2017-2018学年浙江省宁波市鄞州区九年级(上)期中数学试卷

2017-2018学年浙江省宁波市鄞州区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，本题共12个小题，满分48分）
1．（4分）若2x﹣7y=0，则x：y等于（）
A．7：2B．﹣2：7C．2：7D．﹣7：2
2．（4分）有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定＞等于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a，b为实数，那么a+b=b+a．其中是必然事件的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（4分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=
4．（4分）将抛物线y=2x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（）
A．y=2（x﹣2）2﹣3B．y=2（x﹣2）2+3C．y=2（x+2）2﹣3
D．y=2（x+2）2+3
5．（4分）在四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、菱形、正五边形、圆．现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．1
6．（4分）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是x=1
C．当x=1时，y的最大值为﹣4
D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
7．（4分）如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在
格点上），那么△DEF与△ABC的周长比为（）
A．4：1B．3：1C．2：1D．：1 8．（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=4，CD=1，BC=4．在腰BC上取一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，这样的点P有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（4分）以下命题：
（1）点P到圆心的距离等于圆的半径说明点P在这个圆上；
（2）弧相等就是弧的长度相等；
（3）三点确定一个圆；
（4）平分弦的直径必垂直于这条弦，
其中正确的命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（）
A．B．
C．D．
11．（4分）如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（）
A．3B．2C．1D．1.2
12．（4分）已知函数y=ax2+2ax+4（a＞0），若点（x1，y1），（x2，y2）是函数上的两个点，且满足x1＜x2，x1+x2=0，则（）
A．y1=y2B．y1＜y2
C．y1＞y2D．y1与y2的大小不能确定
二、填空题（每小题4分，本题共6个小题，满分24分）
13．（4分）已知一个扇形的半径为30cm，面积为240πcm2，则此扇形的弧长为cm．
14．（4分）从小明、小聪、小慧和小颖四人中随机选取2人参加学校组织的敬老活动，则小明被选中的概率是．
15．（4分）如图，四条平行直线l1，l2，l3，l4被直线l5，l6所截，AB：BC：CD=1：2：3，若FG=3，则线段EF和线段GH的长度之和是．
16．（4分）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A，B，若其对称轴为直线x=2，则OB﹣OA的值为．
17．（4分）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为．
18．（4分）如图，在⊙O中，圆周角∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，AB=4，AC=3，则AD的长为．
三、解答题（本大题有8小题，共78分；19题6分，20-21每题8分，22-24
每题10分，25题12分，26题14分）
19．（6分）如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠CAD=30°，求阴影部分的面积（结果保留π）
20．（8分）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．
（1）求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）
（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第二次传球后球回到甲手里的概率是．那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是．（请直接写出结果）．
21．（8分）如图，课本中有一个例题；
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积的最大值约为
1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
22．（10分）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求弧BC的长；
（2）求弦BD的长．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．
（1）求证：△EBF∽△FCD；
（2）如果BC=12，BF=3，求BE的值．
24．（10分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB 于D．
（1）求证：AD=BD；
=4S△BCM，求．
（2）弦CE交BD于M，若S
△ABC
25．（12分）已知直线y=kx﹣4k+3始终经过一固定点A，
（1）直接写出点A的坐标（温馨提示：若看不出，取几个不同的K值画图看看）；
并验证点A是否在抛物线y=ax2﹣4ax+3上
（2）设抛物线y=ax2﹣4ax+3与Y轴的交点为B，抛物线的对称轴与直线y=kx﹣4k+3和直线OA分别与相交于点C、D．问：是否存在一点C，使以A、C、D
为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出K的值；若不存在，说明理由．（3）设抛物线y=ax2﹣4ax+3过点（2，﹣1），直线y=kx﹣4k+3与抛物线的另一个交点为P，若△POA的面积等于，求a和k的值．
26．（14分）定义：如图1，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE=CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．
（1）如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB=AC=5，AE=2，求逆等线EF的长；
（2）如图2，若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线；（3）如图3，等腰△AOB的顶点O与原点重合，底边OB在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象交△OAB于点C，D，若CD恰为△AOB的逆等线，过点C，D分别作CE⊥x轴，DF⊥x轴，已知OE=2，求OF的长．
2017-2018学年浙江省宁波市鄞州区九年级（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，本题共12个小题，满分48分）
1．（4分）若2x﹣7y=0，则x：y等于（）
A．7：2B．﹣2：7C．2：7D．﹣7：2
【解答】解：∵2x﹣7y=0，
∴2x=7y，
∴x：y=7：2．
故选：A．
2．（4分）有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定＞等于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a，b为实数，那么a+b=b+a．其中是必然事件的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：根据分析，知
①②④是必然事件；
③是不可能事件．
故选：C．
3．（4分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=
【解答】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD•AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（4分）将抛物线y=2x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（）
A．y=2（x﹣2）2﹣3B．y=2（x﹣2）2+3C．y=2（x+2）2﹣3
D．y=2（x+2）2+3
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（2，3）．可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得y=2（x﹣2）2+3．
故选：B．
5．（4分）在四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、菱形、正五边形、圆．现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．1
【解答】解：卡片上的图形恰好是中心对称图形的有2个，
所以从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是0.5，
故选：B．
6．（4分）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是x=1
C．当x=1时，y的最大值为﹣4
D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣3），
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．
A、抛物线的二次项系数为1＞0，抛物线的开口向上，正确．
B、根据抛物线的对称轴x=﹣=﹣=1，正确．
C、由A知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当x=1时，y的最小值为﹣4，
而不是最大值．故本选项错误．
D、当y=0时，有x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，抛物线与x轴的交点坐标
为（﹣1，0），（3，0）．正确．
故选：C．
7．（4分）如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△DEF与△ABC的周长比为（）
A．4：1B．3：1C．2：1D．：1
【解答】解：如图，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：
DE2=22+22，EF2=22+42，
∴DE=2，EF=2；
同理可求：AC=，BC=，
∵DF=2，AB=2，
∴，
∴△EDF∽△BAC，
∴l
△DEF ：l
△ABC
=：1，
故选：D．
8．（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=4，CD=1，BC=4．在腰BC上取一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，这样的点P有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵AB∥DC，∠ABC=90°，
∴∠B=∠C=90°，
如图，
①若△ABP∽△PCD，则=，即=，
解得：BP=2；
②若△ABP∽△DCP，则=，即=，
解得：BP=；
所以这样的点P有2个，
故选：B．
9．（4分）以下命题：
（1）点P到圆心的距离等于圆的半径说明点P在这个圆上；
（2）弧相等就是弧的长度相等；
（3）三点确定一个圆；
（4）平分弦的直径必垂直于这条弦，
其中正确的命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：点P到圆心的距离等于圆的半径说明点P在这个圆上，所以（1）正确；
弧相等就是弧的长度和弧的度数分别相等，所以（2）错误；
不共线的三点确定一个圆，所以（3）错误；
平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，所以（4）错误．
故选：A．
10．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴左，
∴a与b同号，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，
∴反比例函数y=在二四象限，
∵b＜0，
∴正比例函数y=bx的图象经过原点，且在二四象限，
故选：B．
11．（4分）如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（）
A．3B．2C．1D．1.2
【解答】解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，
∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，
∴∠D=90°，
在Rt△ABD中，AD=，AB=4，
∴BD=，
∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∵AD：BC=：4=1：5，
∴相似比为1：5，
设AE=x，
∴BE=5x，
∴DE=﹣5x，
∴CE=28﹣25x，
∵AC=4，
∴x+28﹣25x=4，
解得：x=1．
故选：C．
12．（4分）已知函数y=ax2+2ax+4（a＞0），若点（x1，y1），（x2，y2）是函数上的两个点，且满足x1＜x2，x1+x2=0，则（）
A．y1=y2B．y1＜y2
C．y1＞y2D．y1与y2的大小不能确定
【解答】解：对称轴为直线x=﹣=﹣=﹣1，
∵a＞0，
∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵x1+x2=0，
∴点（x1，y1）距离对称轴比（x2，y2）近，
∴y1＜y2．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，本题共6个小题，满分24分）
13．（4分）已知一个扇形的半径为30cm，面积为240πcm2，则此扇形的弧长为16πcm．
=lr，
【解答】解：∵S
扇形
∴240π=•l•30，
∴l=16π，
故答案为：16π．
14．（4分）从小明、小聪、小慧和小颖四人中随机选取2人参加学校组织的敬
老活动，则小明被选中的概率是．
【解答】解：记小明为A、小聪为B、小慧为C、小颖为D，
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中小明被选中（其中含有A）的有6种结果，
∴小明被选中的概率是，
故答案为：．
15．（4分）如图，四条平行直线l1，l2，l3，l4被直线l5，l6所截，AB：BC：CD=1：2：3，若FG=3，则线段EF和线段GH的长度之和是6．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，即，
解得，EF=，
∵l2∥l3∥l4，
∴，即，
解得GH=，
则线段EF和线段GH的长度之和=+=6，
故答案为：6
16．（4分）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A，B，若其对称轴为直线x=2，则OB﹣OA的值为4．
【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0），
则x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，
∵抛物线的对称轴是：x=2，
∴﹣=2，
∴b=﹣4a，
由图可知：x1＜0，x2＞0，
∴OB﹣OA=x2﹣（﹣x1）=x2+x1=﹣=﹣=4，
故答案为：4．
17．（4分）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为y=2x．
【解答】解：设OC=a，
∵点D在y=上，
∴CD=，
∵△OCD∽△ACO，
∴=，
∴AC==，
∴点A（a，），
∵点B是OA的中点，
∴点B的坐标为（，），
∵点B在反比例函数图象上，
∴=，
∴=2k2，
∴a4=4k2，
解得，a2=2k，
∴点B的坐标为（，a），
设直线OA的解析式为y=mx，
则m•=a，
解得m=2，
所以，直线OA的解析式为y=2x．
故答案为：y=2x．
18．（4分）如图，在⊙O中，圆周角∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，AB=4，AC=3，
则AD的长为．
【解答】解：连结BC交AD于E，过B作BP⊥AC于点P，过E作EH⊥AC于点H，在△ABC中，AB=4，AC=6，AD是∠BAC的角平分线，
∴BE：CE=4：3，
∵∠BAC=60°，
∴AP=AB•cos∠BAC=2，BP=AB•sin∠BAC=2，
∴CP=AC﹣AP=1，
∴BC==，
∴CE=，BE=，
∵EH∥BP，
∴CH=，EH=，
∴AH=AC﹣CH=，
∴AE==，
∵BE•CE=AE•DE，
∴DE=，
∴AD=DE+AE=．
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共78分；19题6分，20-21每题8分，22-24
每题10分，25题12分，26题14分）
19．（6分）如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠CAD=30°，求阴影部分的面积（结果保留π）
【解答】解：如图，
∵∠CAD=30°，
∵AB∥CD，
∴△ACD的面积=△COD的面积，
∴阴影部分的面积=弓形CD的面积+△COD的面积=扇形OCD的面积==
π．
20．（8分）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．
（1）求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）
（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第二次传球后
球回到甲手里的概率是．那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是
．（请直接写出结果）．
【解答】解：（1）画树状图：
共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，
∴P
==．
（第2次传球后球回到甲手里）
（2）第二步传的结果是n2，传给甲的结果是n，
∴第二次传球后球回到甲手里的概率是=；
第三步传的结果是n3，传给甲的结果是n（n﹣1），
第三次传球后球回到甲手里的概率是=，
故答案为：，．
21．（8分）如图，课本中有一个例题；
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积的最大值约为
1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
【解答】解：（1）由已知可得：AD==，
则S=1×=m2；
（2）设AB=xm，则AD=3﹣x（m），
∵3﹣x＞0，
∴0＜x＜，
设窗户面积为S，由已知得：S=AB•AD=x（3﹣x）=﹣+3x=﹣（x﹣）2+，
当x=m时，且x=m在0＜x＜的范围内，S取得最大值＞1.05，
∴现在窗户透光面积的最大值变大．
22．（10分）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求弧BC的长；
（2）求弦BD的长．
【解答】解：（1）如图，连接OC，OD，
，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
∵cos∠BAC===，
∴∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
∴的长==π．
（2）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
在Rt△ABD中，
BD=AB×sin45°=10×=5．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．
（1）求证：△EBF∽△FCD；
（2）如果BC=12，BF=3，求BE的值．
【解答】（1）证明：∵在正方形ABCD，正方形EFGH中，∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，∴BC=CD，GH=EF=FG．
又∵点F在BC上，点G在FD上，
∴∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，
∴∠EFB=∠FDC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△EBF∽△FCD；
（2）∵BF=3，BC=CD=12，
∴CF=9，DF==15，
∵△EBF∽△FCD，
∴，
∴BE=，
24．（10分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB
于D．
（1）求证：AD=BD；
=4S△BCM，求．（2）弦CE交BD于M，若S
△ABC
【解答】（1）证明：连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC中，AC=BC，
∴AD=BD．
（2）解：过点M作MN⊥BC于N，连接BE．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB=∠CNM=90°，
∵∠BCE为公共角，
∴△CMN∽△CBE，
∴==，
设圆的半径为x，
则BC=AC=2x，AB==2x，
=4S△BCM，
∵S
△ABC
∴MN=AC，
∴MN=x，
∵△BMN∽△BAC，
∴==，
∴=，
∴CN=x，
在Rt△CMN中，CM==x，
∴=，
∴CE==x，
∵BD=AB=x，
∴=．
25．（12分）已知直线y=kx﹣4k+3始终经过一固定点A，
（1）直接写出点A的坐标（温馨提示：若看不出，取几个不同的K值画图看看）；
并验证点A是否在抛物线y=ax2﹣4ax+3上
（2）设抛物线y=ax2﹣4ax+3与Y轴的交点为B，抛物线的对称轴与直线y=kx﹣4k+3和直线OA分别与相交于点C、D．问：是否存在一点C，使以A、C、D 为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出K的值；若不存在，说明理由．（3）设抛物线y=ax2﹣4ax+3过点（2，﹣1），直线y=kx﹣4k+3与抛物线的另一个交点为P，若△POA的面积等于，求a和k的值．
【解答】解：（1）∵直线y=kx﹣4k+3始终经过一固定点A，
∴y﹣3+k（x﹣4）=0的取值与k无关，
∴y=3，x=4，
即A（4，3）．
将x=4代入y=ax2﹣4ax+3，得16a﹣16a+3=3，
∴点A在抛物线y=ax2﹣4ax+3上；
（2）存在，k1=0，k2=；如图1，
∵抛物线y=ax2﹣4ax+3与y轴的交点为B，
∴B（0，3），对称轴x=2，
∵点A（4，3），
∴直线OA解析式为y=x，
∵直线y=kx﹣4k+3和直线OA分别与抛物线的对称轴相交于点C，D，∴C（2，﹣2k+3），D（2，），
∵A（4，3），B（0，3），
∴△OBA为直角三角形，AB=4，OB=3，
∵使A，C，D为顶点的三角形与△AOB，
①当∠ACD=90°时，点在直线AB上，
∴点C1（2，3），
∴﹣2b+3=3，
∴b=0
②当∠DAC=90°时，AC⊥OA，
∴直线AC解析式为y=﹣x+，
∵点C（2，﹣2k+3），
∴﹣2k+3=﹣×2+，
∴k=﹣，
即：k1=0，k2=﹣；
（3）∵抛物线y=ax2﹣4ax+3过点（2，﹣1），
∴a=1，
∴y=x2﹣4x+3，
∴P（k，k2﹣4k+3），
∴直线AP的解析式为y=kx+3﹣4k，
∴直线AP与y轴的交点为M（0，3﹣4k），
∴S
=|3﹣4k|×4=2|3﹣4k|，
△AOM
S△POM=×|3﹣4k|×|k|，
①当b＞0时，Ⅰ、当0＜k＜4时，即：点P纵坐标比点A的大时（点P在点A
上方），
S△AOP=S△AOM﹣S△POM=2|3﹣4k|﹣|3﹣4k|×k=，
（Ⅰ）、0＜k＜时，b1=﹣1（舍），b2=（舍），
（Ⅱ）、＜k＜4时，方程无解，
Ⅱ、当k＞4时，即：点P纵坐标比点A的小时（点P在点下方），如图，
S△AOP=S△POM﹣S△AOM=|3﹣4k|×k﹣2|3﹣4b|=（4k﹣3）×k﹣2（4k﹣3）=，∴b1=﹣1（舍）或b2=，
②当b＜0时，3﹣4b＞0，
∴S
=S△AOM+S△POM=2|3﹣4k|+|3﹣4k|×（﹣k）=，
△AOP
∴2（3﹣4k）+（3﹣4k）×k=，
∴4k2﹣19k﹣23=0，
k1=﹣1，k2=（舍），
∴k=﹣1，
即：a=1，k=﹣1或．
26．（14分）定义：如图1，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE=CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．
（1）如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB=AC=5，AE=2，求逆等线EF的长；
（2）如图2，若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线；（3）如图3，等腰△AOB的顶点O与原点重合，底边OB在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象交△OAB于点C，D，若CD恰为△AOB的逆等线，过点C，D分别作CE⊥x轴，DF⊥x轴，已知OE=2，求OF的长．
【解答】解：
（1）∵EF是等腰△ABC的逆等线，
∴CF=AE=2，又AB=AC=5，
∴AF=3，
∵EF⊥AB，
∴EF==；
（2）连结AD，在等腰Rt△ABC中，点D为底边上中点，
∴AD=CD且∠ADC=90°，
又∵DE=DF且∠EDF=90°，
∴∠EDA=90°﹣∠ADF=∠FDC，
在△EDA和△FDC中
∴△EDA≌△FDC（SAS），
∴AE=CF，
∴EF为等腰△ABC的逆等线；
（3）如图3，设OF=x，则DF=，作AG⊥OB，CH⊥AG，
∵CD为△AOB的逆等线，
∴AC=BD，又∠ACH=∠AOB=∠DBF，且∠AHC=∠AGO=∠DFB，
在△ACH和△DBF中
∴△ACH≌△DBF（AAS），
则EG=CH=BF，AH=DF，
又AO=AB，且AG⊥OB，
∴OG=BG，
∴GF=BG﹣BF=OG﹣EG=OE，
∴EG=x﹣2﹣2=x﹣4，
∵△ACH∽△COE，
∴=，即=，化简得x2﹣4x﹣4=0，解得x=2+2或x=2﹣2（舍去），
∴
OF=2+2．
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