复系数的一元二次方程的解法

2.复系数的一元二次方程

一元二次方程)0(02≠=++a c bz az 的系数为虚数时,仍然可以用求根公式a ac

b －b z 242－±=求出方程的根,但是不能用“根的判别式”判别方程有无实根,也可以设方程的根为yi x z +=代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于y x ,的方程（组）,从而求出y x ,的值,进而得出方程的根.

例1 设k R ∈,关于x 的方程2(2)20x k i x ki ++++=有实数解,求k 的值. 分析：设出方程的实数根,代入方程,利用复数相等的充要条件建立方程组求解.

解：设0x 是方程的实数根,代入方程并整理得.0)2()2(002

0=++++i k x kx x

由复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=+=++02020020k x kx x .

解得⎩⎨⎧-==2220k x 或⎩

⎨⎧=-=2220k x . 所以k 的值为22-或22.

点评：求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根,所以

0)2(4)2(2≥+-+=∆ki i k ,解得32≥k 或32-≤k .事实上,由于虚数单位的特殊性,所以不能用判别式判别复系数的一元二次方程有无实数根.

例2 已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.

（1）当方程有实根时,求点),(y x 的轨迹方程；

（2）若方程有实根,求实根的取值范围.

解：（1）设实根为t ,则 0)(2)2(2=-++++i y x xy t i t ，

即0)()22(2=-++++i y x t xy t t ，

根据复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=-+=++0

0222y x t xy t t )2()1(, 由)2(得x y t -=,

代入)1(得02)(2)(2=+-+-xy x y x y ,

即2)1()1(22=++-y x )3(.

∴所求点的轨迹方程为2)1()1(22=++-y x ,

2)1()1(22=++-y x 有公共点,

04≤≤-∴t , 故方程的实根的取值范围为[]0,4-.

点评：本题涉及复数与解析几何的知识,综合性较强,同学们往往不易下手,有一定难度.在第)2(问求实根的取值范围时,还可以先由方程)2)(1(消去y 建立关于实数x 的二次方程,再用判别式∆求出t 的范围.通过本题,同学们要进一步认识把复数问题转化为实数问题求解的必要性,这是解决有关复数问题的常用方法.