专题9：几何三大变换之对称探讨

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【2013年中考攻略】专题9：几何三大变换之轴对称探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。

轴对称具有这样的重要性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。

一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。

因此，A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。

故选B。

例2. （2012广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】A。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。

故选A。

例3. （2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】【答案】A。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。

故可得选项A与其他图形的对称性不同。

故选A。

例4. （2012广西柳州3分）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是【】【答案】C。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可：A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误。

故选C。

例5. （2012福建三明8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－1），B（－3，－3），C（－1，－3）.①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（4分）②画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标.（4分）【答案】解：①如图所示，A1（－2，1）。

②如图所示，A2（2，1）。

【考点】轴对称和中心对称作图。

【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出A1、A2的坐标。

例6. （2012四川乐山9分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．【答案】解：（1）如图，△A 1B 1C 1 是△ABC 关于直线l 的对称图形。

（2）由图得四边形BB 1C 1C 是等腰梯形，BB 1=4，CC 1=2，高是4。

∴S 四边形BB1C1C ()()1111BB +CC 4=4+2=1222⨯⨯⨯。

【考点】作图（轴对称变换）。

【分析】（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．作BM ⊥直线l 于点M ，并延长到B 1，使B 1M=BM ，同法得到A ，C 的对应点A 1，C 1，连接相邻两点即可得到所求的图形。

（2）由图得四边形BB 1 C 1C 是等腰梯形，BB 1=4，CC 1=2，高是4，根据梯形的面积公式进行计算即可。

例7. （2012贵州安顺4分）在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是 ▲ ． 【答案】309087。

【考点】镜面对称。

【分析】拿一面镜子放在题目所给数字的对面，很容易从镜子里看到答案是309087。

例8. （2012福建宁德4分）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线 裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是【 】A．B．C．D．【答案】B。

【考点】剪纸问题【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现，展开得到的图形如选项B中所示。

故选B。

例9. （2012福建龙岩12分）如图1，过△ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为△ABC的边BC 上的折合矩形．（1）若△ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为；（2）如图4，已知△ABC，在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；（3）如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD= ，正方形EFGH的对角线长为．【答案】解：（1）3。

（2）作出的折合矩形EFGH：（3）2a ；2a。

【考点】新定义，折叠问题，矩形和正方形的性质，勾股定理。

【分析】（1）由折叠对称的性质，知折合矩形EFGH的面积为△ABC的面积的一半，（2）按题意，作出图形即可。

（3）由如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，正方形边长为a，BC边上的高AD为EFGH边长的两倍2a。

根据勾股定理可得正方形EFGH的对角线长为2a。

例10.（2012山东潍坊3分）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是【】．[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6，3)]A．黑(3，7)；白(5，3) B．黑(4，7)；白(6，2)C．黑(2，7)；白(5，3) D．黑(3，7)；白(2，6)【答案】C。

【考点】利用轴对称设计图案。

【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答：A、若放入黑（3，7），白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；B、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；C、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形；D、若放入黑（3，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形。

故选C。

练习题：1. （2012浙江宁波3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是【】A．B．C．D．2. （2012江苏连云港3分）下列图案是轴对称图形的是【】A．B．C．D．3. （2012贵州遵义4分）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有▲ 种．4.（2012贵州遵义3分）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是【】A．B．C．D．5.（2012广西钦州3分）如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，在把以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是【】A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形6. （2012四川广安8分）现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．7. （2012浙江杭州4分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为▲ ．8. （2012广东广州12分）如图，⊙P的圆心为P（﹣3，2），半径为3，直线MN过点M（5，0）且平行于y轴，点N在点M的上方．（1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系．（2）若点N在（1）中的⊙P′上，求PN的长．9. （2012湖南郴州6分）作图题：在方格纸中：画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．二、线段、角的轴对称性：典型例题：例1. （2012湖北恩施3分）如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于【】A．50°B．60°C．65°D．90°【答案】C。

【考点】平行线的性质，角平分线的定义。

【分析】∵AB∥CD，∴∠BEF+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∵∠1=50°，∴∠BEF=130°（等量代换）。

∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=12∠BEF=65°（角平分线的定义）。

∴∠2=∠BEG=65°（两直线平行，内错角相等定理）。

故选C。

例2. （2012海南省3分）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是▲ .【答案】9。

【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。

【分析】∵OB是∠B的平分线，∴∠DBO=∠OBC。

又∵DE∥BC，∴∠OBC =∠BOD。

∴∠DBO=∠BOD。

∴DO=DB。

同理，EO=EC。

又∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长=AD＋DE＋AE=AD＋DO＋EO＋AE=AD＋DB＋EC＋AE=AB＋AC=5＋4=9。