一致收敛函数列与函数项级数的性质

定理13.8 ( 极限交换定理 ) 设函数列
{ fn} 在
(a, x0 ) U ( x0 ,b) 上一致收敛于
f ( x), 且对每个 n,
lim
x x0
fn ( x)
an
,
则
lim
n
an和xlimx0
f ( x)均存在且相等. 即
证 先证
lim
x x0
lim
n
fn
(
x)
lim
n
lim
x x0
fn( x).
只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定
的任意正数即可.
由于 fn ( x) 一致收敛于
f ( x)，an 收敛于 A , 因此对任
意 0 , 存在正数 N , 当 n N 时, 对任意 x (a, x0 )
U( x0 ,b) , 有
| fn( x) f ( x) | 3
和
| an A | 3
同时成立. 特别当
n N 1时, 有
|
fN 1( x)
f
( x) |
3
和 | aN 1
A |
3
又因为
lim
x x0
f N 1( x) aN 1,
故存在
0 ,当
0 | x x0 | 时,也有
|
fN 1( x) aN 1 |
.
3
这样, 当 x 满足 0 x x0 时,
| f ( x) A || f ( x) fN 1( x) | | fN 1( x) aN 1 |
{an }是收敛数列. 对任意
0 , 由于
(1) { fn}一
致收敛, 故存在正整数 N, 当 n>N 及任意正整数 p,
对一切
x (a, x0 ) U ( x0,b) 有
| fn( x) fn p( x) | .
从而
| an
an p
|
lim
x x0
|
fn(x)
fn p( x) | .
(其图象如图13－6所示).
n
显然 { fn( x)}是 [0, 1] 上的
fn
图13 6
连续函数列, 且对任意
x [0, 1] ,
lim
n
来自百度文库fn(
x)
0.
O
11 2n n
1x
又 sup | fn( x) 0 | n, 因此 { fn( x)} 在 [0, 1]上一致 x[0, 1]
收敛于 0 的充要条件是
b
b
lim
n
a
fn( x) dx
a
f ( x) dx .
(3)
因为在 [a,b] 上 fn一致收敛于f , 故对于任意 0 ,
存在 N , 当 n N 时, 对一切 x [a, b], 都有
| fn( x) f ( x) | .
再根据定积分的性质, 当 时有 n N
b
b
b
a fn( x) a f ( x) dx a ( fn( x) f ( x)) dx
|
aN 1
A
|
3
3
3
,
这就证明了
lim f ( x) A.
x x0
定理指出: 在一致收敛的条件下,
{ fn ( x)}中关于独
立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立.
类似地, 若 fn( x) 在 (a, b) 上一致收敛, 且
lim
xa
fn ( x)
存在, 则有
lim
xa
lim
.n 0(n )
又因
1 0
fn( x)dx
n ,
2n
故
1
1
0 fn( x)dx 0 f ( x)dx 0
的充要条件是
lim
n
n
2n
0.
这样,当 n
1 时,
虽然
{ fn ( x)}不一致收敛于
f ( x), 但定理 13.10 的结论仍
成立. 但当
时n, n
{ fn ( x)}不一致收敛于
n
f
n
(
x
)
lim
n
lim
xa
fn( x);
若
f
n
(
x
)
在
(a
,
b)
上一致收敛,且
lim
xb
fn( x) 存在, 则有
lim
xb
lim
n
fn
(
x
)
lim
n
lim
xb
fn( x).
定理13.9 (连续性) 若函数列
{ fn } 在区间 I上一致收
敛, 且每一项都连续, 则其极限函数
f 在 I 上也连续.
f ( x).
同时
1 0
fn(
x)dx
1 2
也不收敛于
1
f ( x)d x 0.
0
例1说明当 { fn ( x)} 收敛于 f ( x)时, 一致收敛性是极
限运算与积分运算交换的充分条件, 不是必要条件.
定理13.11(可微性)设
{ fn }为定义在 [a, b]上的函数列,
若 x0 [a, b]为 { fn }的收敛点,
于是由柯西准则可知
{an }是收敛数列,
设
lim
n
an
A,
即
lim lim
n xx0
fn ( x)
A,
下面证明 注意到
lim
x x0
f (x)
lim lim
x x0 n
fn(x)
A.
| f (x) A| | f ( x) fN 1( x) | | fN 1( x) aN 1 | | aN 1 A |
b
a fn( x) f ( x) dx (b a),
这就证明了等式
(3).
这个定理指出: 在一致收敛的条件下, 极限运算与
积分运算的顺序可以交换.
例1 设函数
2nn x,
0 x 1 , 2n
fn
(
x)
2 n
2n n
x,
1 x 1,
2n
n
0,
1 x 1, n
y
n 1, 2,L .
{ fn }的每一项在
[a, b]
上有连续的导数, 且
{ fn}在 [a, b]上一致收敛, 则
d
dx
lim
n
fn ( x)
lim d n dx
fn( x).
{ fn } 在 [a, b]上一致收
b
b
lim
n
a
fn( x) dx
a
lim
n
fn( x)
dx.
(3)
证 设 f 为函数列 { fn }在 [a, b]上的极限函数. 由定理
13.9知 f 在 [a, b] 上连续, 从而
fn (n 1, 2,L ) 与 f 在
[a, b] 上都可积. 于是(3)变为
证
设
x0
为
I
上任一点.由于
lim
x x0
fn(x)
fn( x0 ),
于
是由定理 13.8 知
lim f ( x) 也存在, 且
x x0
lim
x x0
f ( x) lim n
fn( x0 )
f ( x0 ),
因此 f ( x) 在 x0 上连续.
定理13.9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数
列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函数列在区
间 I 上一定不一致收敛.
例如: 函数列
{ xn } 的各项在 (1, 1] 上都是连续的, 但
其极限函数
0, 1 x 1,
f
(
x)
1,
x 1
在 x 1时不连
续, 所以 { xn }在 (1, 1]上不一致收敛.
定理13.10 (可积性) 若函数列 敛, 且每一项都连续, 则