2019年重点高中提前招生第一次选拔数学试卷及答案

M
Q
N
P
重点高中提前招生第一次选拔试卷――数学
一、选择题：（本大题共6小题,每小题5分,满分30分）
1、若y ＜1是不等式a －3(a －y ) ＜y －4的解集，则a 的取值为（ ） A ．a ＞3 B 、a =3 C 、a ＜3 D 、a =4
2、在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2
2
22x y x y +≤+的整数点坐标()x y ，的个数为（ ） A 、10 B 、9 C 、7 D 、5
3、在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
4、如图，直角梯形MNPQ ，∠MNP =90°，PM ⊥NQ ，若 22PM NQ =,则=NP
MQ
（ ） A 、21 B 、22 C 、4 D 、3
2
5、如图，三个半径为3的圆两两外切，且△ABC 的每一边都与其中的两个圆相切，则△ABC 的周长是（ ）
A 、12+63
B 、18+63
C 、18+123
D 、12+123 6、如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ） A 、23 B 、4 C 、52 D 、4.5 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 7、如果关于x 的方程2239
3042
x kx k k ++
-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么
2012
2
20111x x 的值为 ．
8、如图，直角三角形AOB 中，O 为坐标原点，∠AOB =90°，∠B =30°，若点A 在反比例函数y =
x
1
(x ＞0)图像上运动，那么点B 必在函数_________________的图像上运动。

(填写该函数表达式） 9、如图，半径为r 的圆O 沿折线ABCDE 作无滑动的滚动，如果2AB BC CD DE r π====，150,120ABC CDE BCD ∠=∠=∠=，那么，圆O 自点A
至点
E 转动了__________周.
10、依次将正整数1，2，3，……的平方数排成一串：149162536496481100121144……，排
在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是_________________ 11、如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）
和111a b c （，，）
均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则a
c 的取值范围是 .
三、解答题（本大题共2小题，共25分） 12、（12分）如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD
的内心. 求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）AB ＋AD ＝2BD .
13、（13分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为
y kx b =+．
（1）求k 的取值范围；
（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线2
5y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、
AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．
Q
P x
y D
C
B
A
O
数学答案
1.B
2.B
3.D
4.A
5.B
6.B
7、32-
8、3
y x
-=
9、 14
3 10、1 11、 1
253≤<-c a
12、
解：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知
CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠． 所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ．
同理，CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，
且OA = OC ，所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． （2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ． 由BC CD =，知OC ⊥BD ．
因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．
13、
解：（1）直线y kx b =+经过P (0,3)，∴ 3b =． ∵B (3,2)，A (5,0)，BD =BA ，∴ 点D 的坐标是(1,0)， ∴ BD 的解析式是1y x =-, 1 3.x ≤≤
依题意，得 1,3.y x y kx =-⎧⎨=+⎩
，∴4
,1x k =-
∴ 41 3.1k -≤
≤解得1
3.3
k --≤≤………………………………………… （2） 1
3,3
k --≤≤且k 为最大整数，∴1k =-.
则直线PQ 的解析式为3y x =-+.……………………………………………
又因为抛物线2
5y ax ax =-的顶点坐标是525,2
4a ⎛⎫
-
⎪⎝⎭，对称轴为52x =．
解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25
,3x x y 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==.21,25y x 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为51(,)22，
∴
125224a <-<．解得 82
2525
a -<<-．…………………………………… Q
P
x
y D
C B
A
O。