惠州市2019届高三第一次调研考试数学(理科)答案

惠州市2019届高三第一次调研考试

理科数学参考答案与评分标准

一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分

1．【解析】求2条直线的交点为(0,0).注意结论是集合；所以选C

2．【解析】

i i

i i i i i -=-=-+-=+-2

2)1)(1()1(112.选D. 3．【解析】∵a ⊥b ∴a b =40x -=，得4,x =b =(4,2)，∴|b |=B

4．【解析】1121

()122(12)22

x x x x f x ---=-=

---.

21211111()212212212

x x x x x f x -+=-=-=+=-

--- 选A. 5．【解析】(2)(3)(4)为假命题，选B 6．【解析】1120

1

614121=++++=

i S 时，当 .选A. 7．【解析】当,x z 都取负数时. lg ,lg x z 无意义。选A. 8．【解析】根据运算有1,,311*2=∴∈=++⋅

k R k k k

.选B ．

二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

9．－20 10．4+. 11．3. 12．0.7. 13．1

321n -⋅-.

14．sin ρθ= 15

． 4π

9．【解析】常数项为：3

3

3

61

C ()20x x

-=-.

10．【解析】该组合体的侧视图是上面边长为2的正三角形，下面是边长为2的正方形

∴组合体的侧视图的面积为1

22242

S =⨯+

⨯=11．【解析】双曲线1422

=-x y 的两条渐近线为1

2

y x =±抛物线2

8y x =-的准线为2x =，

当直线y x z =-+过点(1,2)A 时，max 3z =.

12．【解析】7.02014205,9==++∴

=+y x y x .另解：24

10.720

+-= 13．【解析】1-23,231),1(2111

1--+⋅=⋅=+∴+=+n n n n n n a a a a 即.

14．【解析】点(2,

)3

π

的直角坐标为

，∴过点平行于x

轴的直线方程为y =

即极坐标方程为sin ρθ=

15．【解析】由已知条件可求得圆O 的半径2OA =，∴圆O 的面积为4π 三、解答题

16．（本小题满分12分） 解：（1）依正弦定理

sin sin a b

A B

=

有sin sin b A a B =…………………………2分 又4,a =sin 4sin A B =，∴1b = …………………………4分

（2）依余弦定理有222161131

cos 22412

a b c C ab +-+-=

==⨯⨯………………………6分 又0︒

＜C ＜180︒

，∴60C ︒

= …………………………8分 （3）三角形ABC

的面积11

sin 41sin 6022

S ab C ︒==⨯⨯⨯=分 17．（本小题满分12分）

解： （1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球.

因此它的概率P 是：111133221111555512

25

C C C C P C C C C =⋅+⋅= ……………………4分

（2）设摸得白球的个数为ξ，则ξ=0，1，2。

2112

3232222

555331

(0);(1);(2);10510

C C C C P P P C C C ξξξ⋅========= …………7分 ξ的分布列为：

5

10251100=⨯+⨯+⨯

=ξE ……………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）

方法一：(1) 证明：当E 为BC 的中点时，1EC CD ==，从而DCE 为等腰直角三角形，

……9分

则45DEC ∠=，同理可得45AEB ∠=，∴90AED ∠=，于是DE AE ⊥，…2分 又PA ABCD ⊥平面，且DE ABCD ⊂平面，∴PA DE ⊥，

AE PA A =…………………4分

∴DE PAE ⊥平面，又PE PAE ⊂平面，∴DE PE ⊥. …………………………6分 （也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）

（还可以分别算出PE ，PD ，DE 三条边的长度，再利用勾股定理的逆定理得证，也给满分） (2) 如图过A 作AQ DE ⊥于Q ，连,AE PQ ，则PQ DE ⊥，…7分 ∴PQA ∠为二面角P ED A --的平面角. ……………9分

设BE x =，则2CE x =-.

,, 1.4

Rt PAQ

PQA AQ PA π

∆∠=

∴==在中…………11分

,,,Rt ABE AE

Rt AQE EQ x ∆=∆=在中在中

Rt AQD DQ ∆=在中于是

DE x =……………………………13分

Rt DCE ∆在中

，有22((2)1x x +=-+解之得2x =。

点E 在线段BC 上距B 点的32-处. ………………………………14分 方法二、向量方法.以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，如图. …………………………1分 （1）不妨设AP a =，则(0,0,),(1,1,0),(0,2,0)P a E D ， 从而(1,1,),(1,1,0)PE a DE =-=-，………………………5分于是(1,1,)(1,1,0)110PE DE a =--=-=，

所以,PE DE ⊥所以PE DE ⊥ ………………………6分 （2）设BE x =，则(0,0,1),(1,,0),(0,2,0)P E x D ，

则(1,,1),(1,2,0)PE x DE x =-=- .……………………………………10分

易知向量(0,0,1)AP =为平面AED 的一个法向量.设平面PDE 的法向量为(,,)n a b c =，

则应有0,0,

n PE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0(2)0a bx c a b x +-=⎧⎨+-=⎩解之得2c b =，令1,b =则2c =，2a x =-，

从而(2,1,2)n x =-，…………………………………………………………12分 依题意2cos

4

n AP

n AP

π

=

=

=

，

解之得12x =，22x =分 所以点E 在线段BC 上距B 点的32-处 .………………………………14分