第八讲 Taylor级数

f ( ) ( z 0 )
n1
k
d
f ( z 0 ) f ' ( z 0 )( z z 0 )
f
( n)
( z0 ) n ( z z 0 ) ( 4) n!
函数f ( z )在z0处的Talor级数
级数(4)的收敛范围是以 z 0为中心，r为半径 的圆域 z 0 r ,圆k的半径r可以任意增大, 只要圆k及其内部包含在 D内即可,
z




(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负 实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一 个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z<1.
( 2)在实数域中 1 2 4 n 2n 1 x x ( 1 ) x 2 1 x 为什么它的收敛半径 R 1, 在实数域中的不容易 1 看清楚, 在复数域中容易看出 有两个奇点 2 1 z z i , R 1
e z 在复平面上解析 该级数的收敛半径 R .
e zi e zi 1 ( zi ) n ( zi ) n sin z 2i 2i n! n 0 n 0 n!


1 2i z 2i k 1 ( 2k 1)!
x0 x0
并以x 0为其聚点。 因此x 0不是f ( x )的孤立零点。
但是在复变函数中，却有 定理2
f ( z )为 | z a | R上的解析函数，且不恒 为零,
a为其零点，则必有 a的一个邻域，使得 f ( z )在 其中无异于a的零点。
不恒为零的解析函数的零点是孤立的！ 推论
f ( ) 两端乘以 , 沿着k逐项积分得, 2i
1 f ( ) 1 f ( ) d d f (z) 2i k z 0 2i k z
z z0 2i

n ( z z ) f ( ) 0 d 2i k ( z ) 2 0
定理
(1) 函数f ( z )在点z0 解析 f ( z )在z0的 某一邻域内可展成幂级 数 c n ( z z 0 ) .
n n 0
( 2) 函数f源自文库( z )在区域D内解析 f ( z )在 D内可展成 幂级数.
小结：f ( z )在点z0 解析
(1) f ( z )在点z0的某一邻域内可导。
则 f ( z0 ) a0，再由幂级数的逐项求 导性质得，
f ' ( z ) a1 2a2 ( z z0 ) nan ( z z0 )n1 f ' ( z0 ) a1 1 ( n) , 依此类推得， an f ( z0 ) n 0,1,2, n!
则称a为f ( z )的零点。
若 f (a ) f ' (a ) f ( m 1) (a ) 0, 但 f ( m ) (a ) 0, 则 m 称为 零点a的阶,
a 称为 f ( z ) 的 m阶零点。
定理1 不恒为零的解析函数 f ( z )以a为m阶零点的
充分必要条件为： f (z) (z a) (z)
( 2) f ( z )的实部和虚部在点 z 0的某一邻域内有连续 偏导数且满足C R方程。
( 3) f ( z )在点z 0的某一邻域内连续且沿 邻域内的 任一条正向封闭路线的 积分为0。
(4) f ( z )在点z0的某一邻域内可展成幂 级数。
4.4 解析函数零点的孤立性及惟一性定理
1、解析函数零点的孤立性 定义1 设函数f ( z )为D上解析函数， a D, f (a ) 0,
设 (1) 函数f ( z )在K :| z a | R内解析；
(2)在K内有f ( z )的一列零点 { z n }( z n a )收敛于a，
则f ( z )在K内必恒为零。
2、惟一性定理 定理3 设 (1) 函数 f 1 ( z ) 和 f 2 ( z ) 在区域D内解析；
( 2) D内有一个收敛于 a D的点列{ z n }( z n a )， 在其上f 1 ( z )与f 2 ( z )等值，
故z

2
2k , ( k 0,1,)都是sin z 1的二阶零点。
孤立零点：一个函数的零点附近没有其他零点。 一个实变函数的零点不一定是孤立的，如
1 它在实轴上处处可微， x 0及x 都是它的零点， n
1 2 x sin , f ( x) x 0,
定理（泰勒展开定理）
设f ( z )在区域D内解析, z0 D, R为z0到D的边界 上各点的最短距离 当 z z0 R时, f ( z ) cn ( z z0 ) n
n 0
(1)
f ( z )在z 0处 的Taylor级数
1 (n) 其中 : c n f ( z0 ) n!
则f 1 ( z )和f 2 ( z )在D内恒等。
推论1 设在区域D内解析的函数 f 1 ( z )和f 2 ( z )在D
的某一子区域（或一小 段弧）上相等， 则它们必在区域 D上恒等。
等式（例如sin 2 z 推论2 一切在实轴上成立的恒 cos z 1, sin 2 z 2 sin z cos z等等），在z平面
2n z2 z4 z 1 ( 1) n 2! 4! ( 2n)!
sin z, cos z在全平面上解析， 它们的半径 R

上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.
例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:
1 1 (1) f ( z ) ( 2) f ( z ) ( 3) f ( z ) ln( 1 z ) 2 1 z (1 z )
第八讲
泰勒(Taylor)级数 解析函数零点的孤立性 及惟一性定理
§4.3 泰勒(Taylor)级数

1. 泰勒展开定理
2. 展开式的唯一性
3. 简单初等函数的泰勒展开式
1. 泰勒(Taylor)展开定理
由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数。 现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？） 以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。


1 2z 3z 2 (1) n1 nz n1 z 1
( 3)在收敛圆z 1内任意取一条从 0 z( z 1) 的路径c , 将(1)的展开式两边沿 c逐项积分得:

z z z dz dz zdz ( 1) n z n dz 0 1 z 0 0 0 2 n1 z 1 3 n z ln( 1 z ) z z ( 1) z 1 2 3 n1

2 k 1 2 k 1
( 1) z ( 2k 1)! k 1

k 1
2 k 1
z3 z5 z7 ( 1)k 1 z 2 k 1 sin z z 3! 5! 7! ( 2k 1)! k 1
又 cos z (sin z )'
f ( z )在解析点z 0处的Taylor级数收敛 半径至少等于从 z 0到D的边界上各点的 最短距离.证毕!
(1)
若f ( z )有奇点, 那么f ( z )在解析点
z0的Talor展开式的收敛半径 R等于从z0到 f ( z )的最近的一个奇点 之间的距离, 即, R z0
f ' (0) 1 1 0. f " (0) 0. f '" (0) 1 0.
从而z 0的f ( z ) z sin z的三阶零点。
们的阶。 例2 求 sin z 1的全部零点，并指出它
解
2i , 即 e i 0, iz Lni i 2k 从而 z 2k , ( k 0,1,) 2 2 这就是sin z 1在z平面上的全部零点。 e e
m
其中 ( z )在点a的邻域 | z a | R内解析， 且 (a ) 0。
例1 解
考察函数 f ( z ) z sin z 在原点 z 0 的性质。
显然f ( z )在z 0解析，且f ( z ) 0.
f ' ( z ) 1 cos z , f " ( z ) sin z , f '" ( z ) cos z ,
iz iz
iz 2
sin z 1在z平面上解析， 由sin z 1 0得
显然
(sin z 1)'
z 2 k 2

cos z
z 2 k 2

0,
(sin z 1)"
z 2 k 2

sin z
z 2 k 2

1 0,
由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的。
当z 0 0时, Taylor级数为：
f ' ' ( 0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( z ) f ( 0) f ' ( 0) z z z 2! n!
函数展开成Taylor级数的方法： • 代公式 ---直接法 • 由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和 已知函数的展开式来展开 ---间接法
3. 简单初等函数的泰勒展开式
例1 求f ( z ) e z , sin z , cos z在z 0的Talor
展开式.
解 (e z )( n )
z
z 0
ez
2
z 0
1 (n 0,1,2,)
3 n
z z z e 1 z 2! 3! n!
1 2 n 解 (1) 1 z z z 1 z
1 1 1 z ( 1)n z n 1 z 1 ( z )
z 1
z 1
(2)由幂级数逐项求导性质得：
d 1 d 2 n 1 n 1 z z ( 1 ) z 2 dz 1 z dz (1 z ) 1
n 0,1,2,
证明 设k : z 0 r , { z 0 r } D,
z为k内任一点, 由Cauchy积分公式 : z z0 1 f ( ) f (z) d q 1, 2i k z z0

1 1 1 z z0 ( z z0 ) z0
z0
r
z

k
D
z z0 z z0 2 1 [1 ( ) z0 z0 z0 z z0 n ( ) ] ( 3) z0
1 z z0 1 z0
z z0 z z0 2 z z0 n 1 1 [1 ( ) ( ) ] z0 z0 z0 z z0
( 2) 在收敛圆上, 这是因为f ( z )在收敛 圆内解析, 所以奇点不可能在收敛圆内. 又 奇点不可能在收敛圆外, 不然的话, 收敛半径还可以扩 大, 因此, 奇点只能在 收敛圆周上.
2. 展开式的唯一性
利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样 的展开式是否唯一？ 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它 的Taylor级数。 事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数: f ( z ) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2 an ( z z0 )n 结论