线性规划(第三讲)
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第1章线性规划(3)(1).ppt
排班1 √ √ √ √
170
排班2 √ √ √ √
160
排班3
√ √ √ √
175
排班4
√ √ √ √ 180
排班5
√ √ 195
最少需要人数 48 79 65 87 64 73 82 43 52 15
解:这是一个纯成本收益平衡问题
（1）决策变量 ❖ 本问题的决策是不同排班的人数。 ❖ 设：xi为排班i的人数 (i＝1,2,,5 ) （2）目标函数 ❖ 本问题的目标是人员总费用(工资)最少
（i＝F1,F2;j=C1,C2,C3) （2）目标函数
本问题的目标是使得公司总运输成本最低
Min z 700xF1-C1 900xF1-C2 800xF1-C3 800xF2-C1 900xF2-C2 700xF2-C3
（3）约束条件
① 从工厂运送出去的产品数量等于其产量 ② 顾客收到的产品数量等于其订货量 ③ 非负
▪ 使用的资源数量 可用的资源数量
▪ 问题的目标：最有效地利用各种资源，使 获利最大
对资源分配问题，必须收集三种数据：
（1）每种资源的可供量； （2）每一种活动所需要的各种资源的数量,
对于每一种资源与活动的组合,单位活动所 消耗的资源量必须首先估计出来； （3）每一种活动对总的绩效测度（如总利润） 的单位贡献（如单位利润）。
▪ 每一时点的资金限制就表现为累计的资金。
年份 0（现在）
1 2 3 净现值
办公楼项目 40 100 190 200 45
宾馆项目 80 160 240 310 70
购物中心项目 90 140 160 220 50
可用资金 25 45 65 80
数学模型（线性规划模型）
线性规划(3)
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。
可行域上的最优解 应用
解下列线性规划问题：
1、求 Z = 3x －y 的最大值和最小值，使式中
Z = 3x － y 的最值
y
y=x 1
作直线 y = 3x
y
o
x
有关概念
由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x， y 的约束条件。关于x，y 的一次不等式或方程组 成的不等式组称为x，y 的线性约束条件。欲达
到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式 称为目标函数。关于x，y 的一次目标函数称为 线性目标函数。求线性目标函数在线性约束条件
下的最大值或最小值问题称为线性规划问题。满 足线性约束条件的解（x，y）称为可行解。所有 可行解组成的集合称为可行域。使目标函数取得 最大值或最小值的可行解称为最优解。
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
Z min = 7. 6 此时应派A、B O 卡车各4 辆
x
x=6 y = －0.9x
y x
x
y
1
y 1
(3)如果你是公司的经理，为使公司所花的成 本费最小，每天应派出A型卡车、B型卡车各 为多少辆
2、某木器厂生产圆桌和衣柜两种木料，第一 种有 72 米 3，第二种有 56 米 3，假设生产每 种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌和
4.2线性规划ppt课件
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
线性规划-讲义-3
4)、解的几种情况： 4)、解的几种情况： 唯一解 无穷多解－最优表中非基变量检验数有为0者。 无穷多解－最优表中非基变量检验数有为0 无界解 max, σ j > 0 但Pj ≤ 0 min, σ j < 0 但Pj ≤ 0 无可行解－最优表中人工变量在基中， 无可行解－最优表中人工变量在基中，且＝0。 建模有问题 5)、 5)、退化解问题
表2 -2
-1/3 -1/3
两阶段法步骤 n 原问题 max S=Σ Cj xj n j=1 Σ aij xj =bi ( i=1,2, …,m) xj ≥ 0 m 作辅助问题 min W=Σ yi n i=1 Σ aij xj + yi =bi ( i=1,2, …,m) Xj ， yi ≥ 0 阶段：解辅助问题， 第1阶段：解辅助问题，当进行到最优表时 ①、若W=0, 则得到原问题的一个基本可行 转入第2阶段 阶段。 解，转入第 阶段。 ②、若W>0, 则判定原问题无可行解 阶段： 第2阶段：用求出的初始基可行解求最优解。 阶段 用求出的初始基可行解求最优解。
人工变量： x6 , x7 人工变量：
cj
XB b*
0
x1
0
x2
0
x3
0
x4
0
x5
-1
x6
-1
x7
x4 11 3 x6 x7 1 - W’ 0
XB b*
1 -4 -2
0
x1
-2 1 0
0
x2
1 2 1
0
x3
1 0 0
0
x4
0 -1 0
0
x5
0 1 0
-1
x6
0 0 1
-1
x7
运筹学 第二章线性规划 第三讲 单纯形法
1 -2 4 2
[1] 1 2 -1↑
1 0 0 0
1 0 0 0
1 -1 -2 1
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
5→ 6 21
5 1 11
5 6 21/2
表中λj≥0( j=1,2,…,5), 所以最优解为X=(0,5,0,1,11 )T , 最 优值 Z=2x1－2x2－x4=－2×5－1=－11。
大值，因此原问题只要有可行解，新的线性规划问
题的最优解中人工变量的取值一定为0， 这种方
法称为大M单纯形法（简称大M法）。
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
大M法中加入人工变量后新的线性规划问题为
max Z’=c1x1+c2x2+…+cnxn –Mxn+1 – … –Mxn+m
【解】首先将数学模型化为标准形式
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
max Z 3x1 2 x 2 x3
式中x4，x5为松弛变量，x5可 4 x1 3x 2 x3 x 4 4 作为一个基变量，第一、三 x x 2 x x 10 约束中分别加入人工变量x6 、 1 2 3 5 x7 ， 目 标 函 数 中 加 入 2 x1 2 x 2 x3 1 ―Mx6―Mx7一项，得到人工 x j 0, j 1,2,,5 变量单纯形法数学模型
0 0 1
Z＝2 x1 2 x2 (6 x1 x2 ) 6 x1 x2
[1] 1 2 -1↑
1 0 0 0
1 0 0 0
1 -1 -2 1
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
5→ 6 21
5 1 11
5 6 21/2
表中λj≥0( j=1,2,…,5), 所以最优解为X=(0,5,0,1,11 )T , 最 优值 Z=2x1－2x2－x4=－2×5－1=－11。
大值，因此原问题只要有可行解，新的线性规划问
题的最优解中人工变量的取值一定为0， 这种方
法称为大M单纯形法（简称大M法）。
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
大M法中加入人工变量后新的线性规划问题为
max Z’=c1x1+c2x2+…+cnxn –Mxn+1 – … –Mxn+m
【解】首先将数学模型化为标准形式
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
max Z 3x1 2 x 2 x3
式中x4，x5为松弛变量，x5可 4 x1 3x 2 x3 x 4 4 作为一个基变量，第一、三 x x 2 x x 10 约束中分别加入人工变量x6 、 1 2 3 5 x7 ， 目 标 函 数 中 加 入 2 x1 2 x 2 x3 1 ―Mx6―Mx7一项，得到人工 x j 0, j 1,2,,5 变量单纯形法数学模型
0 0 1
Z＝2 x1 2 x2 (6 x1 x2 ) 6 x1 x2
1-1-3第三讲 不等式、线性规划、计数原理与二项式定理
－
菜 单
隐 藏
高考新课标专题复习 ·数学（理）
研热点 聚 焦 突 破
析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
[例4]
(2012年高考北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选 )
两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(
A．24
C．12
B．18
D．6
[解析] 根据所选偶数为0和2分类讨论求解． 当选0时，先从1，3，5中选2个数字有C 种方法，然后从选中的2 个数字中选1个排在末位有C种方法，剩余1个数字排在首位，共有C C＝6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有C 种方法，然后 从选中的2个数字中选1个排在末位有C 种方法，其余2个数字全排列， 共有C C A ＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个) 奇数． [答案] B
菜 单 隐 藏
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
[解析] 利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围． 如图，
根据题意得C(1＋ ，2)． 作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移， 过点B(1，3)和C(1＋ ，2)时， z＝－x＋y取范围的边界值， 即－(1＋ )＋2<z<－1＋3，∴1－<z<2.
析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
1．加法计数原理与乘法计数原理针对的分别是“分类”与“分 步”问题．
2．排列数
m An ＝
n！ . （n－m）！
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
组合数 Cm＝ n
n！ . m！（n－m）！
3．组合数性质
菜 单
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
[例4]
(2012年高考北京卷)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选 )
两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(
A．24
C．12
B．18
D．6
[解析] 根据所选偶数为0和2分类讨论求解． 当选0时，先从1，3，5中选2个数字有C 种方法，然后从选中的2 个数字中选1个排在末位有C种方法，剩余1个数字排在首位，共有C C＝6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有C 种方法，然后 从选中的2个数字中选1个排在末位有C 种方法，其余2个数字全排列， 共有C C A ＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个) 奇数． [答案] B
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析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
[解析] 利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围． 如图，
根据题意得C(1＋ ，2)． 作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移， 过点B(1，3)和C(1＋ ，2)时， z＝－x＋y取范围的边界值， 即－(1＋ )＋2<z<－1＋3，∴1－<z<2.
析典题 预 测 高 考 重演练 素 能 提 升
1．加法计数原理与乘法计数原理针对的分别是“分类”与“分 步”问题．
2．排列数
m An ＝
n！ . （n－m）！
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组合数 Cm＝ n
n！ . m！（n－m）！
3．组合数性质
第三讲 线性规划(二)
i 1
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。 （无穷多最优解情况） 证明：设通过迭代已得最优解 X 0
按前述规则将非基变量 xm k 换入基变量中， 得到新基可行解 ，可知 仍为最优解。于是 X X 与 X 0连线上所有的点都是最优解。 X 命题成立。
B=(P3，P4 ，P5 ）=
1 0 0
0
0
1 0
0 1
x3, x4 , x5是基变量，x1,
x2,是非基变量。
用非基变量表示的方程： x3 = 8- x1 - 2x2 x4 = 16- 4x1 (I) x5 = 12 - 4x2 S = 0+ 2x1 +3x2 称(I) 为消去系统，
令非基变量 （ x1 , x2）T=（0，0） T 得基础可行解： x(1)=(0,0,8,16,12) T S1=0 经济含义：不生产产品甲乙，利润为零。 分析：S = 0+ 2x1 + 3x2 （分别增加单位产品甲、乙，目标函数 分别增加2、3，即利润分别增加2百元、 3百元。） 增加单位产品对目标函数的贡献， 这就是检验数的概念。
x1 = 2-x3+（1/2)x5 x4 = 8+ 4x3 -2 x5 x2 =3-(1/4) x5 S = 13-2x3+（1/4）x5
令新的非基变量（ x3，x5 ）=（0，0）T 得到新的基础可行解： x(3)=(2,3,0, 16 , 0) T S3=13 经济含义：生产甲产品2个，乙产品3个， 获得利润1300元。
增加单位产品甲（x2）比乙对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x2换成基变量，称x2为换入基变量，而 把基变量x5换成非基变量，称x5为换出 基变量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。 （无穷多最优解情况） 证明：设通过迭代已得最优解 X 0
按前述规则将非基变量 xm k 换入基变量中， 得到新基可行解 ，可知 仍为最优解。于是 X X 与 X 0连线上所有的点都是最优解。 X 命题成立。
B=(P3，P4 ，P5 ）=
1 0 0
0
0
1 0
0 1
x3, x4 , x5是基变量，x1,
x2,是非基变量。
用非基变量表示的方程： x3 = 8- x1 - 2x2 x4 = 16- 4x1 (I) x5 = 12 - 4x2 S = 0+ 2x1 +3x2 称(I) 为消去系统，
令非基变量 （ x1 , x2）T=（0，0） T 得基础可行解： x(1)=(0,0,8,16,12) T S1=0 经济含义：不生产产品甲乙，利润为零。 分析：S = 0+ 2x1 + 3x2 （分别增加单位产品甲、乙，目标函数 分别增加2、3，即利润分别增加2百元、 3百元。） 增加单位产品对目标函数的贡献， 这就是检验数的概念。
x1 = 2-x3+（1/2)x5 x4 = 8+ 4x3 -2 x5 x2 =3-(1/4) x5 S = 13-2x3+（1/4）x5
令新的非基变量（ x3，x5 ）=（0，0）T 得到新的基础可行解： x(3)=(2,3,0, 16 , 0) T S3=13 经济含义：生产甲产品2个，乙产品3个， 获得利润1300元。
增加单位产品甲（x2）比乙对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x2换成基变量，称x2为换入基变量，而 把基变量x5换成非基变量，称x5为换出 基变量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
线性规划完整ppt课件
若 x、 y 满足
y 1
y
2 x -1
x y m
若目标函数 zxy最小值-1，则m的值..Biblioteka 结束变式训练（四）
x y 1
若 x、 y 满足 x y 4
x
y
2
x y 2
则目标函数
z a x y ( a 0 ) 仅 在 ( 3 , 1 ) 处 有 最 大 值 ，
则a的取值范围 .
得M的坐标为（1，7） 33
所以，zmin
0.75x
y
31 12
2.6
答：最少可以花约2.6元.
.
问题（五）
解决线性规划实际问题的步骤：
（1）设变元 （2）写出线性约束条件和线性目标函数 （3）画出可行域 （4）求出最优解
.
巩固练习
x y 1
若点M( x , y ) 在平面区域 x y 4 上
鸭梨 每天补充 (百克) 量(毫克)
3
75
0.4
1
0.5
.
问题（二）
猜想选择哪两种水果，既保证人体 维生素的需求量，又最省钱？
.
问题（三）
如果选择苹果和桔子两种水果， 怎样将这个实际问题转化为数学问题？
.
已知苹果每百克0.75元，含维生素C50毫 克、维生素E0.2毫克, 桔子每百克1元，含维生 素C25毫克、维生素E0.4毫克,每天吃苹果和桔 子各多少百克,使获得的维生素C不少于75毫克, 维生素E不少于1毫克,并且花钱最少？
x
y
2
x y 2
向量a (1, 2) ，则 OM a 的最大值.
.
变式训练（一）
x y 1
若 x、 y
满足
第3章 线性规划.ppt
max z x1 x2 则凸多边形的边AB 上的所有点都是问 题的解。因此，解 是无穷多个。
x2
400
300 A
250 B
x2 250
x1 x2 300
0
200
300
x1
2x1 x2 400 16
第3章 线性规划
3. 无最优解(目标函数值
x2
为无穷大或无穷小)。
若例3-4中式(b),(c)的约 250
成立,则称x为凸集D的极点。即在凸集上不能表 示成相异两点凸组合的点，称为极点；在线性 规划问题的凸集上称之为顶点。
20
第3章 线性规划
3. 基本解：对于有n个变量、m个约束方程的标 准线性规划问题，取其m个变量，若这些变量在 约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组 成一组基本变量。确定了一组基本变量后，其 它n-m个变量称为非基本变量。
变量约束： xi 0, 1 i 4
6
第3章 线性规划
一、线性规划问题的标准形式（※）
1. 标准形式
目标函数： 约束条件：
n
max z cj xj j 1
n
aij xj b0i , i 1, 2,
j 1
, m, (b0i 0)
变量约束： xj 0, j 1, 2, , n
通常把上述三个式子描述的问题称为标准线
5. 基本可行解：如果基本解中的每一个变量都是非 负的，即满足变量约束 xj 0, (1 j n) 的基本解称 为基本可行解。如果在基本可行解中至少有一个基 本变量为零，则该解称为退化的基本可行解，反之， 称为非退化的基本可行解。
注：基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应 于线性规划问题可行域的顶点。
9
第3章 线性规划
x2
400
300 A
250 B
x2 250
x1 x2 300
0
200
300
x1
2x1 x2 400 16
第3章 线性规划
3. 无最优解(目标函数值
x2
为无穷大或无穷小)。
若例3-4中式(b),(c)的约 250
成立,则称x为凸集D的极点。即在凸集上不能表 示成相异两点凸组合的点，称为极点；在线性 规划问题的凸集上称之为顶点。
20
第3章 线性规划
3. 基本解：对于有n个变量、m个约束方程的标 准线性规划问题，取其m个变量，若这些变量在 约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组 成一组基本变量。确定了一组基本变量后，其 它n-m个变量称为非基本变量。
变量约束： xi 0, 1 i 4
6
第3章 线性规划
一、线性规划问题的标准形式（※）
1. 标准形式
目标函数： 约束条件：
n
max z cj xj j 1
n
aij xj b0i , i 1, 2,
j 1
, m, (b0i 0)
变量约束： xj 0, j 1, 2, , n
通常把上述三个式子描述的问题称为标准线
5. 基本可行解：如果基本解中的每一个变量都是非 负的，即满足变量约束 xj 0, (1 j n) 的基本解称 为基本可行解。如果在基本可行解中至少有一个基 本变量为零，则该解称为退化的基本可行解，反之， 称为非退化的基本可行解。
注：基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应 于线性规划问题可行域的顶点。
9
第3章 线性规划
线性规划图解法(NO3)
2x1 =16
最优值
C
2x2 =10 Maxz=37
Z=30 B Z=37
Z=15
0
4
8A
10
x1
3x1 +4 x2 =32
3
一、线性规划问题的图解法
3、LP问题图解法的步骤：
（1）画出直角坐标系； （2）依次做每条约束直线，标出可行域的方向，并找出 它们共同的可行域；
（3）任取一目标函数值作一条目标函数线（称等值线） ,根据目标函数（最大或最小）类型，平移该直线即将离开 可行域处，则与目标函数线接触的最终点即表示最优解。
例：用图解法求解如下线性规划问题
最优解为
max Z 4x1 3x2
s.t.
32xx11
3 2
x x
2 2
24 26
x1,
x
2
0
B(0,13) Q3(0,8)
3x1+2x2=26 Q2(6,4)
x1=6,x2=4 最优值为 maxz=36
2x1+3x2=24
Q1(26/3,0) A(12,0)
一、线性规划问题的图解法
4、线性规划解的特性
• 由线性不等式组成的可行域是凸多边形(凸多边形是凸集)
凸集定义：集合内部任意两点连线上的点都属于这个集合
a
b
c
d
• 可行域有有限个顶点。 • 目标函数最优值一定在可行域的边界达到，而不可能在 其区域的内部。
5
一、线性规划问题的图解法
5、线性规划解的可能性
x1 x2 5 s.t.3x1 4x2 24
x1, x2 0
4
2
O
2
4
6
8 x1
管理运筹学线性规划ppt课件
x1 +x2 =300
D
x1
x1 ≥0, x2 ≥0
ห้องสมุดไป่ตู้
O
100 200 300 400
• 五边形ABCDO内(含边界)的任意一点2x1(x+1x，2 =x402)0都是满足所有
约束条件的一个解，称之可行解 。 z=0= 50x1 +100 x2
11
经济管理学院
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
第二节
线性规划的图解法
三 、解的可能性（续） • 无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集
例如
maxZ= 3x1 +2 x2 -2x1 + x2 ≥2
2
经济管理学院
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
第一节
线性规划一般模型
一、线性规划问题的三个要素
•
▪ 决策问题待定的量值称为决策变量。 ▪ 决策变量的取值要求非负。
• 约束条件
第三节
线性规划的标准型
一 、标准型
• 线性规划问题的数学模型有各种不同的形式，如
▪ 目标函数有极大化和极小化； ▪ 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况； ▪ 决策变量一般有非负性要求，有的则没有。
线性规划课件ppt
根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
第三讲：线性规划
线性规划问题的求解在理论上有单纯形法， 在实际建模中常用以下解法： 1. 图解法 2. LINGO 软件包； 3. Excel中的规划求解； 4. MATLAB软件包.
3.2 用MATLAB优化工具箱解线性规划
1. 模型：
min z=cX
s.t. AX b
命令：x=linprog（c, A, b）
优化模型的分类
实际问题中 min(或 max) z f ( x), x ( x1 ,, x n ) T 的优化模型 s.t. gi ( x) 0, i 1, 2,, m x是决策变量 线性规划(LP) 二次规划(QP) 非线性规划(NLP) f(x)是目标函数 数学规划 0-1整数规划 一般整数规划 纯整数规划(PIP) 混合整数规划(MIP) gi(x)0是约束条件
结果为： x = 9.0000 0.0000 fval =360 即只需聘用9个一级检验员.
注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数.故它是
一个整数线性规划问题.这里把它当成一个线性规划来解， 求得其最优解刚好是整数：x1=9，x2=0，故它就是该整数 规划的最优解.若用线性规划解法求得的最优解不是整数， 将其取整后不一定是相应整数规划的最优解，这样的整数 规划应用专门的方法求解.
[2] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） 注意：[1] 若没有等式约束: Aeq X beq , 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X0表示初始点 4. 命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.
min z 13x1 9x2 10x3 11x4 12x5 8x6
第三讲 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
y
4
y3
2
o
2
4
6
8
x
x 2y 8 0
x4
设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组：
x 2 y 8, 4 x 16, 4 y 12, x 0, y 0.
y
4
y3
2
o
2
4
6
8
x
x 2y 8 0
B (-1,-1)
1
（2，-1） A
例 2、
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件 甲产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个B配 件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配 件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
把有关数据列表表示如下: 甲产品 (1件) 乙产品 (1件) 0 4 2
y
o
x
x+y=0
y
(x。,y。)
x+y>0
o
x
(x , y)
0
x+y<0
x+y=0
点 的集合{（x，y）|x-y+1=0}表示 什么图形？
想 一 想 ？在平面直角坐+1=0
-1 (x，y）
o
x
（x。，y。） x0>x，y=y0 x0-y0+1> x-y+1
x4
若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品 获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获得 的利润为 z ，则 z 2 x 3 y.即 y 2 x z 3 3
4
y3
2
o
2
4
6
8
x
x 2y 8 0
x4
设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组：
x 2 y 8, 4 x 16, 4 y 12, x 0, y 0.
y
4
y3
2
o
2
4
6
8
x
x 2y 8 0
B (-1,-1)
1
（2，-1） A
例 2、
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件 甲产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个B配 件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配 件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
把有关数据列表表示如下: 甲产品 (1件) 乙产品 (1件) 0 4 2
y
o
x
x+y=0
y
(x。,y。)
x+y>0
o
x
(x , y)
0
x+y<0
x+y=0
点 的集合{（x，y）|x-y+1=0}表示 什么图形？
想 一 想 ？在平面直角坐+1=0
-1 (x，y）
o
x
（x。，y。） x0>x，y=y0 x0-y0+1> x-y+1
x4
若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品 获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获得 的利润为 z ，则 z 2 x 3 y.即 y 2 x z 3 3
第三讲 线性规划与非线性规划
1 2
1
2 x 2
6 x 2
s.t.
1 1 0 0
1 x1 2 x 2 x1 x 2
2 2
2、 输入命令：
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
1．先建立M-文件fun.m定义目标函数: function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2);
2．再建立M文件mycon2.m定义非线性约束： function [g,ceq]=mycon2(x) g=[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)^2-x(2)^2-7];
3. 主程序fxx.m为: x0=[3;2.5]; VLB=[0 0];VUB=[5 10]; [x,fval,exitflag,output] =fmincon('fun',x0,[],[],[],[],VLB,VUB,'mycon2')
例 2
min z 6 x1 3 x 2 4 x 3 s .t . x 1 x 2 x 3 120 x1 30 0 x 2 50 x 3 20
min z ( 6
3
x1 4) x 2 x3
s .t .
(0
1
x1 0) x2 50 x 3 x1 1) x 2 120 x 3
1 2
2 x2
s.t.
1
2 x 2
6 x 2
s.t.
1 1 0 0
1 x1 2 x 2 x1 x 2
2 2
2、 输入命令：
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
1．先建立M-文件fun.m定义目标函数: function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2);
2．再建立M文件mycon2.m定义非线性约束： function [g,ceq]=mycon2(x) g=[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)^2-x(2)^2-7];
3. 主程序fxx.m为: x0=[3;2.5]; VLB=[0 0];VUB=[5 10]; [x,fval,exitflag,output] =fmincon('fun',x0,[],[],[],[],VLB,VUB,'mycon2')
例 2
min z 6 x1 3 x 2 4 x 3 s .t . x 1 x 2 x 3 120 x1 30 0 x 2 50 x 3 20
min z ( 6
3
x1 4) x 2 x3
s .t .
(0
1
x1 0) x2 50 x 3 x1 1) x 2 120 x 3
1 2
2 x2
s.t.
线性规划教学课件、
Z=7x1+12x2 4 x 2 360
（一）可行解、最优解 90 x2
s.t.
4 3
x x
1 1
5 x2 10 x 2
200 300
x 1 , x 2 0
1.可行解：满足所有约束 条件（包括非负条件） 的解。
9x1+4x2 360
最优解
可行解的集合称为可行
集，或可行域。
40
2.最优解：使目标函数达 30 到极值的解（理应属于 可行解集）。
2、可行域为非封闭的无界区域 (a)有唯一的最优解； (b)有一个以上的最优解； (c)目标函数无界（即虽有可行解，但在可行
域中，目标函数可以无限增大或无限减小），因 而没有最优解。 3、可行域为空集，因而没有可行解。
第三节 线性规划问题解的性质
一、线性规划问题解的概念原LP： 9Mxa1 x
线性规划教学课件、
线性规划的基本特点
LP是运筹学中应用最广泛的方法之一； LP是运筹学中最基本的方法之一，网络分析、整
数规划、目标规划和多目标规划等都是以LP为基 础的； 解决稀缺资源最优分配的有效方法，是付出的费 用最小或获得的收益最大 线性规划的研究对象
有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安 排使用，效益最高；
9 4 1
取
B1=
4
5
0
3 10 0
|B1|= 9 5 0+4 0 3+4 10 1-3 5 1- 4 4 0- 4 10 1≠0
2.基向量、基变量
基向量：对应于上述基B，组成B的向量称为基向量，记作
pj（j=1，2，…，m）
9
如
p1=
4 3
4
运筹学03-线性规划
500 / 10 = 50 元
说明在一定范围内每增加（减少）1个台时的设备能力就 可增加（减少）50元利润，称为该约束条件的对偶价格。
21
假设原料 A 增加10 千克时，即 b2变化为410，这时可行域扩大 ，但最优解仍为 x2 = 250 和 x1 + x2 = 300 的交点 x1 = 50 ，x2 = 250 。此变化对总利润无影响，该约束条件的对偶价格为 0。 解释：原最优解没有把原料 A 用尽，有50千克的剩余，因此增 加10千克值增加了库存，而不会增加利润。 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1个单位时 （1）若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函数值得 到改善（变好）； （2）若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函数值受 到影响（变坏）； （3）若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数值不变。
C c1 c2 cn
价值向量
a1n a2n a mn
b1 b2 b b m
x1 x2 X x n
a11 a 21 A a m1
1
s.t
约束条件
(2) 线性规划模型标准形式
价值系数
Max
技术系数
Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,, xn 0 b1,b2 , ,bm 0
例1.
目标函数： Max z = 50 x1 + 100 x2
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BST金牌高二（必修五）数学专题系列之线性规划（三）
一． 1. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=0
2. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<0
3. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），则当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,
即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(A x2+By2+C)>0
2.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)<0
二．二元一次不等式表示平面区域:
①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区
域. 不．包括边界;
②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面
区域且包括边界;
注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.
三．判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:
方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域
原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
方法二：利用规律：
1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），
当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;
2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）
当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。
四．线性规划的有关概念：
①线性约束条件： ②线性目标函数：
③线性规划问题： ④可行解、可行域和最优解：
题型一：选择题
例1.【全国卷2】设x ,y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+0303320332y y x y x ，则z =2x +y 的最小值是（ ）
A. -15
B. -9
C. 1
D. 9
拓展练习
1.【天津卷】设变量x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≥-+≥+，
3,0,022,02y x y x y x 则目标函数z =x +y 的最大值为（ ） 32 B. 1 C. 23
D. 3 2.【浙江卷】若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≥-+≥02030y x y x x ，则y x z 2+=的取值范围是（ ）
A. ]6,0[
B. ]4,0[
C. ),6[+∞
D. ),4[+∞
3.【北京卷】若x 、y 满足 32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，则x +2y 的最大值为（ ）
A.1
B. 3
C. 5
D. 9
题型二：填空题
例2.【全国卷1】设,x y满足约束条件
21
21
x y
x y
x y
+≤
⎧
⎪
+≥-
⎨
⎪-≤
⎩
，则32
z x y
=-
的最小值为．
拓展练习
1.【全国卷3】若x，y满足约束条件
y0
20
x
x y
y
-≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
，则z=3x-4y的最小值为．
2.【天津卷】若a，b∈R，ab＞0，则
ab
b
a1
44
4+
+
的最小值为．
3.【江苏10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．
1.【山东卷】已知x,y满足约束条件3
30,
+50,
30,
⎧-+≤
⎪
+≤
⎨
⎪+≥
⎩
x y
x y
x
，则z=x+2y的最大值是（）
A．0 B．2 C．5 D．6
2.【山东理7】若0
a b
>>，且1
ab=，则下列不等式成立的是（）
A．()
2
1
log
2a
b
a a b
b
+<<+B．()
2
1
log
2a
b
a b a
b
<+<+
C．()
2
1
log
2a
b
a a b
b
+<+<D．()
2
1
log
2a
b
a b a
b
+<+<
3.【北京2】设不等式组
⎩
⎨
⎧
≤
≤
≤
≤
2
,2
y
x
，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大
于2的概率是（ ）
A ．
4π B ．22π- C ．6
π D ．44π-
⎪⎧≤-+y x 03A ．50，0 B ．30，20 C ．20，30 D ．0，50
8.【四川9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。
已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。
每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。
公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。
通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙
两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A ．1800元
B ．2400元
C ．2800元
D ．3100元
9. 设实数x y ，满足20240
x y x y --⎧⎪+-⎨≤，≥，，则y z =的最大值是 ．
课前回顾
1.【山东高考】若变量x，y满足
2,
239,
0,
x y
x y
x
+≤
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪≥
⎩
则x2+y2的最大值是．
2.
3. 4. 5. 6.。