复变函数(西交大)第三讲共48页PPT资料
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《复变函数》课件Chap3-2
z z
z
F(z z) F(z) f ( )d f ( )d .
z0
z0
由于积分与路线无关,因此积分 zz f ( )d 的 z0
积分路线可取先从 z0 到 z,然后再从 z 沿直线段到
z z ,而从 z0 到 z 的积分路线取得跟积分
z f ( )d 的积分路线相同.于是有 z0
2020/11/15
由定理一可知，解析函数在单连通域内的
积分只与起点 z0 及终点 z1 有关,所以有
f (z)dz f (z)dz z1 f (z)dz z0
C1
C2
2020/11/15
38 - 12
固定 z0 ,让 z1 在 B 内变动,并令 z1 z ,那么积分
z f ( )d 在 B 内确定了一个单值函数 F(z) ,即 z0 z F(z) f ( )d (3.4.1) z0
2020/11/15
图3.6
38 - 6
n
i) C f (z)dz k1 Ck f (z)dz, 其中 C 及 Ck 均取正方向; ii) f (z)dz 0. 这里 为由 C 及 Ck (k 1,2,,n) 所
组成的复合闭路(其方向是:C 按逆时针进行, Ck
(k 1,2,,n) 按顺时针进行).
2020/11/15
38 - 2
D
F
C
D1 F
A
A
B
B
E C1
E
2020/11/15
图 3.5
38 - 3
由图 3.5 可知：
f (z)dz 0
f (z)dz 0
AEBBEAA
AAFBB F A
将上面两式相加,得
f (z)dz f (z)dz f (z)dz
1-5复变函数课件 西安交通大学
消去参数 y 得 : v 2 42 (2 u),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
14
4. 反函数的定义:
设 w f ( z ) 的定义集合为z 平面上的集合G , 函数值集合为w 平面上的集合G*, 那末 G * 中的 每一个点 w 必将对应着G 中的一个(或几个)点. 于是在 G * 上就确定了一个单值(或多值)函数 z ( w ), 它称为函数 w f ( z ) 的反函数, 也称 为映射 w f ( z ) 的逆映射.
5
2.映射的定义:
如果用 z 平面上的点表示自变量z 的值, 而用另一个平面w 平面上的点表示函数w 的 值, 那末函数 w f ( z ) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集G (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集G * (函数值集合)的映射 (或变换).
6
这个映射通常简称为由 函数 w f ( z ) 所构成的映射.
2
π π 故线段 0 r 2, 映射为 0 4, , 4 2
17
例1 在映射 w z 下求下列平面点集在w 平面
2
上的象 :
(2) 双曲线 x 2 y 2 4;
解 令 z x iy, w u iv ,
则 u iv x 2 y 2 2 xyi,
放映结束，按Esc退出.
24
映射 w z 2 将 z 的辐角增大一倍 .
y
v
o
x
o
2
u
将 z 平面上与实轴交角为 的角形域映射成w 平面上与实轴交角为2 的角形域.
复变函数 西安交大版
本文档深入探讨了复变函数中的解析函数概念，首先定义了复变函数的导数与微分，通过极限的形式描述了函数在某点可导的条件。接着，通过具体例题演示了如何求解复变函数的导数，如f(z)=z^2和f(z)=Imz的导数求解，文档还证明了函数在某点可导则必定连续，但连续不一定可导的重要性质，进一步加深了对复变函数导数与连续关系的理解。最后，由于复变函数中导数的定义与实变函数中的一致性，实变函数中的求导法则可以推广到复变函数中，为学习和应用复变函数提供了有力的工具。
西安交大工程数学复变函数第四版第三章复变函数的积分
显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA均为封闭曲线.
因为它们的内部全含于D,
故 f (z)dz 0, AEBBEAA
CF A A F
B
f (z)dz 0.
D1 E C1 B
AAF BBFA
︵︵
D
︵
E
︵
︵ ︵ AEBBEAA AEB BB BEA AA,
︵
︵
AAFBBFA AA AFB BB BFA,
22
2 不定积分 f z 的原函数的一般表达式 F z C（其中C为 任意常数），称为 f z 的不定积分，即
f zdz Fz c （其中C为任意常数）
例如 sinzdz cos z c 其中c为任意常数
（换元积分法 分部积分法）
例 z sinzdz z d cos z z cos z cos zdz
二、复合闭路定理
设 f z在多连通域D内解析，C是D内的一条简单闭曲线，
C1, C2 , , Cn是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互
不相交，且以C, C1, C2 , , Cn 为边界的区域全包含于D，
则
n
⑴
f zdz
C
k 1 Ck
f zdz
C1
n
⑵ f zdz f zdz 0
设f z在单连通域B内解析，则F z在B内是一解析函数，
且Fz f z, 即F z为f z的原函数. 证明
24
定理三
设f z在单连通域B内解析，Gz为f z的一个原函数，
则
z1 z0
f
zdz
Gz1 Gz0 .
解析函数的积分计算公式
证
z z0
f zdz,Gz均为f
工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-1,2,3 西安交大
⑴
⑵
f z dz
C k 1
n
Ck
f z dz
C3
C1
C
f z dz
n
k 1 C
k
f z dz 0
C2
C
D
12
2z 1 在内的任何正 dz, 为包含圆周 z 1 例4 计算 2 z z
向简单闭曲线.
解 据复合闭路原理得
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 dz 2 z z z z z z c1 c2
0
0 1
C1 C2
C3
z1
2 zdz zdz zdz
C C2 1 C3 1
1 1 tdt 1 it idt i 1 i 0 0 2 2
8
三、积分的性质
i ii iii
f z dz
C
C 1
f z dz
C
4
ux t , yt xt vx t , yt yt dt
i v x t , y t x t u x t , y t yt dt
uxt , yt ivxt , yt xt iyt dt
⑴ 当 f z 是 连 续 函 数 而C 是 光 滑 曲 线 时, ⑵
C C C
C
f z 第二型曲线积分 dz一 定 存 在.
C
f z dz u iv d x iy u dx vdy i v dx udy
f z dz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。
复变函数 西安交大版
解
1 因为 w 在复平面内除 z 0 处处可导, z dw 1 且 2, dz z
所以 w在复平面内除 z 0 外处处解析,
z 0 为它的奇点 .
利用求导法则易得下面解析函数的性质.
定理
(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的 和、差、积、商 除去分母为零的点 在 D 内解析. ( )
u v i x x
若沿平行于虚轴的方式 z z(x 0) z
第二节 解析函数的充要条件 ◇ 一 主要定理 ◇ 二 典型例题 ◇ 三 本节小结
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 问题 如何判断函数的解析性呢？
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导公式.
如果函数在 z0 的微分存在, 则称函数 f ( z ) 在 z0 可微.
特别地,
当 f ( z ) z 时,
dw dz f ( z0 ) z
dw dw f ( z0 ) z f ( z0 ) dz , 即 f ( z0 ) dz z z 0
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
f [ g( z )] f ( w ) g( z ). 其中w g( z ) (6)
1 (7) f ( z ) , 其中 w f ( z )与z ( w )是 ( w ) 两个互为反函数的单值 函数, 且 ( w ) 0
4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 定义 设函数 w f ( z )在 z0 可导, 则 w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z ( z )z ,
复变函数PPT第三章
2
x
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
解 因为 a 在曲线C 内部, 故可取很小的正数 ,
使 C1 : z a 含在 C 内部. 1 此结论非常重要，用起来很 在以 C C1 为边界的复连通域 ( 方便，因为C不必是圆， a z a )n 也不必是圆的圆心，只要a 内处处解析, 由闭路变形原理, 在简单闭曲线C内即可. 2 i , n 1 1 1 ( z a )n dz C ( z a )n dz 0, n 1. C
1 1 在C内作两个正向圆周 1 : z , C 2 : z 1 . C 4 4 y 根据复合闭路定理，
2z 1 2z 1 2z 1 C z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz
C1
C2
1 1 1 1 dz dz dz dz z 1 z z 1 z C1 C1 C2 C2
e dz. 2 z 5z 6
z
z i 1
z 5z 6
2
dz 0 .
例5 解
求 zdz 的值.
z0
z1
1 2 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 z , 2 z1 z1 1 2 1 2 2 zd z z ( z1 z0 ). z0 2 z0 2
i 0
§3.1 复积分的概念
一、复积分的定义
二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
例1 计算 C zdz , C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
x
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
1 例10 求 dz , C 为含 a 的任一简单闭路 , n C (z a) n 为整数.
解 因为 a 在曲线C 内部, 故可取很小的正数 ,
使 C1 : z a 含在 C 内部. 1 此结论非常重要，用起来很 在以 C C1 为边界的复连通域 ( 方便，因为C不必是圆， a z a )n 也不必是圆的圆心，只要a 内处处解析, 由闭路变形原理, 在简单闭曲线C内即可. 2 i , n 1 1 1 ( z a )n dz C ( z a )n dz 0, n 1. C
1 1 在C内作两个正向圆周 1 : z , C 2 : z 1 . C 4 4 y 根据复合闭路定理，
2z 1 2z 1 2z 1 C z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz
C1
C2
1 1 1 1 dz dz dz dz z 1 z z 1 z C1 C1 C2 C2
e dz. 2 z 5z 6
z
z i 1
z 5z 6
2
dz 0 .
例5 解
求 zdz 的值.
z0
z1
1 2 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 z , 2 z1 z1 1 2 1 2 2 zd z z ( z1 z0 ). z0 2 z0 2
i 0
§3.1 复积分的概念
一、复积分的定义
二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
例1 计算 C zdz , C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
复变函数课件第三章
x 3t , y 4t ,0 t 1
c
zdz 3 4i tdt 3 4i
1 2 0
2
tdt
0
1
1 1 2 2 1 2 3 4i t 3 4i 0 2 2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
C
如果 f ( x ) 是实值的, 即为一元实函数的定积分.
一般不能把起点为 , 终点为 的函数 f ( z ) 的积分 记作 f ( z )dz , 因为这是一个线积分 要受积分路 ,
线的限制, 必须记作 f ( z )dz .
C
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
( i 1,2, , n ) ，并作和
n
lim f ( x , y )d 0 f ( i , i ) i .
D
D n
i 1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
z
z f ( x, y )
分割、取近似、 求和、取极限。
o
x
D
y
( i , i ) i
求曲顶柱体体积的方法：
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
西安交通大学复数与复变函数教学PPT
a 2 b2 1 ab x x 2 1
解得 a x, 所以
b x2 1
1 2ix x 2 1 ( x i x 2 1)
西安交通大学
例3.证明 | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ), 并说明几何意义 证：| z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 )
y Im( z )
所以，2）的方程为
Im( z ) 5
z z 10i 0
zz zz ,y 方程较复杂时，一般用： x 2 2i
西安交通大学
例6 说明下列方程所表示的平面图形.
1. z 2i z 2 2. z 1, Im z 0
解：
1. z 2i z 2
再将模变到原来的r2倍
y
r1r2
z1 z2
r2
2
z2 1 2
r1 z1
1 2
o
1
x
西安交通大学
类似得
z1 r1 i (1 2 ) e . z2 r2
从而
两个复数商的模等于它们模的商； 两个复数商的辐角等于它们辐角的差.
西安交通大学
2）复数的乘幂与方根 n次幂
z r e z .z ...z
西安交通大学
例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。 解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
18世纪： 1. 欧拉（L.Euler）建立复数理论，
解得 a x, 所以
b x2 1
1 2ix x 2 1 ( x i x 2 1)
西安交通大学
例3.证明 | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ), 并说明几何意义 证：| z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 )
y Im( z )
所以，2）的方程为
Im( z ) 5
z z 10i 0
zz zz ,y 方程较复杂时，一般用： x 2 2i
西安交通大学
例6 说明下列方程所表示的平面图形.
1. z 2i z 2 2. z 1, Im z 0
解：
1. z 2i z 2
再将模变到原来的r2倍
y
r1r2
z1 z2
r2
2
z2 1 2
r1 z1
1 2
o
1
x
西安交通大学
类似得
z1 r1 i (1 2 ) e . z2 r2
从而
两个复数商的模等于它们模的商； 两个复数商的辐角等于它们辐角的差.
西安交通大学
2）复数的乘幂与方根 n次幂
z r e z .z ...z
西安交通大学
例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。 解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
18世纪： 1. 欧拉（L.Euler）建立复数理论，
复变函数西安交大 第四版第三讲PPT课件
第18页/共46页
§2.3 初等函数
1. 指数函数 2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数
第21页/共46页
内容简介
本节将实变函数的一些常用的初等 函数推广到复变函数情形，研究这些初等 函数的性质，并说明它的解析性。
第22页/共46页
u 2x u 2 y v 0 v 0
x
y
x
y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 2 仅在z 0处可导，但处处不解析。
第16页/共46页
例2 求证函数
w
u( x, y) iv( x,
y)
x2
x
y2
i
x2
y
y2
1 z
在z x iy 0处 解 析 ， 并 求dw . dz
e zi e zi cosz
(3)
2i
2
称 为z的 正 弦 与 余 弦 函 数
第27页/共46页
正弦与余弦函数的性质
1)sinz及cosz是T 2 周期函数
[cos(z 2 ) ei(z2 ) ei(z2 )
eize2i eize2i
2
2
eiz eiz
cos z]
sin( z 2 ) sin z
u v v u x y x y
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来.
利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
第12页/共46页
使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，
(因为u(x,y),v(x,y)具有一阶连续偏导数可推出它们可 微)
复变函数PPT第03章复变函数的积分
那么
∫
y
C
f ( z ) dz = ∫
T t0
f [ z ( t )] z′( t ) dt
C
z
Z = z (T )
z0 = z ( t 0 )
z = x+iy
o
x
积分的存在性及求法
证 f⎡ ⎣ z(t )⎤ ⎦ = u⎡ ⎣ x ( t ) , y ( t )⎤ ⎦ + i v⎡ ⎣ x(t ), y(t )⎤ ⎦ 所以
∑ ( u Δy
k =1 k
n
k
+ v k Δxk )
因为 u( x , y ) , v ( x , y ) 沿 C 连续 ,
所以
lim ∑ ( uk Δxk −vk Δyk ) = ∫ udx − vdy
δ→ 0 k =1 n C
n
lim ∑ ( uk Δyk +vk Δxk ) = ∫ vdx + udy
δ→ 0 k =1
ζk
z k −1
zk
Z
z n −1
o
x
积分的存在性及求法
∫ ∫
故
C
zdz = lim ∑ zk Δzk = lim ∑ zk ( zk − zk −1 )
δ→ 0 k =1 n δ→ 0 k =1
n
n
C
zdz = lim ∑ zk −1Δzk = lim ∑ zk −1 ( zk − zk −1 )
∫
C
f ( z )d z . 即 f ( z )dz = lim∑ f ( ζ k )Δzk
δ→0 k =1 n
∫
C
积分的存在性及求法 三、积分的存在性及求法
2-1复变函数课件 西安交通大学
解
f ′( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
Байду номын сангаас
∆z → 0
( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim ∆z → 0 ∆z = lim ( 2 z + ∆z ) = 2z .
∆z → 0
′ = 2z (z )
2
4
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
特别地, 特别地 当 w = f ( z ) = z 时,
dw = dz = f ′( z0 ) ⋅ ∆z = ∆z ,
dw dw d w = f ′ ( z 0 ) ⋅ ∆ z = f ′ ( z 0 ) ⋅ d z , 即 f ′( z 0 ) = dz z = z0
数 = 函 w= f (z)在z0可 与 z0可 是 价 . 导 在 微 等 的
当点沿不同的方向使 ∆z → 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
6
例3 问f ( z ) = x + 2 yi是否可导？ 是否可导？ 解
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f lim = lim ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ( x + ∆x ) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi = lim ∆z → 0 ∆z y
所以 f ( z ) = x + 2 yi的导数 不存在 .
o
∆x = 0
y
z
∆y = 0
x
8
2.可导与连续 可导与连续: 可导与连续 处一定连续, 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续 但 处可导. 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导 证
f ′( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
Байду номын сангаас
∆z → 0
( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim ∆z → 0 ∆z = lim ( 2 z + ∆z ) = 2z .
∆z → 0
′ = 2z (z )
2
4
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
特别地, 特别地 当 w = f ( z ) = z 时,
dw = dz = f ′( z0 ) ⋅ ∆z = ∆z ,
dw dw d w = f ′ ( z 0 ) ⋅ ∆ z = f ′ ( z 0 ) ⋅ d z , 即 f ′( z 0 ) = dz z = z0
数 = 函 w= f (z)在z0可 与 z0可 是 价 . 导 在 微 等 的
当点沿不同的方向使 ∆z → 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
6
例3 问f ( z ) = x + 2 yi是否可导？ 是否可导？ 解
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f lim = lim ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ( x + ∆x ) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi = lim ∆z → 0 ∆z y
所以 f ( z ) = x + 2 yi的导数 不存在 .
o
∆x = 0
y
z
∆y = 0
x
8
2.可导与连续 可导与连续: 可导与连续 处一定连续, 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续 但 处可导. 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导 证
大学复变函数西安交通大学出版社
2π (cos n i sin n )d
0
0;
所以
z z0
r
(z
1 z0
)n1
dz
2i, 0,
n 0, n 0.
结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
20
三、积分的性质
复积分与实变函数的定积分有类似的性质.
(1) f (z)dz f (z)dz;
{u[x(t), y(t)]x(t) v[x(t), y(t)]y(t)}dt
i {v[x(t), y(t)]x(t) u[x(t), y(t)]y(t)}dt
{u[
x(t
),
y(t
)]
iv[
x(t
),
y(t
)]}{x(t
)
iy(t )}dt
由f (z) ux ivx vy iuy在 D 内连续,可知
ux，vx，vy，uy在 D 内连续 由f (z) 在 D 内解析，可知 uy vx，vy ux
f (z)dz 0 c
G (vx uy )dxdy 0 G (ux vy )dxdy 0
k 1
10
由于f (z)在C上连续，从而 u, v 在C上连续,
且
0 时,
有max 1k n
xk
0, max 1k n
yk
0
于是下式右端极限存在,且有
n
n
f ( k )zk [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ]
k 1
k 1
n
3) C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy.
2-3复变函数课件 西安交通大学
( 2) 幂函数 z 是多值函数 , 具有n个分支 .
1 n
它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的, 内是解析的, ′ 1 1 1 ′ 1 Lnz Lnz n 1 = 1 zn−1. ′ n = en ⋅ z = (n z ) = e nz n
24
e +e , 我们定义余弦函数为 cos z = 2 e iz − e − iz . 正弦函数为 sinz = 2i
b bLna
a b 也是多值的 . (1) 当 b 为整数时 ,
a b = e bLna = e b[ln a + i ( arga + 2 kπ )] b (ln a + iarga )+ 2 kbπi = e b ln a , a b具有单一的值 . =e
16
p ( 2) 当 b = ( p与q为互质的整数 , q > 0)时, q
x
Arge z = y + 2kπ ( k为整数 )
其辐角主值 arg e z 为区间(-π, π]内的一个辐角.
求出下列复数的辐角主值: 例2 求出下列复数的辐角主值
(1)e 2+ i ; ( 2)e 2− 3 i ; ( 3)e 3+ 4 i ; (4)e − 3−4 i ; (5)e iα − e iβ (0 ≤ β < α ≤ 2 π ).
a =e
1 n
1 Lna n
=e
1 ln a n
cos arga + 2kπ i sin arga + 2kπ + n n
18
cos arga + 2kπ i sin arga + 2kπ n =a + = a, n n
1 n
它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的, 内是解析的, ′ 1 1 1 ′ 1 Lnz Lnz n 1 = 1 zn−1. ′ n = en ⋅ z = (n z ) = e nz n
24
e +e , 我们定义余弦函数为 cos z = 2 e iz − e − iz . 正弦函数为 sinz = 2i
b bLna
a b 也是多值的 . (1) 当 b 为整数时 ,
a b = e bLna = e b[ln a + i ( arga + 2 kπ )] b (ln a + iarga )+ 2 kbπi = e b ln a , a b具有单一的值 . =e
16
p ( 2) 当 b = ( p与q为互质的整数 , q > 0)时, q
x
Arge z = y + 2kπ ( k为整数 )
其辐角主值 arg e z 为区间(-π, π]内的一个辐角.
求出下列复数的辐角主值: 例2 求出下列复数的辐角主值
(1)e 2+ i ; ( 2)e 2− 3 i ; ( 3)e 3+ 4 i ; (4)e − 3−4 i ; (5)e iα − e iβ (0 ≤ β < α ≤ 2 π ).
a =e
1 n
1 Lna n
=e
1 ln a n
cos arga + 2kπ i sin arga + 2kπ + n n
18
cos arga + 2kπ i sin arga + 2kπ n =a + = a, n n
《复变函数》课件
设 ①B是 由
C
C1
C
2
C
所
n
围
成
的
有界多连通区域.且B D, ②f (z)在D内解析,则
f (z)dz 0 (1)
n
或
f (z)dz
f (z)dz (2)
c
其中:闭C
D
,
i 1
C1 , C
ci
2 ,
C
是
n
在C的内部
的
简
单
闭曲线(互不包含也不相交), 每一条曲线C及Ci
是逆时针,
C
i
c
c1
ck
f ( z)dz f ( z)dz
此式说c明一个解析c1 函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. —闭路变形原理
D
CCC1 11
C
例2 计 算
2z 1 z2 z dz
: 包 含 圆 周z 1在 内 的
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
由柯西-古萨基本定理有
y
11
C
dz 0,
C1 2 z i
1 1 dz 0,
C1 2 z i
C2
•i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
C2 2 z i
• i
22
1
1
1
C
z(z2
dz 1)
C1
dz z
C2
2( z
i)
西安交大复变函数课件4-3泰勒级数
泰勒级数的收敛性
收敛定理
泰勒级数在收敛的范围内可以逼近原函数。
收敛半径
收敛半径是泰勒级数收敛的最大范围。
收敛区域
收敛区域是泰勒级数收敛的范围。
泰勒级数的应用
1
逼近函数
泰勒级数可用于将一个函数在一定范围
求解极值与最大值
2
内逼近成一个无限多项式。
泰勒级数可以为函数的求导提供方便，
以便更好地求解其极值和最大值。
西安交大复变函数课件43泰勒级数
欢迎大家来到西安交大复变函数课件4-3泰勒级数的讲座。本次讲座，将向您 详细介绍什么是泰勒级数，它的定义与应用，以及它在数学上的重要性。
泰勒级数的定义
定义
泰勒级数是将一个函数在某一点展开成为无穷 级数的形式。
泰勒公式
泰勒级数的公式是函数在该点的n阶导数与函数 值的组合。
sin(x)的泰勒级数是x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...。
计算ln(1+x)的泰勒级数
ln(1+x)的泰勒级数是x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...。
总结与展望
泰勒级数在数学上的重要性
泰勒级数为研究数学函数提供了重要而有益的 工具。
泰勒级数的未来发展方向
泰勒级数的未来发展方向包括研究更广泛的级 数及其应用。
3
计积分
泰勒级数可以在一些情况下，使得原本 无法简单计算的积分变得容易。
泰勒级数的误差估计
残余项
在无穷级数中，残余项表示距离级数中的前n项 的距离，可以用于控制无穷级数的精度。
泰勒展开的误差限制
误差限制是指泰勒级数的误差有一定界限，因 而误差可以在一定范围内得到控制。
复变函数ppt课件
1
(7) f (z) e z1
(z 1)2(z 2)2
(8) f (z) sinz3
§5.2 留数(Residue)
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则
1. 留数的定义
0
f (z)在c所围成的区域内解析
c f (z)dz 未必为0 c所围成的区域内含有f (z)的奇点
由留数定义, Res [f (z), z0]= c–1
(1)
故
1
Re s[ f (z), z0 ] c1 2i
f (z)dz
c
(2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线, 函数f (z)在c内有 有限个孤立奇点z1 , z2 ,, zn , 除此以外, f (z) 在c内及c上解析, 则
lim z z0
1 0,令 f (z)
1 f (z0 )
0，则z0是
1 的m级零点. f (z)
“”若z0是
1 的m级零点,则 f (z)
f
1 (z)
(z
z0
)m
(z)
(z) 在z0解析,且 (z0 ) 0
.
当z
z0时，f
(z)
(z
1 z0 )m
1
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
f (z) cn (z z0 )n ( cm 0, m 1 )
nm
1
lim z z0
f (z)
f (z)
(z z0 )m
g(z)
其 中: g(z) cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ,
g(z)在 z z0 内是解析函数且g(z0 ) 0.
例如：
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| x| 1 , z
| y z| 1 x z(1 i3 ) 0
f(z) lim f(z z)f(z) u i v
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0
z
x x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
f'(z)lim f(zz)f(z)
z 0
z
设 ( z)f(z z)f(z)f'(z)
z
则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz (1), 且
lim(z)0
z0
令：f (z+Δz) f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib， (Δz)=1+i2 故（1）式可写为
Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+1Δx2Δy)
f(z)limf(zz)f(z)
z0
z
[u(xx, y)i v(xx, y)][u(x, y)i v(x, y)]
lim
x0
x
u(xx, y)u(x, y)
v(xx, y)v(x, y)
lim
i lim
x0
x
x0
x
u i v x x
若沿平行于虚轴 z的 z 方z(式 x0)
f(z)limf(zz) f(z)
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件 2. 举例
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。
问题 如何判断函数的解析性呢？
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
u ex siny u v
y v
ex cosy
x v
y u
y
x y
故 f (z) ex(cosyisiny)在全平面可导，解析
f'(z ) u i v e x cy o is x e si y n f(z ) x x
解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则 u2 x u2y v0 v0 x y x y
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成 的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实 函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
( 1 ) w z ;( 2 ) f ( z ) e x (c y i s o y ) i ； s ( 3 n ) w z 2
uv v u x y x y
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的 联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以 求出导数来.
利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，
ii) 验证C-R条件.
iii) 求导数：
f'(z)uiv1uv x x iy y
uv v u x y x y
上述条件满足时,有
f '( z ) u x ix v u x iy u v y iy u v y ix v
证明 "" （由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证
f (z)的可导函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。
∵函数 w =f (z)点 z可导，即
解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
u 1 x v 0 x
u 0
y v
1
u x
v y
y
故 w z在全平面不可导，不 析解 。
解(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u ex cosy x v ex siny x
""（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足
C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）
∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：
u u x x u y y1 x2 y v x vx v yy3x4y
其 lx 中 i0m k0,(k1， 2,3,4)
y 0
f(z z)f(z) ui v
( u xi x v) x( u yi v y) y(1i3) x(2i4) y
由 C R 方 ( u x 程 i x v ) z (1 i3 ) x (2 i4 ) y
f(z z ) f(z ) u u
x
y
z z i x (1 i3 ) z (2 i4 ) z
一. 解析函数的充要条件
设函 w数 f(z)u(x,y)iv(x,y)在点 zxiy可,导 则
f(zz)f(z) z
[u (x x ,y y ) i(v x x ,y y ) [ ]u (x ,y ) i(v x ,y )] x i y
若沿平行于实轴 z的 z 方z(式 y0)
+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)
因此 Δu=aΔxbΔy+1Δx2Δy , Δv=bΔx+aΔy+2Δx1Δy
lim( z0
z)0
lxi m 0 1 lxi m 0 2 0
y 0
y 0
lyxi m 00 1xz2y
0l i m2x1y
x0
z
y0
0
所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微.
x y x y
定义 方程
记忆
u u x y v v x y
uv v u x y x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程
z0
z
[u(x, yy)iv(x, yy)][u(x, y)iv(x, y)]
lim
y0
iy
u(x, yy)u(x, y)
v(x, yy)v(x, y)
lim
i lim
y0
iy
y0
iy
1uvviu i y y y y
f ' ( z )存在 u i v v i u
x x y y u v v u