山东省烟台市2020届高三4月模拟考试(一模)数学【带答案】

绝密★启用前2020年高考诊断性测试数 学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟．2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答 题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合{}ln(1)M x y x ==+，{}exN y y ==，则M N =IA .(1,0)-B .(1,+)-∞C .(0,+)∞D .R 2.已知复数z 满足(1i)2i z +=（i 为虚数单位），则z =A .1i +B .1i -C .12i +D .12i - 3.设x ∈R ，则“|2|1x -<”是“2230x x +->”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 4.数列{}n F ：121F F ==，()122n n n F F F n --=+>，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项和为A .33B .34C .49D .505.设ABCD 为平行四边形，||4AB =u u u r ，||6AD =u u u r ，3BAD π∠=．若点,M N 满足BM MC =uuu r uuu r ，2AN ND =uuu r uuu r，则NM AM =uuur uuu r gA .23B .17C .15D .96.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小 木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下 后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落 过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为 A .332B .1564 C .532D .5167.设P 为直线3440x y -+=上的动点，,PA PB 为圆22:(2)1C x y -+=的两条切线，,A B 为切点，则四边形APBC 面积的最小值为 A.3 B.23 C.5 D.258.已知函数e e ()e ex xx xf x ---=+，实数,m n 满足不等式(2)(2)0f m n f n -+->，则下列不等关系成立的是A.1m n +>B.1m n +<C.1m n ->-D.1m n -<-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.右侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是 A .16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大B .16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数C .16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000D .19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和10.已知P 是双曲线22:13x y C m-=上任一点，,A B 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，设直线,PA PB 的斜率分别为1212,(0k k k k ≠），若12||||k k t +≥恒成立，且实数t 的最大值为233，则下列说法正确的是A .双曲线的方程为2213x y -= B .双曲线的离心率为2C .函数log (1)(0,1)a y x a a =->≠的图象恒过C 的一个焦点D .直线230x y -=与C 有两个交点 11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,P M 分别为棱1,CD CC 的中点，Q 为面对角线1A B 上任一点，则下列说法正确的是A .平面APM 内存在直线与11A D 平行B .平面APM 截正方体1111ABCD A BCD -所得截面面积为98C .直线AP 和DQ 所成角可能为60oD .直线AP 和DQ 所成角可能为30o 12.关于函数()e sin x f x a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是A .当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=B .当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x 且01()0f x -<<C .对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点D .存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知tan 2α=，则cos(2)2πα+=14.36(1)(2)x x x++的展开式中3x 项的系数是（用数字作答） 15.已知点,,A B C 在半径为2的球面上，满足1AB AC ==，3BC =，若S 是球面上任意一点，则三棱锥S ABC -体积的最大值为 16.已知F 为抛物线22(0)xpy p =>的焦点，点(1,)A p ，M 为抛物线上任意一点，||||MA MF +的最小值为3，则抛物线方程为 ，若线段AF 的垂直平分线交抛物线于,P Q 两点，则四边形APFQ 的面积为 .（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2cos 3(cos +cos )a A b C c B =. （1）求角A ； （2）若23b =BC 边上的高为3，求c .18.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =， ，28b =，1334b b -=，是否存在正整数k ，使得数列1{}nS 的前k 项和1516k T >，若存在，求出k 的最小值；若不存在，说明理由.从①420S =，②332S a =，③3423a a b -=这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并ABCPFEG 作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（12分）如图，三棱锥P ABC -中，点E ,F 分别是AB ,PB 的中点，点G 是BCE ∆的重心. （1）证明：//GF 平面PAC ；（2）若平面PAB ⊥平面ABC ,PA PB =,PA PB ⊥,AC BC ⊥，2AB BC =,求平面EFG 与平面PFG 所成的锐二面角的余弦值.20.（12分）推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下： 得分 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70, 80) [80,90) [90,100] 男性人数 40 90 120 130 110 60 30 女性人数2050801101004020（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率； （2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解” （得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别” 有关?（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10 人，连同*()n n ∈N名男性调查员一起组成3个环保宣传队.若从这10n +人中随机抽取3人作为队长，且男性队长人数ξ的期望不小于2，求n 的最小值.附：22(),()()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 临界值表：不太了解 比较了解男性 女性20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82821.（12分） 已知函数1ln ()()xf x a a x+=-∈R . （1）若()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围，并证明：对任意的n *∈N ，都有1111ln(1)23n n++++>+L ； （2）设2()(1)e xg x x =-，讨论方程()()f x g x =实数根的个数.22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点2)M ，且焦距为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为直线l ：22y =Q 为椭圆C 上一点，以PQ 为直径的圆恒过坐标原点O .（i ）求224OP OQ +的取值范围；（ii ）是否存在圆心在原点的定圆恒与直线PQ 相切？若存在，求出该定圆的方程;若不存在，说明理由．2020年高考诊断性测试数学参考答案一、单项选择题1. C2. B3. A4. B5. B6. D7. A8. C 二、多项选择题9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD 三、填空题13.45-14. 300 15. 3+2316. 24x y =，43四、解答题17．解：（1）因为2cos 3(cos +cos )a A b C c B =，由正弦定理得所以2sin cos 3(sin cos sin cos )A A B C C B =+, …………………………1分即 2sin cos 3)A A B C =+， …………………………2分 又B C A π+=-，所以sin()sin()sin B C A A π+=-=所以2sin cos 3A A A =， …………………………3分 而0A π<<，sin 0A ≠所以3cos A =，所以6A π=. …………………………4分（2）因为11sin 22ABC BCS bc A a h ∆==⋅ …………………………5分 将23b =，3BC h =，1sin 2A =代入，得33ca =. …………………………6分 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，于是22233()(23)22332c c =+-⨯， …………………………8分即 29180c c -+=，解得3c =或6c =. …………………………10分18．解：设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），则18b q =，38b q =，于是8384q q -⨯=， …………………………2分即2620q q +-=，解得12q =，23q =-（舍去）. …………………………4分 若选①：则142a b ==，41434202S a d ⨯=+=，解得2d=， …………………………6分所以2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+， …………………………8分1111(1)1n S n n n n ==-++， …………………………9分于是12111111111+(1)()()122311k k T S S S k k k =++=-+-++-=-++L L ……10分令1151116k ->+，解得15k >，因为k 为正整数，所以k 的最小值为16. ……12分 若选②：则142a b ==，113232(2)2a d a d ⨯+=+，解得12a d ==.下同①.若选③：则142a b ==，113(2)(3)8a d a d +-+=，解得43d =. ………………6分于是2(1)42422333n n n S n n n -=+⨯=+， …………………8分131311()2(2)42n S n n n n =⨯=-++， ……………………9分于是31111111[(1)()()()]4324112k T k k k k =-+-++-+--++L3111(1)4212k k =+--++ 9311()8412k k =-+++， ………………………………………10分令1516k T >，得111124k k +<++，注意到k 为正整数，解得7k ≥，所以k 的最小值为7. ………………………12分19．解：（1）证明：延长EG 交BC 于点D ,点D 为BC 的中点，因为,D E 分别是棱,BC AB 的中点, 所以DE 是ABC ∆的中位线，所以//DE AC ， …………………………2分又DE PAC ⊄平面，AC PAC ⊂平面，所以//DE PAC 平面.同理可证//EF PAC 平面. ………………………………………3分 又DE EF E =I ，,DE DEF EF DEF ⊂⊂平面平面，所以平面//DEF PAC 平面， ……………………………………4分 因为GF DEF ⊂平面，所以//GF PAC 平面. ………………………………5分 （2）连接PE ，因为PA PB =，E 是AB 的中点，所以PE AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABC .以E 为坐标原点，以向量,EB EP u u u r u u u r 所在的方向分别作为y 轴、z 轴的正方向，以与向量,EB EP u u u r u u u r垂直的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -. ………6分设1EB =，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P ，11(0,,)22F ， 31(,0)62G ，11(0,,)22FE =--u u u r ，31()62FG =-u u u r ， 11(0,,)22FP =-u u u r . ……………………7分设平面EFG 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则00FE FG ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rg u u u r g m m ，即030y z x z +=⎧⎪⎨=⎪⎩， 令1z =，得1y =-，3x =(3,1,1)=-m …………………………9分又平面PFG 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，则00FG FP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g n n ，即1111300x z y z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩， 令11y =，得11z =，13x =于是取(3,1,1)=n ………………………………………………11分 设平面EFG 与平面PFG 的所成的角二面角的大小为θ，则3cos cos ,555θ=<>===⨯g m n m n m n .所以平面CFG 与平面EFG 的所成的锐二面角的余弦值为35. ………………12分20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为13011090110100600.61000+++++=，故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6. …………………2分不太了解比较了解（2）由题意得列联表如下：…………3分2K 的观测值21000(250270330150) 5.542400*********k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ …………………5分因为5.542 3.841>所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. ………………6分 （3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人. ………………7分随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，其中0364310(0)n n C C P C ξ++==，1264310(1)n n C C P C ξ++==,2164310(2)n n C C P C ξ++==,36310(3)n n C P C ξ++==, ………………9分 所以随机变量ξ的分布列为0312213646464633331010101001232n n n n n n n n C C C C C C C E C C C C ξ++++++++=⨯+⨯+⨯+⨯≥ ………………10分12213364646101232n n n n C C C C C C ++++⨯+⨯+⨯≥,可得，116(6)4(6)(5)(6)(5)(4)(10)(9)(8)23n n n n n n n n n ++++++++≥+++， 23(6)(1772)2(10)(9)(8)n n n n n n +++≥+++，3(6)2(10)n n +≥+，男性 250 330 女性150270ξ123P0364310n n C C C ++ 1264310n n C C C ++ 2164310n n C C C ++ 36310n n C C ++解得2n ≥. …………………………………………12分21．解：（1）由()0f x ≤可得，1ln (0)x a x x +≥>， 令1ln ()x h x x +=，则221(1ln )ln ()x x x x h x x x ⋅-+-'==， ………………1分 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(1+)x ∈∞，时，()0h x '<，()h x 单调递减，故()h x 在1x =处取得最大值， ………………3分 要使1ln x a x +≥，只需(1)1a h ≥=，故a 的取值范围为1a ≥， ………………4分显然，当1a =时，有1ln 1x x +≤，即不等式ln 1x x <-在(1,)+∞上成立， 令11()n x n n *+=>∈N ，则有111ln 1n n n n n ++<-=， 所以231111ln ln ln 11223n n n ++++<++++L L ， 即：1111ln(1)23n n ++++>+L ； ………………6分（2）由()()f x g x =可得，21ln (1)e x x a x x +-=-，即21ln (1)e xx a x x +=--， 令21ln ()(1)e x x t x x x +=--，则22ln ()(1)e x x t x x x -'=--， ………………8分当(0,1)x ∈时，()0t x '>，()t x 单增，当(1+)x ∈∞，时，()0t x '<，()t x 单减， 故()t x 在1x =处取得最大值(1)1t =， ………………10分 又当0x →时，()t x →-∞，当+x →∞时，()t x →-∞， ………………11分所以，当1a =时，方程()()f x g x =有一个实数解；当1a <时，方程()()f x g x =有两个不同的实数解；当1a >时，方程()()f x g x =没有实数解. ………………12分22．解：（1）将点的坐标代入椭圆C 的方程得22224214a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2284a b ==，，所以椭圆C 的方程为22184x y +=． ……3分（2）设11(,22),(,)P t Q x y .因为以PQ 为直径的圆恒过点O ， 所以11220OP OQ x t y =+=u u u r u u u r g ，即1122y =. ……………………4分 因为Q 点在椭圆上，所以2211184x y +=.（i ）将1122y =212324x t =+，221244t y t =+， 于是22222114=(8)4()OP OQ t x y ++++2264244t t =+++,t ∈R . …………5分 因为2264244t t +++2264+4204t t =+++2264(+4)204t t ≥⋅+36= 当且仅当2264+4=4t t +，即=2t ±时，取等号. 所以224OP OQ +的取值范围为[36,)+∞. ……………………………………7分（ii ）存在.定圆的方程为224x y +=. 假设存在满足题意的定圆，则点O 到直线PQ 的距离为定值. 因为11(,22),(,)P t Q x y ，所以直线PQ 方程为11()(22)(22)()0x t y y x t -----=，整理可得1111(22)()220y x x t y ty x ----+=， ………………………………8分所以O 到直线PQ 的距离112211|22|(22)()ty x d y x t -+=-+-， …………………………9分 由（i ）知，1122y =，得212324x t =+，221244t y t =+， 11220x t +=，注意到10x ≠，知1122t x =-. 所以222111112|22||22|22224ty x x t t -+=+=++， …………………10分 22222111111(22)()8422y x t y x t y tx -+-=+++-- 2222221122243288444t y x t t t t t =+++=+++=+++， ……………………11分 所以112211222(22)()x d ry x t ===-+-，因此，直线PQ 与圆224x y +=恒相切. …………………………………………12分。