不定积分的第二类换元积分法
高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法
解 令 t 1x2 x2t21,xdxtdt,
x5
1
x2
dx
(t2 1)2 tdt t
(t42t21)dt
1t52t3tC1(84x23x4)1x2C .
53
15
例5
求
1 dx.
1ex
解 令 t 1ex ext21,
x ln t2 1, dxt22t1dt,
1
a2(t1si2n t)C 22
a 2arx c 1 sxia 2 n x 2 C . 2 a2
ax t
a2x2
例2 求
1 dx (a0). x2a2
解 令 xatat,n t 2, 2 d x a s2 e td tc ,
1 dx x2 a2
1 ase2tcdt asetc
可由 a24b的符号确 . 定
a24b0, x21 a xbd x(xm 1)2ndx a24b0, x21 ax bdx (x1m)2dx a24b0, x21 a xbd x(xm 1 )x (n)dx
例5 求 taxn dx. 解 tanxdx csionxxsdx c1oxd s(cox)s
c1oxsd(co x)s lc nx o C s.
( 使用了三角函数恒等变形 )
ta x d x n lc n x o C s .
同理可得 cx o d x tls nx i n C .
例6 (1) 求 se x d x c. sx e d x c ls nx e tca x C n .
x5 1x2d x(s t)5 i1 n s2 itc n to d t s si5tn c2 o td ts
( 应用“凑微分”即可求出结果 )
不定积分的换元积分法
csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a
n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na
这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．
设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．
dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2
1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2
再将 t 2 x 代入，得
1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)
x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
不定积分的第二类换元积分法
回 代
ln
x2 a2 x
a
a
C1
ln |xx2a2| C 1-ln a
ln|x x2a2|C
❖（2）根式代换(去根式)
例4
求
1 dx x(13 x)
解 令 xt6 (t 0),dx6t5dt
1 dx x(13 x)
6t5 dt t 3 (1 t 2 )
6t 2 1 t2
dt
6
t2 1-1 1t2 dt
2 x2-a2 atant.
d xasettcatn dt
ysexc
例1 求 a2-x2dx (a0)
解 令 xasitn dxaco tdtst - ,
2 2
a2 -x2dx a2-a2sin 2tacotsdt
a2co2stdt
a2
1co2stdt 2
辅助三角形
a2 1
(t sin2t)C
1 dx x4 1
t-3
t1-41-t12dt
- t3 dt -1 1 dt(41)
1 t 4
4 1t4
-1 1t4 C 2
x4 1 2x2
C.
13
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（2）求
dx 4x2 9
解
dx
4x2 9
dx
(2x)2 32
1 d(2x) 2 (2x)2 32
1ln2x 4x29C 2
不定积分的第二类换元积分法
1
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一、第二类换元法根本定理
❖定理2
设xj(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f [j(t)]j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式
不定积分的换元积分法4.2
f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x
2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2
2
t
)，
sec
2
a
t 1
a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是
dx x a
2 2
2
a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
第二类换元法
不定积分 不定积分的第二类换元法
定理 设
是单调可导函数, 且
具有原函数, 则有换元公式
其中 t 1( x)是 x (t)的反函数.
证 设 f [ (t)] (t)的原函数为(t), 令F ( x) [ 1( x)]
则
F ( x)
d dt d t dx
f [ (t)] (t)
1((tt))
a
0
f
(t)d t
a
0
f (x)dx
a
0 [ f ( x) f (x)]dx
令 x t
当 f ( x) f ( x)时
当 f ( x) f ( x)时
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例4 填空
2
sin 5x cos 7 x d x
2
0.
例5 填空
d dx
x
0
sin100
(
x
t)
d
t
_s_in__10_0_x__
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例6
求
xd x d x. 3x2 4
解
原式
1 6
d(3 x 2 3x2
4) 4
1 3
3x2 4 C.
例7 求
解
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C.
暨南大学珠海学院苏保河主讲
x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 = a2
2 cos2 t d t
0
y a2 x2
a2 2
2 0
(1
不定积分第二换元积分法根式换元
不定积分第二换元积分法根式换元不定积分第二换元积分法根式换元一、引言在微积分学习中，不定积分是一个重要的概念，而其中的第二换元积分法和根式换元是比较常见的技巧。
在本文中，我将结合实例，深入探讨不定积分第二换元积分法和根式换元的相关知识，希望能够为大家对这些概念的理解提供一些帮助。
二、不定积分第二换元积分法不定积分第二换元积分法是在进行积分运算时，为了将被积函数进行合适的分解，从而使得积分的计算变得简单起来。
具体来说，通过对积分式进行适当的变量变换，可以将原积分转化为一个更容易求解的形式，这就是不定积分第二换元积分法的基本思想。
下面我们通过一个例子来展示不定积分第二换元积分法的具体应用。
例：计算不定积分∫(x+2)sin(x^2+2x+1)dx。
解：我们对被积函数sin(x^2+2x+1)进行展开，得到sin[(x+1)^2]。
接下来，我们可以将x+1定义为t，这样原积分可以被变换为∫sin(t^2)dt，这在形式上更加简单。
进一步，我们通过对sin(t^2)的泰勒级数展开，可以将其表示为t^2-t^6/3!+t^10/5!-…，于是原积分可以进一步转化为∫(t^2-t^6/3!+t^10/5!-…)dt。
我们可以通过对每一项的积分计算，得到最后的结果。
这个例子展示了不定积分第二换元积分法的基本思路和应用过程。
三、根式换元根式换元是在进行积分运算时，为了简化被积函数的形式，我们会尝试将根式部分通过变量变换的形式进行消除。
具体来说，我们可以选择一个合适的变量代换，使得原积分式中的根式部分能够被简化或消除。
下面，我们通过一个实例来展示根式换元的具体应用。
例：计算不定积分∫x*sqrt(4x^2+5)dx。
解：我们可以选择根式4x^2+5的部分进行变量代换。
取u=4x^2+5，那么对u求导得du=8xdx。
可以发现，被积函数中的x部分很好地与du的一部分相吻合，于是我们可以将被积函数导数的一部分与du相互匹配，从而将根式部分消除。
不定积分第一类换元法和第二类换元法区别
不定积分第一类换元法和第二类换元法区别不定积分的世界就像一块神秘的蛋糕，每一层都有不同的口味。
我们今天聊聊两种换元法，就像在品尝蛋糕的不同风味，保证让你嘴角上扬，心里乐开花。
换元法的第一类和第二类，就像是两个好兄弟，各自有各自的性格和风格，但都是为了让我们在积分的旅程中更顺畅。
咱们说说第一类换元法。
这家伙呢，就像是个轻松幽默的朋友，喜欢用简单明了的方式解决问题。
你知道的，生活中有时候事情很复杂，但只要换个角度想想，就豁然开朗了。
这种换元法的核心在于替换变量，让原本复杂的积分变得简单。
比如说，面对一个看起来复杂的函数，我们可以引入一个新的变量，这个变量通常是原来函数中的某一部分。
就像是把大大的包包换成一个小巧的手包，瞬间就轻便多了。
这时候，积分的形式可能就会变得耳熟能详，原本让人头疼的计算变得简单明了，心情瞬间好了许多。
然后，咱们再看看第二类换元法。
这位兄弟呢，风格就有些不同。
它更注重整体，关注函数的整体结构。
想象一下，你在看一幅画，第一类换元法只是在改变局部，而第二类换元法则是从整体出发，可能会把整个画面都重新构造一遍。
它通常用来处理那些涉及复合函数的情况，或者说需要我们对原函数的形状进行重新审视的积分。
这种方法要求我们多一点耐心，仔细观察函数的变化，像是在解谜一样，慢慢找到线索。
换元之后的积分就像是揭开了一层神秘的面纱，真相就在眼前了。
再说说这两种方法的区别，简直就像两种不同风格的咖啡。
第一类换元法就像是浓缩咖啡，直接简单，能迅速提神；而第二类换元法呢，就像是拿铁，有层次，有丰富的口感，喝起来细腻香浓。
这两者并不是互相排斥的，反而是可以互补。
比如，在处理一些复杂的积分问题时，可能先用第一类换元法简化一下，再用第二类换元法深入挖掘，这样的组合拳效果杠杠的，简直是事半功倍。
再加上，很多同学在学习的时候，容易搞混这两种方法，搞得脑袋都是浆糊。
其实没必要太过焦虑，换元法的核心都是帮助我们更好地理解和处理积分，像是在大海中航行，偶尔转个方向，才能找到最顺畅的航线。
不定积分第二种换元法
复杂实例解析
总结词
复杂实例展示了方法的实际应用
详细描述
选取具有挑战性的不定积分问题，如 $int frac{e^x}{x} dx$，逐步展示如何通过第二种 换元法化简积分，并最终得出答案。
扩展微积分的应用范围
掌握第二种换元法后，学生可以在更广泛的 领域应用微积分知识，解决实际问题。
在其他数学领域的应用
在实变函数中的应用
实变函数是研究实数范围上的函数的数学分 支，第二种换元法在实变函数中也有广泛的 应用。
在复变函数中的应用
复变函数是研究复数范围内函数的数学分支， 其中许多问题可以通过第二种换元法得到解 决。
在第二种换元法中，首先需要选择一个适当的换元函数，通常是为了简化被积函数的形式。然后确定新变量的范 围，将原不定积分中的自变量替换为新变量。接着将被积函数转化为新变量的函数，最后根据新变量的范围计算 不定积分的结果。
04
第二种换元法实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例有助于理解基本概念和方法
详细描述
THANKS
感谢观看
03
第二种换元法原理
第二种换元法的定义
总结词
不定积分的第二种换元法是通过引入新的变量来简化不定积分的过程。
详细描述
不定积分的第二种换元法是一种基于变量替换的方法，通过选择适当的换元函 数，将原不定积分转化为更易于计算的形式。
第二种换元法的适用范围
总结词
第二种换元法适用于被积函数难以直接积分的情况，尤其是含有根号或三角函数 的不定积分。
意义
不定积分第二种换元法的意义在于，它提供了一种有 效的工具来解决一些难以处理的不定积分问题。在实 际应用中，许多物理、工程和科学问题都需要解决不 定积分，而第二种换元法可以帮助我们更准确地计算 这些不定积分，从而为解决实际问题提供更可靠的数 学支持。此外，不定积分第二种换元法也是数学理论 体系的重要组成部分，它推动了数学的发展和进步。
不定积分的第二类换元法
不定积分的第二类换元法不定积分的第二类换元法，也称为变换型积分法，是求解某些复杂不定积分问题的一种重要方法。
它的核心思想是通过引入新的变量替换原积分式中的自变量，从而将原积分转化为形式更简单的积分式。
通过适当的变换可以简化积分的计算过程，使得原本难以求解的积分问题变得可行。
第二类换元法的基本步骤如下：1.首先，观察被积函数的形式，尝试找到适合的新的变量来代替原积分中的自变量。
通常可以根据被积函数的特点，选择适当的变换方法。
比如，当被积函数中出现平方根、指数函数、三角函数等形式时，可以考虑使用适当的换元方法。
2.其次，根据选择的新变量进行变换。
这里需要根据换元法的不同种类进行具体分析。
变换后的积分式可能比原式更简单，也可能更加复杂。
但是通过适当的变换，可以使得原本难以求解的积分问题变得可行。
3.然后，对于变换后的积分式，进行必要的代数运算。
这可能包括合并分式、分配开来等操作，以达到简化积分的目的。
4.最后，根据变换后的积分式求解不定积分。
这里需要利用基本的不定积分公式，以及特定函数的积分性质进行计算。
在具体计算过程中，需要注意变换后的新变量与原变量之间的关系，并进行适当的替换。
需要注意的是，不定积分的第二类换元法并非适用于所有问题，它仅仅是求解一部分特殊问题的方法之一。
对于一些特殊的积分问题，可能需要结合其他方法（如分部积分法、换元积分法等）进行求解。
举个例子来说明第二类换元法的具体应用：考虑求解不定积分∫(2x+1)√(2x+1)dx。
这里，我们可以选择新的变量u=2x+1来代替原式中的自变量x。
进行变换后，积分式变为∫√u du。
根据换元后的积分式，我们可以轻松求解得到积分的结果：(2/3)u^(3/2) + C，其中C为常数。
再将u=2x+1代回原始变量x，最终得到不定积分的结果：(2/3)(2x+1)^(3/2) + C。
通过上述例子可以看出，第二类换元法使原先较为复杂的积分问题变得简单易解。
4(2)不定积分的换元积分法
34
换元积分法
例15
求
I x
dx 4 x2
解法一: 三角变换 x 2sin t
解法二: 解法三: 解法四:
根式变换 4 x2 t 倒变换 x 1
t
4 x2 tx
35
换元积分法
注 一些情况下(如被积函数是分式,分母的方幂
较高时), 倒代换 x 1 可用来消去分母中的变量.
例16 求
回 代
sectdt ln | sect tan t | C1
辅助三角形
ln
x2 a2 a
x a
C1
x2 a2
x
ln | x x2 a2 | C1 lna ln | x x2 a2 | C
t a
28
换元积分法
相仿地, 通过变换 x a secx可算出
1
x2 a2dx ln | x
(1) 2xex2 dx
(2)
x11 dx
1 x8
dx
(3) xaxn b
总结三
u axn b
f (axn b)xn1dx
1 na
f
(u)du
10
换元积分法
例5 求
(1) tan xdx
dx
(3) 1 ex
总结四
u(x) u(x)
dx
du(x) u(x)
(2) cot xdx
1 a
F (ax
b)
C
6
换元积分法
例3 求 (1) ex cos ex dx
(2)
arctan
x 1
xdx
x
arcsin xdx
(3) 1 x2
7
换元积分法
同济七版NUAA高数课件 第四章 不定积分 第二节 换元积分法
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x)
sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
1 ln 1 cos x C. 2 1 cos x
类似地可推出 secxdx ln secx tan x C.
例14 求
4
1 x2 arcsin
xdx.
2
解
4
x
1 2 arcsin
xdx
2
1
dx
1
x 2
2
arcsin
x 2
2
1
arcsin
xd (arcsin
x) 2
ln arcsin
5
4 4 x2 3 1 4 x2 5 C.
3
5
2x t 4 x2
例18 求
1 dx (a 0).
x2 a2
解 令x a sec t dx a sec t tan tdt
1 dx
x2 a2
a
sec t tan a tan t
tdt
t
0,
2
sec tdt lnsect tant C
第二节 换元积分法
第一类换元法 第二类换元法
一、第一类换元法
问题 cos 2xdx sin 2x C, 求导数验证结果
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 换元 2
cos2xdx
不定积分的第二类换元积分法
dt t C
x 回代： arcsin C a
>>>
例7 求
解
1 a 2 x 2 dx
(a 0)
原式
x a tant
1 (a sec t )2 d (a tant )
1 1 dt t C a a 1 x 回代： arctan C a a
（ 2） 求 解
dx
dx 4x2 9
4x2 9 dx
(2 x) 2 32
1 d ( 2 x) 2 (2 x) 2 32
1 ln 2 x 4 x 2 9 C 2
（ 3） 求 解
xdx 2x x2 xdx
2x x2
( x 1)dx 2x x
6t 2 t 2 1 1 dt 6 dt 2 2 1 t 1 t
1 6 1 dt 6[t arctant ] C 2 1 t
6[6 x arctan6 x ] C
根式代换(去根式) 1 dx 例4 求 1 ex
第四章
第三节
不定积分
不定积分的换元积分法
主要内容：
第二类换元法.
内 容 回 顾
一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=(x)可导, 则有
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u )du ] f [ ( x)] ( x)dx
F [ ( x)] C
2 2
a 2 x 2 dx a 2 a 2 sin 2 t a costdt
2
不定积分-换元积分法
f [ ( x)] ( x)dx F [ ( x)] C
2
如何应用此定理？
要计算不定积分 g( x)dx
若 有g( x) f [ ( x)] ( x) 则
g( x)dx f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d ( x) u ( x ) f (u)du [F (u) C ]u ( x)
[G (t ) C ]t 1 ( x ) G[ 1 ( x )] C
证 明 ： d [G[ 1 ( x)]] dG[ 1 ( x)] dt
dx
dt
dx
g(t) 1 f [ (t)] (t) 1
dx
(t)
dt
f [ (t )] f ( x )
21
3、第二类换元法应用举例
ax
a2 (arcsin x x a2 x 2 ) C
t
2
aa a
a2
xx
arcsin
a2 x2 C
a2 x2
2
a2
22
例2 求 解令
x 3 4 x 2 dx.
x 2sint dx 2costdt t ,
2 2
x 3 4 x 2 dx 2sint 3 4 4sin2 t 2cos tdt
x (t ) 应在相应区间上单调、可导,且 (t ) 0
20
2、定理4.2.2 设x (t )是 某 区 间 内 的 单 调 ， 可导 函 数 ， 且 (t ) 0， 又 设 函 数f [ (t )] (t ) g(t )具 有 原 函 数
G (t)，则有换元公式
f ( x)dx x (t) f [ (t)] (t)dt g(t)dt
解
cos A cos B 1 [cos( A B) cos( A B)],
第一类换元积分法与第二类换元积分法
第一类换元积分法与第二类换元积分法
第一类换元积分法和第二类换元积分法都是求解不定积分的方法，但它们在应用和具体操作上有所不同。
第一类换元积分法也叫凑微分法，它适用于两个式子相乘的形式，是复合函数求导的逆运算。
其核心思想是通过寻找新的变量，将复杂的积分转化为容易计算的积分，从而得到原函数的表达式。
这种方法主要依赖于对复合函数的求导和微分的理解。
第二类换元积分法则是通过变量代换，将积分化为积分。
这种方法主要用于处理包含根式的积分，或者需要消去根式的积分。
它的核心思想是选择适当的变换公式，将原函数中的积分变量替换为新的函数，同时将dx也替换为新的函数的导数乘以dx。
这种方法需要一定的技巧和经验，因为选择正确的变换公式和反函数代回去都需要一定的数学素养。
总的来说，第一类换元积分法和第二类换元积分法都是通过不同的方式将不定积分问题转化为容易解决的问题，从而得到原函数的表达式。
这两种方法都有其特定的应用场景和优势，需要根据具体问题选择合适的方法。
不定积分换元积分和分部积分
1 1 x x 2 dx a x 2 d a 1 1 a a
(公式)
1
1 x arctan C 。 a a
例11． 当a>0时， 1 1 a 2 x 2 dx a
1 x 1 a
2
dx
x d 2 a x 1 a
(例2)
1 1 1 1 x(1 2 ln x) dx 1 2 ln x ( x dx ) 1 2 ln x d (ln x) 1 1 1 ln | 1 2 ln x | C d (1 2 ln x) 2 2 1 2 ln x
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f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d ( x ) f (u )du f (u)C f [(x)]C。
x2
1 1 x2 x2 2 例4 ． xe dx e dx e C 。 4 2 2 2 3 x 2 3 e3 x 3 x dx 2 e d x e d 3 x e 例5 5 ． 3 3 x
4 4 2 2 2 2
3 1 31 1 1 3 1 1 n 4x )C x sin 2 x sin 4 x C 。 sin 4x )C ( xsin 2x x sin 2x si 8 4 24 32 8 8 4 32
1 1 例 ． (cos 例16 16 16 cos 3 3x x cos cos 2 2x x dx dx (cos x x cos cos 5 5x x) )dx dx cos 2 2 1 1 sin x sin 5x C。 2 10
1 2 1 3 5 7 sin x sin x sin x C。 3 5 7 1 1 1 11 例14 ． 2x C 14 x sin sin 2x C。 cos x dx 2 (1cos 2x) dx 2 44 2
不定积分 换元法
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求 解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 a
du
1
a m 1
1
u
m 1
C
注: 当
时
例2. 求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
想到公式
1 a
2
解:
1 ( x)2
a
dx
1 u2
arctan u C
dx
du
令u
2
2
2
dx
2
(x 2
2
a )
2
2
1 2
d( x a )
2
3 2
a
2
(x
2
a )
d( x a )
2
2
例12 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 2 1 (1 2 cos 2 x cos 2 x) 4
4 2 2
1
x a
, 则 du 1 a
1 a
a 1 u2
du
arctan u C
例3. 求
解:
a
dx
x 2 1 (a)
x d (a) x 1 (a) 2
想到
du 1 u
2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
3
例9. 求 解法1
1 ex .
dx
(1 e ) e 1 e
不定积分第2换元法
sin
x1 2
2 arcsin x 1 x 1
4 (x 1)2 C
sin
2t
x1 2
4( x1)2
22
2020/2/29
不定积分的计算
例11 求积分 I
dx
x x2 a2
(a 0)
解：当a x 时，令x 1, t (0, 1 )
t
a
解：当0 x a,
xa sin t ,dxa costdt
I1
a2 x2 a cost
a2 a4
cos2 sin 4
t t
dt
a
t
x c ostsin
t
x/ a2
a x2
/
a
a2 x2 tan t x / a2 x2
1 sec2 t 积分 1 1
第二换元法例(续1)
解：I 2
ax,代换asect tan tdt
x aSe c t x 2 a 2 atgt
a sect a tan t
x
x2 a2
整理
1
dt 1 t C
a
a
sin t x2 a2 / x
t
a
令x12sin t
4 cos2 tdt 2 (1 cos2t)dt
4( x1)2 2cost
sin 2t 2sin t cost
分项积分
2t sin 2t C
2 t
x-1 2 x 1 4 (x 1)2
4 (x 1)2
2
2
代回t
a
rc
高等数学 第六章 积分法 6-2 不定积分的换元积分法(2)
第二节 不定积分的换元积分法
一、第一类换元积分法（凑积分法） 第一类换元积分法（凑积分法） 二 、第二类换元积分法 基本积分表（ 三 、基本积分表（Ⅱ）
二、第二类换元法
1. 引例
∫
1− x2 d x = ?
解 作变量代换： 作变量代换： 令 x = sint ( t < π ) 则 d x = cos t dt, ，
为去根式
解 令 x = asint , t ∈(− , ), 则 dx = acos t dt 2 2 x 2 2 2 2 2 = acos t sint = a − x = a − a sin t a 2 1+ cos 2t 2 2 I = ∫ acos t ⋅ acos t dt a ∫ dt ∫ cos t d = a x 2 t 2 t sin2t ) +C =a ( + 2 4 a2 − x2 x a2 − x2 sin2t = 2sint cos t = 2 ⋅ ⋅ a2 − x2 a a cos t = 2 x 1 a a = arcsin + x a2 − x2 + C. a 2 2
令 t = 1+ x2, 则 x2 = t 2 −1, xd x = t dt,
∫
(t2 −1)2 dx = ∫ t dt = ∫ (t4 − 2t2 + 1)dt t 1+ x2
x5
1 15 23 = t − t + t + C= (8− 4x2 + 3x4 ) 1+ x2 + C. 15 5 3
中 其 t = ψ−1( x)是x = ψ(t)的 函 . 反 数 端 分 得 后 其 右 积 求 之 ， 中t须 反 数 =ψ −1( x)回 . 用 函 t 代
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第二节 不定积分的换元积分法 主要内容：
1. 第二类换元法基本定理. 2. 第二类换元法基本类型.
一、第二类换元法基本定理
❖定理2
设xj(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f [j(t)]j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式
f (x)dx f [j(t)]j(t)dt
t 17 t
-
1 t2
2
dt
-
t6 1 2t 7 dt 1 d(1 2t 7 )
14 1 2t7
- 1 ln |1 2t7 | C
14
-
114>>ln>|
2
x7
|
1 2
ln
|
x
|
C
课堂练习：
(1)
1 dx.
x3 x4 1
dx
(2) 4x2 9
xdx
（3） 2x - x2
12
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dt
6
t
2 1 1 t
-
2
1
dt
6
1
1 1 t2
dt
6[t
-
arctant]
C
6[6 x - arctan 6 x ] C
❖（2）根式代换(去根式)
例5 求
1 dx
1 ex
解 令 t 1 ex , ex t 2 -1,
x ln(t 2 -1),
dx
t
2t 2 -1
dt.
1 dx
❖（1）三角代换去根式
•去根式 a2 - x2 (a 0) 作代换 x a sin t, t (- , ), dx acostdt
22
a2 - x2 a cost.
•去根式 a2 x2 (a 0) 作代换 x a tan t, t (- , ), dx asec2 tdt
22
例2 求
1 dx (a 0) x2 a2
解 令 x a tant dx a sec2 tdt t - ,
1 dx x2 a2
1 a sec2 tdt a sect
2 2
辅助三角形
sectdt ln | sect tan t | C1
回 代
ln
x2 a2 x aa
1 ex
1 t
t
2t 2-
dt 1
2
t
2
dt -1
ln t -1 C
t 1
2ln( 1 ex -1) - x C
(3)倒代换 一些情况下(如被积函数是分式, 分母的方幂
例6
求
1 x(x7
dx 2)
较高时), 可作倒代换 x 1.
t
解
令 x 1, t
dx
-
1 t2
dt
1
x(x7
dx 2)
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（2）求
dx 4x2 9
解
dx
4x2 9
dx
(2x)2 32
1 d(2x)
2 (2x)2 32
1 ln 2x 4x2 9 C 2
14
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（3）求
xdx 2x - x2
解
xdx
2x
dx 2x - x2
C1
ln | x x2 a2 | C1 - ln a
ln | x x2 a2 | C
❖（2）根式代换(去根式)
例4
求
1 dx x (1 3 x )
解 令 x t 6 (t 0), dx 6t5dt
1 dx x (1 3 x )
t
3
6t 5 (1 t
2
)
dt
6t 2 1 t2
- 1
d(2x - x2 )
d(x -1)
2 2x - x2
1- (x -1)2
- 2x - x2 arcsin(x -1) C
15
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铃
课堂小结
熟记第二换元积分法的几种基本类型，会 用第二换元积分法去求一些不定积分,如果 被积函数含有根式，考虑用第二换元积分法
课后练习
2 2
a2 - x2 dx a2 - a2 sin2 ta costdt
a2 cos2 tdt a2
1 cos2tdt 2
辅助三角形
a2 (t 1 sin 2t) C
22
a2 (t sin t cost) C
2
回 代
a2 arcsin x x a2 - x2 C
2
a2
P140
1(35)(37)
例9 求
xdx 2x - x2
解
xdx
2x - x2
(x -1)dx 2x - x2
dx 2x - x2
- 1
d(2x - x2 )
d(x -1)
2 2x - x2
1- (x -1)2
- 2x - x2 arcsin(x -1) C
F (t) C F[j -1(x)] C.
其中tj-1(x)是xj(t)的反函数.
这是因为, 由复合函数和反函数求导法则,
{F[j -1(x)]}
F (t)
dt dx
f
[j(t)]j(t)
1 dx
f
[j(t)]
f
(x)
.
dt
一、第二类换元法基本类型
❖（1）三角代换去根式
❖（2）根式代换(去根式) ❖（3）倒代换
a2 x2 a sect.
•去根式 x2 - a2 (a 0) 作代换 x asect, t (0, )
2 x2 - a2 a tan t.
dx asect tantdt
y sec x
例1 求 a2 - x2 dx (a 0)
解 令 x asin t dx acostdt t - ,
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（1） 求
1 dx.
x3 x4 1
解
令 x 1,
t
dx
-
1 t2
dt
x3
1 dx x4 1
t -3
1 t -4
1
-
1 t2
dt
- t3 dt - 1 1 d(t 4 1)
1 t4
4 1t4
- 1 1 t 4 C - x4 1 C.
2
2x2
13
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