2019年重点高中提前招生第一次选拔数学试卷及答案

M

Q

N

P

重点高中提前招生第一次选拔试卷――数学

一、选择题：（本大题共6小题,每小题5分,满分30分）

1、若y ＜1是不等式a －3(a －y ) ＜y －4的解集，则a 的取值为（ ） A ．a ＞3 B 、a =3 C 、a ＜3 D 、a =4

2、在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2

2

22x y x y +≤+的整数点坐标()x y ，的个数为（ ） A 、10 B 、9 C 、7 D 、5

3、在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个

4、如图，直角梯形MNPQ ，∠MNP =90°，PM ⊥NQ ，若 22PM NQ =,则=NP

MQ

（ ） A 、21 B 、22 C 、4 D 、3

2

5、如图，三个半径为3的圆两两外切，且△ABC 的每一边都与其中的两个圆相切，则△ABC 的周长是（ ）

A 、12+63

B 、18+63

C 、18+123

D 、12+123 6、如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ） A 、23 B 、4 C 、52 D 、4.5 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 7、如果关于x 的方程2239

3042

x kx k k ++

-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么

2012

2

20111x x 的值为 ．

8、如图，直角三角形AOB 中，O 为坐标原点，∠AOB =90°，∠B =30°，若点A 在反比例函数y =

x

1

(x ＞0)图像上运动，那么点B 必在函数_________________的图像上运动。(填写该函数表达式） 9、如图，半径为r 的圆O 沿折线ABCDE 作无滑动的滚动，如果2AB BC CD DE r π====，150,120ABC CDE BCD ∠=∠=∠=，那么，圆O 自点A

至点

E 转动了__________周.

10、依次将正整数1，2，3，……的平方数排成一串：149162536496481100121144……，排

在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是_________________ 11、如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）

和111a b c （，，）

均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则a

c 的取值范围是 .

三、解答题（本大题共2小题，共25分） 12、（12分）如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD

的内心. 求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）AB ＋AD ＝2BD .

13、（13分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为

y kx b =+．

（1）求k 的取值范围；

（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线2

5y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、

AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．

Q

P x

y D

C

B

A

O

数学答案

1.B

2.B

3.D

4.A

5.B

6.B

7、32-

8、3

y x

-=

9、 14

3 10、1 11、 1

253≤<-c a

12、

解：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠． 所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ．

同理，CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，

且OA = OC ，所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． （2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ． 由BC CD =，知OC ⊥BD ．

因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．

13、

解：（1）直线y kx b =+经过P (0,3)，∴ 3b =． ∵B (3,2)，A (5,0)，BD =BA ，∴ 点D 的坐标是(1,0)， ∴ BD 的解析式是1y x =-, 1 3.x ≤≤

依题意，得 1,3.y x y kx =-⎧⎨=+⎩

，∴4

,1x k =-

∴ 41 3.1k -≤

≤解得1

3.3

k --≤≤………………………………………… （2） 1

3,3

k --≤≤且k 为最大整数，∴1k =-.

则直线PQ 的解析式为3y x =-+.……………………………………………

又因为抛物线2

5y ax ax =-的顶点坐标是525,2

4a ⎛⎫

-

⎪⎝⎭，对称轴为52x =．

解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25

,3x x y 得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

==.21,25y x 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为51(,)22，

∴

125224a <-<．解得 82

2525

a -<<-．…………………………………… Q

P

x

y D

C B

A

O