力学第七章练习题

3解题示例
例题5—5 如图5—9所示。

弹簧的质量忽略不计，而倔强系数6.11=k 牛顿／米。

绳子质量忽略不计且不可伸长。

滑轮的半径=R 10厘米，绕其抽转动的转动惯量01.0=I 千克．2
米。

空气阻力不计，求质量1=m 千克的物体从静
止开始(此时弹簧无伸长)落下1=h 米时的速度大小
(h v )。

己知 m N k /6.11=，cm R 10= ，201.0m kg I ⋅=，
m h 1=，kg m 1=
求 h v
例题5一6 一均匀棒长4.0=l 米，质量1=M 千克，可绕通过其
上端O 的水平轴转动，质量01.0=m 千克的弹片以速度200
=v 米/秒射入棒中，射入处离O 点为0.3米（图5-11）。

求棒与弹片
一起转动时的角速度ω，及转过的角度θ。

已知 l 、M 、m 、弹片射入处
求ω、θ
角动量与刚体转动练习题
一. 选择题
1. 人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为 A 和 B 。

用 L 和 Ek 分别表示对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有
.
,)(kB kA B A E E L L A >>.,)(kB kA B A E E L L B <=.
,)(kB kA B A E E L L C >=.,)(kB kA B A E E L L D << 解：由角动量守恒 B A L L = 由机械能守恒， 因为势能 pB pA E E < .kB kA E E >∴
答案 ：(C)
2. 由一半径为 R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为 J ，开始时转台以匀角速度ωo 转动，此时有一质量为 m 的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为
图5—9
v 21
B v B
.)(02ωmR J J A + .)()(02ωR m J J B + .)(02ωmR
J C .)(0ωD 解：由角动量守恒 ωω)(020mR J J +=+
.02
ωωmR J J +=∴ 答案 ：(A)
3. 如图所示，一静止的均匀细棒，长为 L 、质量为 M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴 O 在水平面内转动，转动惯量为1/3 ML2. 一质量为 m 、速率为 v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿入棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为1/2 v , 则此时棒的角速度应为
.)(ML mv A .23)(ML mv B .35)(ML mv C .47)(ML
mv D 解：由角动量守恒 ω23
121ML vl m mvl +⋅= .23ML mv =∴ω 答案 ：(B )
4. 关于力矩有以下几种说法：
（1）对某个定轴而言，内力矩不会改变刚体的角动量。

（2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零。

（3）质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩作用下，它们的角速度一定相等。

在上述说法中，
（A ）只有（2）是正确的。

（B ）（1）、（2）是正确的。

（C ）（2）、
（3）是正确的。

（D ）（1）、（2）、（3）是正确的。

答案 ：(B )
二. 填空题
1. 在光滑的水平面上，一根长 L=2 m 的绳子，一端固定于O 点，另一端系一质量 m=0.5kg 的物体。

开始时，物体位于位置A ， OA 间距离 d=0.5m ,绳子处于松弛状态。

现在使物体以初速度 vA=4 m.s-1 垂直于 OA 向右滑动，如图所示。

设以后的运动中物体到达位置 B, 此时物体速度的方向与绳垂直，则此时刻物体对O 点的角动量的大小 LB = ______1N.m.s _____,物体速度的大小 vB = ____1m/s _____ .
解：由角动量守恒 )..(15.045.0s m N d mv L L A A B =⨯⨯=== )/(125.01s m ml L v B B =⨯== 2. 一长为 L 的轻质细杆，两端分别固定质量为 m 和 2m 的小球，此系统在竖直平面内可绕过中点 O 且与杆垂直的水平光滑固定轴（ O 轴）转动。

开始时杆与水平成 60o 角，处于静止状态。

无初转速地释放以后，杆球这一刚体系统绕 O O 轴的转动惯量 J = _____3/4mL2________.
合外力矩M = ___1/2mgL__.角加速度β= ____.
3
2
L
g
_________ .
解：转动惯量.
4
3
)
2
(
)
2
(
22
2
2mL
L
m
L
m
J=
+
=
合外力矩.
2
1
)
2
(
)
2
(
2mgL
L
mg
L
mg
M=
-
=
由转动定律，角加速度.
3
2
4
3
2
1
2L
g
mL
mgL
J
M
=
=
=
β
3. 一圆柱体质量为M, 半径为R , 可绕固定的通过其中心轴线的光滑轴转动，原来处于静止。

现有一质量为m 、速度为v的子弹，沿圆周切线方向射入圆柱体边缘。

子弹嵌入圆
柱体后的瞬间，圆柱体与子弹一起转动的角速度ω= _____.
)
2(
2
M
m
R
mv
+
_________.(已知圆柱体绕固定轴的转动惯量J =1/2 MR2 ）
解：由角动量守恒,
)
2
1
(2
2ω
MR
mR
mvR+
=
.
)
2(
2
2
12
2M
m
R
mv
MR
mR
mRv
+
=
+
=
ω
4. 如图所示的匀质大圆盘，质量为M ，对于过圆心O
转轴的转动惯量为1/2 MR2 . 如果在大圆盘中挖去图示的一个小圆盘，其
质量为m ，半径为r , 且2r = R .
则挖去小圆盘后剩余部分对于过O 点且垂直于盘面的转轴的转动惯量
为______).
3
4(
2
1
2m
M
r
J-
=_______________ .
解：由平行轴定理，小圆盘对O 轴的转动惯量为
2
2
2
2
3
2
1
mr
mr
mr
J
r
=
+
=
剩余部分对于过O 轴的转动惯量
).
3
4(
2
1
2
3
2
1
2
2
2m
M
r
mr
MR
J-
=
-
=
5. 长为L 、质量为M 的匀质细杆可绕通过杆一端O 的水平光滑固定轴转动，转动惯量为1/3 ML2，开始时杆竖直下垂，如图所示。

有一质量为m 的子弹一水平速度vo 射入杆上 A 点，并嵌在杆中，OA= 2/3 L, 则子弹射入后瞬间杆的角速度
ω=_____.
)
3
4(
6
l
M
m
mv
+
__________.
解：由角动量守恒[],
3
1
)
3
2
(
)
3
2
(2
2
ω
Ml
l
m
l
mv+
=
刚体力学练习题二
1．质量为m 、半径为r 的均质细圆环，去掉2／3，剩余部分圆环对过其中点，与环面垂直的轴的转动惯量为（ ）
A ． mr 2／3
B ．2mr 2／3
C ． mr 2
D ．4mr 2／3
2. 有A ，B 两个完全相同的定滑轮，边缘绕有轻绳，A 的绳下端挂着一质量为m 的物体， B 的绳下端施加一个向下的拉力F = mg ，今由静止开始使m 下落h ，同时F 也拉着绳的下端向下移动了h ，在这两个过程中相等的物理量是（ ）
A ．定滑轮的角加速度 B.定滑轮对转轴的转动动能
C ．定滑轮的角速度
D ．F 和重力mg 所作的功
3．有一几何形状规则的刚体，其质心用C 表示，则（ ）
A. C 一定在刚体上
B ．
C 一定在刚体的几何中心
C ．将刚体抛出后C 的轨迹一定为一抛物线
D ．将刚体抛出后C 的轨迹不一定为抛物线
4．水平光滑圆盘的中央有一小孔，柔软轻绳的A 端系一小球置于盘面上，绳的B 端穿过小孔，现使小球在盘面上以匀角速度绕小孔作圆周运动的同时，向下拉绳的B 端，则（ ）
A ．小球绕小孔运动的动能不变
B ．小球的动量不变
C ．小球的总机械能不变
D ．小球对通过盘心与盘面垂直的轴的角动量不变
5．质量为m 、长为 l 的均质细杆，可绕过其一端，与杆垂直的水平轴在竖直平面内转动。

开始杆静止于水平位置，释放后开始向下摆动，在杆摆过 π／2的过程中，重力矩对杆的冲量矩为（ ）
A ． 31l g ml 32
B ． 32l g ml 32
C ．
l g ml 32 D ． 34l g ml 32
6． 均质细杆可绕过其一端且与杆垂直的水平光滑轴在竖直平面内转动。

今使细杆静止在竖直位置，并给杆一个初速度，使杆在竖直面内绕轴向上转动，在这个过程中（ ）
A ．杆的角速度减小，角加速度减小
B ．杆的角速度减小，角加速度增大
C ．杆的角速度增大，角加速度增大
D ．杆的角速度增大，角加速度减小
7．一质量为m 、半径为R 的均质圆盘，绕过其中心的垂直于盘面的轴转动，由于阻力矩存在，角速度由 0ω减小到 0ω／2，则圆盘对该轴角动量的增量为（ ）
A ． 2102ωmR
B ． - 4102ωmR
C. - 2102ωmR D ． -
4102ωmR 8．均质细圆环、均质圆盘、均质实心球、均质薄球壳四个刚体的半径相等，质量相等，若以直径为轴，则转动惯量最大的是（ ）
A ．圆环
B ．圆盘
C ．质心球
D ．薄球壳
9．地球在太阳引力作用下沿椭圆轨道绕太阳运动，在运动的过程中（ ）
A ．地球的动量和动能守恒
B ．地球的动能和机械能（包括动能和引力势能）守恒
C ．机械能和对于垂直于轨道平面且过太阳的轴的角动量守恒
D ．角动量（同上）和动量守恒
10．一均质细杆可绕过其一端且与杆垂直的水平轴在竖直面内转动，开始时杆静止在水平位置，释放后杆转过了 θ角，则杆的转动动能的增量等于（ ）．
A ．重力矩的功的负值
B ．重力矩的功
C ．重力的冲量矩的负值
D ．重力的冲量矩
刚体力学练 习 三
一、选择题
1．质量为m 、半径为r 的均质细圆环，去掉2／3，剩余部分圆环对过其中点，与环面垂直的轴的转动惯量为（ ）
A ． mr 2／3
B ．2mr 2／3
C ． mr 2
D ．4mr 2／3
2. 有A ，B 两个完全相同的定滑轮，边缘绕有轻绳，A 的绳下端挂着一质量为m 的物体， B 的绳下端施加一个向下的拉力F = mg ，今由静止开始使m 下落h ，同时F 也拉着绳的下端向下移动了h ，在这两个过程中相等的物理量是（ ）
A ．定滑轮的角加速度
B ．定滑轮对转轴的转动动能
C ．定滑轮的角速度
D ．F 和重力mg 所作的功
3．有一几何形状规则的刚体，其质心用C 表示，则（ ）
A. C 一定在刚体上
B ．
C 一定在刚体的几何中心
C ．将刚体抛出后C 的轨迹一定为一抛物线
D ．将刚体抛出后C 的轨迹不一定为抛物线
4．水平光滑圆盘的中央有一小孔，柔软轻绳的A 端系一小球置于盘面上，绳的B 端穿过小孔，现使小球在盘面上以匀角速度绕小孔作圆周运动的同时，向下拉绳的B 端，则（ ）
A ．小球绕小孔运动的动能不变
B ．小球的动量不变
C ．小球的总机械能不变
D ．小球对通过盘心与盘面垂直的轴的角动量不变
5．质量为m 、长为 l 的均质细杆，可绕过其一端，与杆垂直的水平轴在竖直平面内转动。

开始杆静止于水平位置，释放后开始向下摆动，在杆摆过 π／2的过程中，重力矩对杆的冲量矩为（ ）
A ． 31l g ml 32
B ． 32l g
ml 32 C ． l g ml 32
D ． 34l g ml 32
6． 均质细杆可绕过其一端且与杆垂直的水平光滑轴在竖直平面内转动。

今使细杆静止在竖直位置，并给杆一个初速度，使杆在竖直面内绕轴向上转动，在这个过程中（ ）
A ．杆的角速度减小，角加速度减小
B ．杆的角速度减小，角加速度增大
C ．杆的角速度增大，角加速度增大
D ．杆的角速度增大，角加速度减小
7．一质量为m 、半径为R 的均质圆盘，绕过其中心的垂直于盘面的轴转动，由于阻力矩存在，角速度由 0ω减小到 0ω／2，则圆盘对该轴角动量的增量为（ ）
A ． 2102ωmR
B ． - 4102ωmR
C. - 2102ωmR D ． -
4102ωmR 8．均质细圆环、均质圆盘、均质实心球、均质薄球壳四个刚体的半径相等，质量相等，若以直径为轴，则转动惯量最大的是（ ）
A ．圆环
B ．圆盘
C ．质心球
D ．薄球壳
9．地球在太阳引力作用下沿椭圆轨道绕太阳运动，在运动的过程中（ ）
A ．地球的动量和动能守恒
B ．地球的动能和机械能（包括动能和引力势能）守恒
C ．机械能和对于垂直于轨道平面且过太阳的轴的角动量守恒
D ．角动量（同上）和动量守恒
10．一均质细杆可绕过其一端且与杆垂直的水平轴在竖直面内转动，开始时杆静止在水平位置，释放后杆转过了 θ角，则杆的转动动能的增量等于（ ）．
A ．重力矩的功的负值
B ．重力矩的功
C ．重力的冲量矩的负值
D ．重力的冲量矩
二、填空题
1．均质圆盘对通过盘心，且与盘面垂直的轴的转动惯量为20 kg/m 2。

则该圆盘对于过R/2处，且与盘面垂直的轴的转动惯量为_______________________。

2．已知匀质细杆对过基一端与杆垂直的O 轴的转动惯量为J 0 ，若将此杆弯成一个等边三角形，O 轴在三角形的一个角上，且与三角形所在的平面垂直，新的刚体对O 轴的转动惯量为___________________。

3．半径为 30 cm 的飞轮从静止开始以 0。

5 rad/s 2的匀角加速度转动，在轮开始转动时轮缘上一点的切向加速度 =τa __________________，法向加速度 =n a ____________________。

t = 2 s 时轮缘上一点的总加速度 =2a ______________________。

4．一飞轮以初角速度 0ω开始作匀角加速度转动，在第3秒末的角速度为108 rad/s 2，在9钟内共转过了234 rad ，则飞轮的初角速度为_________________，角加速度为________________。

5．一水平转台，绕竖直的固定轴转动，每10秒钟转一圈，转台对转轴的转动惯量为J ＝1200 kg ·m 2 ，质量60 kg 的人开始站在转台中心，随后沿半径向外跑，当人离轴2 m 时，转台的角速度为________________。

6．质点系由A ，B ，C ，D 4个质点组成，A 的质量为m ，位置坐标为（0，0，0），B 的质量为2 m ，位置坐标为（1，0，0），C 的质量为3 m ，位置坐标为（0，l ，0），D 的质量4 m ，
位置坐标为（0，0，1），则质点系质心的坐标为 =c x _____________， =c y ______________，
=c z __________。

7．一刚体在平面力系作用下保持平衡，在已建立的 Oxy 坐标系中， i F 401=N ，作用
点的坐标为（2 m ，3 m ）， j F
502=N ，作用点在（4 m ， l ｍ）， 3F 的作用点在 x 轴上，
则 3F
＝__________________， =3x __________________。

8．质量为100 kg 、半径为l ｍ的均质圆盘，可绕过圆盘中心、且与盘面垂直的水平固定轴转动，盘缘绕有细绳，绳下端挂有10 kg 的物体，释放后圆盘的角加速度为______________________。

9．质量为 m １，可视为均质圆盘的水平圆台以角速度 ωl 绕竖直轴转动。

一质量为 m 2的人沿在圆台边上与圆台一起转动。

当此人走到圆台中心时，圆台的角速度为_________________。

10. 转动惯量为20 kg ·m 2 的飞轮在一阻力矩的作用下转速由 600转／分降为300转／分，在这个过程中M 作的功为_________________，M 的冲量矩为__________________。

三、计算题
1.一复摆由长为0．90 m ，质量为5 kg 的均质细杆和一个半径为0．10 m 、质量为20 kg 的均质圆盘组成。

圆盘固定在细杆一端，且盘心在杆的延长线上。

求复摆对过杆另一端、且与盘垂直的轴的转动惯量。

2．一飞轮直径为0．30 m ，质量为5．00 kg ，可视为均质圆盘，轮缘绕有细绳。

现用恒力拉绳子的一端，使其由静定均匀的加速，经 0．50 s 转速达 10 rad ／s －1。

求：
（1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；
（2）拉力及拉力所作的功；
（3）t ＝10 s 时飞轮的角速度及轮缘上一点的速度和加速度。

3．斜面倾角为 θ，位于斜面顶端的卷扬机的鼓轮半径为r ，转动惯量为J ，受到的驱动力为M 。

通过绳索牵动斜面上质量为m 的物体，物体与斜面间的摩擦系数为
μ，求重物沿斜
面向上运动的加速度（绳索与斜面平行，绳的质量不计）。

4．长为 l 、质量为m 的均质细杆以一端为固定轴竖直下垂着，用锤头击打杆的下端，使杆得角速度 0ω，杆向上摆，摆至水平位置时，恰有 ω＝0，求：
（1） 0ω大小和锤头给杆的冲量矩的大小；
（2）在杆获得 0ω的瞬时，杆的质心加速度多大；
（3）后打后的瞬时，杆的固定端受的力多大；
（4）杆摆至与水平成600角时，杆的角加速度多大。

9．长为 l 、质量为m 的均质细杆可绕过其一端与杆垂直的固定水平轴在竖直面内转动。

使杆静止在水平位置，然后释放，当杆转过 θ角时，求：
（1）杆的角速度、角加速度；
（2）质心的切向加速度、法向加速度；
（3）在从 θ→0的过程中重力矩所作的功。