·q 2＞0． ⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．⑻当q ＞1且a 1＞0或0＜q ＜1且a 1＜0时，等比数列为递增数列；当a 1＞0且0＜q ＜1或a 1＜0且q ＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q ＜0时，等比数列为摆动数列．4．等比数列前n 项和公式S n 的基本性质⑴如果数列{a n }是公比为q 的等比数列，那么，它的前n 项和公式是S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=.1,1)1(,1,11时当时当q qq a q na n也就是说，公比为q 的等比数列的前n 项和公式是q 的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n 项和公式，必须要弄清公比q 是可能等于1还是必不等于1，如果q 可能等于1，则需分q = 1和q ≠1进行讨论．⑵当已知a 1，q ，n 时，用公式S n =qq a n --1)1(1；当已知a 1，q ，a n 时，用公式S n =q q a a n --11．⑶若S n 是以q 为公比的等比数列，则有S m n += S m ＋qS n ．⑵⑷若数列{ a n }为等比数列，则S n ，S n 2－S n ，S n 3－S n 2，…仍然成等比数列．⑸若项数为3n 的等比数列(q ≠－1)前n 项和与前n 项积分别为S 1与T 1，次n 项和与次n 项积分别为S 2与T 2，最后n 项和与n 项积分别为S 3与T 3，则S 1，S 2，S 3成等比数列，T 1，T 2，T 3亦成等比数列．二、难点突破1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ a n }与a n 是不同的，前者表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，而后者仅表示这个数列的第n 项；⑵数列a 1，a 2，…，a n ，…，与集合{ a 1，a 2，…，a n ，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S ，则通常设…，aq 2-， aq 1-， a ，aq ，aq 2，…；⑵对连续偶数个项同号．．的等比数列，若已知其积为S ，则通常设…，aq 3-， aq 1-， aq ，aq 3，…．5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a n ≠0，因为当a n = 0时，虽有a 2n = a 1-n · a 1+n 成立，但{a n }不是等比数列，即“b 2= a · c ”是a 、b 、 c 成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{a n }，“2b = a + c ”是a 、b 、 c 成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n 项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q ≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．另外，对于等差数列的求法，在进行详细总结，注意最后一种不动点法不要求掌握，其实是因为老师从来没讲过。
数列全章知识点总结
数列全章知识点总结一、数列的概念数列是按照一定规律排列的一组数的有序排列。
数列中排在第一位的数叫做第一个数，排在第二位的数叫做第二个数，以此类推。
根据数列的性质不同，可以将数列分为有限数列和无限数列。
有限数列是由有限个数构成的数列，而无限数列是由无限个数构成的数列。
根据数列中每个数的性质不同，数列可以分为等差数列、等比数列、递增数列、递减数列等。
二、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻的数之差都相等的数列。
设数列为{a1, a2, a3, ..., an}，若满足ai+1 - ai = d，其中d为常数，则称数列为等差数列，其中d为公共差。
数列中每个数与其前一个数的差都相等，这类数列有着相对简单的性质。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，an为第n项。
求等差数列的前n项和的公式为Sn = (a1 + an) * n / 2 = n * (a1 + an) / 2。
在等差数列中，首项、末项和项数的关系为an = a1 + (n-1)d。
对于等差数列，我们可以通过已知项数和首项、末项、公差等信息来求解等差数列的相关问题。
三、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻的数之比都相等的数列。
设数列为{a1, a2, a3, ..., an}，若满足ai+1 / ai = q，其中q为常数，则称数列为等比数列，其中q为公比。
等比数列在实际应用中也有着重要的作用。
等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，an为第n项。
求等比数列的前n项和的公式为Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，当|q| < 1时，Sn = a1 / (1 - q)。
对于等比数列，我们可以通过已知项数和首项、末项、公比等信息来求解等比数列的相关问题。
四、数列的求和公式在数列求和的过程中，常用的方法是利用通项公式或者递推公式来求解。
综合基础知识数列知识点归纳总结
综合基础知识数列知识点归纳总结一、数列的概念。
1. 定义。
- 按照一定次序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），往后各项依次叫做这个数列的第2项、第3项……第n项。
- 例如：1，3，5，7，9是一个数列，1是首项，这个数列的第n项可以表示为a_n=2n - 1（n = 1,2,3,4,5）。
2. 数列的表示方法。
- 列举法。
- 就是将数列中的项一一列举出来。
如数列2,4,6,8,10，直接把各项写出来表示这个数列。
- 通项公式法。
- 如果数列{a_n}的第n项a_n与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
- 例如，数列1,(1)/(2),(1)/(3),(1)/(4),(1)/(5),·s，其通项公式为a_n=(1)/(n)(n∈N^*)。
- 递推公式法。
- 通过给出数列的第一项（或前几项），并给出数列的某一项与它的前一项（或前几项）的关系式来表示数列。
- 例如，斐波那契数列1,1,2,3,5,8,·s，它满足递推公式a_n=a_n - 1+a_n -2(n≥slant3)，a_1=a_2=1。
二、等差数列。
1. 定义。
- 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
- 例如数列3,5,7,9,11是等差数列，公差d = 2，因为5 - 3=7 - 5 = 9 - 7=11 - 9 = 2。
2. 通项公式。
- a_n=a_1+(n - 1)d，其中a_1是首项，n是项数，d是公差。
- 例如，在等差数列{a_n}中，a_1=2，d = 3，则a_n=2+(n - 1)×3=3n - 1。
3. 前n项和公式。
- S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d- 例如，等差数列{a_n}中，a_1=1，d = 2，n = 5。
数列章节知识点归纳总结
数列章节知识点归纳总结一、数列的定义数列是将自然数按照一定的方式排列而成的数的序列。
一般来说，数列可以用函数的形式表示，即数列中的每个数都可以用一个函数来描述。
例如，我们可以使用函数 f(n) = 2n + 1 来表示一个数列，其中 n 为自然数，这个数列的前几项为 3，5，7，9，11……数列有许多不同的分类方法，其中最常见的是将数列分为等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中相邻两项的差值都相等，而等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等。
这两种数列在数学中有许多重要的应用。
二、常见数列及其性质1.等差数列等差数列是数列中相邻两项的差值都相等的数列。
其通项公式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_n 为数列的第 n 项，a_1 为数列的第一项，d 为公差。
等差数列的性质有：（1）求和公式：等差数列的前 n 项和可表示为 S_n = (a_1 + a_n) * n / 2；（2）通项公式的推广：若已知数列的第 m 项和第 n 项，可通过通项公式求出数列的第 k 项。
2.等比数列等比数列是数列中相邻两项的比值都相等的数列。
其通项公式为 a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_n 为数列的第 n 项，a_1 为数列的第一项，q 为公比。
等比数列的性质有：（1）求和公式：等比数列的前 n 项和可表示为 S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)；（2）通项公式的推广：若已知数列的第 m 项和第 n 项，可通过通项公式求出数列的第 k 项。
3.特殊数列在数学中还存在许多特殊的数列，如斐波那契数列、调和数列、算术-几何平均数列等。
这些数列在数学理论研究和实际应用中都具有重要的地位，它们有着独特的性质和规律。
三、数列的求和公式求和公式是数列研究中的重要内容之一，它有助于我们快速计算数列的部分和或者总和。
对于等差数列和等比数列，其求和公式已在前文进行了介绍。
除此之外，数列在数学中还涉及到其他类型的求和公式，如算术-几何平均数列的求和公式、斐波那契数列的求和公式等。
数列知识点归纳总结笔记
数列知识点归纳总结笔记一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有序的数按照一定的规律排列而成的。
我们通常用{n}来表示一个数列，其中n为自然数。
2. 数列的常见表示方式（1）通项公式表示：数列的一般形式为a₁，a₂，a₃，......，aₙ，其中aₙ是第n项的值。
数列的通项公式通常是一种算式，可以用来表示数列的第n项。
（2）递推关系表示：数列的第n项与它的前几项之间存在某种关系，这种关系称为数列的递推关系，通常用递归的方式表示。
3. 数列的分类（1）等差数列：数列中任意两项之间的差是常数，这种数列称为等差数列。
（2）等比数列：数列中任意两项之间的比是常数，这种数列称为等比数列。
（3）等差-等比混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，这种数列称为等差-等比混合数列。
（4）等差-等比-等比差混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，同时等差项间的差也构成等差数列，这种数列称为等差-等比-等比差混合数列。
二、数列的性质1. 数列的有界性（1）有界数列：如果一个数列存在一个上界和一个下界，那么该数列称为有界数列。
（2）无界数列：如果一个数列不存在上界或下界，那么该数列称为无界数列。
2. 数列的单调性（1）单调递增数列：如果数列的每一项都大于等于前一项，那么该数列称为单调递增数列。
（2）单调递减数列：如果数列的每一项都小于等于前一项，那么该数列称为单调递减数列。
3. 数列的极限（1）数列的极限定义：对于一个数列{aₙ}，如果对于任意给定的ε>0，存在N∈N，对于所有n>N，有|aₙ-L|<ε成立，则称数列{aₙ}的极限为L，记为lim(n→∞) aₙ=L。
（2）数列的极限存在性：一个数列未必存在极限，但只要该数列有上界和下界，则该数列一定存在极限。
4. 数列的和（1）数列的部分和：对于数列{aₙ}，它的前n项的和称为数列的部分和，用Sₙ表示。
（2）数列的无穷和：如果lim(n→∞) Sₙ=L，那么L称为数列{aₙ}的无穷和，即∑ aₙ=L。
数列知识点公式归纳总结
数列知识点公式归纳总结数列是数学中常见的概念，它可以通过一定的规律来表示一系列的数值。
在数学学科中，数列的研究与应用非常广泛，无论是在纯数学中的数论、代数，还是在应用数学中的物理、经济学等领域都有数列的应用。
因此，熟练掌握数列的知识点和公式对于提高数学水平以及解决实际问题都具有重要意义。
本文将针对数列的知识点进行归纳总结，旨在帮助读者更好地理解和应用数列的概念。
在总结中，将包括一些常见的数列类型、特殊数列的性质以及数列求和公式等内容，以供读者参考和学习。
一、等差数列等差数列是指数列中的相邻项之间的差等于一个常数。
在等差数列中，我们可以总结出以下几个重要的知识点和公式：1. 第n项公式：对于等差数列an，其第n项的公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
2. 前n项和公式：对于等差数列an，其前n项和的公式可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an) = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和。
3. 通项公式：对于等差数列an，我们可以通过观察数列中相邻项之间的关系，进而得出其通项公式。
通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻项之间的比等于一个常数。
在等比数列中，我们可以总结出以下几个重要的知识点和公式：1. 第n项公式：对于等比数列an，其第n项的公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比。
2. 前n项和公式：对于等比数列an，其前n项和的公式可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。
3. 通项公式：对于等比数列an，我们可以通过观察数列中相邻项之间的关系，进而得出其通项公式。
通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项为1，之后每一项都是前两项的和。
(完整版)数列知识点梳理
数列知识点梳理一、数列的相关概念 (一)数列的概念1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .2．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3．数列可以看做定义域为*N （或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
(二)数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。
(三)数列的分类1． 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。
2． 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。
3． 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。
递增数列的判断：比较f(n+1)与f(n)的大小（作差或作商） (四)数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==++++=ni i n n a a a a a S 1321 2．⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 二、等差数列的相关知识点1．定义：)2()()()(11≥∈=-∈=-•-•+n N n d a a N n d a a n n n n 且常数或常数。
当d>0时，递增数列，d<0时，递减数列，d=0时，常数数列。
2．通项公式：d n a a n )1(1-+=d m n a m )(-+=q pn d a dn +=-+=)(1d =11--n a a n ，d =mn a a mn -- 是点列（n ，a n ）所在直线的斜率. 3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=21()22d d n a n =+-Bn An +=2 {nS n}是等差数列。
4．等差中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5、等差数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1-a n =d 是常数 (2)等差中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:q pn a n += (4)前n 项和法:Bn An S n +=2 6．性质:设{a n }是等差数列，公差为d,则(1)m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q 特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a += (2) a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公差为md 的等差数列.(3) S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ……组成公差为n 2d 的等差数列.(4)若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈均是等差数列，公差分别为：(5)若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()nnA f nB =，则 2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分 别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S n n ，那么=nn b a ___________，=77b a __________ （6）n S 的最值：法1、可求二次函数2n S an bn =+的最值；法2、求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.例：若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和 0n S >成立的最大正整数n 是（答：4006）7．n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量d a ,1;或利用数列性质, 8、巧设元：三数:d a a d a +-,,, 四数：d a d a d a d a 3,,,3-+-- 9、项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇，项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n nS S 偶奇.例、项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S10、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.三、等比数列的相关知识点（类比等差数列） 1、定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠+∈≠N n a n ,0,）或 时，常数数列当时，摆动数列当时，递减数列且；且当时，递增数列且；且当1q 0q 10100100101111=<><<<><<<>>q a q a q a q a2、通项公式：11-=n n q a a =（0,1≠q a ）m n m n q a a -==3、前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意q 的讨论）A Aq n-=（q ≠1）4、等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =只有同号两数才存在等比中项，且有两个，如已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______5、等比数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1/a n =q 是常数 (2)等比中项法:221++•=n n n a a a(3)通项法: n n cq a =(q c ,为非零常数). (4)前n 项和法: A Aq S nn -=6、性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =··特别地，当2m n p +=时，则有2.pn m a a a =例：在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++=（答：10）。
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数列知识点题型方法总复习一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如（1）已知*2()156nn a n N n =∈+，则在数列{}na 的最大项为__（125）；（2）数列}{na 的通项为1+=bn anan，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（na <1+n a ）；（3）已知数列{}na 中，2na n n λ=+，且{}na 是递增数列，求实数λ的取值范围（3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a nn ∈>+，则该函数的图象是（A ）A B CD二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n na a d d +-=为常数）或11(2)n nnn a a a a n +--=-≥。
如设{}na 是等差数列，求证：以b n =na a a n+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}nb 为等差数列。
2．等差数列的通项：1(1)na a n d =+-或()nma a n m d =+-。
如(1)等差数列{}na 中，1030a =，2050a =，则通项na = 210n +；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______833d <≤3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S+=，1(1)2n n n S na d -=+。
如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则13a =-，10n =；（2）已知数列 {}na 的前n 项和212nS n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）.4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）三．等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
3．当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=如（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝__27__ （2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则B A 、1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0，2122,S S 都大于04．若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列. 如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 225 。
5．在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S S k k =+。
如（1）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝__2____（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.6．若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()nnA f nB =，则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S n n ，那么=nn b a ___________（答：6287n n --）7．“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
法一：由不等式组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。
上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006）8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =. 四．等比数列的有关概念： 1．等比数列的判断方法：定义法1(n na q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11n n n n a aa a +-= (2)n ≥。
如（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____（答：56）；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。
2．等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。
如设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q . （答：6n =，12q =或2） 3．等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q-=-11n a a qq -=-。
如（1）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ =44（2）)(101∑∑==n nk k nC的值为__________（答：2046）；特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。
4．等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。
提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个如已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______（答：A ＞B ）提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,a a a aq aq q q…（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为…33,,,aq aq qaq a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q 。
如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。
（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 等比数列的性质：1.当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a =，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a =.如（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答512）； （2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++= 102.若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{}nna b 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。
当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如（1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1log 1log a n a n x x +=+(*)n N ∈，且12100100x x x +++=，则101102200x x x +++= . （答：100100a ）； （2）在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______（答：40）3.若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.4.当1q ≠时，b aq qaq q a S n n n +=-+--=1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。