微积分模型

h0
h
h0
h
h0
2h
自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商
给定点列
(xi ,
f
(xi ))
2 i0
且 x2 x1 x1 x0 h,
求
f '(x2 ), f '(x1), f '(x0 )
两点差商公式：
• 向前差商公式
f
'(xi )
f (xi h) h
f (xi ) ,i 0,1
模型分析和建立
先看如下三个例子
1. 卫星轨道的长度 2. 射击命中概率 3. 人口增长模型
1、卫星轨道的长度
人造地球卫星的轨道可以视为平面上的椭 圆，中国第一颗人造卫星近地点距离地球表 面439km，远地点距离地球表面2384km，地 球半径为6371m，试求该卫星的轨道长度？
分析：
2、射击命中概率
记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. • 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.
找到恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小
问题 分析
• 关键是对B(t)作出合理的简化假设.
b a
f
( x)dx
ba[ 6
f
n1
(a) 4
k 0
f
n1
(
x
k
1 2
)
2
k
1
f
(xk )
f
(b)]
其中x
k
1
2
=
xk
xk1 2
Matlab相关命令
➢ x=linspace(0,pi,50);
➢y=sin(x);
➢R1=trapz(x,y)；%
梯形公式计算
0 sin(x)dx
➢R2=quad(‘sin’,0,pi,1.0e06)；% 辛普森公式
但是，在很多情况下，还是要数值积分： 1、函数有离散数据组成 2、F(x)求不出 3、F(x)非常复杂
定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合
n
I n ( f ) ai f ( xi ) i0
称为求积系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关
矩形公式
左矩形公式
b
a f (x)dx (b a) f (a)
炮弹射击的目标为一正椭圆形区域，当瞄 准目标的中心发射时，在纵多因素的影响下， 弹着点与目标中心有随机偏差。可以合理地 假设弹着点围绕中心呈二维正态分布，且偏 差在x方向和y方向相互独立。若椭圆区域在x 方向半轴长120m,y方向半轴80m，设弹着点 偏差的均方差在x方向和y方向均为100m,试 求炮弹落在椭圆形区域内的概率？
右矩形公式
b
a f (x)dx (b a) f (b)
中矩形公式
b f (x)dx (b a) f (b a)
a
2
梯形公式
b
ba
a f (x)dx
[ f (a) f (b)] 2
辛普森(Simpson)公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
f
'( x1 )
1 2h
f
(x0 )
f
(x
2h)
x2
1
x0
f
(x0 )
f
(x2 )
f
'(x2 )
1 2h
f
(x0 ) 4
f
( x0
h)
3
f
( x0
2h)
=
x2
1
x0
f
( x0
)
4
f
( x1 )
3
f
( x2
)
数值积分相关知识回顾
关于积分，有Newton-Leibniz公式
b
a f (x)dx F (b) F (a)
计算
结果 R1=1.999314849324062 R2=1.999993496534964
程序实现
模型实例讲解
• 森林救火问题 • 水箱的水流问题
森林救火问题
问题
问题 分析
森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。
所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员 之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的数量。
• 向后差商公式
百度文库
f
'(xi )
f (xi ) f (xi h) ,i 1, 2 h
• 中心差商公式
f
'(x1)
f (x1 h) f (x1 h) 2h
三点差商公式
f
'(x0 )
1 2h
3
f
(x0 )
4
f
( x0
h)
f
( x0
2h)
x2
1
x0
3 f
(x0 )
4
f
(x1)
f
(x2 )
a
6
2
将a,b 分为 n 等份，步长 h b a，分点 xk a kh, k 0,1,L , n n
复合梯形公式
b
n1
f (x)dx
xk1 f ( x)dx
a
k 0 xk
h 2
n 1
f
k 0
xk
f
xk1
h 2
f
n 1
(a) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)
复合辛普森(Simpson)公式
失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形
分析B(t)比较困难, 转而讨论森林烧毁 速度dB/dt.
B B(t2)
（其中dB/dt表示
单位时间烧毁的面
0
t1
积）
t2
t
模型假设
1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度）
2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度）
3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 (运 送消防队员和器材等一次性支出)
火势以失火点为中心，
均匀向四周呈圆形蔓延， r
假设1） 的解释
半径 r与 t 成正比
B
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
假设1） 假设2）
dB
b t1,
t t b
2 1 x
dt
b
t
t t 1
2 1 x 0
分析：
3、人口增长率
20世纪美国人口统计数据如表6.5所示，计算 表中这些年份的人口增长率。
又已知某地区20世纪70年代的人口增长率如 表6.6所示，且1970年人口为210万，试估 计该地区1980年的人口？
分析:
小 结
模型求解
数值微分相关知识回顾 数值积分相关知识 Matlab 相关命令 程序实现
数值微分相关知识回顾
1. 函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值， 2. 函数f(x)过于复杂
这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值
微积分中，关于导数的定义如下：
f '(x) lim f (x h) f (x) lim f (x) f (x h) lim f (x h) f (x h)