2017-2018学年浙江省宁波市鄞州区九年级(上)期中数学试卷

2017-2018学年浙江省宁波市鄞州区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，本题共12个小题，满分48分）1．（4分）若2x﹣7y=0，则x：y等于（）A．7：2B．﹣2：7C．2：7D．﹣7：22．（4分）有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定＞等于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a，b为实数，那么a+b=b+a．其中是必然事件的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（4分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=4．（4分）将抛物线y=2x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A．y=2（x﹣2）2﹣3B．y=2（x﹣2）2+3C．y=2（x+2）2﹣3D．y=2（x+2）2+35．（4分）在四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、菱形、正五边形、圆．现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．16．（4分）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x=1C．当x=1时，y的最大值为﹣4D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）7．（4分）如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△DEF与△ABC的周长比为（）A．4：1B．3：1C．2：1D．：1 8．（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=4，CD=1，BC=4．在腰BC上取一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，这样的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（4分）以下命题：（1）点P到圆心的距离等于圆的半径说明点P在这个圆上；（2）弧相等就是弧的长度相等；（3）三点确定一个圆；（4）平分弦的直径必垂直于这条弦，其中正确的命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．11．（4分）如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（）A．3B．2C．1D．1.212．（4分）已知函数y=ax2+2ax+4（a＞0），若点（x1，y1），（x2，y2）是函数上的两个点，且满足x1＜x2，x1+x2=0，则（）A．y1=y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．y1与y2的大小不能确定二、填空题（每小题4分，本题共6个小题，满分24分）13．（4分）已知一个扇形的半径为30cm，面积为240πcm2，则此扇形的弧长为cm．14．（4分）从小明、小聪、小慧和小颖四人中随机选取2人参加学校组织的敬老活动，则小明被选中的概率是．15．（4分）如图，四条平行直线l1，l2，l3，l4被直线l5，l6所截，AB：BC：CD=1：2：3，若FG=3，则线段EF和线段GH的长度之和是．16．（4分）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A，B，若其对称轴为直线x=2，则OB﹣OA的值为．17．（4分）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为．18．（4分）如图，在⊙O中，圆周角∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，AB=4，AC=3，则AD的长为．三、解答题（本大题有8小题，共78分；19题6分，20-21每题8分，22-24每题10分，25题12分，26题14分）19．（6分）如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠CAD=30°，求阴影部分的面积（结果保留π）20．（8分）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．（1）求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第二次传球后球回到甲手里的概率是．那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是．（请直接写出结果）．21．（8分）如图，课本中有一个例题；有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积的最大值约为1.05m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．22．（10分）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求弧BC的长；（2）求弦BD的长．23．（10分）如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．（1）求证：△EBF∽△FCD；（2）如果BC=12，BF=3，求BE的值．24．（10分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB 于D．（1）求证：AD=BD；=4S△BCM，求．（2）弦CE交BD于M，若S△ABC25．（12分）已知直线y=kx﹣4k+3始终经过一固定点A，（1）直接写出点A的坐标（温馨提示：若看不出，取几个不同的K值画图看看）；并验证点A是否在抛物线y=ax2﹣4ax+3上（2）设抛物线y=ax2﹣4ax+3与Y轴的交点为B，抛物线的对称轴与直线y=kx﹣4k+3和直线OA分别与相交于点C、D．问：是否存在一点C，使以A、C、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出K的值；若不存在，说明理由．（3）设抛物线y=ax2﹣4ax+3过点（2，﹣1），直线y=kx﹣4k+3与抛物线的另一个交点为P，若△POA的面积等于，求a和k的值．26．（14分）定义：如图1，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE=CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．（1）如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB=AC=5，AE=2，求逆等线EF的长；（2）如图2，若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线；（3）如图3，等腰△AOB的顶点O与原点重合，底边OB在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象交△OAB于点C，D，若CD恰为△AOB的逆等线，过点C，D分别作CE⊥x轴，DF⊥x轴，已知OE=2，求OF的长．2017-2018学年浙江省宁波市鄞州区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，本题共12个小题，满分48分）1．（4分）若2x﹣7y=0，则x：y等于（）A．7：2B．﹣2：7C．2：7D．﹣7：2【解答】解：∵2x﹣7y=0，∴2x=7y，∴x：y=7：2．故选：A．2．（4分）有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定＞等于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a，b为实数，那么a+b=b+a．其中是必然事件的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：根据分析，知①②④是必然事件；③是不可能事件．故选：C．3．（4分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=【解答】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD•AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．4．（4分）将抛物线y=2x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A．y=2（x﹣2）2﹣3B．y=2（x﹣2）2+3C．y=2（x+2）2﹣3D．y=2（x+2）2+3【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（2，3）．可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得y=2（x﹣2）2+3．故选：B．5．（4分）在四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、菱形、正五边形、圆．现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．1【解答】解：卡片上的图形恰好是中心对称图形的有2个，所以从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是0.5，故选：B．6．（4分）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x=1C．当x=1时，y的最大值为﹣4D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣3），∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．A、抛物线的二次项系数为1＞0，抛物线的开口向上，正确．B、根据抛物线的对称轴x=﹣=﹣=1，正确．C、由A知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当x=1时，y的最小值为﹣4，而不是最大值．故本选项错误．D、当y=0时，有x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．正确．故选：C．7．（4分）如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△DEF与△ABC的周长比为（）A．4：1B．3：1C．2：1D．：1【解答】解：如图，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE2=22+22，EF2=22+42，∴DE=2，EF=2；同理可求：AC=，BC=，∵DF=2，AB=2，∴，∴△EDF∽△BAC，∴l△DEF ：l△ABC=：1，故选：D．8．（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=4，CD=1，BC=4．在腰BC上取一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，这样的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵AB∥DC，∠ABC=90°，∴∠B=∠C=90°，如图，①若△ABP∽△PCD，则=，即=，解得：BP=2；②若△ABP∽△DCP，则=，即=，解得：BP=；所以这样的点P有2个，故选：B．9．（4分）以下命题：（1）点P到圆心的距离等于圆的半径说明点P在这个圆上；（2）弧相等就是弧的长度相等；（3）三点确定一个圆；（4）平分弦的直径必垂直于这条弦，其中正确的命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：点P到圆心的距离等于圆的半径说明点P在这个圆上，所以（1）正确；弧相等就是弧的长度和弧的度数分别相等，所以（2）错误；不共线的三点确定一个圆，所以（3）错误；平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，所以（4）错误．故选：A．10．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左，∴a与b同号，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，∴反比例函数y=在二四象限，∵b＜0，∴正比例函数y=bx的图象经过原点，且在二四象限，故选：B．11．（4分）如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（）A．3B．2C．1D．1.2【解答】解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，∴∠D=90°，在Rt△ABD中，AD=，AB=4，∴BD=，∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∵AD：BC=：4=1：5，∴相似比为1：5，设AE=x，∴BE=5x，∴DE=﹣5x，∴CE=28﹣25x，∵AC=4，∴x+28﹣25x=4，解得：x=1．故选：C．12．（4分）已知函数y=ax2+2ax+4（a＞0），若点（x1，y1），（x2，y2）是函数上的两个点，且满足x1＜x2，x1+x2=0，则（）A．y1=y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．y1与y2的大小不能确定【解答】解：对称轴为直线x=﹣=﹣=﹣1，∵a＞0，∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∵x1+x2=0，∴点（x1，y1）距离对称轴比（x2，y2）近，∴y1＜y2．故选：B．二、填空题（每小题4分，本题共6个小题，满分24分）13．（4分）已知一个扇形的半径为30cm，面积为240πcm2，则此扇形的弧长为16πcm．=lr，【解答】解：∵S扇形∴240π=•l•30，∴l=16π，故答案为：16π．14．（4分）从小明、小聪、小慧和小颖四人中随机选取2人参加学校组织的敬老活动，则小明被选中的概率是．【解答】解：记小明为A、小聪为B、小慧为C、小颖为D，画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能结果，其中小明被选中（其中含有A）的有6种结果，∴小明被选中的概率是，故答案为：．15．（4分）如图，四条平行直线l1，l2，l3，l4被直线l5，l6所截，AB：BC：CD=1：2：3，若FG=3，则线段EF和线段GH的长度之和是6．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得，EF=，∵l2∥l3∥l4，∴，即，解得GH=，则线段EF和线段GH的长度之和=+=6，故答案为：616．（4分）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A，B，若其对称轴为直线x=2，则OB﹣OA的值为4．【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0），则x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，∵抛物线的对称轴是：x=2，∴﹣=2，∴b=﹣4a，由图可知：x1＜0，x2＞0，∴OB﹣OA=x2﹣（﹣x1）=x2+x1=﹣=﹣=4，故答案为：4．17．（4分）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为y=2x．【解答】解：设OC=a，∵点D在y=上，∴CD=，∵△OCD∽△ACO，∴=，∴AC==，∴点A（a，），∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为（，），∵点B在反比例函数图象上，∴=，∴=2k2，∴a4=4k2，解得，a2=2k，∴点B的坐标为（，a），设直线OA的解析式为y=mx，则m•=a，解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x．故答案为：y=2x．18．（4分）如图，在⊙O中，圆周角∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，AB=4，AC=3，则AD的长为．【解答】解：连结BC交AD于E，过B作BP⊥AC于点P，过E作EH⊥AC于点H，在△ABC中，AB=4，AC=6，AD是∠BAC的角平分线，∴BE：CE=4：3，∵∠BAC=60°，∴AP=AB•cos∠BAC=2，BP=AB•sin∠BAC=2，∴CP=AC﹣AP=1，∴BC==，∴CE=，BE=，∵EH∥BP，∴CH=，EH=，∴AH=AC﹣CH=，∴AE==，∵BE•CE=AE•DE，∴DE=，∴AD=DE+AE=．故答案为：．三、解答题（本大题有8小题，共78分；19题6分，20-21每题8分，22-24每题10分，25题12分，26题14分）19．（6分）如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠CAD=30°，求阴影部分的面积（结果保留π）【解答】解：如图，∵∠CAD=30°，∵AB∥CD，∴△ACD的面积=△COD的面积，∴阴影部分的面积=弓形CD的面积+△COD的面积=扇形OCD的面积==π．20．（8分）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．（1）求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第二次传球后球回到甲手里的概率是．那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是．（请直接写出结果）．【解答】解：（1）画树状图：共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，∴P==．（第2次传球后球回到甲手里）（2）第二步传的结果是n2，传给甲的结果是n，∴第二次传球后球回到甲手里的概率是=；第三步传的结果是n3，传给甲的结果是n（n﹣1），第三次传球后球回到甲手里的概率是=，故答案为：，．21．（8分）如图，课本中有一个例题；有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积的最大值约为1.05m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．【解答】解：（1）由已知可得：AD==，则S=1×=m2；（2）设AB=xm，则AD=3﹣x（m），∵3﹣x＞0，∴0＜x＜，设窗户面积为S，由已知得：S=AB•AD=x（3﹣x）=﹣+3x=﹣（x﹣）2+，当x=m时，且x=m在0＜x＜的范围内，S取得最大值＞1.05，∴现在窗户透光面积的最大值变大．22．（10分）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求弧BC的长；（2）求弦BD的长．【解答】解：（1）如图，连接OC，OD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，∵cos∠BAC===，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，∴的长==π．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°，在Rt△ABD中，BD=AB×sin45°=10×=5．23．（10分）如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．（1）求证：△EBF∽△FCD；（2）如果BC=12，BF=3，求BE的值．【解答】（1）证明：∵在正方形ABCD，正方形EFGH中，∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，∴BC=CD，GH=EF=FG．又∵点F在BC上，点G在FD上，∴∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，∴∠EFB=∠FDC，又∵∠B=∠C=90°，∴△EBF∽△FCD；（2）∵BF=3，BC=CD=12，∴CF=9，DF==15，∵△EBF∽△FCD，∴，∴BE=，24．（10分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于D．（1）求证：AD=BD；=4S△BCM，求．（2）弦CE交BD于M，若S△ABC【解答】（1）证明：连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∵△ABC中，AC=BC，∴AD=BD．（2）解：过点M作MN⊥BC于N，连接BE．∵BC为⊙O的直径，∴∠CEB=∠CNM=90°，∵∠BCE为公共角，∴△CMN∽△CBE，∴==，设圆的半径为x，则BC=AC=2x，AB==2x，=4S△BCM，∵S△ABC∴MN=AC，∴MN=x，∵△BMN∽△BAC，∴==，∴=，∴CN=x，在Rt△CMN中，CM==x，∴=，∴CE==x，∵BD=AB=x，∴=．25．（12分）已知直线y=kx﹣4k+3始终经过一固定点A，（1）直接写出点A的坐标（温馨提示：若看不出，取几个不同的K值画图看看）；并验证点A是否在抛物线y=ax2﹣4ax+3上（2）设抛物线y=ax2﹣4ax+3与Y轴的交点为B，抛物线的对称轴与直线y=kx﹣4k+3和直线OA分别与相交于点C、D．问：是否存在一点C，使以A、C、D 为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出K的值；若不存在，说明理由．（3）设抛物线y=ax2﹣4ax+3过点（2，﹣1），直线y=kx﹣4k+3与抛物线的另一个交点为P，若△POA的面积等于，求a和k的值．【解答】解：（1）∵直线y=kx﹣4k+3始终经过一固定点A，∴y﹣3+k（x﹣4）=0的取值与k无关，∴y=3，x=4，即A（4，3）．将x=4代入y=ax2﹣4ax+3，得16a﹣16a+3=3，∴点A在抛物线y=ax2﹣4ax+3上；（2）存在，k1=0，k2=；如图1，∵抛物线y=ax2﹣4ax+3与y轴的交点为B，∴B（0，3），对称轴x=2，∵点A（4，3），∴直线OA解析式为y=x，∵直线y=kx﹣4k+3和直线OA分别与抛物线的对称轴相交于点C，D，∴C（2，﹣2k+3），D（2，），∵A（4，3），B（0，3），∴△OBA为直角三角形，AB=4，OB=3，∵使A，C，D为顶点的三角形与△AOB，①当∠ACD=90°时，点在直线AB上，∴点C1（2，3），∴﹣2b+3=3，∴b=0②当∠DAC=90°时，AC⊥OA，∴直线AC解析式为y=﹣x+，∵点C（2，﹣2k+3），∴﹣2k+3=﹣×2+，∴k=﹣，即：k1=0，k2=﹣；（3）∵抛物线y=ax2﹣4ax+3过点（2，﹣1），∴a=1，∴y=x2﹣4x+3，∴P（k，k2﹣4k+3），∴直线AP的解析式为y=kx+3﹣4k，∴直线AP与y轴的交点为M（0，3﹣4k），∴S=|3﹣4k|×4=2|3﹣4k|，△AOMS△POM=×|3﹣4k|×|k|，①当b＞0时，Ⅰ、当0＜k＜4时，即：点P纵坐标比点A的大时（点P在点A上方），S△AOP=S△AOM﹣S△POM=2|3﹣4k|﹣|3﹣4k|×k=，（Ⅰ）、0＜k＜时，b1=﹣1（舍），b2=（舍），（Ⅱ）、＜k＜4时，方程无解，Ⅱ、当k＞4时，即：点P纵坐标比点A的小时（点P在点下方），如图，S△AOP=S△POM﹣S△AOM=|3﹣4k|×k﹣2|3﹣4b|=（4k﹣3）×k﹣2（4k﹣3）=，∴b1=﹣1（舍）或b2=，②当b＜0时，3﹣4b＞0，∴S=S△AOM+S△POM=2|3﹣4k|+|3﹣4k|×（﹣k）=，△AOP∴2（3﹣4k）+（3﹣4k）×k=，∴4k2﹣19k﹣23=0，k1=﹣1，k2=（舍），∴k=﹣1，即：a=1，k=﹣1或．26．（14分）定义：如图1，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE=CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．（1）如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB=AC=5，AE=2，求逆等线EF的长；（2）如图2，若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线；（3）如图3，等腰△AOB的顶点O与原点重合，底边OB在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象交△OAB于点C，D，若CD恰为△AOB的逆等线，过点C，D分别作CE⊥x轴，DF⊥x轴，已知OE=2，求OF的长．【解答】解：（1）∵EF是等腰△ABC的逆等线，∴CF=AE=2，又AB=AC=5，∴AF=3，∵EF⊥AB，∴EF==；（2）连结AD，在等腰Rt△ABC中，点D为底边上中点，∴AD=CD且∠ADC=90°，又∵DE=DF且∠EDF=90°，∴∠EDA=90°﹣∠ADF=∠FDC，在△EDA和△FDC中∴△EDA≌△FDC（SAS），∴AE=CF，∴EF为等腰△ABC的逆等线；（3）如图3，设OF=x，则DF=，作AG⊥OB，CH⊥AG，∵CD为△AOB的逆等线，∴AC=BD，又∠ACH=∠AOB=∠DBF，且∠AHC=∠AGO=∠DFB，在△ACH和△DBF中∴△ACH≌△DBF（AAS），则EG=CH=BF，AH=DF，又AO=AB，且AG⊥OB，∴OG=BG，∴GF=BG﹣BF=OG﹣EG=OE，∴EG=x﹣2﹣2=x﹣4，∵△ACH∽△COE，∴=，即=，化简得x2﹣4x﹣4=0，解得x=2+2或x=2﹣2（舍去），∴OF=2+2．第31页（共31页）。