函数值域求法十五种
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在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。
基本知识
1.定义:因变量y的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合)。
2.函数值域常见的求解思路:
⑴划归为几类常见函数,利用这些函数的图象和性质求解。
⑵反解函数,将自变量x用函数y的代数式形式表示出来,利用定义域建立函数y的不等式,解不等式即可获解。
⑶可以从方程的角度理解函数的值域,从方程的角度讲,函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。
特别地,若函数可看成关于x的一元二次方程,则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件,利用判别式求出函数的值域。
⑷可以用函数的单调性求值域。
⑸其他。
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数,通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域
例1. 求函数的值域。
解:∵∴
显然函数的值域是:
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例2. 求函数的值域。
解:将函数配方得:
∵
由二次函数的性质可知:当x=1时,,当x=-1时,
故函数的值域是:[4,8]
3. 判别式法
例3. 求函数的值域。
解:两边平方整理得:(1)
∵∴
解得:
但此时的函数的定义域由,得
由,仅保证关于x的方程:在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由求出的范围可能
比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵∴
∴代入方程(1)
解得:即当时,
原函数的值域为:
注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例4. 求函数值域。
解:由原函数式可得:
则其反函数为:,其定义域为:
故所求函数的值域为:
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
例5. 求函数的值域。
解:由原函数式可得:,可化为:
即
∵∴
即解得:
故函数的值域为
6. 函数单调性法
例6. 求函数的值域。
解:令则在[2,10]上都是增函数
所以在[2,10]上是增函数
当x=2时,
当x=10时,
故所求函数的值域为:
例7. 求函数的值域。
解:原函数可化为:
令,显然在上为无上界的增函数
所以,在上也为无上界的增函数
所以当x=1时,有最小值,原函数有最大值
显然y>0,故原函数的值域为
7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作
例8. 求函数的值域。
解:因
即
故可令
∴
∵
∴
∴
故所求函数的值域为
例9. 求函数的值域。
解:原函数可变形为:
可令,则有
∴
当时,
当时,
而此时有意义。
故所求函数的值域为
例10. 求函数,的值域。解:
令,则
由且
可得:
∴当时,,当时,
故所求函数的值域为。
例11. 求函数的值域。
解:由,可得
故可令
∵∴
当时,
当时,
故所求函数的值域为:
8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛,地址手机版地址]
例12. 求函数的值域。
解:原函数可化简得:y=|x-2|+|x+8|
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。
由上图可知,当点P在线段AB上时,y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10
故所求函数的值域为:
例13. 求函数的值域。
解:原函数可变形为:
上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,
由图可知当点P为线段与x轴的交点时,,
故所求函数的值域为
例14. 求函数的值域。
解:将函数变形为:
上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。即:y=|AP|-|BP|
由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P',则构成△ABP',根据三角形两边之差小于第三边,有
即:
(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有
综上所述,可知函数的值域为:
注:由例13,14可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧。
如:例13的A,B两点坐标分别为:(3,2),(-2,-1),在x轴的同侧;例14的A,B 两点坐标分别为(3,2),(2,-1),在x轴的同侧。
9. 不等式法
利用基本不等式,求函数的最值,其题型特征解
析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例15. 求函数的值域。
解:原函数变形为: