1 函数的平均变化率、瞬时速度、导数的概念

C (34, 33.4)
30
B (32, 18.6) 20
10 A (1, 3.5)
2
02
10
20
30
34 t(d)
情景 2：在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当 山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁， 那么，我们如何反映山坡的平缓与陡峭程度呢？
1．函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
（1）定义式： = f (x2) - f (x1) ；
x2 - x1
y
（2）实质：函数值的改变量与自变量的改变量 x _之__比__ .
（3）作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
lim y lim f x0 x f x0
x x0
x0
x
平均变化率
对函数平均变化率公式的拓展
（1）如果记Δx=x2－x1，可用x1+Δx代替x2．
我们注意到，从 3 月 18 日到 4 月 18 日，温差
15.1℃ 从 4 月 18 日到 4 月 20 日温差 14.8℃，但
我们是否会认为 4 月 18 日到 4 月 20 日温度变化的
慢呢？显然不会，我们会认为这两天“气温陡增那”么，，这一句生活用语，用数学方法如
那么，这一句生活用语，用数学方法如何刻画?T (℃)
（3）从平均速度到瞬时速度 平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t )，
在时间段[t1，t2]上的平均速度，即 v s(t2 ) s(t1)Biblioteka Baidu. t2 t1
lim y lim f x0 x f x0
x x0
x0
x
求函数的平均变化率
例1．已知函数f(x)=3x+1，计算f(x)在－3到－1之间和在1 到1+Δx之间的平均变化率．
越来越短，能越过任意小的时间间隔，但 始终不能为0．Δt，Δs在变化中都趋近于0，
s 但t 趋近于一个常数，这是极限思想，
即求函数 s(t)在某一点处的导数.
平均速度与瞬时速度的求解 【典例】一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t )＝ 3t－t2. （1）求此物体的初速度； （2）求此物体在t＝2时的瞬时速度； （3）求t＝0到t＝2时的平均速度．
导数的概念
1.函数的平均变化率 2.从平均速度到瞬时速度 3.从函数的平均变化率到函数的瞬时变化率 4.从函数的瞬时变化率到某点处的导数到导函数
情景 1：
现有南京市某年 3 月和 4 月某天日最高气温记载： 时间 3 月 18 日 4 月 18 日 4 月 20 日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
s t
s lim t0 t
（3）公式中，分子、分母中的被减数同为右端点，减数同为左
端点，反之亦可，但一定要同步.
1．对平均变化率的解读
（1）平均变化率的几何意义
平均变化率的几何意义是表示函数y=f(x)图象上割线
P1P2的斜率（其P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))），即
kP1P2
f (x2 ) f (x1) . x2 x1
类似的，Δy=f(x2)－f(x1)=f(x1+Δx)－f(x1)，
于是平均变化率可以表示为 y f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1) .
x
x2 x1
x
式子中的Δx是一个整体符号，不是Δ与x相乘．
（2）公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间
两端点间的自变量的差．
求函数在某点处的导数
例2．求函数 f (x)=3x2+ax+b在x=1处的导数
一作差：
下结论
求物体运动的瞬时速度
例3．一个物体的运动方程为s=(2t+1)2，其中s的单位是米，t 的单位是秒，求该物体在1秒末的瞬时速度.
【归纳】求物体的瞬时速度的心得体会. 提示：Δt 趋近于0，是指时间间隔Δt