行星运行轨道的推导

行星运行轨道的推导

王晓琳，陈海军

（陇东学院物理与电子工程学院，甘肃庆阳745000）摘要：从力的观点对行星运行轨道推导计算，通过求有心力，然后求出在有心力作用下的质点运动规律，进而对行星运行轨道形状展开讨论；再从能量的观点出发，得到行星运行轨道的一般Binet方程，还可以从质点的运动微方程导出比耐方程，从而了解行星运行轨道的一般规律，即天体运行轨道的方程。

关键词：有心力，比耐公式，轨道方程

0引言

天体行星的运行轨道都是椭圆，这一点早已被科学观察所证实。但为什么行星的运动轨迹都会是椭圆的呢？1609年，德国著名的天文学家、数学家开普勒在研究古希腊天文学家托勒密的“地心说”和波兰天文学家哥白尼的“日心说”的基础上，提出了“开普勒定律”，描述了行星绕太阳运动的规律，其中开普勒第一定律，即轨道定律，认为每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。几个世纪来，牛顿给出了计算椭圆轨道的公式，康德在其《宇宙发展史概论》中做出了一个不很明确的解答“行星的偏心率是自然界因力图使行星作圆周运动时，由于中间出现了许多情况，而不能完全达到圆形的结果”。而拉普拉斯在其《宇宙体系论》中是这样解释的“如果行星只受太阳的作用，它们围绕太阳运行的轨道是椭圆的……。”20世纪的爱因斯坦也只告诉我们“空间是弯曲的”，现代天文学研究表明，当今人类所能观察到的离地球最远的距离是200亿光年，但这并不是宇宙的边缘，而宇宙的一切天体，一切一切星系的运行，都有着特定的森严的规律，如月球绕地球旋转，地球绕太阳旋转，太阳系绕银河系旋转，银河系绕室女星系旋转等等，万物各成其形，各行其道，这是当代一切科学家共同确认的。

本文首先从力的角度进行讨论

1用力的观点来推导轨道

1.1有心力

各大行星的运行轨道都是绕太阳做椭圆运动的，因为万有引力的作用，一般而言，若运动质点所受的力作用线始终通过某一个定点，则该质点所受的力是有心力。

在平面极坐标系中，质点的运动微分方程为：

0)2()()(2==+==-θ

θθθF r

r m r F F r r m r

对（

1）的第二式进行第一积分，得0)(r 12=θ

r d d m

t

由于质点的质量m 是常数，故积分得h 2=θ

r 将（1）的第一式和（2）作为有心力的基本方程。我们知道有心力是保守力，则它一定存在势能V ，且V F -∇=由于势能差与原点选取无关，故有

⎰--=2

1

r 12)()(r r

V V d

r F （3）

其中V 也是r 的函数，由机械能守恒定律得

E r V r r

=++)()(m 2

122θ （4） 其中E 是质点的总能，为常数。

1.2比耐公式

为了求出在有心力作用下的质点运动规律，由（2）和（4）出发，求出r ，θ和t 的关系，即)(r t r =，

)(t θθ=，但很多情况下并不能得出这样的显函数形式，而只能把他们表示为t 的隐函数，在力学

中想求轨道方程，通常是先求运动规律，然后从运动规律中把参数t 消去，因为运动规律就是轨道的参数方程，而在有心力问题中，常采用另一种方法，为了计算方便，常用r 的倒数u 来代替r ，即求出u 和θ的微分方程

由（1）以r

1u =

代替r 可得到2hu =θ

又θ

θθθθθθd du h d du u dt d u d d dt d d dr dt dr -=-==== 2

1)1(r 2

222)()(r θθθθθd u d u h d du d d d du h dt d dt r d -=-=-== （5） 把r

及θ 的表达式代入（1）中t 就消去了，并得到 m

F

u d u d u -=+)(h 222

2

θ

即轨道微分方程，又称比耐公式，引力时F 为负号，斥力时F 为正号。

1.3轨道形状的讨论：

力与质点到力心间的距离r 成平方反比，在行星绕太阳的运动就是在力与距离成平方反比的引

力作用下发生的，即为万有引力。另一方面，在物理学中也存在平方反比的斥力问题，例如用α粒子（带正电）轰击原子核（也带正电），将发生散射现象，这是α粒子所受的力虽然也是有心力，但与万有引力不同，是一种与距离平方成反比的排斥力。

现由比耐公式来求质点在与距离平方成反比的引力作用下的轨道方程。

如果令太阳的质量为s m ，行星的质量为m ，则由万有引力定律，知行星和太阳之间的作用力可以写为

22222

m -u mk r

m

k r m G F s -=-== （6） 式中G 为万有引力常数，s Gm k =2

是一个与行星无关而只和太阳有关的量，称为太阳的高斯

常量，r 为行星和太阳之间的距离。

把（6）代入（5）中得：2

2222

2

)(h u k u d u d u =+θ

（7）

即22

2

2h

k u d u d =+θ （8） 令22

h

k u +=ξ

则（8）式变为0d 2

2=+ξθ

ξ

d （9） 这个微分方程的形式与谐振动方程完全一样，所以它的解是

)cos(0θθξ-=A

而22

022)cos(h

k A h k u +-=+=θθξ

或2

202

2

)][cos(11k h

A k h u r θθ-+==

（10）

式中A 及0θ是两个积分常数，如果把极轴转动一个角度，可使00=θ，则式（10）就简化为

θ

cos 1/22

2

2k

h A k h r +=

（11） 这就是所要求的轨道方程。