LTI系统的单位冲激响应.ppt
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连续时间LTI系统的冲激响应
A (t) + 3B (t) B '(t) 2 (t) '(t)
解得A= －1, B =1
h(t) e3tu(t) (t)
可见冲激响应的形式要根据微分方程情况设定
2. 冲激响应的求解
连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足微分方程
h(n)(t)
a h (n1) n 1
(t)
a h ' (t) 1
a n 1h (n1) (t)
a h ' (t) 1
a 0h ( t )
bm (m) (t)
b m 1 ( m 1 ) ( t )
b 1
'(t)
b (t) 0
2. 冲激响应的求解
[例] 某线性时不变系统的微分方程为y'(t) 3y(t) 2x(t), t 0 试求系统的冲激响应h(t)。
i1
j0
由微分方程的特征根确定u(t)前的指数形式。
由微分方程 (t)的最高阶导数与h(t)的最高阶导数确定 (j)(t)项。
连续时间LTI系统的冲激响应
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来 源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处， 特此说明并表示感谢！
a 0h ( t )
bm
(m)
(t)
b
b 1
'(t) b0 ( t )
(1) 当 n>m 时(假设特征根为不等实根)
n
h(t) ( Kiesit )u(t)
i1
(2) 当nm 时, h(t)应含有冲激及其高阶导数
n
mn
h(t) ( Kiesit )u(t) Aj ( j) (t)
i1
解得A= －1, B =1
h(t) e3tu(t) (t)
可见冲激响应的形式要根据微分方程情况设定
2. 冲激响应的求解
连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足微分方程
h(n)(t)
a h (n1) n 1
(t)
a h ' (t) 1
a n 1h (n1) (t)
a h ' (t) 1
a 0h ( t )
bm (m) (t)
b m 1 ( m 1 ) ( t )
b 1
'(t)
b (t) 0
2. 冲激响应的求解
[例] 某线性时不变系统的微分方程为y'(t) 3y(t) 2x(t), t 0 试求系统的冲激响应h(t)。
i1
j0
由微分方程的特征根确定u(t)前的指数形式。
由微分方程 (t)的最高阶导数与h(t)的最高阶导数确定 (j)(t)项。
连续时间LTI系统的冲激响应
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来 源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处， 特此说明并表示感谢！
a 0h ( t )
bm
(m)
(t)
b
b 1
'(t) b0 ( t )
(1) 当 n>m 时(假设特征根为不等实根)
n
h(t) ( Kiesit )u(t)
i1
(2) 当nm 时, h(t)应含有冲激及其高阶导数
n
mn
h(t) ( Kiesit )u(t) Aj ( j) (t)
i1
§2.5 冲激响应和阶跃响应ppt课件
e t
H
r t
u t
H
g t
返回
三.冲激响应的求解方法
1. 冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用高阶微分方程表示为：
n n 1 d r ( t) d r ( t) d r ( t) C C C C r ( t) 0 1 n 1 n n n 1 d t d t d t m m 1 d e ( t) d e ( t) d e ( t) E E E E e ( t) 0 1 m 1 m m m 1 d t d t d t
方法2：奇异函数项相平衡法
设特征根为简单根（无重根的单根），则：
当n > m 时，ht 不含 t 及其各阶导数，其解的形式为： n a it h ( t) A u ( t) ie 1 i 当n m 时，h t 中应包含 t ，其解的形式为：
齐次方程
冲激 t 在 t 0时转为系统的储能（由 vC (0 )体现）， t >0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统 的冲激响应。
求解
1 特征方程 RC a 1 0 特征根 a RC t
v ( t ) A e u ( t ) C
RC
t> 0 时的解
2.求解方法
方法1：冲激函数匹配法：首先求出 0 ~ 0跳变值，由于 冲激响应为零状态响应，则h(n)(0-)=0，所以 h(n)(0+)=跳变值；t 0时， t 及其导数均为零，
因而方程式右端的自由项恒等于零，其解的形式
为微分方程的齐次解 ，即： h( t ) Ai ea t
dt
H
r t
u t
H
g t
返回
三.冲激响应的求解方法
1. 冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用高阶微分方程表示为：
n n 1 d r ( t) d r ( t) d r ( t) C C C C r ( t) 0 1 n 1 n n n 1 d t d t d t m m 1 d e ( t) d e ( t) d e ( t) E E E E e ( t) 0 1 m 1 m m m 1 d t d t d t
方法2：奇异函数项相平衡法
设特征根为简单根（无重根的单根），则：
当n > m 时，ht 不含 t 及其各阶导数，其解的形式为： n a it h ( t) A u ( t) ie 1 i 当n m 时，h t 中应包含 t ，其解的形式为：
齐次方程
冲激 t 在 t 0时转为系统的储能（由 vC (0 )体现）， t >0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统 的冲激响应。
求解
1 特征方程 RC a 1 0 特征根 a RC t
v ( t ) A e u ( t ) C
RC
t> 0 时的解
2.求解方法
方法1：冲激函数匹配法：首先求出 0 ~ 0跳变值，由于 冲激响应为零状态响应，则h(n)(0-)=0，所以 h(n)(0+)=跳变值；t 0时， t 及其导数均为零，
因而方程式右端的自由项恒等于零，其解的形式
为微分方程的齐次解 ，即： h( t ) Ai ea t
dt
信号与系统 双语 奥本海姆 第二章PPT课件
10
Chapter 2 §2.3 卷积的计算 1. 由定义计算卷积积分
例2.6 xte au tt,a0htut
2. 图解法 例2.7 求下列两信号的卷积
xt 1 , 0tT ht
0 , 其余t 3. 利用卷积积分的运算性质求解
LTI Systems
yt
t , 0t2T 0 , 其余t
11
Chapter 2
in Terms of impulses
Example 2
3 xn
2
1
1 01 2
n
xknk
x n x 1 n 1 x 0 n x 1 n 1
xnxknk k 4
Chapter 2
LTI Systems
§2.1.2 The Discrete-Time Unit Impulse Responses and the
LTI Systems
§2.3 Properties of LTI Systems
xt ht ytxtht
xn hn ynxnhn
LTI系统的特性可由单位冲激响应完全描述
Example 2.9 ① LTI system
h n
1
0
n0,1 otherwise
② Nonlinear System
③ Time-variant System
a y n x n x n 1 2 aytco s3 txt
b y n m x n ,x a n 1 x b ytetxt 12
Chapter 2
LTI Systems
§2.3.1 Properties of Convolution Integral and Convolution Sum 1. The Commutative Property (交换律）
系统的单位冲激响应与单位样值响应
求系数Ci,cj
例1：求齐次解： r"(t) 5r' (t) 6r(t) e(t)
解：该微分方程的特征方程为： 2 5 6 0 解得特征根： 1 2,2 3
齐次解为： rn (t) c1e2t c2e3t
例3：求齐次解： r"(t) 4r' (t) 4r(t) e(t)
解： 2 4 4 0 1,2 2 二重根
rn (t) c1te2t c2e2t
例４：方程为： r"(t) 3r' (t) 2r(t) e' (t) 2e(t)
若激励为： e(t) t 2 求其特解 rf(t).
r 查表2-3-1得对应的特征解为： f (t) A2t 2 A1t A0 rf" (t),rf' (t),rf (t) e' (t), e(t) 代入原微分方程得：
解：特征根为 1 1, 2 2
零输入状态响应
零输入响应： rZi (t) CZi1et CZi2e2t r(0) 1, r'0 1 代入原方程
rZi (0) CZi1 CZi2 1
r
' Zi
(0)
CZi1
2CZi 2
1
CZi1 CZi 2
t=0时 初值代入： r(0) c1 c2 2 1
r'(0) c1 2c2 2 1 c1 1, c2 2
全解: r(t) et 2e2t t 2 2t 2 t 0
解题思路： 1 齐次解：其形式与激励e(t)无关，仅依赖于系统 本身特征――＞自由响应或固有响应，系数ci，cj 与激励有关．
34连续时间LTI系统的冲激响应
=
3u(
)
2e
3(t
)u
(t
)d
详细求解见后
= 2(1 e3t )u(t)
卷积法求解yzs (t)的思路
(1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 (2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
—— 单位冲激响应h(t) (3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号x(t)激励
1. 冲激响应的定义
若描述连续时间LTI系统的常系数线性微分方程为
y(n) (t) an1 y(n1) (t) L a1 y '(t) a0 y(t)
bm x(m)
(t)
b x(m1) m1
(t)
L
b1x ' (t) b0x(t)
则连续时间LTI系统的冲激响应h(t)应满足
北京交通大学 信号处理课程组
连续时间LTI系统的冲激响应
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
系统的零状态响应 当系统的零状态响应是当系统的初始状态为零时，
由系统的外部激励 x(t) 而产生的响应，用表示yzs (t)。
连续时间LTI系统的冲激响应
假设单位冲激信号d (t)作用在系统上的冲激响应为h(t)
d (t)
系统
h(t)
零状态
而任意信号x(t) 都可以分解为单位冲激信号的线性组合，
即
x(t) x( ) d (t )d
零状态响应
yzs (t)
x( ) h(t )d
x(t) h(t)
即 yzs (t)为输入激励 x(t)与系统的冲激响应 h (t)的卷积积分。
第二章LTI系统的时域分析ppt课件
注意：为方便起见，对单一零状态系统进行讨论时常常仅用y(t)代表yf(t)。
y( t ) a0 y当( tf)(t b)0f (t()t )时 h( t ) a0h( t ) b0 ( t )
2、h(t)的求解方法 （1） 利用阶跃响应与冲激响应的关系求解
此方法适用于简单电路，前提是阶跃响应g(t)简单易求。
y( t ) yh( t ) yp( t )
1、齐次解yh(t)
y( n )( t ) an1 y( n1 )( t ) a1 y( t ) a0 y( t ) 0
特征方程
的解
n n1 a1 a0 0
➢ 齐次微分方程的特征根：特征方程的 n 个根λi (i=1，2，…，n) ； ➢ 齐次解yh(t)的函数形式由特征根确定；
零状态 系统
y f ( t ) h( t )
yf(t)= g(t)
➢ 零状态系统：在激励 f(t) 的作用下将产生零状态响应yf(t)；
➢ 如果激励是单位冲激信号δ(t)，产生的响应称为单位冲激响应，用h(t)表示。 ➢ 如果激励是单位阶跃信号ε(t)，产生的响应称为单位阶跃响应，用g(t)表示。
n
m
ai y(k i) bj f (k j)
i0
j0
(an 1, m n)
差分方程的经典解分为齐次解yh(k)和特解yp(k)。
y(k) yh (k) yp (k)
1、差分方程的齐次解
n阶前向齐次差分方程 y(k n) an1y(k n 1) a1y(k 1) a0 y(k) 0
i1
y( t
)
yh( t
)
yp( t
)
C
1e
C2 t
ie
§2-6 LTI系统的单位冲激响应
h′(t ) + 2h(t ) = δ(t )
⑴ 求特征根，确定齐次通解。
α+2=0
α = −2
−2 t
hh (t ) = Ae u (t )
⑵ 确定特解，并确定t=0+时刻的初始条件。 比较以上方程两边可见， ′(t ) 中应有强度为1的冲激，而 h(t )中 h 没有冲激存在，否则h′(t ) 中将有冲激的导数出现。因此，h(t ) 中没 有特解出现。
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
⑶ 确定齐次解中的待定系数，求出系统的单位冲激响应。
hh (0 + ) = B0 = −1 = A
所以
h(t ) = h p (t ) + hh (t )
= δ(t ) − e −2t u (t )
一般的，对于如下形式的微分方程
N k =0 M k =0
《Signals & systems》 systems》 大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
所以
h(t ) = hh (t ) = Ae u (t )
因为
0+ 0+
−2 t
h (0 + ) =
−∞
∫ h′(t )dt
=
−∞
∫ δ(t )dt = 1
所以
A1 = 2
A2 = −1
h(t ) = ( 2e − t − e −2t )u (t )
《Signals & systems》 systems》 大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
§2-3 LTI系统的单位冲激响应
B0Δu=- Δu表示在t=0时刻系统由于冲激作用引起的跳变，
跳变值B0= -1 。它是在单位冲激信号的作用下，系统在 t=0+时刻建立起来的状态。利用此状态可以确定齐次响应 中的待定系数。
⑶ 确定齐次解中的待定系数，求出系统的单位冲激响
应。
hh (0 ) B0 1 A
所以
h(t) hp (t) hh (t)
2
3
2
3
(n) [ 3 (1)n1 4 (1)n1]u(n 1) 22 33
(n) [3(1)n 4(1)n ]u(
)1
A2
(
1) 3
1
2 A1
3A2
0
所以
h(0) A1 A2 1 A1 3 A2 2
h(n) [3(1)n 2(1)n ]u(n)
2
3
(n) [3(1)n 2(1)n ]u(n 1)
2
3
例如：已知系统差分方程，求系统的单位样值响应h(n)。
h(0) 1 5 h(1) 1 h(2) 1
6
6
当n=1
当n=2
h(1) 0 5 h(0) 1 h(1) 5
6
6
6
h(2) 0 5 h(1) 1 h(0) 19
6
6
36
同样，在大多数情况下不易得到封闭的解。
解法二：由因果性与零状态条件，通过迭代求得一组初始 条件，进而求n>0时的零输入响应。
y(n) 5 y(n 1) 1 y(n 2) x(n) x(n 1)
6
6
解、此时以上方程可以写成
《信号与系统教学课件》§2.7基于单位冲激响应的系统特性分析-文档资料
根据高等数学中绝对值的知识，得到
rt
e
ht d
et M,
r t M ht d
N
ht
d
其中N为一有界常数，则 r t MN, 则系统稳定。
X
二、LTI系统的稳定性
现在进一步考虑若
e
t
d
r 0
h
e
d
h
d
X
二、LTI系统的稳定性
已知
ht
dt
无界，这意味着对于有界输入e(t) 所得
系统响应r(t) ，在t=0时无界。
N
ht
d
充分且必要条件！
X
习题
2.33 2.35
X
若h(t)不满足h(t)=h(t)u(t)，则意味着系统在 激励未加入 时就产生了响应，显然系统是非因果的。
h(t)=h(t)u(t) 充分且必要条件！
X
二、LTI系统的稳定性
考虑输入e(t), 且et M, 其中M为一有界常数，则系统
零状态响应为
r
t
e
h
t
d
ht dt,
对于如下有界输入e(t)，且
etht ht , 即
1,
e t sgn h t 0,
1,
则系统零状态响应为
ht 0 ht 0 ht 0
第10讲-阶跃响应与冲激响应PPT优秀课件
第2章 系统的时域分析---导读
本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型---常系数线性微分 方程。
然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初 始条件求待定系数。
为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入 响应和零状态响应。
仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得 到；零状态响应的求解则用卷积方法。
n
设系统的特征方程共有 n 个不相等的特征根，则 h(t) [ Aieit](t) i1
利用微分方程两端 ( t ) 及其各阶导数对应平衡来求出系数 A i
冲激响应另一种求解方法
已知微分方程为 d2y(t)4dy(t)3y(t)df(t)2f(t)，求冲激响应 h ( t )
dt2
dt
dt
解：微分方程变为
h(t-) （时不变性）
f()h(t-) （齐次性）
f ( )h(t - )d （可加性）
-
‖
f (t) h(t)
零状态响应 yzs (t)
任意信号的零状态响应
一线性非时变系统的冲激响应为h(t)=et(t)，激励为 f(t)= (t-1)，求系统的零状态响应。
解：
t (t)* h (t)
故系统的冲激响应为此方程的齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为:
h(t) = C1e-2t + C2e-3t，t >0
代入初始条件求得 C1=1, C2= -1
所以
h(t) = ( e-2t - e-3t)(t)
解法二：因为 n>m,特征根为-2，-3，所以冲激响应为：
h(t) = (C1e-2t + C2e-3t)(t) （1）
本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型---常系数线性微分 方程。
然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初 始条件求待定系数。
为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入 响应和零状态响应。
仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得 到；零状态响应的求解则用卷积方法。
n
设系统的特征方程共有 n 个不相等的特征根，则 h(t) [ Aieit](t) i1
利用微分方程两端 ( t ) 及其各阶导数对应平衡来求出系数 A i
冲激响应另一种求解方法
已知微分方程为 d2y(t)4dy(t)3y(t)df(t)2f(t)，求冲激响应 h ( t )
dt2
dt
dt
解：微分方程变为
h(t-) （时不变性）
f()h(t-) （齐次性）
f ( )h(t - )d （可加性）
-
‖
f (t) h(t)
零状态响应 yzs (t)
任意信号的零状态响应
一线性非时变系统的冲激响应为h(t)=et(t)，激励为 f(t)= (t-1)，求系统的零状态响应。
解：
t (t)* h (t)
故系统的冲激响应为此方程的齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为:
h(t) = C1e-2t + C2e-3t，t >0
代入初始条件求得 C1=1, C2= -1
所以
h(t) = ( e-2t - e-3t)(t)
解法二：因为 n>m,特征根为-2，-3，所以冲激响应为：
h(t) = (C1e-2t + C2e-3t)(t) （1）
卷积的性质.ppt
2、积分
t
t
t
[x()h()]d [ x()d]h(t) x(t) h()d
3、信号与单位冲激和单位阶跃信号的卷积积分
x(t) (t) x()(t )d
()x(t )d x(t)
x(t) (t t0 ) x()(t t0 )d
x(t )( t0 )d
对于连续时间线性时不变系统，当输入为x(t)，其零状
态响应
y(t) x(t)h(t) h(t) x(t) h()x(t )d
于是
y(t) h()x(t )d h() x(t ) d
当 就有
h() M xd M x h() d
h() d Mh
y(t) M xMh M y
x(t t0 )
x(t)
0
t
(t t0 )
(1)
0
t0
t
x(t t0 )
t
0
t0
t
x(t) u(t) x()u(t )d x()d
u()x(t )d x(t )d
0
例如：已知 x(t) u(t) h(t) etu(t)
求系统的零状态响应： y(t) x(t)h(t)
x(n)
0
n
u(n)
0
n
u(n m)
0n
m
x(n m)
0
m
§2-6 LTI系统的因果性与稳定性
一、因果性 第一章曾讲到，所谓因果系统是指响应不会产生于激
励作用于系统之前的系统，否则是非因果系统。
LTI系统的单位冲激响应，是单位冲激作用之下的零 状态响应。单位冲激信号具有当t≠0时，δ(t)=0；t=0时， δ(t)≠0的特性。所以，只要满足当t<0时，系统的单位冲激 响应
[工学] 第3章1 LTI系统的描述及特点_连续LTI系统响应
![[工学] 第3章1 LTI系统的描述及特点_连续LTI系统响应](https://img.taocdn.com/s3/m/7c4dc7193968011ca30091ad.png)
、…
n 1 d 、 n1 y(0－ )] dt
齐次方程的解的基本形式为Kest ,且将其代人齐次方程得：
Ksnest Kan1sn1est
消去Kest ,得特征方程：
Ka1sest Ka0est 0 a1s a0 0
(K 0)
sn an1sn1
§3.2 连续时间LTI系统的响应
双零法求系统响应
零输入响应求解 零状态响应求解
冲激响应
卷积积分
连续时间系统分析过程(求响应)
完全解＝齐次解+特解
经典法、双零法、卷积积分法属于时域分析法。
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t)
= yzi(t)
+
yzs(t)
零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态 {y(0)}所引起的响应，用yzi(t)表示；
2. 零状态响应
1) 满足方程
y ( n ) (t ) an1 y ( n 1) (t )
a1 y '(t ) a0 y (t ) b1 f '(t ) b0 f (t )
bm f ( m) (t ) bm1 f ( m1) (t )
2)
起始状态 y(k) (0-) = 0 (k= 0,1,… , n-1)
2、冲激平衡法 求系统的单位冲激响应
h ( n ) (t ) an1h ( n1) (t ) a1h' (t ) a0 h(t ) bm ( m) (t ) bm1 ( m1) (t ) b1 ' (t ) b0 (t )
由于t >0+后, 方程右端为零, 故 n>m 时
n 1 d 、 n1 y(0－ )] dt
齐次方程的解的基本形式为Kest ,且将其代人齐次方程得：
Ksnest Kan1sn1est
消去Kest ,得特征方程：
Ka1sest Ka0est 0 a1s a0 0
(K 0)
sn an1sn1
§3.2 连续时间LTI系统的响应
双零法求系统响应
零输入响应求解 零状态响应求解
冲激响应
卷积积分
连续时间系统分析过程(求响应)
完全解＝齐次解+特解
经典法、双零法、卷积积分法属于时域分析法。
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t)
= yzi(t)
+
yzs(t)
零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态 {y(0)}所引起的响应，用yzi(t)表示；
2. 零状态响应
1) 满足方程
y ( n ) (t ) an1 y ( n 1) (t )
a1 y '(t ) a0 y (t ) b1 f '(t ) b0 f (t )
bm f ( m) (t ) bm1 f ( m1) (t )
2)
起始状态 y(k) (0-) = 0 (k= 0,1,… , n-1)
2、冲激平衡法 求系统的单位冲激响应
h ( n ) (t ) an1h ( n1) (t ) a1h' (t ) a0 h(t ) bm ( m) (t ) bm1 ( m1) (t ) b1 ' (t ) b0 (t )
由于t >0+后, 方程右端为零, 故 n>m 时
信号与系统教案(吴大正第四版西电PPT)第2章
0− 0− 0− 0−
0+
由于积分在无穷小区间[0-， 进行的 进行的， 连续， 由于积分在无穷小区间 ，0+]进行的，且y(t)在t=0连续， 在 连续 0+ 0+ 故 ∫0− y(t )dt = 0, ∫0− ε (t )dt = 0 于是由上式得 [y’(0+) – y’(0-)] + 3[y(0+) – y(0-)]=2 考虑 y(0+) = y(0-)=2 ，所以 y’(0+) – y’(0-) = 2 ， y’(0+) = y’(0-) + 2 =2 由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（ 由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各 阶导数） 响应y(t)及其各阶导数中，有些在 处将 及其各阶导数中， 阶导数）时，响应 及其各阶导数中 有些在t=0处将 发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。 发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。
一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性
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©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.1
LTI连续系统的响应 LTI连续系统的响应
第二章 连续系统的时域分析
LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线 连续系统的时域分析，归结为： 连续系统的时域分析 性微分方程。 性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t， 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间 ，故 称为时域分析法 这种方法比较直观，物理概念清楚， 时域分析法。 称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚， 是学习各种变换域分析法的基础。 是学习各种变换域分析法的基础。
0+
由于积分在无穷小区间[0-， 进行的 进行的， 连续， 由于积分在无穷小区间 ，0+]进行的，且y(t)在t=0连续， 在 连续 0+ 0+ 故 ∫0− y(t )dt = 0, ∫0− ε (t )dt = 0 于是由上式得 [y’(0+) – y’(0-)] + 3[y(0+) – y(0-)]=2 考虑 y(0+) = y(0-)=2 ，所以 y’(0+) – y’(0-) = 2 ， y’(0+) = y’(0-) + 2 =2 由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（ 由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各 阶导数） 响应y(t)及其各阶导数中，有些在 处将 及其各阶导数中， 阶导数）时，响应 及其各阶导数中 有些在t=0处将 发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。 发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。
一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性
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2.1
LTI连续系统的响应 LTI连续系统的响应
第二章 连续系统的时域分析
LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线 连续系统的时域分析，归结为： 连续系统的时域分析 性微分方程。 性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t， 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间 ，故 称为时域分析法 这种方法比较直观，物理概念清楚， 时域分析法。 称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚， 是学习各种变换域分析法的基础。 是学习各种变换域分析法的基础。
第2章-连续时间信号与系统的时域分析PPT课件
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
-
1
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求：当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5：已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求：当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
-
15
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6：如图所示电路图，其中R=5，L=1H，
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0，电感电流
为i(t)为响应，求系统全响应。
+ uR(t) -
解：激励is(t)，响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
-
21
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9：描述某线性时不变系统的微分方程为： y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入： f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t)； (2)求系统的零输入响应yx(t)； (3)全响应y(t)。
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
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第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求：当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5：已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求：当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
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第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6：如图所示电路图，其中R=5，L=1H，
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0，电感电流
为i(t)为响应，求系统全响应。
+ uR(t) -
解：激励is(t)，响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
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第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9：描述某线性时不变系统的微分方程为： y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入： f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t)； (2)求系统的零输入响应yx(t)； (3)全响应y(t)。
冲激响应和阶跃响应
02
利用冲激函数匹配法求h(0+)及其导数h(0+)。由于方程右端自由项(t)的最高阶导数为(t)
方法1：由阶跃响应和冲激响应的关系求解
方法2：直接解方程求解（见教材）
求阶跃响应
02
左端最高阶微分中含有(t)项
(n-1)阶微分中含有u(t)项。
可以由此定初始条件
令方程左端系数为1，右端只有一项(t)时，冲激响应为 此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。
2．一阶系统的冲激响应
3．n阶系统的冲激响应
响应及其各阶导数(最高阶为n次)
1).冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
激励及其各阶导数(最高阶为m次)
令 e(t)=(t) 则 r(t)=h(t)
一．冲激响应
设特征根为简单根（无重根的单根）
由于δ(t) 及其导数在 t>0+ 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。
03
用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。
04
总结
01
三．齐次解法求冲激响应（补充）
方法1：冲激函数匹配法求出 跃变值，定系数A。
方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。
方法3: 齐次解法求冲激响应。
求冲激响应的几种方法
冲激响应的求解至关重要。
01
冲激响应的定义 零状态； 单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。
02
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 ，看响应 ， 不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。
利用冲激函数匹配法求h(0+)及其导数h(0+)。由于方程右端自由项(t)的最高阶导数为(t)
方法1：由阶跃响应和冲激响应的关系求解
方法2：直接解方程求解（见教材）
求阶跃响应
02
左端最高阶微分中含有(t)项
(n-1)阶微分中含有u(t)项。
可以由此定初始条件
令方程左端系数为1，右端只有一项(t)时，冲激响应为 此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。
2．一阶系统的冲激响应
3．n阶系统的冲激响应
响应及其各阶导数(最高阶为n次)
1).冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
激励及其各阶导数(最高阶为m次)
令 e(t)=(t) 则 r(t)=h(t)
一．冲激响应
设特征根为简单根（无重根的单根）
由于δ(t) 及其导数在 t>0+ 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。
03
用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。
04
总结
01
三．齐次解法求冲激响应（补充）
方法1：冲激函数匹配法求出 跃变值，定系数A。
方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。
方法3: 齐次解法求冲激响应。
求冲激响应的几种方法
冲激响应的求解至关重要。
01
冲激响应的定义 零状态； 单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。
02
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 ，看响应 ， 不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。
冲激函数匹配法(PPT课件)
i R (t )
u R (t )
t
R
iC (t ) C
1 u c (t ) C ic ( )d t 1 i L (t ) L u L( )d
d.耦合电感: +
i1(t)
L1
M
i2(t)
L2
+
u1(t)
-
u2(t)
-
di2 (t ) di1 (t ) u2 (t ) L2 M dt dt
c. 尺度－移位－反褶
t f (t ) f (at ) f [a(t 0 )] f (at t0 ) a
d. 移位－尺度－反褶
f (t ) f (t t0 ) f (at t0 ) f (at t0 )
e. 移位－反褶－尺度
f (t ) f (t t0 ) f (t t0 ) f (at t0 )
已知方程 r (t ) 4r (t ) 5r (t ) 2r (t ) (t ) 3 (t ) (0 )和rzs (0 ). 求跳变量rzs (0 ), rzs 解 : r (t ) 4r (t ) 5r (t ) 2r (t ) (t ) 3 (t ) (t ) (t ) (t ) u (t )
匹配步骤:
1.从最高阶项开始匹配.对不是冲激函数的项,不必考虑匹配, 其跳变为零.
2.最高阶项匹配好后,考虑其对低阶项的影响.保持已匹配好 的高阶冲激函数系数不变.
3.匹配低阶项.根据需要可返回最高阶项进行补偿. *这里u(t)并不是阶跃信号,仅代表单位跳变量.
(2)r (t ) e(t )u (t ) 时不变性：令激励为e(t t0 )，则对应响应为e(t t0 )u (t ) 而r (t t0 ) ＝e(t t0 )u (t t0 ) 系统为时变的。
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所以 B1 1 B0 3B1 3
由此得到t=0+时刻的条件：
B0 0
h(0 ) B0 0
h(0 ) B1 1
⑶ 确定齐次解中的待定系数，求出系统的单位冲激响 应。
h(0 ) 1 A1 A2
h(0 ) 0 A1 2A2 A1 2 A2 1
所以
h(t) (2et e2t )u(t)
所以
h(t) hp (t) hh (t)
(t) e2tu(t)
一般的，对于如下形式的微分方程
N
M
ak y(k) (t) bk x(k) (t)
k 0
k 0
当N>M，单位冲激响应中只有自由响应；当N≤M，则还 有受迫响应分量：冲激和冲激的各阶导数。
例如 设系统方程如下，试求系统的单位冲激响应h(t)。 y(t) 3y(t) 2y(t) x(t) 3x(t)
§2.3 LTI系统的单位冲激响应
先看前例电路如下，当t=0时开关由1至2，系统输出为
C
L
2
1
电流，试确定电流i(t)及其导数在
20V
e(t)
10V
i(t) R
t=0时刻前后的值。
即是要求t=0-与0+时刻电流及其导 数的值。
由观察可知，t=0-时刻电路应处于稳定状态，于是
i(0 ) 0
di(t)
二、离散时间系统的单位样值响应
(n) 零状态系统 h(n)
单位样值响应h(n)是系统在零状态时，由单位样值信 号作用之下产生的响应。因此，它是一个零状态响应。
同样，单位样值信号δ(n)仅在n=0时刻等于1，其它时 刻δ(n)=0，因此系统在n>0时的响应是零输入响应。
因为是差分方程的时域求解，除了有类似于以上单位 冲激响应求解的方法外，还可以用迭代法求解响应。
于是在t=0时刻，系统的特解 hp (t) (t)
B0Δu=- Δu表示在t=0时刻系统由于冲激作用引起的跳变，
跳变值B0= -1 。它是在单位冲激信号的作用下，系统在 t=0+时刻建立起来的状态。利用此状态可以确定齐次响应 中的待定系数。
⑶ 确定齐次解中的待定系数，求出系统的单位冲激响
应。
hh (0 ) B0 1 A
比较以上方程两边可设：在t=0时刻
h(t) B1(t) B0(t) 于是在t=0时刻
h(t) B1(t) B0u 将这两式代入以上方程
B1(t) B0(t) 2B1(t) (t) (t)
即有
B1(t) (B0 2B1)(t) (t) (t)
B1 1 B0 2B1 1
B0 1
解：此时方程应为 h(t) 3h(t) 2h(t) (t) 3(t)
⑴ 求特征根，确定齐次通解。
2 3 2 0
பைடு நூலகம்
1 1 2 2
所以t>0时 h(t) A1et A2e2t
或表示为： h(t) ( A1et A2e2t )u(t)
⑵ 确定特解，并确定t=0+时刻的初始条件。 比较以上方程两边可设：在t=0时刻 h(t) B1(t) B0(t)
L
0
dt t0
i(0 ) 0
当t=0+时刻，由于电感电流不会突变，于是
i(0 ) 0
di(t)
L
10
dt t0
i(0 ) 10 L
可见，在当t=0时刻的前后，电路中状态发生了跳变。
由前所讲已知，当-∞＜t＜∞时系统方程为
d 2i(t) R di(t) 1
10
dt 2
L
dt
i(t) (t)
例如、设系统方程如下，试求系统的单位冲激响应h(t)。
⑴ y(t) 2y(t) x(t) ⑵ y(t) 2y(t) x(t) x(t)
1/解：此时方程应为
h(t) 2h(t) (t)
⑴ 求特征根，确定齐次通解。
20
2
hh (t) Ae2tu(t) ⑵ 确定特解，并确定t=0+时刻的初始条件。
LC
L
即系统方程的右边出现冲激信号，t=0时刻的条件会发生 跳变。
一、单位冲激响应
(t) 零状态系统 h(t)
单位冲激响应h(t)是系统在零状态时，由单位冲激作用 之下产生的输出响应。因此，它是一个零状态响应。
h(t) hh (t) hp (t) 但是，单位冲激信号δ(t)仅在t=0时刻不等于0，当t>0时 δ(t)=0，因此系统在t>0时的响应是零输入响应的形式。 因此，在时域求解的情况下，hp(t)与t=0+时条件的确定 成了h(t)求解的关键。
6
6
考虑到系统是因果的和零状态的，当n=0
h(0) 1 5 h(1) 1 h(2) 1
6
6
当n=1
当n=2
h(1) 0 5 h(0) 1 h(1) 5
6
6
6
h(2) 0 5 h(1) 1 h(0) 19
6
6
36
同样，在大多数情况下不易得到封闭的解。
下面还是通过举例，说明单位样值相应的求解。
例如：已知系统差分方程，求系统的单位样值响应h(n)。
y(n) 5 y(n 1) 1 y(n 2) x(n)
6
6
解、此时以上方程可以写成
h(n) 5 h(n 1) 1 h(n 2) (n)
6
6
解法一（迭代法）：将方程写成如下形式
h(n) (n) 5 h(n 1) 1 h(n 2)
比较以上方程两边可见，h(t) 中应有强度为1的冲激， 而 h(t) 中没有冲激存在，否则 h(t) 中将有冲激的导数出 现。因此，h(t) 中没有特解出现。
所以
h(t) hh (t) Ae2tu(t)
因为
0
0
h(0 ) h(t)dt (t)dt 1
⑶ 由t=0+时刻的初始条件，确定待定系数。
所以
h(0 ) 1 A
h(t) e2tu(t)
对于低阶方程的另一种解法是，将含待定系数的h(t) 代入方程，然后使方程两边相等以确定待定系数。
2/解：此时方程应为 h(t) 2h(t) (t) (t)
⑴ 求特征根，确定齐次通解。
20
2
hh (t) Ae2tu(t)
⑵ 确定特解，并确定t=0+时刻的初始条件。
于是在t=0时刻 h(t) B1(t) B0u
h(t) B1u 由此得到，h(t)中特解等于0；将以上三式代入以下方程
h(t) 3h(t) 2h(t) (t) 3(t)
B1(t) B0(t) 3B1(t) (t) 3(t) B1(t) (B0 3B1)(t) (t) 3(t)