高中含参不等式地恒成立问题整理版
含参数不等式的“恒成立”问题解题方法荟萃
含参数不等式的“恒成立”问题解题方法荟萃含参数不等式的“恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥⇔min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论. 【方法荟萃】 一、分离变量法对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
【例1】不等式-2cos 2x +4sinx-k 2+k<0对一切实数x 恒成立，求参数k 的取值范围。
分析与解：所给不等式可化为：（2 sinx+1）2< k 2-k+3<==>（2 sinx+1）2max < k 2-k+3 而（2 sinx+1）2max =9∴k 2-k+3=9，解之得：k > 3或k < -2故k 的取值范围是（-∞，-2）∪（3，+∞）。
【例2】设()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。
分析与解：因为分母n 是正数，要使得()x f 当(]1,∞-∈x 有意义，分子()()an n xxx+-+++121 就必须也是正数。
并容易看出，可以将a 分离出来。
当(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义，故有()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔>+-+++xx x xxxn n n a a n n 11210121令()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=xx x n n n x 1121 ϑ，只要对()x ϑ在(]1,∞-上的最大值，此不等式成立即可。
含参不等式恒成立问题
x ∈ (1, +∞ ) 恒成立
f ( x ) > 0恒成立; 恒成立;
2
ⅱ)当 = ( p + 2 ) 4 (1 p ) ≥ 0 时由图可得以下充要条件: 时由图可得以下充要条件: y
≥ 0 f (1) ≥ 0 得 p+2 ≤ 1, 2
p≥0
o 1 x
综合可得 p 的取值范围为( 8, +∞ ) . 结论4:二次函数型在指定区间上的恒成立问题, 结论 :二次函数型在指定区间上的恒成立问题,可以利用根的 分布求解. 分布求解.
思考: 思考:当 x ∈ [ m, n] 时,ax + b > 0 恒成立的条件
从形的角度: 考虑 f ( x ) = ax + b 的图象 的角度: y y y
o m n
x
o m n
x
o m n
x
结论2: 结论2
f ( m) > 0 当 x ∈ [ m, n ]时,f ( x ) = ax + b > 0 恒成立的条件有 f ( n) > 0 f ( m) < 0 同理,当 x ∈ [ m, n] 时恒有f ( x ) = ax + b < 0 ,则有 同理, f ( n) < 0
f ( m) > 0 结论2 当 结论2: x ∈ [ m, n]时,f ( x ) = ax + b > 0 恒成立的条件有 f (n) > 0 2 恒成立, x 的范围. 例2:若 p ≤ 2 x + xp + 1 > p 2 x 恒成立, 求 的范围.
解:原不等式 x 2 + xp + 1 p + 2 x > 0 不等式即
含参不等式恒成立问题
一、 判别式法:1.R x c bx ax ∈>++对02恒成立⎩⎨⎧<∆>⎩⎨⎧>==⇔000a c b a 或;R x c bx ax ∈<++对02恒成立⇔*R x c bx ax ∈≥++对02恒成立⇔;R x c bx ax ∈≤++对02恒成立⇔2. 02>++c bx ax 有解⇔；*02<++c bx ax 有解⇔3. 02>++c bx ax 无解⇔；*02<++c bx ax 无解⇔例1：关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围．解:(1)当0=a 时，原不等式化为01<--x ,不符合题意，∴0≠a .(2)当0≠a 时,则⎩⎨⎧>--<⇒⎩⎨⎧<---=∆<012300)1(4)1(022a a a a a a a 310)1)(13(0-<⇒⎩⎨⎧>-+<⇒a a a a ∴a 的取值范围为)31,(--∞练习：1.若函数)8(6)(2++-=k kx kx x f 的定义域为R ，求实数k 的取值范围.2. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围.3. 若不等式210ax ax --<的解集为R ,求实数a 的取值范围.4.已知关于x 的不等式01)3()32(22<-----x m x m m 的解集为R ,求实数m 的取值范围.〖练习答案〗：1.解：由题意得：0)8(62≥++-k kx kx 对R x ∈恒成立， (1)当0=k 时，8)(=x f 满足条件.(2) 当0≠k 时,则102)8(43602≤<⇒⎩⎨⎧≤+-=∆>k k k k k . 综合(1)(2)得：k 的取值范围是]1,0[ 2.解：由题意得：不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a ，解得311>-<a a 或. 所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞3.解: (1)当0=a 时,原不等式可化为10-<,显然成立(2)当0a ≠,则240a a a <⎧⎨∆=+<⎩,得04<<-a 综上(1)(2)得：a 的取值范围]0,4(-. 4.解:(1)若0322=--m m ,则13-==m m 或, 当3=m 时，原不等式可化为10-<,显然成立; 当1-=m 时，原不等式可化为014<-x ,显然不成立.3=∴m（2）若0322≠--m m ,则⎪⎩⎪⎨⎧<+=∆<03-2m -m 43)-(m 03-2m -m 222, 解得：得351<<-m 综上(1)(2)得：m 的取值范围]3,51(-二、最值法：将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：(1)a x f >)(恒成立a x f >⇔min )((或)(x f 的下界a ≥);a x f <)(恒成立⇔(或)(x f 的上界a ) (2)a x f ≥)(恒成立⇔(或)(x f 的下界a );a x f ≤)(恒成立⇔(或)(x f 的上界a )注:(1)上界的定义：M x f <)(恒成立， 且当a x →（∞±也可以是a ）时，M x f →)(，则)(x f M 为的上界.(2)下界的定义：m x f >)(恒成立，且当a x →（∞±也可以是a ）时，m x f →)(，则)(x f m 为的下界.（m x f →)(读作m x f 趋向于)(）(1) a x f >)(有解a x f >⇔max )((或)(x f 的上界a >);a x f <)(有解⇔(或)(x f 的下界a ) (2) a x f ≥)(有解⇔(或)(x f 的上界a );a x f ≤)(有解⇔(或)(x f 的下界a例2：若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围.解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，)(x f 的最小值非负。
含参不等式恒成立问题
含参不等式恒成立问题 湖北省红安县大赵家高中 彭春齐“含参不等式恒成立问题”是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题。
含参不等式恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成了历年高考的一个热点。
而最常见的就是不等式恒成立求参数的取值范围，下面本文就介绍处理此类问题常见的方法，希望对面临高考的学生有所帮助。
1..函数性质法()0f x >恒成立⇔()min 0f x >（注：若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<（注：若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）例1.已知()()232728,2440,f x x x a g x x x x =--=+-当[]3,3x ∈-时，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围。
解析：设()()()322312F x f x g x x x x a =-=-++-，则由题可知()0F x ≤对任意[]3,3x ∈-恒成立，即当[]3,3x ∈-时()max 0F x ≤，令()266120,F x x x '=-++=得1x =-或2x =而()()()()17,220,345,39,F a F a F a F a -=-=--=-=-()max 450F x a ∴=-≤，即45a ≥例2.若对任意的实数x ，2sin 2cos 220x k x k +--<恒成立，求k 的取值范围。
解法1：原不等式化为2cos 2cos 210x k x k -++>令cos ,t x =则1t ≤，即()()22222121f t t kt k t k k k =-++=--++在[]1,1t ∈-上恒大于0.（1）若1,k <-要使()0,f t >即()()min 10f t f =->，1,2k k >-∴不存在； （2）若11,k -≤≤要使()0,f t >即()()2min 210f t f k k k ==-++>；11k ∴<<1 1.k ∴≤（3）若1,k >要使()0,f t >即()()min 10f t f =>，1k ∴>.由（1），（2），（3）可知，1k >当然由三角函数的有界性可知，此题实质是二次函数在指定区间上的恒成立问题，因此可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
高中带参数的不等式恒成立题型分析
带参数的不等式恒成立题型分析带参数的不等式中求参数的取值范围的问题基本上有四种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式恒成立，能成立，恰成立或是某指定集合的子集.1. 不等式的恒成立,能成立,恰成立或是某指定集合的子集等问题的操作程序（1）恒成立问题若不等式()Axf在区间D上的最小值大于A,f>在区间D上恒成立,则等价于函数()x若不等式()Bf在区间D上的最大值小于B.f<在区间D上恒成立,则等价于函数()xx（2）能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式()Af>在区间D上能成立, ,则xxf>成立,即()A等价于函数()xf在区间D上的最大值大于A,若在区间D上存在实数x使不等式()Bxf<在区间D上能成立, ,则f<成立,即()Bx等价于函数()xf在区间D上的最小值小于B.（3）恰成立问题若不等式()Af>的解集为D,xxf>在区间D上恰成立, 则等价于不等式()A若不等式()Bxf<的解集为D,f<在区间D上恰成立, 则等价于不等式()Bx（4）某指定集合的子集问题若不等式()Af>的解集包含于区间D=[t1,t2], 则等价于不等式xf(t1)<=A,f(t2)<=A,若不等式()Bxf<在的解集包含于区间D=[t1,t2], 则等价于不等式f(t1)>=B,f(t2)>=B,如下讨论恒成立问题，其基本类型：类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
含参数的不等式的恒成立
例 12．已知 f x x2 2x a 当 x 1, , f x 的值域是0, ，试求实数 a 的值．
x
思考与运用
1．设 a 0 ， 3x2 a 2x b 0 在 a,b 上恒成立，则 b a 的最大值为
2.设集合 A= x x2 2x 3 0 ，集合 B= x x2 2ax 1 0, a 0 .若 A B 中恰含有一个整数，则实
min
注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看，含参不等式 f x k
f
x k 在区间 D 上恒成立 D x
f
x k
f
x max
k
D x
f
x k
f
x min
k
，而含
参不等式 f x k f x k 在区间 D 上能成立 至少存在一个实数 x 使不等式 f x k
0 时，
f
(x)
0在x [, ]
上恒成立
f f
0, 0.
f
(x)
0在x
[,
]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
,
f ( ) 0 0
f ( ) 0.
例 2．已知不等式 mx2 4mx 4 0 对任意实数 x 恒成立．则 m 取值范围是
取值范围的基本步骤：
（1）将参数与变量分离，即化为 g f x （或 g f x ）恒成立的形式；
(完整)高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结,推荐文档
恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。
一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。
高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结
高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。
一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a≥ ;若a≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.解:根据题意得,x+−2>1在x∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x在x∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a−)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令 =t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为< ,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可.∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且c a mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
“含参数不等式的恒成立”问题及其解法
“含参数不等式的恒成立”问题及其解法“含参数不等式的恒成立”问题，是近几年高中数学以及高考的常见问题，它一般以函数、数列、三角函数、解析几何为载体，具有一定的综合性。
解决这类问题的主要方法是最值法：若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥⇔min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.例一 已知函数()()1112>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x f .①求()x f 的反函数()x f 1-;②若不等式()()()x a a x f x ->--11对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 恒成立,求实数a 的取值范围.分析：本题的第二问将不等式()()()x a a x f x ->--11转化成为关于t 的一次函数()()211a t a t g -++=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 恒成立的问题. 那么，怎样完成这个转化呢？转化之后又应当如何处理呢？ 【解析】 ①略解()()10111<<-+=-x xx x f②由题设有()()x a a xx x->-+-111,∴x a a x ->+21,即()0112>-++a x a 对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 恒成立. 显然,a ≠-1令x t =,由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t则()()0112>-++=a t a t g 对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 恒成立.由于()()211a t a t g -++=是关于t 的一次函数.（在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 的条件下()()211a t a t g -++=表示一条线段，只要线段的两个端点在x 轴上方就可以保证()()0112>-++=a t a t g 恒成立）∴()()451011210114102104122<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-++>-++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a g g例二 定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。
含参不等式恒成立问题—任意性与存在性.
ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是： 或 ______________________ C<0 Δ=b2-4ac<0 。
2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
a=b=0
a<0
3、通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒
成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。 ａ≥[f (x)] max ３、ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________; ａ≤[f (x)] min 。 ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_____________
x0 D ：
例： 已知函数 f ( x) 8x2 16x k ， g( x) 2x3 5x2 4x ， 其中 k 为实数 .
3] ， 使 f ( x) g ( x) 恒成立， （3） 若对 x [3， 求k的取值范围；
3] ， 使 f ( x1 ) g ( x2 ) 恒成立， 求k的取值范围； （5） 若 x1，x2 [3，
一、基础知识点： １、f(x)=ax+b,x [α,β]，则：
f()>0 f()>0 f()<0 f()<0
f(x)>0恒成立＜
＞
f(x)<0恒成立＜
＞
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 y
α
o
β
x
２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是： 或 C>0 Δ=b2-4ac<0 。 ______________________ a=b=0 a >0
x D ：
f ( x) g ( x) [ f ( x) g ( x)]min 0 f ( x) g ( x) [ f ( x) g ( x)]max 0 f ( x1 ) g ( x2 ) f min ( x) gmax ( x)
高中数学高考专题之 含参不等式的存在性与恒成立问题
【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.【方法点评】方法一 判别式法使用情景：含参数的二次不等式解题模板：第一步 首先将所求问题转化为二次不等式；第二步 运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；第三步 得出结论.例1 设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-.【点评】一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；2）0)(<x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a .例2 若()f x 为二次函数，-1和3是方程()04=--x x f 的两根，()10=f .（1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）(),5m ∈-∞.（2）∵在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，∴231m x x <-+在区间[]1,1-上有解，学&科网 故只需m 小于函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值，由二次函数可知当1x =-时，函数()g x 取最大值5,∴实数m 的取值范围为()5-∞，考点：1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题.【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考查一元二次不等式的解法，对于一元二次不等式在给定区间上有解问题，可以采用分离参数法，转化为()max m g x <来求参数m 的取值范围，另外，对于不等式恒成立、能成立问题，都要寻求等价的转化关系来解题. 学&科网【变式演练1】已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
含参不等式恒成立问题的解法
bx2≤1
bx2-1≤ ax ≤1+bx2
bx
-
1 x
≤
a
≤
1 x
+bx
∵ x ∈(0,1]， b>1
∴
bx+
1 x
≥2
b
(x= 1 b
时取等号 )
又
bx
-
1 x
在(0,1]上递增
∴
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得 )
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:
-1≤ax-
b-1≤a≤2 b
取值范围是 —-—2—— 2 —<—k—<—2—2— 。
②解：原不等式可化为： x2+2>kx
设 y1= x2+2 ( x [-3,3])
y2= kx
y
11
y=x2+2
y=2 2 x
y=kx
在同一坐标系下作它们的 图
象如右图: 由图易得:
-2
2
<k<22
2
-３ - 2 0 2 ３
x
y= - 2 2 x
y2= logax
在同一坐标系下作它们
y=x2 1
的图象如右图:
4
x
由图易得:
0
1 2
1 y=log1 x
16
1 16
≤a ＜1
例2、①若不等式x2 <logax对x（0,12 ）恒成立，则实数a的取
值范围是 ————————————。
②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k的
问题获解。
含参数不等式恒成立与存在性问题含答案
含参数不等式恒成立与存在性问题由任意性和存在性条件求参数的取值范围问题，一直是高考数学考试的重点和难点。
通过对近几年高考数学试题的研究，我们发现这类试题往往以压轴题的形式出现，所涉及的知识点内容覆盖面广，其中命题的核心在函数、方程、不等式等内容的交汇处。
下面就对这类问题进行详细的归类、归法，构建知识体系，希望对同学们有所帮助。
一、在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围问题在不等式恒成立条件下求参数的取值范围，一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数的形式. 类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=，则有：（1）如果()0()0()0f m f x f n >⎧>⇔⎨>⎩恒成立；（2）如果()0()0()0f m f x f n <⎧<⇔⎨<⎩恒成立.例1、若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围.类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，R x ∈ （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a .例2、已知关于x 的不等式2210mx mx ++>对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x（1）当0>a 时，如果],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或； 当0>a 时，如果],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f .（2）当0<a 时，如果],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ；当0<a 时，如果],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或.例3、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。
“含参数不等式的恒成立”问题及其解法
“含参数不等式的恒成立”问题及其解法西峡一高分校 刘波在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现含参数不等式恒成立问题， 题目一般综合性强，是高考热点题型之一。
下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法： 1 转换主元法例1：若对于任意a (]1,1-∈，函数f(x)=x 2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于0，求x 的取值范围。
解：设 ()()4422+-+-=x x a x a g ，把它看成关于a 的直线，由题意知，直线恒在横轴上方。
所以 ()01≥-g()01>g 解得： 1<x 或2=x 或3≥x 2 化归二次函数法例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<< 解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1对任意x 成立，即x 2-x-a 2+a+1>0对x ∈R 恒成立。
记f(x)=x 2-x-a 2+a+1，则应满足△=（-1）2-4（-a 2+a+1）＜0 解得 2321<<-a ,故选择C 。
3 分离参数法。
例3：对于任意R x ∈，都有()023132>+⋅+-x x k 恒成立，求k 的取值范围。
解： 分离参数,由2933++-<⋅x x x k 得1323-+<x x k . 由于R x ∈,所以03>x ,故1221323-≥-+=xx u ,即u 的最小值为122-. 要使对于R x ∈不等式()023132>+⋅+-x x k 恒成立,只要122-<k4.数型结合法 例4：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是1k 0≤≤ 解：画出y 1=1x +,y 2=kx 的图像，由图可看出 0≤k ≤1数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识。
高中含参不等式的恒成立问题整理版
三在x [句 ]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
，
f 心理 三 三
f 心 理 三
f
心x理
三在x
[ 句
]
上恒成立
f f
心 理 心理
三 三
（2）当
a
三 时，
f
心x理
三在x
[ 句
]
上恒成立
f f
心 理 心理
三 三
f
心x理
三在x
[句 ]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象
位置关系通过特指求解 a的取值范围。
解：设 T:f (x) =(x 1)2 ,T:g(x) log x ,则 T的图象为右图所示的抛物线，要使对一切 x (1,2f)(x,) <g(x)
1
2
a
1
恒成立即 T的图象一定要在 T的图象所的下方，显然 a>1并,且必须也只需 g(2) f (2)
解：要使 (a 2)x 2 2(a 2)x 4 0 对于 x Ｒ恒成立，则只须满足：
a 2 0 （1） 4(a 2)2 16(a 2) 0 或
a 2 0 （2） 2(a 2) 0
4 0
a 2 解（1）得 2 a 2
，解（2） a ＝２
∴参数 a 的取值范围是－２＜ a ２．
的最值问题：
若对于 取值范围内的任一个数都有
恒成立，则
；
若对于 取值范围内的任一个数都有
恒成立，则
.
例
1．已知函数
f
含参不等式恒成立问题
含参不等式中恒成立问题在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
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高中数学不等式的恒成立问题一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
基本结论总结例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，数m 的取值围。
例2：已知不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足：（1）⎩⎨⎧<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=-=-040)2(202a a 解（1）得⎩⎨⎧<<-<222a a ，解（2）a ＝２∴参数a 的取值围是－２＜a ≤２．练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，数a 的取值围。
2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，数m 的取值围。
3.若不等式的解集是R ，求m 的围。
4.x 取一切实数时，使3472+++kx kx kx 恒有意义，数k 的取值围．例3．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，数m 的取值围。
关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。
若二次不等式中x 的取值围有限制，则可利用根的分布解决问题。
y解：m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值围为)1,3[-。
例4 。
已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值围。
解法1：数形结合结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立⇔25a 0a 25)2(f 0a 2)1(f >⎩⎨⎧<-=<-=得。
所以a 的取值围是),25(+∞。
解法2：转化为最值研究4a 1)2a x ()x (f 22-+-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25≤<所以。
2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 232a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。
综上：a 的取值围是),25(+∞。
注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的围均合题意，故对每一类中所求得的a 的围求并集。
2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数<⇔； )m (m )x (f I x ,m )x (f min 为常数恒成立>⇔∈> 解法3：分离参数]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+>⇐∈<+-。
设x1x )x (g +=，注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。
2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。
仿解法1：⇔∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0)2(f 0)1(f ≥⎩⎨⎧≤≤得即),25[:a +∞的范围是 读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处25a =也合题。
例5. 已知：1ax x )x (f 2+-=求使]1,1[x 0)x (f -∈>对任意恒成立的a 的取值围。
解法1：数形结合结合)x (f 的草图可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--<≥-=∆<-=∆0)1(f 12a 04a 04a 22或或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>≥-=∆0)1(f 12a 04a 2得：)2,2(:a 2a 2-<<-的取值范围是即。
解法2：转化为最值研究4a 1)2a x ()x (f 22-+-= 1. 2a 204a 1)x (f ,2a 212a 12min <<->-=≤≤-≤≤-得时即，所以2a 2<<-。
2. 若2a ,2a 0a 2)1(f )x (f ,2a 12amin -<->>+=-=-<-<与得时即矛盾。
3. 若2a ,2a 0a 2)1(f )x (f ,2a 12amin ><>-==>>与得则时即矛盾。
综上：a 的取值围是)2,2(-。
解法3：分离参数1. 0x =时，不等式显然成立，即此时a 可为任意实数；2. )0,1[x -∈时，x 1x a 01ax x 2+>⇔>+-。
因为)0,1[x 1x )x (g -+=在上单调递减，所以2)1(g )x (g a max -=-=>；3. ]1,0(x ∈时，x 1x a 01ax x 2+<⇔>+-。
因为x1x )x (g +=在（0，1）上单调递减，所以 2)1(g )x (g a min ==<。
综上：a 的围是：)2,2(-。
注：本题中由于x 的取值可正可负，不便对参数a 直接分离，故采取了先对x 分类，再分离参数a ，最后对各类中求得a 的围求交集，这与例1方法三中对各类中求得的a 的围求并集是不同的，应引起注意！例6. 已知：1ax x )x (f 2+-=，求使0)x (f >对任意]3,3[a -∈恒成立的x 的取值围。
解：01ax x 0)x (f 2>+->即习惯上视x 为主元而a 为辅元，但本题中是a 在]3,3[-上任意变化时不等式恒成立，故可将a 视为主元。
变更主元法：设1x a x )a (g 2++⋅-=，则)a (g 的图像为一直线，则]3,3[a ,0)a (g -∈>时恒成立⇔⎪⎩⎪⎨⎧>+-=>++=-01x 3x )3(g 01x 3x )3(g 22即x 的围是：),253()253,(+∞+⋃---∞ 总之，处理不等式恒成立问题首先应分清谁是主元（哪一个变量在给定区间上任意变化，则该变量即为主元相当于函数自变量），然后可数形结合或转化为最值研究。
若易于将参变量分离的可先分离参变量再求最值，若需分类讨论则应注意分类标准和最后的小结（分清是求交集，还是求并集）。
二、 利用函数的最值（或值域） （1）对任意x 都成立（2）对任意x 都成立。
简单计作：大的大于最大的，小的小于最小的。
由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例1．已知函数),1[,2)(2+∞∈++=x x ax x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，数a 的取值围。
解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=xax x x f 恒成立，考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a 例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值围.解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立⇔2)(],2,2[m in≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-237)2()(22m in a f x f a或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=-=≤-≤-243)2()(2222m in a a a f x f a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ，即a 的取值围为]222,5[+--. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )(.本题也可以用零点分布策略求解.设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2(1)(2)f ax x f a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，数a 的取值围。
分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为212ax x a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。
解：()f x 是增函数2(1)(2)f ax x f a ∴--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立212ax x a ⇔--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立210x ax a ⇔++->对于任意[0,1]x ∈恒成立，令2()1g x x ax a =++-，[0,1]x ∈，所以原问题min ()0g x ⇔>，又min(0),0()(),2022,2g a a g x g a a >⎧⎪⎪=--≤≤⎨⎪ <-⎪⎩即2min 1,0()1,2042,2a a ag x a a a - >⎧⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪ <-⎪⎩ 易求得1a <。
三、变更主元法在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。
一般来说，已知存在围的量视为变量，而待求围的量视为参数. 用一次函数的性质 对于一次函数有：例题1：已知不等式对任意的都成立，求的取值围.解：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，原不等式可化为 令是关于m 的一次函数。
由题意知解得∴x 的取值围是关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。
评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了例2．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值围。