数值分析课件chap7非线性方程组的求解
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非线性方程组求解-PPT精品
2019/10/30
32
2.2.1 内联函数（inline function）
[说明]
'CE'是字符串；CE表达式不能包含赋值号＝
第1种调用格式将自动地对CE进行辨识，把CE中由 字母/数字组成的连续字符认做变量，除预定义变量 名和常用函数名（如sin）外的有字母/数字组成的 连续字符将被认做变量。但注意如果连续字符后紧 接左圆括号，则不被当作输入变量。
非线性方程(组)的求解一般采用迭代法进行。 迭代法是一种重要的逐次逼近方法。这种 方法用某个固定公式反复校正根的近似值， 使之逐步精确化，最后得到满足精度要求 的结果
常见的迭代算法有不动点迭代、二分法、 牛顿法、弦截法、威格斯坦法 （Wegstein）、抛物线法等
2019/10/30
8
不动点迭代法
P
y = g(x)
P
y = g(x)
(p1,p1)
(p0,g(p0))
O
Pp2 p1
p0
x
O p1 Pp2
p0
x
y
y = g(x)
y= x
(p0,g(p0))
(p1,p1)
P
2019/10/30 O
P p0 p1
p2
x
y
y = g(x)
y= x
(p0,g(p0)) P
(p1,p1)
O
p1 P p0 p2
在实际使用中，牛顿法最好与逐步扫描法 结合起来，先通过逐步扫描法求出根的近 似值，然后用牛顿公式求其精确值，以发 挥牛顿法收敛速度快的优点
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20
2.1.2.4 弦截法
牛顿迭代法收敛速度快，但它要求计算函 数导数的值。在科学与工程计算中，常会 碰到函数导数不易计算或者算式复杂而不 便计算的情况
非线性方程组的数值解法及最优化方法课件
拟牛顿法求解非线性方程组
拟牛顿法是牛顿法的改进，通过构造一个近似于真实Hessian矩阵的对称正定矩阵来逼近， 从而加快了算法的收敛速度。
信赖域方法求解非线性方程组
信赖域方法是一种基于梯度信息的迭代算法，通过在每一步中计算一个小的搜索方向，并 限制步长，以避免算法发散。
最优化方法案例
梯度下降法求解无约束最优化问题
梯度下降法是一种迭代算法，通过不断沿负梯度方向更新变量，最终找到最优化问题的最小值点。该方法适用于求解 无约束最优化问题。
牛顿法求解无约束最优化问题
牛顿法是一种基于二阶导数的迭代算法，通过不断逼近函数的极小值点，最终求解无约束最优化问题。该方法适用于 求解具有多个局部最小值的问题。
遗传算法求解约束最优化问题 遗传算法是一种基于生物进化原理的随机搜索算法，通过模拟生物进化过程中的自然选择和遗传机制， 在解空间中进行高效搜索，最终找到满足约束的最优解。
和稳定性。
约束最优化方法
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日函数，将约束最优化问题转化为无 约束最优化问题求解。
罚函数法
通过引入罚函数，将约束条件转化为无约束条件，通 过迭代更新求解。
序列二次规划法
结合拉格朗日乘数法和牛顿法的思想，通过迭代逼近 最优解。
混合整数最优化方法
01
02
03
分支定界法
将整数约束转化为区间约 束，通过不断分支和剪枝 来逼近最优解。
非线性方程组与最优化方法的结合案例
非线性规划问题
非线性规划是最优化领域中一类重要的数学问题，其目标函数和约束条件都是非线性的。常见的非线性规划问题 包括最小二乘问题、二次规划问题等。求解非线性规划问题的常用方法包括梯度下降法、牛顿法等。
拟牛顿法是牛顿法的改进，通过构造一个近似于真实Hessian矩阵的对称正定矩阵来逼近， 从而加快了算法的收敛速度。
信赖域方法求解非线性方程组
信赖域方法是一种基于梯度信息的迭代算法，通过在每一步中计算一个小的搜索方向，并 限制步长，以避免算法发散。
最优化方法案例
梯度下降法求解无约束最优化问题
梯度下降法是一种迭代算法，通过不断沿负梯度方向更新变量，最终找到最优化问题的最小值点。该方法适用于求解 无约束最优化问题。
牛顿法求解无约束最优化问题
牛顿法是一种基于二阶导数的迭代算法，通过不断逼近函数的极小值点，最终求解无约束最优化问题。该方法适用于 求解具有多个局部最小值的问题。
遗传算法求解约束最优化问题 遗传算法是一种基于生物进化原理的随机搜索算法，通过模拟生物进化过程中的自然选择和遗传机制， 在解空间中进行高效搜索，最终找到满足约束的最优解。
和稳定性。
约束最优化方法
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日函数，将约束最优化问题转化为无 约束最优化问题求解。
罚函数法
通过引入罚函数，将约束条件转化为无约束条件，通 过迭代更新求解。
序列二次规划法
结合拉格朗日乘数法和牛顿法的思想，通过迭代逼近 最优解。
混合整数最优化方法
01
02
03
分支定界法
将整数约束转化为区间约 束，通过不断分支和剪枝 来逼近最优解。
非线性方程组与最优化方法的结合案例
非线性规划问题
非线性规划是最优化领域中一类重要的数学问题，其目标函数和约束条件都是非线性的。常见的非线性规划问题 包括最小二乘问题、二次规划问题等。求解非线性规划问题的常用方法包括梯度下降法、牛顿法等。
数值分析 第7章 非线性方程的数值解法..ppt;ppt
2
7.1 方程求根与二分法
7.1.1 引言 单变量非线性方程的一般形式 （1.1） f ( x) 0 其中 x R , f ( x) C[a, b], [a, b] 也可以是无穷区间.
f(x)是高次多项式函数或超越函数 如果函数 f (x) 是多项式函数，即
f ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an (a0 0),
xk
可得一个近似根的序列 x0 , x1 , x2 , xk ,,
2
9
且
x* xk (bk ak ) / 2 (b a) / 2k 1 , x * xk , k ln(b a ) ln 1
ln 2
（1.3）
(4) 要使
只要二分足够多次（即 k 充分大），便有
建立迭代公式 各步迭代的结果如下表
表7 3 k xk k xk
x1 2.375, x2 12.39.
xk 1 3 xk 1 (k 0,1,2,).
发散
如果仅取6位数字，
结果x7 与 x8 完全相同， 说明：①迭代函数不唯一，②迭代点列可能收敛，也可 0 1 .5 5 1.32476 能发散，迭代收敛与否不仅与迭代函数有关，还与初 1 1.35721 6 1.32473 x7 即为所求的根. 始点有关。
（1.2）
其中 a0 0, ai (i 0,1,, n) 为实数，则称方程(1.1)为 n 次代数方程.
超越函数 不能表示为多项式的函数
如 (x)=3x5-2x4+8x2-7x+1 (x)=e2x+1-xln(sinx)-2 高次代数方程 超越方程
3
如果实数 x *满足 f ( x*) 0，则称 x * 是方程(1.1)的 根，或称 x *是 f (x)的零点. 若 f (x)可分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x),
7.1 方程求根与二分法
7.1.1 引言 单变量非线性方程的一般形式 （1.1） f ( x) 0 其中 x R , f ( x) C[a, b], [a, b] 也可以是无穷区间.
f(x)是高次多项式函数或超越函数 如果函数 f (x) 是多项式函数，即
f ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an (a0 0),
xk
可得一个近似根的序列 x0 , x1 , x2 , xk ,,
2
9
且
x* xk (bk ak ) / 2 (b a) / 2k 1 , x * xk , k ln(b a ) ln 1
ln 2
（1.3）
(4) 要使
只要二分足够多次（即 k 充分大），便有
建立迭代公式 各步迭代的结果如下表
表7 3 k xk k xk
x1 2.375, x2 12.39.
xk 1 3 xk 1 (k 0,1,2,).
发散
如果仅取6位数字，
结果x7 与 x8 完全相同， 说明：①迭代函数不唯一，②迭代点列可能收敛，也可 0 1 .5 5 1.32476 能发散，迭代收敛与否不仅与迭代函数有关，还与初 1 1.35721 6 1.32473 x7 即为所求的根. 始点有关。
（1.2）
其中 a0 0, ai (i 0,1,, n) 为实数，则称方程(1.1)为 n 次代数方程.
超越函数 不能表示为多项式的函数
如 (x)=3x5-2x4+8x2-7x+1 (x)=e2x+1-xln(sinx)-2 高次代数方程 超越方程
3
如果实数 x *满足 f ( x*) 0，则称 x * 是方程(1.1)的 根，或称 x *是 f (x)的零点. 若 f (x)可分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x),
《非线性方程组解法》课件
03
常见的拟牛顿法包括DFP方法 和BFGS方法等。
共轭梯度法
01
共轭梯度法是一种基于共轭方向和梯度方向的迭代方法，通过 不断逼近方程的解。
02
共轭梯度法的优点是避免了存储和计算海森矩阵，适用于大规
模非线性方程组的求解。
常见的共轭梯度法包括Fletcher-Reeves方法和Polak-Ribiere方
机械工程
非线性方程组可以用来描述机械 系统的行为和性能，如车辆动力 学、机器人运动等。
航空航天工程
非线性方程组可以用来描述飞行 器的运动和性能，如飞机和火箭 的发射和导航等。
电子工程
非线性方程组可以用来描述电子 系统的行为和性能，如电路设计 和电磁波传播等。
04
非线性方程组的求解软件
MATLAB
强大的矩阵计算能力
MATLAB提供了高效的矩阵运算功能，适用于 大规模的非线性方程组求解。
内置优化工具箱
MATLAB的优化工具箱提供了多种非线性优化 算法，如牛顿法、拟牛顿法等。
用户友好性
MATLAB的用户界面简洁直观，易于学习和使用。
Python的SciPy库
丰富的数学函数库
SciPy库包含了大量的数学函数和算法，可用于非线 性方程组的求解。
《非线性方程组解法》PPT课件
• 非线性方程组概述 • 非线性方程组的解法 • 非线性方程组的应用 • 非线性方程组的求解软件 • 非线性方程组解法的挑战与展望
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义
总结词
非线性方程组是由多个非线性方程组成的数学模型。
详细描述
非线性方程组是指包含多个非线性方程的数学模型，这些方程通常包含未知数和未知数的非线性函数 。
非线性方程数值解法详解课件
例如，对于求解非线性方程$f(x)=0$的 应用实例中需要注意选择合适的初始近
根，可以先选择一个初始近似解$x_0$， 似解和设置合适的精度要求，以确保算
然后按照弦截法的迭代过程逐步逼近方
法能够快速收敛到真实解。
程的真实解。
05 共轭梯度法
共轭梯度法的原理
它利用共轭方向的概念，通过迭代过程中不断更新搜 索方向，使得函数值逐渐减小，最终找到方程的解。
牛顿法的实现步骤
确定初始点x0，计算f(x0)和f'(x0)，如果f(x0)不等于0，则按照牛顿法的迭代公式 进行迭代，直到满足精度要求。
1. 选取初始点x0；2. 计算函数值f(x0)和导数值f'(x0)；3. 如果f(x0)不等于0，则 按照牛顿法的迭代公式x1=x0-f(x0)/f'(x0)进行迭代；4. 重复步骤2和3，直到满 足精度要求。
以求解非线性方程为例，通过选择合 适的迭代法和初值，可以有效地求解 非线性方程的近似解。
03 牛顿法
牛顿法的原理
01
基于函数f(x)的泰勒级数的前两项， 通过迭代的方式逼近方程f(x)=0 的解。
02
牛顿法的基本思想是通过泰勒级 数的近似，将非线性方程f(x)=0 转化为线性方程，然后利用线性 方程的解来逼近非线性方程的解。
当达到预设的迭代次数或满足一定的收敛 条件时，停止迭代，输出结果。
共轭梯度法的收敛性分析
共轭梯度法具有全局收敛性和局部收敛性，即只要初始点 选择得当，算法能够找到方程的解，且在局部范围内具有 快速收敛的特点。
收敛性分析主要涉及算法的迭代矩阵和函数的性质，如连 续性和可微性等。
共轭梯度法的应用实例
牛顿法的收敛性分析
在一定的条件下，牛顿法是收敛的， 且具有二阶收敛速度。
非线性方程组数值解法课件
非线性方程组数值 解法课件
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型，描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下，拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现，如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）和 BFGS算法（Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno）是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵，而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中，BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎， 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型，描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下，拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现，如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）和 BFGS算法（Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno）是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵，而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中，BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎， 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。
数值分析课件 (第7章)
工科研究生公共课程数学系列 机动
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结束
二、二分法
设 f ( a ) f (b) 0, 取 x0 ( a b) / 2. 假如 f ( x0 ) 是f ( x)的零点， 那么输出 x0 , 停止. 假若不然， 若 f ( a ) 与 f ( x0 ) 同号，则 a1 x0 , b1 b; 否则 a1 a, b1 x0。
工科研究生公共课程数学系列
机动
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首页
结束
取初值x 0 1.5.
k
xk
k
xk
1 2 3
1.484248034 1.472705730 1.468817314
由于 x6 x5
x
4 5 6
3
1.467047973 1.466243010 1.465876820
证明：先证不动点存在 性。 若(a ) a或(b ) b，显然( x )在[a, b]上存在不动点。 因a ( x ) b, 定义函数 f ( x ) ( x ) x 显然f ( x ) C[a, b], 且满足 f ( a ) ( a ) a 0, f ( b ) ( b ) b 0 由连续函数性质可知存 x (a, b )使 f ( x ) 0, 即 在 x ( x ), x 即为( x )的不动点。
3/ 2
1 2(1.6 1)
1,
发散。
由于(2)的L较小，故取(2)中迭代公式计算。 要求结果具有四位有效数字 ,因 xk x
*
L 1 L
xk xk 1 1 L L
1 2
10 ，故只需 10
3
3
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二、二分法
设 f ( a ) f (b) 0, 取 x0 ( a b) / 2. 假如 f ( x0 ) 是f ( x)的零点， 那么输出 x0 , 停止. 假若不然， 若 f ( a ) 与 f ( x0 ) 同号，则 a1 x0 , b1 b; 否则 a1 a, b1 x0。
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取初值x 0 1.5.
k
xk
k
xk
1 2 3
1.484248034 1.472705730 1.468817314
由于 x6 x5
x
4 5 6
3
1.467047973 1.466243010 1.465876820
证明：先证不动点存在 性。 若(a ) a或(b ) b，显然( x )在[a, b]上存在不动点。 因a ( x ) b, 定义函数 f ( x ) ( x ) x 显然f ( x ) C[a, b], 且满足 f ( a ) ( a ) a 0, f ( b ) ( b ) b 0 由连续函数性质可知存 x (a, b )使 f ( x ) 0, 即 在 x ( x ), x 即为( x )的不动点。
3/ 2
1 2(1.6 1)
1,
发散。
由于(2)的L较小，故取(2)中迭代公式计算。 要求结果具有四位有效数字 ,因 xk x
*
L 1 L
xk xk 1 1 L L
1 2
10 ，故只需 10
3
3
数值分析 第七章 非线性方程(组)的数值解法.
x0
y
,这样就可得缩小有根区间 a1 , b1
y=f(x) y=f(x)
x* a a1 x1 a2 x* x0 b1 b2 b a x0 a1 x1 a2 b b1 b2
23/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§7.2 二分区间法 ② 对压缩了的有根区间 a1 , b1 施行同样的手法, b 即取中点 x a 2 ,将区间 a1 , b1 再分为两半,然 后再确定有根区间 a 2 , b2 ,其长度是 a1 , b1 的 二分之一。
长h=(B-A)/n(n是正整数),在[A,B]内取定节点:xi=x0＋ih (i=0,1,2,…,n),从左至右检查f (xi)的符号,如发现xi与端点x0 的函数值异号,则得到一个缩小的有根子区间［xi-1,xi］。
y
0 A
a1 b1 a2 b2
B
x
20/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§7.1 引言
数值解法的三个步骤 ① 判定根的存在性。即方程有没有根？如果有 根，有几个根？ ② 确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔 离开来，这个过程实际上是获得方程各根的 初始近似值。（隔离根） ③ 根的精确化。将根的初始近似值按某种格式 逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止。
10/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
3/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§7.1 引言 当 f (x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程
f (x)=0为非线性方程。
y
,这样就可得缩小有根区间 a1 , b1
y=f(x) y=f(x)
x* a a1 x1 a2 x* x0 b1 b2 b a x0 a1 x1 a2 b b1 b2
23/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§7.2 二分区间法 ② 对压缩了的有根区间 a1 , b1 施行同样的手法, b 即取中点 x a 2 ,将区间 a1 , b1 再分为两半,然 后再确定有根区间 a 2 , b2 ,其长度是 a1 , b1 的 二分之一。
长h=(B-A)/n(n是正整数),在[A,B]内取定节点:xi=x0＋ih (i=0,1,2,…,n),从左至右检查f (xi)的符号,如发现xi与端点x0 的函数值异号,则得到一个缩小的有根子区间［xi-1,xi］。
y
0 A
a1 b1 a2 b2
B
x
20/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§7.1 引言
数值解法的三个步骤 ① 判定根的存在性。即方程有没有根？如果有 根，有几个根？ ② 确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔 离开来，这个过程实际上是获得方程各根的 初始近似值。（隔离根） ③ 根的精确化。将根的初始近似值按某种格式 逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止。
10/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
3/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§7.1 引言 当 f (x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程
f (x)=0为非线性方程。
研究生课程《数值分析》-第七章非线性方程组求根
数值分析课件 第七章
非线性方程组求根
求解非线性代数数方程组 F(x) 0. 当 n 1 时就是单个方程.
f (x) 0
其中f (x)可以是代数方程。使 f (x) 0成立的 x值称为 方程的根，或称为 f (x) 的零点。
科学与工程计算中，如电路和电力系统计算、 非线性力学、非线性微（积分）方程、非线性规划 （优化）等领域中，问题的求解和模拟最终要解决
–
+
+
可以看出，在[1.0, 1.5]内必有一根。
• 用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长 h. • 要选择适当 h ，使之既能把根隔离开来，工作量又不 太大。 • 为获取指定精度要求的初值，可在以上隔离根的基础 上采用对分法继续缩小该含根子区间。
二分法可以看作是搜索法的一种改进。
开始
读a, h
二分法的基本思想是: 首先确定有根区间,将区间二等分, 通过判断 f(x) 的符号, 逐步将有根区间缩小, 直至有根区间 足够地小, 便可求出满足精度要求的近似根。
设 f(x) 在区间[a, b]上连续, f(a)·f(b)<0, 则在 [a, b]
1
内有方程的根.
取[a, b]的中点
x0
(a b), 2
f ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x an (a0 0), (1.2)
其中系数 ai(i=0,1,,n) 为实数.
方程 f(x)=0 的根 x*，又称为函数 f(x) 的零点，即 f(x*)=0， 若 f(x)可分解为
f(x)=(x-x*)mg(x)，
其中 m 为正整数，且 g(x*)≠0. 若 m= 1时, 则称x*为单根； 若 m > 1 称 x*为(1.1)的m重根，或称 x* 为函数 f(x)的 m重 零点。若 x*是 f(x) 的m重零点，且 g(x)充分光滑，则
非线性方程组求根
求解非线性代数数方程组 F(x) 0. 当 n 1 时就是单个方程.
f (x) 0
其中f (x)可以是代数方程。使 f (x) 0成立的 x值称为 方程的根，或称为 f (x) 的零点。
科学与工程计算中，如电路和电力系统计算、 非线性力学、非线性微（积分）方程、非线性规划 （优化）等领域中，问题的求解和模拟最终要解决
–
+
+
可以看出，在[1.0, 1.5]内必有一根。
• 用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长 h. • 要选择适当 h ，使之既能把根隔离开来，工作量又不 太大。 • 为获取指定精度要求的初值，可在以上隔离根的基础 上采用对分法继续缩小该含根子区间。
二分法可以看作是搜索法的一种改进。
开始
读a, h
二分法的基本思想是: 首先确定有根区间,将区间二等分, 通过判断 f(x) 的符号, 逐步将有根区间缩小, 直至有根区间 足够地小, 便可求出满足精度要求的近似根。
设 f(x) 在区间[a, b]上连续, f(a)·f(b)<0, 则在 [a, b]
1
内有方程的根.
取[a, b]的中点
x0
(a b), 2
f ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x an (a0 0), (1.2)
其中系数 ai(i=0,1,,n) 为实数.
方程 f(x)=0 的根 x*，又称为函数 f(x) 的零点，即 f(x*)=0， 若 f(x)可分解为
f(x)=(x-x*)mg(x)，
其中 m 为正整数，且 g(x*)≠0. 若 m= 1时, 则称x*为单根； 若 m > 1 称 x*为(1.1)的m重根，或称 x* 为函数 f(x)的 m重 零点。若 x*是 f(x) 的m重零点，且 g(x)充分光滑，则
数值分析(本科)非线性方程求解
重数：设������为自然数，若成立 ������ ������ = ������ − ������∗
������ ������
������ ,
������ ������
且������ ������∗ ≠ ������
则称������∗ 是非线性方程������ ������ = ������的������重根，������ = ������时也称单根。
������������ 0.0000
0.5000 0.5000 0.6250 0.6875 0.6875
������������ 1.0000
1.0000 0.7500 0.7500 0.7500 0.7188
������(������������ ) -1.0000
-0.3445 -0.3445 -0.1239 -0.0041 -0.0041
三、二分法
几何解释
三、二分法
几何解释
三、二分法
几何解释
三、二分法
几何解释
三、二分法
考虑非线性方程������ ������ = ������，利用中值定理，可得到如下算法： 假设函数������ ������ 在 ������������ , ������������ 连续，且������(������������ )与������(������������ )异号， 则 ������������ , ������������ 为该方程的有根区间； 取区间 ������������ , ������������ 的中点������������ =
一、非线性方程的数值解法
问题：求解非线性方程 ������ ������ = ������ （*）
若������ ������∗ = ������,称������∗ 是������ ������ = ������的根或������的零点。
������ ������
������ ,
������ ������
且������ ������∗ ≠ ������
则称������∗ 是非线性方程������ ������ = ������的������重根，������ = ������时也称单根。
������������ 0.0000
0.5000 0.5000 0.6250 0.6875 0.6875
������������ 1.0000
1.0000 0.7500 0.7500 0.7500 0.7188
������(������������ ) -1.0000
-0.3445 -0.3445 -0.1239 -0.0041 -0.0041
三、二分法
几何解释
三、二分法
几何解释
三、二分法
几何解释
三、二分法
几何解释
三、二分法
考虑非线性方程������ ������ = ������，利用中值定理，可得到如下算法： 假设函数������ ������ 在 ������������ , ������������ 连续，且������(������������ )与������(������������ )异号， 则 ������������ , ������������ 为该方程的有根区间； 取区间 ������������ , ������������ 的中点������������ =
一、非线性方程的数值解法
问题：求解非线性方程 ������ ������ = ������ （*）
若������ ������∗ = ������,称������∗ 是������ ������ = ������的根或������的零点。
7非线性方程求根
for k = 1 : n x = g(x); fprintf('k=%2d, x=%.7f\n',k,x); if abs(x-xt)<tol, break, end
end xt = fzero(f,[3,4]);
fprintf('True solution: x = %.7f\n', xt)
% Steffenson 加速
Numerical Analysis
12
解的存在唯一性
解的存在唯一性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足
(1) 对任意的 x[a,b] 有 (x)[a,b]
(2) 存在常数 0<L<1，使得任意的 x, y[a,b] 有
(x)(y)Lxy
则(x) 在 [a,b] 上存在唯一的不动点 x*
Numerical Analysis
8
不动点迭代
基本思想
构造 f (x) = 0 的一个等价方程： x (x)
f (x) = 0 f (x) 的零点
等价变换
x = (x) (x) 的不动点
2019/11/5
Numerical Analysis
9
不动点迭代
具体过程 任取一个迭代初始值 x0 ，计算
非线性方程可能有(无穷)多个解，求解时必须强调求解区间
非线性方程一般没有直接解法，通常都使用迭代算法求解
2019/11/5
Numerical Analysis
4
非线性方程数值解法
几个基本概念
实根与复根 根的重数
f(x)=(x–x*)m ·g(x) 且 g(x*) 0, 则 x*为 f(x)=0 的 m 重根 有根区间：[a, b] 上存在 f (x) = 0 的一个实根
数值分析课件第07章非线性方程求根
由于它是基于切线方程而得到的，因而也叫切线法。
值分析
例题 用Newton法求方程
解
因为
在0.5附近的根。 ，故迭代格式为
取初值
，经迭代演算，得到前四次的近似根为
值分析
Newton法的应用 对于给定的正数C，应用Newton法解二次方程
因为 故得求
的近似值的迭代格式
例题 计算
解 凡是迭代算法，初值的选取都会影响到收敛速度。
数值分析课件第07章非线性 方程求根
值分析
第7章 非线性方程求根
§求根的基本问题及分析方法 §迭代法 §Newton法 §弦截法与抛物线法
值分析
7.1 求根的基本问题及分析方法
方程的求根大致包括3个基本问题： 根的存在性 方程有没有根？有的话，有几个？ 根的隔离 求出几个互不相交的区间，使每个区间中只有一个根。 根的精确化 在求出精度不高的近似根的基础上，逐步将根精确化， 直到满足预先要求的精度为止。
缩小，使根进一步精确化。
设
，且
，则可判定
。
不妨设
，且
。我们从左端开始，按预先选定的步长h
，一步一步地向右边走，每走一步检查一下终点的函数值是否取正号。
如果
，则表明根
。
如果精度不够，可将
看成 [a, b]再次进行搜索，并从左端点开始
向右搜索，直到满足精度为止。
在具体实施中，步长的选择是个关键，步长较小时精度高，但搜索次数
例对
求根的基本问题及分析方法
之根进行隔离。
解 显然，
，由
得驻点
。
因
故
分别
为 极大值和极小值。
从而
内各有一个实根。
由 y=f(x) 的草图可以直观地看到这点。
值分析
例题 用Newton法求方程
解
因为
在0.5附近的根。 ，故迭代格式为
取初值
，经迭代演算，得到前四次的近似根为
值分析
Newton法的应用 对于给定的正数C，应用Newton法解二次方程
因为 故得求
的近似值的迭代格式
例题 计算
解 凡是迭代算法，初值的选取都会影响到收敛速度。
数值分析课件第07章非线性 方程求根
值分析
第7章 非线性方程求根
§求根的基本问题及分析方法 §迭代法 §Newton法 §弦截法与抛物线法
值分析
7.1 求根的基本问题及分析方法
方程的求根大致包括3个基本问题： 根的存在性 方程有没有根？有的话，有几个？ 根的隔离 求出几个互不相交的区间，使每个区间中只有一个根。 根的精确化 在求出精度不高的近似根的基础上，逐步将根精确化， 直到满足预先要求的精度为止。
缩小，使根进一步精确化。
设
，且
，则可判定
。
不妨设
，且
。我们从左端开始，按预先选定的步长h
，一步一步地向右边走，每走一步检查一下终点的函数值是否取正号。
如果
，则表明根
。
如果精度不够，可将
看成 [a, b]再次进行搜索，并从左端点开始
向右搜索，直到满足精度为止。
在具体实施中，步长的选择是个关键，步长较小时精度高，但搜索次数
例对
求根的基本问题及分析方法
之根进行隔离。
解 显然，
，由
得驻点
。
因
故
分别
为 极大值和极小值。
从而
内各有一个实根。
由 y=f(x) 的草图可以直观地看到这点。
非线性方程的数值解法课件
弦截法
弦截法是一种改进的迭代方法 ，通过将非线性方程转化为线 性方程来求解根。
弦截法的迭代公式为 $x_{n+1}=x_nfrac{f(x_n)}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$ ，其中$f(x)$为非线性方程。
弦截法的优点是无需计算函数 的导数，但收敛速度较慢，且 需要选择合适的迭代初值。
04
迭代法的优点是简单易 行，但收敛速度较慢， 且需要选择合适的迭代 初值。
牛顿法
牛顿法是一种基于泰勒级数的迭代方 法，通过线性化非线性方程来求解根 。
牛顿法的收敛速度较快，但需要计算 函数的导数，且在接近根时可能会产 生震荡。
牛顿法的迭代公式为$x_{n+1}=x_nfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，其中$f(x)$为 非线性方程。
步长与收敛性的关系
深入研究步长与算法收敛性的关系，以找到最佳的步长调整策略。
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感谢您的观看
这类方程在某些区间上具 有不同的非线性性质，例 如 $|x| = y$。
非线性方程的特性
不存在通用解法
与线性方程不同，非线性 方程没有统一的解法，需 要根据具体方程的特点选 择合适的解法。
解的复杂性
非线性方程的解通常比线 性方程复杂，可能存在多 个解或不存在解，也可能 存在混沌解。
对初值和参数敏感
线性方程
如果一个方程中未知数的最高次 幂为一次，并且没有未知数的幂 ，那么这个方程就是线性方程。
非线性方程的分类
01
02
03
代数非线性方程
这类方程中包含未知数的 幂，例如 $x^2 + y^3 = 1$。
超越非线性方程
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非线性方程求根
很多工程和科学计算问题常常归结为求解方程：
f (x) 0
例如：非线性有限元问题、非线性断裂问题、及其它
非线性力学问题、电路问题、电力系统计算、医学、 生命学、天气预报、非线性规划、经济问题等。
描述工程和科学技术实际问题的数学模型，通常都难以
获得根的简单易用的显式表达式，因此，要研究求近似 根的方法，并讨论这些方法的收敛性和收敛速度
若f ( x1 ) f (a0 ) 0, 取a1=a0 , b1=x1,即[a1, b1] [a0 , x1];
否则取a1=x1, b1=b0 ,即[a1, b1] [ x1, b0 ].
3. 继续运算， 由区间[ak-1,bk-1]构造区间[ak ,bk]
并得到xk：xk
ak-1
2
bk-1
二分法的基本思想
用对分区间的方法，通过判别函数f (x)在每个
对分区间中点的符号，逐步将有根区间缩小，最 终求得一个具有相当精确程度的近似根
二分法详细步骤
1.记有根区间[a0,b0]=[a,b],取
2. 判断f ( x1 )的值 :
x1
a0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ b0 2
(中点),并计算f ( x1).
若f ( x1 ) 0,则x1为根；
Matlab program
function y=erfen(fun,a,b,esp)
if feval(fun, a)*feval(fun, b)< 0 n = 1 ; c = (a+ b) / 2 ; while(b-a)>esp if feval(fun,a)*feval(fun,c)<0 b = c ; c = ( a+b) / 2 ; elseif feval(fun,c)*feval(fun,b)<0 a = c ; c = ( a+b) / 2 ; else y = c ; end n= n+1 ; end
点的横坐标位于区间[2,3]内
画图法
y
y1 x
y log x
0
2 3
x
逐步搜索法
逐步搜索法
对于给定的f (x)，设有根区间为[A,B]，从x0=A 出发，以步长h=(B-A)/n(n是正整数)，在[A,B] 内取定节点：xi=x0＋ih (i=0，1，2，…，n)， 从左至右检查f (xi)的符号，如发现xi与端点x0
的函数值异号，则得到一个缩小的有根子区间
［xi-1,xi］。 用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长h 要选择适当h ，使之既能把根隔离开来，工作量又
不太大。
二分法 Bisection
在方程求根的方法中，最直观、最简单的方法就 是二分法。
给定方程f(x)=0,设f(x)在区间[a,b]连续,且f(a)f(b)<0, 则方程f(x)在(a,b)内至少有一根,为便于讨论,不妨设方 程f(x)=0在(a,b)内只有一个(重根视为一个)实根。
k
bk
x*
,
lim
k
xk
x*
二分法终止的条件
如下条件终止，可否 ？
f (xk )
这不能保证精确值的精度！
x*
x
二分法终止的条件
有如下估计
x* xk
1 2
(bk
ak
)
bk 1
ak 1
因此终止的条件为
bk ak or xk xk 1
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
预备知识
满足函数方程 f(x)=0 的x称为方程(1)的根，或称 为函数f(x)的零点。如果函数(x)可分解为 (x)=(xs)mg(x) 且g(s )0,则称s是(x)的m重零点或(x)=0的m重根 。当m=1时，称s是(x)的单根或单零点。
定理 假设函数y=f(x)在x=s的某一邻域内充分可 微，则s是方程f(x )=0的m重根的充分必要条件是
ba 2k
k
log
2
(
b
a)
二分法的优缺点
优点 计算简单，方法可靠，并保证收敛 对函数 要求不高，只要连续即可。
缺点 无法求复根和偶重根 收敛慢 调用一次求解一个[a, b]间的多个根无法求得 一般求方程的近似根，不大单独使用，常用
来为其它方法求方程近似根提供好的初值。方程 求根最常用的方法是迭代法。
,
若f ( xk ) 0,则xk为所求的根;
若f ( xk ) f (ak-1 ) 0,则取[ak ,bk ]=[ak-1,xk ];
否则, 可取[ak ,bk ]=[xk ,bk-1].
这样就得到一系列闭区间：
[a0,b0 ]，[a1,b1]，...[ak ,bk ],...,k= 0,1,2,...., 并满足：
f (s) f (s) f (m1) (s) 0, f (m) (s) 0
求解非线性方程的根的问题可分为下面几个方面：
根的存在性 根的隔离 根的精确化
非线性方程根的存在性非常复杂。
对于代数方程即多项式方程，其根的个数与代数方程 的次数相同。而且理论上已证明，对于次数n<=4的多项 式方程,它的根可以用公式表示,而次数大于5的多项式方 程,它的根一般不能用解析表达式表达。示.
(a) f (ak ) f (bk ) 0
(b)
bk
ak
1 2k
(b
a)
(c) a0 a1 ...ak ..., b0 b1 ...bk ...;即满足[ak , bk ] [ak1, bk1]
并且
x*, f ( x* ) 0, x* (ak , bk ),
lim
k
ak
x*
,
lim
根的隔离
求根的隔离区间的两种方法 画图法
画出y = f (x)的略图，从而看出曲线与x轴交
点的大致位置。
也可将f (x) = 0分解为1(x)= 2(x)的形式， 1(x)与 2(x)两曲线交点的横坐标所在的子
区间即为含根区间。
例如xlgx –1 = 0 可以改写为lgx=1/x 画出对数曲线y=lgx,与双曲线y= 1/x,它们交
对于超越方程或其他非线性方程，可能没有零点，也
可能有一个或若干个零点，甚至无穷多个零点。
根的存在性定理
定理1.(根的存在定理) 假设函数y=f(x)Ca,b,且f(a)·f(b)<0, 则至 少存在一点x (a,b)使得f(x )=0. (并称区间(a,b)为有根区间).
定理2.（根的唯一性） 假设函数y=f(x)在a,b上单调连续,且 f(a)·f(b)<0, 则恰好只存在一点x (a,b)使得 f(x )=0
很多工程和科学计算问题常常归结为求解方程：
f (x) 0
例如：非线性有限元问题、非线性断裂问题、及其它
非线性力学问题、电路问题、电力系统计算、医学、 生命学、天气预报、非线性规划、经济问题等。
描述工程和科学技术实际问题的数学模型，通常都难以
获得根的简单易用的显式表达式，因此，要研究求近似 根的方法，并讨论这些方法的收敛性和收敛速度
若f ( x1 ) f (a0 ) 0, 取a1=a0 , b1=x1,即[a1, b1] [a0 , x1];
否则取a1=x1, b1=b0 ,即[a1, b1] [ x1, b0 ].
3. 继续运算， 由区间[ak-1,bk-1]构造区间[ak ,bk]
并得到xk：xk
ak-1
2
bk-1
二分法的基本思想
用对分区间的方法，通过判别函数f (x)在每个
对分区间中点的符号，逐步将有根区间缩小，最 终求得一个具有相当精确程度的近似根
二分法详细步骤
1.记有根区间[a0,b0]=[a,b],取
2. 判断f ( x1 )的值 :
x1
a0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ b0 2
(中点),并计算f ( x1).
若f ( x1 ) 0,则x1为根；
Matlab program
function y=erfen(fun,a,b,esp)
if feval(fun, a)*feval(fun, b)< 0 n = 1 ; c = (a+ b) / 2 ; while(b-a)>esp if feval(fun,a)*feval(fun,c)<0 b = c ; c = ( a+b) / 2 ; elseif feval(fun,c)*feval(fun,b)<0 a = c ; c = ( a+b) / 2 ; else y = c ; end n= n+1 ; end
点的横坐标位于区间[2,3]内
画图法
y
y1 x
y log x
0
2 3
x
逐步搜索法
逐步搜索法
对于给定的f (x)，设有根区间为[A,B]，从x0=A 出发，以步长h=(B-A)/n(n是正整数)，在[A,B] 内取定节点：xi=x0＋ih (i=0，1，2，…，n)， 从左至右检查f (xi)的符号，如发现xi与端点x0
的函数值异号，则得到一个缩小的有根子区间
［xi-1,xi］。 用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长h 要选择适当h ，使之既能把根隔离开来，工作量又
不太大。
二分法 Bisection
在方程求根的方法中，最直观、最简单的方法就 是二分法。
给定方程f(x)=0,设f(x)在区间[a,b]连续,且f(a)f(b)<0, 则方程f(x)在(a,b)内至少有一根,为便于讨论,不妨设方 程f(x)=0在(a,b)内只有一个(重根视为一个)实根。
k
bk
x*
,
lim
k
xk
x*
二分法终止的条件
如下条件终止，可否 ？
f (xk )
这不能保证精确值的精度！
x*
x
二分法终止的条件
有如下估计
x* xk
1 2
(bk
ak
)
bk 1
ak 1
因此终止的条件为
bk ak or xk xk 1
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
预备知识
满足函数方程 f(x)=0 的x称为方程(1)的根，或称 为函数f(x)的零点。如果函数(x)可分解为 (x)=(xs)mg(x) 且g(s )0,则称s是(x)的m重零点或(x)=0的m重根 。当m=1时，称s是(x)的单根或单零点。
定理 假设函数y=f(x)在x=s的某一邻域内充分可 微，则s是方程f(x )=0的m重根的充分必要条件是
ba 2k
k
log
2
(
b
a)
二分法的优缺点
优点 计算简单，方法可靠，并保证收敛 对函数 要求不高，只要连续即可。
缺点 无法求复根和偶重根 收敛慢 调用一次求解一个[a, b]间的多个根无法求得 一般求方程的近似根，不大单独使用，常用
来为其它方法求方程近似根提供好的初值。方程 求根最常用的方法是迭代法。
,
若f ( xk ) 0,则xk为所求的根;
若f ( xk ) f (ak-1 ) 0,则取[ak ,bk ]=[ak-1,xk ];
否则, 可取[ak ,bk ]=[xk ,bk-1].
这样就得到一系列闭区间：
[a0,b0 ]，[a1,b1]，...[ak ,bk ],...,k= 0,1,2,...., 并满足：
f (s) f (s) f (m1) (s) 0, f (m) (s) 0
求解非线性方程的根的问题可分为下面几个方面：
根的存在性 根的隔离 根的精确化
非线性方程根的存在性非常复杂。
对于代数方程即多项式方程，其根的个数与代数方程 的次数相同。而且理论上已证明，对于次数n<=4的多项 式方程,它的根可以用公式表示,而次数大于5的多项式方 程,它的根一般不能用解析表达式表达。示.
(a) f (ak ) f (bk ) 0
(b)
bk
ak
1 2k
(b
a)
(c) a0 a1 ...ak ..., b0 b1 ...bk ...;即满足[ak , bk ] [ak1, bk1]
并且
x*, f ( x* ) 0, x* (ak , bk ),
lim
k
ak
x*
,
lim
根的隔离
求根的隔离区间的两种方法 画图法
画出y = f (x)的略图，从而看出曲线与x轴交
点的大致位置。
也可将f (x) = 0分解为1(x)= 2(x)的形式， 1(x)与 2(x)两曲线交点的横坐标所在的子
区间即为含根区间。
例如xlgx –1 = 0 可以改写为lgx=1/x 画出对数曲线y=lgx,与双曲线y= 1/x,它们交
对于超越方程或其他非线性方程，可能没有零点，也
可能有一个或若干个零点，甚至无穷多个零点。
根的存在性定理
定理1.(根的存在定理) 假设函数y=f(x)Ca,b,且f(a)·f(b)<0, 则至 少存在一点x (a,b)使得f(x )=0. (并称区间(a,b)为有根区间).
定理2.（根的唯一性） 假设函数y=f(x)在a,b上单调连续,且 f(a)·f(b)<0, 则恰好只存在一点x (a,b)使得 f(x )=0