复系数的一元二次方程的解法
一元二次方程式解法公式
一元二次方程式解法公式一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
解一元二次方程的一种常用方法是使用解法公式，也称为求根公式。
解法公式可以直接计算出方程的解，进而求解方程。
一元二次方程的解法公式可以分为两种情况讨论：当方程有实数根时，以及当方程有复数根时。
1. 当方程有实数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。
在解法公式中，根号下的部分被称为判别式，用Δ表示，即Δ = b^2 - 4ac。
判别式Δ的值决定了方程的根的性质：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，即重根；- 当Δ < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。
2. 当方程有复数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± i√(4ac - b^2)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。
在解法公式中，复数根的虚部用i表示，即i = √(-1)。
与实数根的情况相比，复数根的判别式为4ac - b^2。
当判别式4ac - b^2 > 0时，方程有两个共轭复数根；当判别式4ac - b^2 = 0时，方程有两个相等的复数根，即重根；当判别式4ac - b^2 < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。
通过解法公式，可以直接计算出一元二次方程的解。
根据公式中的系数a、b、c的不同取值，可以得到方程的不同解的情况。
需要注意的是，解法公式只适用于一元二次方程，对于其他类型的方程不适用。
此外，解法公式的使用还需要注意以下几点：1. 在计算解时，需要先计算出判别式的值，然后根据判别式的值来确定方程的根的性质。
2. 当判别式的值为0时，仍然需要进行计算，并且在计算过程中需要注意虚部的表示方式。
一元二次方程根的公式,怎么求复根
一元二次方程根的公式，怎么求复根一元二次方程根的公式？求根公式解一元二次方程，x=【-b±√（b²-4ac）】/2a。
1.通过配方式解一元二次方程的大多数情况下形式，ax²+bx+c=0，可得求根公式x=【-b±√（b²-4ac）】/2a。
2.先观察所解方程是不是一元二次方程的大多数情况下形式，假设不是通过移项变为大多数情况下形式，3.找出系数的值，带进到求根公式当中，可得X的值，怎么求复根？非实复数α是实系数n次方程f(x)=0的根，则其共轭复数α*也是方程f(x)=0的根，且α与α*的重数一样，则称α与α*是该方程的一对共轭复（虚）根。
共轭复根常常产生于一元二次方程中，若用公式法解得根的判别式小于零，则该方程的根为一对共轭复根。
共轭复根解答公式：一般出现在->一元二次方程中。
若根的判别式△=b2-4ac0，，方程有一对共轭复根。
按照一元二次方程求根公式韦达定理：x1，2=-b±√b2-4ac/2a，当b2-4ac0时，方程无实根，但是在复数范围内有2个复根。
复根的求法为x1，2=-b±i√4ac-b2/2a（这当中i 是虚数，i2=-1）。
因为共轭复数的定义是形如a±bi（b≠0）的形式，称a+bi 与a-bi（b≠0）为共轭复数。
另一种表达方式可用向量法表达：x1=pejΩ，x2=pe-jΩ这当中p=√a2+b2，tanΩ=b/a。
因为一元二次方程的两根满足上面说的形式，故一元二次方程在b2-4ac0时的两根为共轭复根。
根与系数关系：x1+x2=-b/a，x1+x2=c/a。
方程的两个根的公式？回答请看下方具体内容，这是一道初中数学试题，考查的为应该一元二次方程的解法，按照题意，一元二次方程的两个根的公式请看下方具体内容，方程为aX²+bx+C=0,这当中a,b,C 为常数，[-b±（b²-4aC）的根号/2a，那就是我的说明及其答案，因为根号的符号没有办法在内容框中填写，用文字说明，那就是我的答案。
一元二次方程
ax²+c=0（a、c是实数，a≠0）;ax²=0（a是实数，a≠0）.注：a≠0这个条件十分重要.配方式两根式求解方法直接开平方法形如x²=p或(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。
如果方程化成x²=p的形式，那么可得x=±。
如果方程能化成(nx+m)²=p的形式，那么，进而得出方程的根。
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
[3]配方法步骤将一元二次方程配成(x+m)²=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²±2ab=(a±b)²配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
举例例一：用配方法解方程3x²－4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x²-4x=2将二次项系数化为1：方程两边都加上一次项系数一半的平方：配方：直接开平方得：∴ , .∴原方程的解为 , .求根公式法步骤用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，确定a，b，c的值（注意符号）；②求出判别式的值，判断根的情况；③在（注：此处△读“德尔塔”）的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算，求出方程的根。
一元二次方程怎么解 详细过程
一元二次方程怎么解详细过程一元二次方程的解法有如下几种:第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).（3）提取公因式例1:X^2-4X+3=0本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1.例2：X^2-8X+16=0本题运用因式分解法中的完全平方公式,原方程分解为（X-4）^2=0 可以得出X1=4 X2=4（注意：碰到此类问题,一定要写X1=X2=某个数,不能只写X=某个数,因为一元二次方程一定有两个根,两个根可以相同,也可以不同）例3：X^2-9=0本题运用因式分解法中的平方差公式,原方程分解为（X-3）（X+3）=0 ,可以得出X1=3,X2=-3.例4：X^2-5X=0本题运用因式分解法中的提取公因式法来解,原方程分解为X （X-5）=0 ,可以得出X1=0 ,X2=5第二种方法是配方法,比较复杂,下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程：X^2+2X-3=0第一步：先在X^2+2X后加一项常数项,使之能成为一项完全平方式,那么根据题目,我们可以得知应该加一个1这样就变成了（X+1)^2.第二步：原式是X^2+2X-3,而(X+1)^2=X^2+2X+1,两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4,才会等于原式,所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程.还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11.最后如果用了上面所有的方法都无法解方程,那就只能像楼上所说的用求根公式了.定理就是韦达定理,还有根的判别式,韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a 举例：X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4,两根之积就是3/1=3,（你可以自己解一下,看看是否正确）.因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）(1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)∴x1=5,x2=-2是原方程的解.(2)2x2+3x=0x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)∴x1=0,x2=-是原方程的解.注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解.(3)6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=, x2=- 是原方程的解.(4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 •2 ,∴此题可用因式分解法）(x-2)(x-2 )=0∴x1=2 ,x2=2是原方程的解.。
一元二次方程的解法及解题步骤
一元二次方程的解法及解题步骤只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）。
含义及特点（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。
一般情况下，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。
（2）由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根按重数计算），根的情况由判别式（△=b2-4ac）决定。
判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与根的判别式有如下关系：△=b2-4ac①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
上述结论反过来也成立。
方法一、公式法先判断△=b2-4ac，若△<0原方程无实根；若△=0，原方程有两个相同的解为：X=-b/（2a）；若△>0，原方程的解为：X=（（-b）±√（△））/（2a）。
方法二、配方法先把常数c移到方程右边得：aX2+bX=-c将二次项系数化为1得：X2+（b/a）X=- c/a方程两边分别加上（b/a）的一半的平方得：X2+（b/a）X +（b/（2a））2=- c/a +（b/（2a））2方程化为:（b+（2a））2=- c/a +（b/（2a））2①、若- c/a +（b/（2a））2<0，原方程无实根；②、若- c/a +（b/（2a））2 =0，原方程有两个相同的解为X=-b/（2a）；③、若- c/a +（b/（2a））2>0，原方程的解为X=（-b）±√（（b2-4ac））/（2a）。
方法三、直接开平方法形如X-m2=n n≥0一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n方法四、因式分解法将一元二次方程aX2+bX+c=0化为如（mX-n）（dX-e）=0的形式可以直接求得解为X=n/m，或X=e/d。
复常系数一元二次方程求根公式
复常系数一元二次方程求根公式大家好，我是晓晓。
今天继续给大家讲解这方面的知识，也是在上一篇文章中讲到的，当一个题目，求解时，不一定只需要求解其中一个根，可以从多个变量中求得一个根。
所以大家可以根据自己的实际情况，找到最合适，且容易记住和应用的一元二次方程解法。
今天晓晓给大家讲一种求解这种问题的方法：解复常系数一元二次方程时，求根公式：复—基。
下面我们来看一下用什么方法求复常系数值问题吧。
在方程中，每个复数和整数有两个基本未知数（即0+1),所以所有正整数加一个整数就是(0+1)这个复数。
比如，一元二次方程可以分为若干个常模中的某个具体题型（即零位不变、正位变差、负位变差等),每个基本未知数都有相应的一个根。
比如上面所讲到的10个方程中最简单的就是0-1根的存在形式。
这里我们用求一个近似根来说明（可以根据其解与一元二次方程之和大于零或小于零时）这一部分和前面所讲到“关于零位不变”等情况一起说明。
1、先让两个数值相等。
其中：当取为3、则求解一元二次方程（其中最小变量为0):其中：解析：从上面我们可以知道，用三个数乘以3和求得三个值最小值是一个常数公式。
如果其中有0、1等三个数的话，那么，可以使用以下公式求得根公式：其中：对于一个(0+1)是有限的四分位数，则这个四分位数就是其零位的复数是唯一数。
对于一个0-1位数字是三分位数的复数。
那么，就可以用这个公式先求出这个四分位数的零位最小值。
2、然后利用这个近似根公式将方程(1+2)带入之前的步骤（第一步：解一个等式并写出相关数值和运算过程）。
接下来我们以上述的题型为例，先来看看1+2在方程中的具体数值形式，再来解题。
解完题后，大家可以根据下面的步骤把题目写出来，并把它放到后面去求(0+1)这个公式当中去。
我们再来看一下在计算过程中的步骤。
首先是把(0+1)这个等式变换为任意复数或方程。
下面我们将(0+1)和(2)带入一个等式之中，然后在进行计算。
计算结果如下：通过计算，一共得到(0+1~-5)=(-3~+5)个近似根值/一个正数根；通过计算，总共得到20个近似根值，其中正数有13个，负数有6个。
复系数的一元二次方程的解法
一元二次方程)0(02≠=++a c bz az 的系数为虚数时,仍然可以用求根公式a acb －b z 242－±=求出方程的根,但是不能用“根的判别式”判别方程有无实根,也可以设方程的根为yi x z +=代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于y x ,的方程（组）,从而求出y x ,的值,进而得出方程的根.例1 设k R ∈,关于x 的方程2(2)20x k i x ki ++++=有实数解,求k 的值. 分析：设出方程的实数根,代入方程,利用复数相等的充要条件建立方程组求解.解：设0x 是方程的实数根,代入方程并整理得.0)2()2(0020=++++i k x kx x由复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=+=++02020020k x kx x .解得⎩⎨⎧-==2220k x 或⎩⎨⎧=-=2220k x . 所以k 的值为22-或22.点评：求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根,所以0)2(4)2(2≥+-+=∆ki i k ,解得32≥k 或32-≤k .事实上,由于虚数单位的特殊性,所以不能用判别式判别复系数的一元二次方程有无实数根.例2 已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.（1）当方程有实根时,求点),(y x 的轨迹方程；（2）若方程有实根,求实根的取值范围.解：（1）设实根为t ,则 0)(2)2(2=-++++i y x xy t i t ，即0)()22(2=-++++i y x t xy t t ，根据复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=-+=++00222y x t xy t t )2()1(, 由)2(得x y t -=,代入)1(得02)(2)(2=+-+-xy x y x y ,即2)1()1(22=++-y x )3(.∴所求点的轨迹方程为2)1()1(22=++-y x ,2)1()1(22=++-y x 有公共点,04≤≤-∴t ,故方程的实根的取值范围为[]0,4-.点评：本题涉及复数与解析几何的知识,综合性较强,同学们往往不易下手,有一定难度.在第)2(问求实根的取值范围时,还可以先由方程)2)(1(消去y 建立关于实数x 的二次方程,再用判别式∆求出t 的范围.通过本题,同学们要进一步认识把复数问题转化为实数问题求解的必要性,这是解决有关复数问题的常用方法.。
解一元二次方程(知识点考点)九年级数学上册知识点考点(解析版)
解一元二次方程（知识点考点一站到底）知识点☀笔记一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（1） 直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x k =（2） 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3） 公式法：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是24b b ac x -±-=()240b ac -≥； （4） 因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。
温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。
根的判别式 定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b ac x a a -+= 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b ac x -±-=． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 考点☀梳理解题指导：① 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；② 当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；③ 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；④ 如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.⑤ 十字相乘法例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确），第2种拆法：2x －2x ＝0（错误），所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1.⑥ 换元法在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.考点1：直接开方法解一元二次方程必备知识点：①直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x k =题型1 直接开方法解一元二次方程例1．（2022·新疆·沙雅县第五中学七年级期中）解方程：()216125x +=． 【答案】114x =，294x =- 【分析】方程两边同时除以16，再开平方来求解．【详解】解：方程两边同时除以16得()225116x +=， 开平方得514x +=±， 解得114x =，294x =-． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解直接开平方法是解答关键．例2．（2022·陕西安康·九年级期末）解方程：1250x --=． 【答案】16x =，24x =-【分析】由()21250x --=，得出2125x ，开方得15x -=±，即可解出【详解】∵()21250x --=，∵2125x ，∵15x -=或15x -=-，则16x =，24x =-．【点睛】本题考查直接开方法求解一元二次方程，将题给式子移项，化为2x a =的形式，再利用数的开放直接求解．练习1．（2022·广东·可园中学七年级期中）解方程：24(3)250x --=．【答案】1112x =，212x =【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：24(3)250x --=，24(3)25x -=，225(3)4x -=， 532x ∴-=±， 1112x ∴=，212x =． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【答案】x 1＝16，x 2＝﹣14【分析】根据直接开平方法进行求解即可．【详解】解：∵（x ﹣1）2＝225，∵x ﹣1＝±15，解得x 1＝16，x 2＝﹣14．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．练习3．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：2x 2＝6 【答案】x 13=，x 23=-【分析】直接开平方即可一元二次方程．【详解】解：226x =，23x =，3x ∴=±，13x ∴=，23x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．练习4．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）用开平方法解方程：316m =． 【答案】134m =+，234m =-【分析】根据开平方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：()2316m -=，34m -=±，34m =±， ∴134m =+，234m =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．考点2：配方法解一元二次方程必备知识点：①当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；题型2 配方法解一元二次方程例1．（2022·安徽合肥·八年级期末）用配方法解方程：21090x x -+= 【答案】19x =，21x =【分析】利用解一元二次方程-配方法：先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可．【详解】解：21090x x -+=，2109x x -=-，21025925x x -+=-+，2(5)16x -=，54x -=±，54x -=或54x -=-，19x =，21x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程-配方法的步骤． 例2．（2021·河南南阳·九年级期中）用配方法解方程23210x x +-=． 【答案】11x =-，213x = 【分析】先将原方程配方，然后再整体运用直接开平方法，最后求出x 即可．【详解】解：原方程可化为：22133x x += 22221113333x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21439x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 1233x +=±， 11x =-，213x =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程是解答本题的关键．【答案】x 1＝32，x 2＝﹣4 【分析】移项，方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个方程，再求出方程的解即可．【详解】解：2x 2+5x ﹣12＝0，移项，得2x 2+5x ＝12，x 2+52x ＝6， 配方，得x 2+52x +2516＝6+2516，即（x +54）2＝12116， 开方，得x +54＝±114， 解得：x 1＝32，x 2＝﹣4． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【答案】11x =，23x =【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：2430x x -+=，配方得∵()221x -=，解得∵21x -=±，即11x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解题的关键． 练习3．（2022·安徽合肥·八年级期末）解方程：x 2-6x =8 【答案】12317,317x x =+=-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【详解】解：268x x -=，26989x x -+=+，2(3)17x -=，317x -=±，317x =±，即方程的解为12317,317x x =+=-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键．【答案】x 1＝162+，x 2＝162- 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．【详解】解：2x 2﹣4x ﹣1＝0x 2﹣2x 12-=0 x 2﹣2x +112=+1 （x ﹣1）232=∵x 1＝162+，x 2＝162-． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．例1．（2022·广西贺州·八年级期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的223x x +-最小值．()22222232111314x x x x x +-=+⋅+--=+- ()210x +≥∴当x =－1时，223x x +-有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)(()2222352332x x x x x a b ++=+++=++，则a ＝__________，b ＝__________； (2)若代数式227x kx -+的最小值为3，求k 的值． 【答案】(1)3，2(2)2k =±【分析】（1）根据配方法直接作答即可；（2）根据题中材料告知的方法，先配方，再根据平方的非负性求解即可．（1）解：2235x x ++()222332x x =+⨯++ ()232x =++，3,2a b ∴==，故答案为：3，2；（2）解：227x kx -+22227x kx k k =-+-+()227x k k =--+， ∵2)0x k -≥（， ∵()227x k k --+的最小值是27k -+，∵代数式227x kx -+有最小值3，∵273k -+=，即24k =，∵2k =±．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及平方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．练习1．（2022·山东泰安·八年级期中）在学了乘法公式“222()2a b a ab b ±=±+”的应用后，王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：22222454225(2)1x x x x x ++=++-+=++，∵2(2)0x +≥，∵2(2)11x ++≥．当2(2)0x +=时，2(2)1x ++的值最小，最小值是1．∵245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)直接写出2(1)3x -+的最小值为_____．(2)求代数式21032x x ++的最小值． (3)你认为代数式21253x x -++有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． (4)若27110x x y -+-=，求x ＋y 的最小值．【答案】(1)3(2)21032x x ++的最小值是7；(3)21253x x -++有最大值，最大值是8； (4)x +y 的最小值是2．【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（4）根据7x －x 2+y －11=0，用x 表示出y ，写出x +y ，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求． （1）解：()213x -+，当x ＝1时，2(1)3x -+有最小值，是3；故答案为：3；（2）解：222221032105532(5)7x x x x x ++=++-+=++．∵2(05)x +≥，∵2(5)77x ++≥，当2(5)0x +=时，2(5)7x ++的值最小，最小值是7．∵21032x x ++的最小值是7；（3）解：21253x x -++有最大值，理由如下： ∵21253x x -++ 21(6)53x x =--+ =21(699)53x x --+-+ 21(69)353x x =--+++ 2133()8x =-++． 当21(3)03x -+=时，21(3)83x -++有最大值，最大值是8， ∵21253x x -++有最大值，最大值是8； （4）解：∵27110x x y -+-=，∵2711y x x =-++，∵22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x +=-++=-+=-+-+=-+，∵2(3)0x -≥，∵2(3)22x -+≥，当2(3)0x -=时，2(3)2x -+的值最小，最小值是2．∵x +y 的最小值是2．【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．265x x ++22223335x x =+⋅⋅+-+2(3)4x =+-∵ ()230x +≥，∵ 当x =-3时，代数式265x x ++的最小值为-4．请根据上述的方法，解答下列问题：(1) 2261()x x x m n +-=++，则mn 的值为_______．(2)求代数式2265x x --+的最大值．(3)若代数式226x kx ++的最小值为2，求k 的值． 【答案】(1)-30(2)最大值为11(3)k =42±【分析】（1）利用配方法根据一次项的系数求出m 与n 的值，再相乘即可；（2）先提出代数式的负号，再进行配方，最后根据偶次方的非负性求出代数式的最大值即可； （3）先将代数式中的二次线系数提出来化为1，再进行配方，根据最小值为2求出k 的值即可．(1)解：261x x +-22223331x x =+⋅⋅+--2(3)10x =+-2()x m n =++ 解得m =3，n =-10，∵mn =-30．(2)解： 2265x x --+2(26)7x x =-++222(26(6)(6)5x x ⎡⎤=-+⋅⋅+-+⎣⎦2(6)11x =-++∵2(6)0x +≥，∵2(6)0x -+≤，∵代数式2265x x --+的最大值为11．解：226x kx ++22()62k x x =++ 22222()()6444k k k x x ⎡⎤=+⋅⋅+-+⎢⎥⎣⎦ 222()648k k x =+-+ ∵2()04k x +≥， ∵代数式226x kx ++有最小值为268k -． ∵代数式226x kx ++的最小值为2，∵2628k -=． 解得：k =42±．【点睛】本题考查的是将多项式进行配方化为完全平方式的形式，再利用偶次方的非负性求代数式的最大或最小值，准确的进行配方是解题的关键．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=． ∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0， ∵()210m +=且()230n -=，∵m ＝－1，n ＝－3．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ． 【答案】(1)x ＝－2，y ＝1(2)5或7【分析】（1）先将等式左边化为两个完全平方式，根据非负数的和为零可得x 和y 的值；（2）同理可得a 和b 的值，再分类讨论，由勾股定理可得c 的值．（1）解：∵224250x x y y ++-+=∵()()22210x y ++-=∵x ＋2＝0，y －1＝0∵x ＝－2，y ＝1．（2）∵228625a b a b +=+-∵2286250a b a b +--+=∵()()22430a b -+-=∵a －4＝0，b －3＝0∵a ＝4，b ＝3∵ABC 是直角三角形∵22345c =+=或22437c =-=∵c 的值为5或7．【点睛】此题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是要学会拼凑出完全平方式． 练习4．（2022·江西上饶·八年级期末）在理解例题的基础上，完成下列两个问题： 例题：若2222440m mn n n ++-+=，求m 和n 的值；解：由题意得：()()2222440m mn n n n +++-+=，∵22()(2)0m n n ++-=，∵020m n n +=⎧⎨-=⎩，解得22m n =-⎧⎨=⎩． (1)若22228160x xy y y ++++=，求2x y -（）的值；(2)若22126450a b a b +-++=，求32a b -的值． 【答案】(1)64 (2)24【分析】（1）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入原式计算即可得到结果；（2）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式计算即可得到结果． (1)由题意得：22228160x xy y y y +++++= ∵()()2240x y y +++=∵040x y y +=⎧⎨+=⎩解得：44x y =⎧⎨=-⎩∵()()224464x y -=+=． (2)由题意得：221236690a a b b -++++= ∵()()22630a b -++=∵6030a b -=⎧⎨+=⎩解得：63a b =⎧⎨=-⎩∵33322262162439a ab b -====-（）．【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及负整数指数幂，熟练掌握完全平方公式及运算法则是解本题的关键．考点3：公式法解一元二次方程必备知识点：①如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法. 题型3 公式法解一元二次方程例1．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）用开平方法解方程：(2316m =．【答案】134m =+，234m =-【分析】根据开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：()2316m -=，34m -=±， 34m =±，∴134m =+，234m =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【答案】11193x +=，21193x -=【分析】先找出a ，b ，c ，再求出24b ac ∆=-的值，根据求根公式即可求出答案． 【详解】解：∵23260x x --=， ∵3a =，2b =-，6c =-，∵()()224243676b ac ∆=-=--⨯⨯-=，∵()()22224364223b b ac x a±--⨯⨯--±-==⨯22196±=1193±=∵11193x +=，21193x -=【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键．练习1．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）解方程：x 2﹣25x ﹣4＝0． 【答案】x 1＝5+3，x 2＝5﹣3【分析】先找出各项系数，求出判别式，根据一元二次方程的求根公式计算即可． 【详解】解：a ＝1，b ＝﹣25，c ＝﹣4， Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣25）2﹣4×1×（﹣4）＝36＞0， 方程有两个不等的实数根，x ＝24253653221b b ac a -±-±==±⨯，即x 1＝5+3，x 2＝5﹣3．【点睛】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握根据方程的特点，选择恰当解法是解题的关键． 390x x --=【答案】13352x +=，23352x -=【分析】根据公式法即可求解． 【详解】解：∵1a =，3b =-，9b =-， ∵93645∆=+=>0，∵243453352212b b ac x a -±-±±===⨯， ∵13352x +=，23352x -=． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解方程的方法是解题的关键． (1)5x 2－6x ＋1=0（公式法） (2)x 2＋8x －2=0（公式法） 【答案】(1)121,15x x ==(2)12432,432x x =+=-【分析】（1）根据题意，用公式法解一元二次方程； （2）根据题意，用配方法解一元二次方程即可求解．（1）解：5x 2－6x ＋1=0中，5,6,1a b c ==-=，24362016b ac ∴∆=-=-=，2464210b b ac x a -±-±∴==，解得：121,15x x ==；（2）x 2＋8x －2=0，28=2x x +，281618x x ++=，()2418x +=，432x +=±，解得：12432,432x x =+=-． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． (1)2219x x -+= ; (2)22310x x -+=． 【答案】(1)124,2x x ==- (2)1211,2x x ==【分析】（1）用直角开平方法解答即可； （2）用求根公式解答即可．（1）解：2219x x -+=，原方程可化为2(1)9x -=，直接开平方，得13x -=±，∵124,2x x ==-． （2）22310x x -+=，∵981∆=-=>0，∵方程有两个不相等的实数根，12314x ±=，，1211,2x x ==． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是能够正确地选择恰当的解题方法．必备知识点：①若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法； 题型4 因式分解法解一元二次方程例1．（2022·安徽合肥·八年级期末）解方程：23543x x x【答案】121,4x x =-=【分析】先整理可得2340x x --=，再利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：23543xx x∵239120x x ，即2340x x --=， ∵()()140x x +-=， 解得：121,4x x =-=【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．例2．（2022·安徽安庆·八年级期末）解方程：2212x x x -=-． 【答案】12x =或1x =- 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：2x 2-x =1-2x ， ∵2x 2+x -1=0，∵（2x -1）（x +1）=0， 2x -1=0或x +1=0， ∵12x =或1x =-． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． 练习1．（2022·安徽合肥·八年级期末）解一元二次方程：()()323x x -=-． 【答案】x 1=3，x 2=5【分析】通过移项，因式分解再求方程的解即可． 【详解】解：（x -3）2=2（x -3） 移项得（x -3）2-2（x -3）=0，因式分解得（x -3）（x -3-2）=0， （x -3）（x -5）=0， ∵x 1=3，x 2=5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，关键是运用因式分解使解方程变得更简洁． 练习2．（2022·上海市罗星中学八年级期末）解方程：24830x x -+=【答案】1231,22x x ==【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】24830x x -+= (23)(21)0x x --=∵230x -=或210x -=1231,22x x ==【点睛】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法是解题的关键． (1)()()22311-=-x x (2)()3122x x x -=- 【答案】(1)10x =，212x = (2)123x =，21x =【分析】（1）利用平方差公式分解因式后求解； （2）利用提公因式分解因式后求解． （1）解：()()22311-=-x x()()223110x x ---=()()3113110x x x x -+---+=()2420x x -=10x =，212x =． （2）()3122x x x -=-()()31210x x x ---=()()3210x x --=∵320x -=或10x -=， 解得，123x =，21x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． (1)2x x = (2)21090x x ++=【答案】(1)10x =，21x =； (2)11x =-，29x =-【分析】（1）利用移项，提公因式求解即可； （2）利用因式分解法求解即可．（1）解：∵2x x =，∵20x x -=，∵x (x -1)=0，∵x =0或x -1=0，∵10x =，21x =； （2）∵21090x x ++=，∵(x +1)(x +9)=0，∵x +1=0或x +9=0，∵11x =-，29x =-【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．考点5：换元法解一元二次方程必备知识点：①在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.题型5 换元法解一元二次方程例1．（2022·全国·九年级专题练习）解方程：()()2226x x x x +++=．【答案】122,1x x ==-【分析】利用换元法可将原方程降次求解，再根据分类讨论思想对一元二次方程求解即可． 【详解】解：设x 2＋x ＝y ，则原方程变形为y 2＋y －6＝0， 解得：y 1＝－3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2＋x ＝2，即x 2＋x －2＝0， 解得：x 1＝－2，x 2＝1；②当y ＝－3时，x 2＋x ＝－3，即x 2＋x ＋3＝0， ∵∵＝12－4×1×3＝1－12＝－11＜0， ∵此方程无解；∵原方程的解为x 1＝－2，x 2＝1．【点睛】本题考查了因式分解法，公式法解一元二次方程，能够掌握换元法将原方程降次，熟练运用公式法，因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．例2．（2022·江苏·九年级课时练习）转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x 4－3x 2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x 2＝y ，将原方程转化为y 2－3y －4＝0，解方程得到y 1＝－1，y 2＝4，因为x 2＝y ≥0，所以y ＝－1舍去，所以得到x 2＝4，所以x 1＝2，x 2＝－2．请参考例题解法，解方程：223320x x x x ＋－+=． 【答案】x 1＝1，x 2＝－4【分析】利用题中给出的方法设23x x +=y ，把方程转化为含y 的一元二次方程，求出y 的值，再求解无理方程，求出x 的值．【详解】解：设23x x +＝y ，则x 2＋3x =y 2， 原方程可化为：y 2－y －2＝0， ∵y 1＝－1，y 2＝2 ， ∵23x x +＝y ≥0， ∵y 1＝－1舍去 ， ∵23x x +＝2， ∵x 2＋3x ＝4， ∵x 2＋3x －4＝0， ∵x 1＝1，x 2＝－4．【点睛】本题考查了解一元二次方程及换元法，掌握换元法的一般步骤是解决本题的关键，换元法的一般步骤：设元(未知数)，换元，解元，还原四步．解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =． 当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±； ∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．仿照上面方法，解方程：222(3)4(3)30x x x x +++=+． 【答案】1352x -+=，2352x --=．【分析】设x 2+3x =y ，则原方程变为y 2+4y +3=0，求出y =-1，或y =-3，再分别解方程即可． 【详解】解：设x 2+3x =y ，则原方程变为y 2+4y +3=0， ∵（y +1）（y +3）=0， 解得y =-1，或y =-3，当y =-1时，x 2+3x =-1，即x 2+3x +1=0，解得x =12353522x x -+--==，，当y =-3时，x 2+3x =-3，即x 2+3x +3=0，因为∆=32-4×3<0，所以方程没有实数根，舍去； ∵原方程有两个根：1352x -+=，2352x --=．【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． (1)2x -2x =99(2)2(21)x -+3（2x -1）=0 (3)22()x x --5（2x -x ）+6=0． 【答案】(1)111x =，29x =- (2)112x =，21x =- (3)12x =，21x =-，31132x +=，41132x -=【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解求解即可；（3）先令x 2-x =y ，得到关于y 的一元二次方程，然后根据因式分解法求出y ，再把y 的值代入x 2-x =y 求解即可． (1)解：2x -2x =99， ∵2x -2x +1=99+1 ∵2(1)100x -=， ∵110x -=±， ∵111x =，29x =-； (2)解：2(21)x -+3（2x -1）=0，∵(21)[(21)3]0x x --+=，即(21)(22)0x x -+=， ∵210x -=或220x +=， ∵112x =，21x =-； (3)解：22()x x --5（2x -x ）+6=0， 令2x x y -=，则原方程为2560y y -+=∵(2)(3)0y y --=， ∵20y -=或30y -=， ∵y =2或3当y =2时，22x x -=， ∵220x x --= ∵(2)(1)0x x -+=， ∵x -2=0或x +1=0， ∵12x =，21x =-； 当y =3时，23-=x x ， ∵230x x --=， ∵1141(3)11322x ±-⨯⨯-±==， ∵31132x +=，41132x -=． 综上所述，12x =，21x =-，31132x +=，41132x -=．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 阅读材料：像13x x -=这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 13;x x --；两边平方：x ﹣1＝9﹣6x ＋x 2. 解这个一元二次方程：x 1＝2，x 2＝5检验所得到的两个根，只有 是原无理方程的根． 理解应用：解无理方程1122x x +=． 【答案】2x ＝；x ＝3【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解； 理解应用：先移项得到1212x x -=+，再两边平方得到一个一元二次方程，然后解这个一元二次方程，然后进行检验确定原无理方程的根． 【详解】解：阅读材料： 经检验2x ＝是原方程的解； 故答案为：2x ＝； 理解应用：移项：1212x x -=+， 两边平方：()214414x x x -+=+，解得154x =，23x =， 经检验原无理方程的根为3x ＝．【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 必备知识点：①根的判别式：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．题型6 根的判别式的应用例1．（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2312200kx k x k k ．(1)求证：无论x 取何值，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两根都是整数，求整数k 的值． 【答案】(1)见解析 (2)±1【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）用公式法求出方程的两根，1211,2x x k=-=-，再由该方程的两根都是整数，且k 为整数，可得11k -为整数，即可求解． （1）解：根据题意得：231422k k k2296188k k k k =++--221k k =-+()210k =-≥∵无论x 取何值，此方程总有两个实数根；（2）解：2312200kxk x k k ， ∵()()3112k k x k-+±-=， ∵1211,2x x k=-=-， ∵该方程的两根都是整数，且k 为整数，∵11k-为整数， ∵整数k 为±1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根是解题的关键．例2．（2022·安徽滁州·八年级期末）已知关于x 的方程()．(1)小明同学说：“无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．”你认为他说的有道理吗？请说明理由．(2)若方程的一个根是－2，求另一个根及m 的值． 【答案】(1)有道理，理由见解析(2)另一个根为2，5m =-【分析】（1）根据Δ=b 2-4ac ＞0，即可得证；（2）将x =-2代入方程，求出m 的值，再将m =-5代入方程，解方程即可确定方程的另一个根．（1）解：有道理，理由如下：∵()()()222245416213120b ac m m m m m ∆=-=+-+=++=++>∵无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将2x =-代入方程得()42510m m -+++=解得5m =-∵原方程为240x -=∵2x =±∵另一个根为2，5m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．练习1．（2022·江苏南京·八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣3mx +m 2+m ﹣3＝0（m 为常数）．(1)求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若x ＝2是方程的根，则m 的值为_____． 【答案】(1)见解析(2)552m +=或552-【分析】（1）先计算判别式的值得到∆=（m -2）2+8>0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）将x =2代入方程，解方程即可．（1）解：∵∆=9m 2-4×2（m 2+m -3）=（m -2）2+8>0，∵无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）将x =2代入方程，得8-6m +m 2+m ﹣3＝0，整理得，m 2-5m +5＝0，解得552m +=或552-， 故答案为：552m +=或552-． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2-4ac ：当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 210x kx k ++-=方程总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】根据Δ=2224(2)41(1)40b ac k k -=-⨯⨯-=＞判断即可．【详解】∵关于x 的方程22210x kx k ++-=，a =1，b =2k ，c =21k -，∵Δ=2224(2)41(1)40b ac k k -=-⨯⨯-=＞，∵无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 练习3．（2022·山东青岛·八年级期中）已知关于x 的一元二次方程250x mx m -+-=．(1)求证：无论m 取何值，方程一定有两个不相等的实数根；(2)若方程有一根为25m 的值．【答案】(1)见解析(2)4m =【分析】（1）根据根的判别式求出∆的值，即可得到结论；（2）把x =25+代入方程，得出关于m 的方程，解之可得．（1）证明：24(5)m m ∆=--2420m m =-+24416m m =-++2(2)16m =-+∵2(2)160m ∆=-+>∵方程一定有两个不相等的实数根．（2）将25x =+代入原方程，得2(25)(25)50m m +-++-=(15)445m +=+∵4m =【点睛】此题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2−4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．练习4．（2021·河南南阳·九年级期中）已知关于x 的方程220x k x k -++=(1)求证：无论k 取何值，该方程总有实数根；(2)若等腰ABC 的一边长1a =，另两边b 、c 恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．【答案】(1)见解析(2)三角形另外两边长为2，2【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证．（2）∵ABC 是等腰三角形，若b =c ，即∆=0，解出k 后代入方程，解方程可得另外两边长；若a 是腰，则a ＝1是方程的根，把1代入方程解出k 后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可． （1）证明：2(2)42k k ∆=+-⨯2448k k k =++-2(2)0k =-≥所以此方程总有实根．（2）解：①若b c =，则此方程有两个相等实根此时20k -=，则2k =，原方程为：2440x x -+=，122x x ==，∵另外两边长为2和2，②若a c =，则1a =是方程2(2)20x k x k -++=的根，∵21(2)20k k -++=，∵1k =，原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，而1、1、2为边不能构成三角形．所以，三角形另外两边长为2，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．。
一元2次方程公式解法
一元2次方程公式解法一元二次方程可是数学里的一个重要知识点哟！咱们一起来瞧瞧它的公式解法到底是咋回事。
我还记得之前给学生们讲一元二次方程的时候，有个小同学特别有意思。
那是一个阳光明媚的上午，我在黑板上写下了一个一元二次方程：$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），然后就开始讲解怎么用公式法来求解。
这时候，那个小同学瞪着大眼睛，一脸疑惑地看着我，举起手说：“老师，这看起来好复杂呀，怎么能解出来呢？”我笑着对他说：“别着急，咱们一步步来。
”一元二次方程的公式解法，其实就是依靠那个著名的求根公式：$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
首先呢，咱们得确定方程中的系数 $a$、$b$、$c$。
这就好比是给方程“画像”，先把它的轮廓勾勒清楚。
比如说方程 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ ，这里的 $a = 2$，$b = 5$，$c = -3$ 。
接下来，关键的一步就是计算判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 。
这个判别式可重要啦！它能告诉我们方程根的情况。
如果 $\Delta > 0$ ，方程就有两个不相等的实数根；如果 $\Delta = 0$ ，方程就有两个相等的实数根；要是 $\Delta < 0$ ，方程就没有实数根，只有两个共轭的复数根。
还是拿刚才那个方程 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ 来说，$\Delta = 5^2 -4×2×(-3) = 25 + 24 = 49$ ，因为 $49 > 0$ ，所以这个方程有两个不相等的实数根。
然后，咱们就把 $a$、$b$、$\Delta$ 的值代入求根公式。
对于这个方程，$x = \frac{-5 ± \sqrt{49}}{2×2} = \frac{-5 ± 7}{4}$ ，所以 $x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}$ ，$x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = -3$ 。
一元二次方程的五种解法
一元二次方程的五种解法一元二次方程是数学中的一种基本形式，解一元二次方程是数学学习的重要内容之一。
解一元二次方程的方法有很多种，下面将介绍其中的五种解法。
第一种解法是因式分解法。
对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，如果可以将其因式分解为(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式，那么方程的解就是x=-b1/a1和x=-b2/a2。
这种方法适用于方程具有特殊形式的情况，例如完全平方和差的形式。
第二种解法是配方法。
对于一般形式的一元二次方程，可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。
具体做法是将方程的常数项c分解为两个数的乘积，使得一元二次方程可以写成(x+p)^2=q的形式，然后通过开方得到方程的解。
这种方法适用于方程的系数较为复杂的情况。
第三种解法是求根公式法。
一元二次方程的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，其中a、b、c分别是方程的系数。
通过代入系数的值，可以得到方程的解。
这种方法是一元二次方程求解的基本方法，适用于一般情况。
第四种解法是图像法。
一元二次方程的解对应于抛物线的顶点和交点。
通过绘制方程对应的抛物线，并观察抛物线与x轴的交点和顶点的坐标，可以得到方程的解。
这种方法可以直观地理解方程的解的性质，并可以通过图像来验证解的正确性。
第五种解法是因式分解与配方法的结合。
对于一元二次方程，如果既可以进行因式分解，又可以进行配方法，那么可以结合两种方法来求解方程。
具体做法是先进行因式分解，然后再进行配方法，最终得到方程的解。
这种方法可以利用因式分解和配方法的优势，适用于复杂方程的求解。
解一元二次方程的方法有很多种，包括因式分解法、配方法、求根公式法、图像法和因式分解与配方法的结合。
不同的方法适用于不同的方程形式和解的要求。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的解法，来求解一元二次方程。
掌握这些解法，有助于提高数学问题的解决能力，培养逻辑思维和分析问题的能力。
一元二次方程的四种解法
一元二次方程的解法(1) 一元二次方程的概念一、考点、热点回顾1、一元二次方程必须同时满足的三个条件:⑴⑵⑶2、一元二次方程的一般形式：二、典型例题例1：判断下列方程是否为一元二次方程：® x2+x = \ ®x~ = 1 ®x2 -2x + 3y = 0 @x2 - 3 = (x-l)(x-4)⑤ax2+bx + c = 0 ®mx2 =0 (m是不为零常数)例2：—元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.(l)x2-l Ox-900 = 0 (2)5x2 +10—2.2 = 0⑶ 2X2-15=0 (4)X2 + 3x = 0(5) (x + 2)2 =3 (6) (x + 3)(x-3) = 0例3：当加 _______ 时，关于x的方程(m+2) x s +3mx+l=0是一元二次方程。
三、课堂练习1、下列方程中，关于x的一元二次方程是()A.3(X +1)2=2(X+1)B； +丄一 2 = 0xT yC.ax2 + 加 + <? = 0D.x1 + 2x = x，-12、用换元法解方程(X2+X):+(X:+X)=6时，如果设x'+x = y,那么原方程可变形为()A、y:+y—6=0B、y2—y—6 = 01 / 15C、y:—y+6 = 0D、y'+y+6 = 03、已知两数的积是12,这两数的平方和是25,以这两数为根的一元二次方程是4、已知关于x的一元二次方程十一伙+ l)x_6 = 0的一个根是2,求k的值.四、课后练习1•将方程3乂(乂_1) = 5(乂+ 2)化成一元二次方程的一般形式，得____ ;其中二次项系数是_ ; 一次项系数是 __________ ;常数项是_________ .2.方程伙-4)，+5x + 2& + 3 = 0是一元二次方程，则£就满足的条件是____________ .3.已知m是方程x'-x-2二0的一个根，则代数式mJn二 __________4.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为wm,则乳满足的方程是( )(A) x2+130A--1400 = 0 (B) x2 +65x-35O = O(C) x2 -130x-1400 = 0 (D) x2 -65x-350 = 05.关于x的方程(加-3)，+心+加=0,在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？(2) 一直接开方法一、考点、热点回顾1、了解形如x2=a(a>0)或(x+h)= k(k^0)的一元二次方程的解法一一直接开平方法小结：如果一个一元二次方程具有(x + /»)2=n(n>0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
谈复系数一元二次方程
一．一元二次方程是指一个变量的二次多项式方程，即形如ax2+bx+c=0的方程。
一元二次方程的解析解法主要是利用了求根公式，即利用delta=b2-4ac，其中delta为判别式。
当delta>0时，有两个不等实数根；当delta=0时，有一个重根；当delta<0时，根不存在。
一元二次方程也可以采用图形法求解，即将一元二次方程折成一元一次方程，再将它画在x-y坐标系上，把它表示成一条抛物线。
当抛物线有两个不等实数根时，它的图像有两个不等实数根；当抛物线有一个重根时，它的图像有一个重根；当抛物线无根时，它的图像无根。
一元二次方程的解法还可以采用特殊技巧求解，如分解因式法、立体图形法等。
总结：一元二次方程是指一个变量的二次多项式方程，它可以采用解析解法、图形法和特殊技巧求解。
当抛物线有两个不等实数根时，它的图像有两个不等实数根；当抛物线有一个重根时，它的图像有一个重根；当抛物线无根时，它的图像无根。
二．特殊解法的基本思想是利用一元二谈次方程的性质，将它转换成一元一次方程，然后用一元一次方程的求解方法求出原方程的解。
一元二次方程的解法有一种叫做判别式的方法，它的基本思想是将一元二次方程分解成一元一次方程，然后利用判别式的性质，求出原方程的解。
判别式的形式是b2-4ac，它的值可以用来判断一元二次方程的解的个数，即：当b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不同的实数根；当b2-4ac=0时，一元二次方程有一个实数根；当b2-4ac<0时，一元二次方程没有实数根。
总之，一元二次方程是一个非常常见的数学问题，它的求解方法有一般解法、特殊解法和判别式法，它们各有特点，要根据实际情况选择适当的求解方法。
三．一元二次方程的复系数是指一元二次方程中系数的种类及其大小，它由三个系数决定，即ax^2+bx+c，其中a、b、c可以是任意实数，特别是a≠0时，复系数由a、b、c的大小共同决定。
根据a、b、c的大小可以将一元二次方程分为四类，它们分别是：1、a>0时，两个根都为正，两个根之差越来越小，复系数为正。
一元二次方程4种解法
一元二次方程4种解法
一元二次方程的4种解法是：一般式、工具方法、因式分解法和
求根公式法。
一、一般式：
一般式又称“把头挑出来法”或“十字相乘法”。
在这种方法中，首先把一元二次方程化为化简的一般式，如ax^2+bx+c=0，然后分别根
据a, b, c 的意义，将系数和常数参数代入系数表中，仿照公式的形
式完成无穷多种可能的解答，最后通过对称性和排除法的方法排除不
符合要求的解，从而得出结论。
二、工具方法：
工具方法就是联立矩阵等数学工具，来快速解决一元二次方程，
尤其是在涉及数量较大的情况下，使用矩阵来解决更加有利。
只要建
立好系数矩阵，就可以根据其特点，按照一定步骤，使用乘法、加法、分解等技巧，求得矩阵解，从而获得满足一元二次方程的解。
三、因式分解法：
因式分解法是把原方程转换成两个一元一次方程的形式，然后分
别求解，最后将解代入原方程，检验是否仍然满足原方程。
首先，将
原方程化成两个一元一次方程的形式，例如：ax^2+bx+c=0，我们把它
化为 (ax+m)(ax+n)=0，其中m和n分别是ax+m=0及ax+n=0的解。
然后，我们可以把m和n代入到原方程中，检验是否是原方程的解，即
看是否能使原方程成立。
四、求根公式法：
求根公式法是根据一元二次方程的特征，用公式求解一元二次方
程解。
一元二次方程有两个解，因此也有对应的两个求根公式，即复
根公式：x_1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)和x_2=(-b-sqrt(b^2-
4ac))/(2a)。
通过将常数值代入到公式，就可以求出一元二次方程的解。
一元二次方程的解法(公式法)
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.
我最棒
解下列方程:
,解题大师——规范正确!
参考答案:
(1). x2-2x－8＝0；
(2). 9x2＋6x＝8；
1.x1 2; x2 4.
2.x1 2 ; x2 4 .
例3：
x 3 2 3x
2
解：化简为一般式：x2
2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3. ∵b2 - 4ac=( 2 3)2 - 4×1×3=0,
2 3 0 2 3 x 21 2
即：x1= x2=
3,
3
想一想
例 4 解方程：（x-2)(1-3x)=6 解：去括号：x-2-3x2+6x=6 化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0 这里 a=3, b= -7, c= 8.
一元二次方程的解法
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的
助手:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a. 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
(1)直接开平方法
ax2=b(b≥0)
1、提取公因式法
适应于没有一次项的 一元二次方程
一 元 二 次 方 程 的 解 法
(2)因式分解法
2、平方差公式 3、完全平方公式
一元二次方程全部解法
一元二次方程全部解法一元二次方程是高中数学中常见的一个概念，它由形如ax^2+bx+c=0的方程组成，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元二次方程的方法有多种，包括公式法、配方法、因式分解法等。
本文将以一元二次方程的全部解法为题，详细介绍这些解法的原理和步骤。
一、公式法解一元二次方程公式法是解一元二次方程最常用的方法之一。
对于方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数，可以使用以下公式求解：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)该公式中的±表示两个解，分别对应方程的两个根。
当b^2-4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根；当b^2-4ac等于0时，方程有两个相等的实数根；当b^2-4ac小于0时，方程没有实数根，但可以有两个共轭复数根。
解一元二次方程的步骤如下：1. 根据方程的系数a、b、c，计算出b^2-4ac的值；2. 判断b^2-4ac的正负情况，确定方程的解的性质；3. 使用上述公式计算方程的解。
二、配方法解一元二次方程配方法也是解一元二次方程常用的方法之一。
对于方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数，可以通过配方法将方程转化为完全平方的形式，从而求解方程。
配方法的步骤如下：1. 将方程的常数项c拆分成两个数的乘积，使得这两个数的和等于方程的一次项系数b；2. 将方程的二次项系数a移到方程的一边，并在另一边配方；3. 将配方后的表达式转化为完全平方；4. 对方程两边同时开根号，得到方程的解。
三、因式分解法解一元二次方程对于一些特殊的一元二次方程，可以通过因式分解的方法来求解。
这种方法适用于方程的二次项系数为1的情况。
因式分解法的步骤如下：1. 将方程移项，使方程等于0；2. 将方程分解为两个一次因式的乘积；3. 令每个一次因式等于0，解出方程的根。
四、其他方法解一元二次方程除了公式法、配方法和因式分解法外，还有一些其他的方法可以用来解一元二次方程。
一元二次方程的基本解法
一元二次方程的基本解法嘿，小伙伴们，今天咱们聊聊一元二次方程。
别一听这个名词就头大，其实它就是个数学小怪兽，但说白了，也就是我们经常见到的那种“x的平方加上x再加上常数等于零”的方程。
我们一步步来，把它拆解开，搞清楚怎么解这个方程，让它不再那么神秘。
1. 一元二次方程是什么？一元二次方程，其实就是含有一个未知数的二次方程，形如：ax² + bx + c = 0。
听起来有点拗口，对吧？别担心，咱们举个例子，帮大家更好地理解。
1.1 方程的组成部分ax²：这里的a是二次项的系数，它决定了方程的开口方向和大小。
bx：b是一次项的系数，它决定了方程的斜率。
c：c是常数项，也就是方程的“常驻”部分。
拿一个具体的方程来看，比如：2x² + 3x 5 = 0。
这就是个一元二次方程，我们的目标就是找到x的值，让这个方程成立。
1.2 方程的几何意义如果把方程画在坐标系上，你会发现它的图像是一条抛物线。
找方程的解，就是找这条抛物线和x轴交点的位置。
说白了，就是找那些“x”值，让方程的值变成零。
2. 解一元二次方程的常见方法好了，了解了方程的基本概念，我们来看看具体的解法吧。
一般来说，有几种常用的办法。
2.1 配方法这方法有点像玩魔术，咱们把方程变得简单易解。
首先，把方程改写成一个完全平方的形式。
举个例子，我们来看方程：x² + 6x + 8 = 0。
1. 把方程左边调整为完全平方：我们可以把x² + 6x变成(x + 3)² 1，然后得到(x + 3)² 1 + 8 = 0。
2. 化简方程：变成(x + 3)² + 7 = 0。
3. 解方程：我们把(x + 3)² = 7，开方得到x + 3 = ±√(7)，但因为√(7)是虚数，这表明方程没有实数解。
配方法虽然有点复杂，但它特别适合用来解决某些特殊类型的方程。
2.2 求根公式这个方法就像是数学界的万能钥匙。
一元二次方程求解万能公式
一元二次方程求解万能公式一元二次方程的求解是中学数学课程中比较重要的内容，它是以一元二次方程为基本问题，可以使用不同的方法来求解。
为了使求解简便且容易理解，将一元二次方程的求解归纳总结成一个四元一次系统：即一元二次方程求解万能公式，这个万能公式是一个强大的数学工具，无论是在教学中还是分析实际问题都有较强的实际意义。
本文主要讲述一元二次方程求解万能公式的内容及其应用。
首先，要了解一元二次方程的概念及其种类。
一元二次方程是一个指数为二的多项式组成的方程，它可以分为完全平方式和不完全平方式。
一元二次方程有两种解法，一种是配方法，另一种是一元二次方程求解万能公式。
其次，介绍一元二次方程求解万能公式的具体内容。
一元二次方程求解万能公式的数学表达式是： x1= [ -b +/- sqrt (b^2 - 4ac)]/2a，其中， a，b，c分别代表一元二次方程中的常系数。
了解了一元二次方程求解万能公式的表达式后，我们再来看看它的使用。
一元二次方程求解万能公式具有数学表达形式和数学概念形式，以使用者能够根据具体问题对一元二次方程进行求解，实现真实问题的求解。
具体而言，当一元二次方程以ax^2 + bx + c=0形式出现时，只需带入一元二次方程求解万能公式，即可求出满足条件的解。
此外，一元二次方程求解万能公式也有一定的局限性，只有那些具有完全平方式的方程才可以用这种方法求解。
对于不完全平方式的一元二次方程，就不能使用这一公式来求解，有可能需要运用另外的技巧和方法来解决这些问题。
最后，说明一元二次方程求解万能公式的实际意义。
一元二次方程求解万能公式具有很强的实际意义，它既可以用于教学，又可以用于实际应用中。
在教学中，一元二次方程求解万能公式可以更加直观、简单、易懂的方式来引导学生解决问题，使学生能够更好的理解完全平方式的解法。
在实际应用中，一元二次方程求解万能公式也可以帮助用户快速求解复杂的一元二次方程，比如统计学等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.复系数的一元二次方程
一元二次方程)0(02≠=++a c bz az 的系数为虚数时,仍然可以用求根公式a ac
b －b z 242－±=求出方程的根,但是不能用“根的判别式”判别方程有无实根,也可以设方程的根为yi x z +=代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于y x ,的方程（组）,从而求出y x ,的值,进而得出方程的根.
例1 设k R ∈,关于x 的方程2(2)20x k i x ki ++++=有实数解,求k 的值. 分析：设出方程的实数根,代入方程,利用复数相等的充要条件建立方程组求解.
解：设0x 是方程的实数根,代入方程并整理得.0)2()2(002
0=++++i k x kx x
由复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=+=++02020020k x kx x .
解得⎩⎨⎧-==2220k x 或⎩
⎨⎧=-=2220k x . 所以k 的值为22-或22.
点评：求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根,所以
0)2(4)2(2≥+-+=∆ki i k ,解得32≥k 或32-≤k .事实上,由于虚数单位的特殊性,所以不能用判别式判别复系数的一元二次方程有无实数根.
例2 已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.
（1）当方程有实根时,求点),(y x 的轨迹方程；
（2）若方程有实根,求实根的取值范围.
解：（1）设实根为t ,则 0)(2)2(2=-++++i y x xy t i t ，
即0)()22(2=-++++i y x t xy t t ，
根据复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=-+=++0
0222y x t xy t t )2()1(, 由)2(得x y t -=,
代入)1(得02)(2)(2=+-+-xy x y x y ,
即2)1()1(22=++-y x )3(.
∴所求点的轨迹方程为2)1()1(22=++-y x ,
2)1()1(22=++-y x 有公共点,
04≤≤-∴t , 故方程的实根的取值范围为[]0,4-.
点评：本题涉及复数与解析几何的知识,综合性较强,同学们往往不易下手,有一定难度.在第)2(问求实根的取值范围时,还可以先由方程)2)(1(消去y 建立关于实数x 的二次方程,再用判别式∆求出t 的范围.通过本题,同学们要进一步认识把复数问题转化为实数问题求解的必要性,这是解决有关复数问题的常用方法.。