高等代数试题库

49. 设矩阵，仅有零解的充分必要条件是( ).
. 的行向量组线性相关 .的行向量组线性无关
．的列向量组线性相关 .的列向量组线性无关
50. 设, 均为上矩阵, 则由( ) 不能断言；
. ；.存在可逆阵与使
．与均为级可逆；.可经初等变换变成
51. 对于非齐次线性方程组其中，则以下结论不正确的是（ ）。
似矩阵有相同的特征多项式；
（4）的非零解向量都是的属于的特征向量；以上说法正确的有（
）个。
.1 个 .2 个 ．3 个 . 4个
75. 阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的（
）。
.充要条件；.充分而非必要条件；．必要而非充分条件；.既非充分也
非必要条件
76. 对于阶实对称矩阵，以下结论正确的是（
48．,，则=
。
49. 设行列式中，余子式，则＝__________。
50. 设行列式中，余子式，则＝__________。
51. 设，则
。
52行列式 的余子式的值为
。
53.设，,则 ____________。
54．设，,则____________。
55．设， ,则 ____________。
56. 设，，则＝_____________。
）个。
.1 个 .2 个 ．3 个 .4个
65． 设向量组线性无关。线性相关，则（
）。
.线性表示；.线性表示；
．线性表示； .线性表示
66.设向量组Ⅰ（），Ⅱ（）则必须有（
）。
.Ⅰ无关Ⅱ无关； . Ⅱ无关Ⅰ无关；.Ⅰ无关Ⅱ相关；.Ⅱ相关Ⅰ相关
67．向量组:与:等价的充要条件为（
）.
.； .且；．；.
62.维向量组线性无关，为一维向量，则（ ）.
.，线性相关；.一定能被线性表出；
．一定不能被线性表出；
.当时，一定能被线性表出
63. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；（2）若向
量组线性无关，可由线性表出，则向量组也线性无关；（3）设线性无
关，则也线性无关；（4）线性相关，则一定可由线性表出；以上说法
）。
.且； . ；
．或； .
38. 设为阶方阵，且，则中（ ）.
.必有个行向量线性无关 .任意个行向量线性无关．任意个行向量构成
一个极大无关组 .任意一个行向量都能被其他个行向量线性表示
39.
设为矩阵，为矩阵，为矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（
）。
. .．.
40.设是阶方阵，那么是（ ）
. 对称矩阵； . 反对称矩阵； ．可逆矩阵； .对角矩阵
. 充分 . 充分必要 .必要 ．既不充分也不必要
5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
.如果，那么
.如果，那么
.如果，那么，有
.如果，那么
6． 对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变
为；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( )
。
.甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；.甲, 乙均成立；．甲, 乙
20．在实数域上将多项式分解为不可约因式的乘积
。
21. 当满足条件
时，多项式才能有重因式。
22. 设是多项式的一个重因式，那么是的导数的一个
。Hale Waihona Puke 23. 多项式没有重因式的充要条件是
互素。
24．设的根，其中，则
。
25．设的根，其中，则
=
。
26．设的根，其中，则
。
27．设的根，其中，则 = 。
28. 按自然数从小到大为标准次序，排列的反序数为
57. 设，则＝_____________。
58．设矩阵可逆，且，则的伴随矩阵的逆矩阵为
。
59．设、为阶方阵，则的充要条件是
。
60．一个级矩阵的行（或列）向量组线性无关，则的秩为
61. 设、都是可逆矩阵，若，则
。
62. 设，则
。
63. 设，则
。
64. 设矩阵，且,则。
。 。
65. 设为阶矩阵，且,则 ______________。
《高等代数》试题库
1、 选择题
1．在里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
．零多项式 ．零次多项式 ．本原多项式 ．不可约多项式
2．设是的一个因式，则（ ）。
．1 ．2 ．3
．4
3．以下命题不正确的是 （ ）。
. 若；.集合是数域；
.若没有重因式；
．设重因式，则重因式
4．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。
.若方程组无解，则系数行列式；.若方程组有解，则系数行列式。
．若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解；
.系数行列式是方程组有惟一解的充分必要条件
52. 设线性方程组的增广矩阵是，则这个方程组解的情况是（ ）.
.有唯一解 .无解 ．有四个解 .有无穷多个解
53. 为阶方阵,，且，则 （ ）。
.；.；．齐次线性方程组有非解；.
.中任意两个向量组都线性无关
．中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示
.中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
60. 若向量组中含有零向量，则此向量组（
）
.线性相关； . 线性无关； ．线性相关或线性无关；.不一定
61．设为任意非零向量，则（
）。
.线性相关；.线性无关；． 线性相关或线性无关；．不一定
.
.
．
.
21.若矩阵，满足，则（ ）。
.或；.且；．且；.以上结论都不正确
22.如果矩阵的秩等于，则（ ）。
.至多有一个阶子式不为零； .所有阶子式都不为零；．所有阶子式全
为零，而至少有一个阶子式不为零；.所有低于阶子式都不为零
23.设阶矩阵可逆，是矩阵的伴随矩阵，则结论正确的是（ ）。
.；.；．；.
。
29．按自然数从小到大为标准次序，排列的反序数为
30．排列的反序数为
。
31．排列的反序数为
。
32．排列的反序数为
。
33．排列的反序数为
。
34. 若元排列是奇排列，则_____, _______。
35. 设级排列的反数的反序数为，则=
。
36. 设,则 。
37. 当 ，
时，5阶行列式的项取“负”号。
54. 当（ ）时，方程组，有无穷多解。
．1 ．2 ．3 ．4
55. 设线性方程组，则（
）
.当取任意实数时，方程组均有解。.当时，方程组无解。
．当时，方程组无解。.当时，方程组无解。
56. 设原方程组为，且，则和原方程组同解的方程组为( )。
.；.（为初等矩阵）；．（为可逆矩阵）；
.原方程组前个方程组成的方程组
。
11．设使得=____。
12．设使得=___。
13. 若，并且
，则。
14. 设，则与的最大公因式为
。
15. 多项式、互素的充要条件是存在多项式、使得
。
16. 设为，的一个最大公因式, 则与的关系
。
17. 多项式的最大公因式
。
18. 设。，若，则
，
。
19．在有理数域上将多项式分解为不可约因式的乘积
。
正确的有（ ）个。
.1 个
.2 个 ．3 个
.4个
64．（1）维向量空间的任意个线性无关的向量都可构成的一个基；
（2）设是向量空间中的个向量，且中的每个向量都可由之线性表示，
则是的一个基；（3）设是向量空间的一个基，如果与等价，则也是的
一个基；
（4）维向量空间的任意个向量线性相关；以上说法中正确的有（
均不成立
7．下面论述中, 错误的是( ) 。
. 奇数次实系数多项式必有实根； . 代数基本定理适用于复数域；
．任一数域包含； ． 在中,
8．设，为的代数余子式, 则=( ) 。
.
.
.．
9.行列式中，元素的代数余子式是（ ）。
．．．．
10．以下乘积中（ ）是阶行列式中取负号的项。
.； .；．；.
11. 以下乘积中（ ）是4阶行列式中取负号的项。
. .． .
28. 是阶矩阵，是非零常数，则 (
)。
.； .；
．.
29. 设、为阶方阵，则有（ ）.
.，可逆，则可逆 .，不可逆，则不可逆
．可逆，不可逆，则不可逆.可逆，不可逆，则不可逆
30. 设为数域上的阶方阵，满足，则下列矩阵哪个可逆（ ）。
.
.
．
31. 为阶方阵，，且，则（ ）。
.； .； ．；.
）
.
.
．
.
46. 设阶方阵满足，则下列矩阵哪个一定可逆（
）
.；
.； ．
.
47. 设为阶方阵，且，则中（ ）.
.必有个列向量线性无关；.任意个列向量线性无关；．任意个行向量构
成一个极大无关组；.任意一个行向量都能被其他个行向量线性表示
48.设是矩阵，若（
），则元线性方程组有非零解。
.
.的秩等于 ． .的秩等于
，最小的数域是
。
2．一非空数集,包含0和1,
且对加减乘除四种运算封闭，则其为
。
3．设是实数域上的映射，，若，则=
。
4．设，若，则= 。
5.求用除的商式为
，余式为
。
6．设，用除所得的余式是函数值
。
7．设是两个不相等的常数，则多项式除以所得的余式为____
8．把表成的多项式是
。
9．把表成的多项式是
。
10．设使得，且，，，则
57. 设线性方程组及相应的齐次线性方程组，则下列命题成立的是（
）。
.只有零解时，有唯一解；.有非零解时，有无穷多个解；．有唯一解
时，只有零解；. 解时，也无解
58. 设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条
件是（ ）。
.
.
．
.
59. 维向量组 线性无关的充分必要条件是（ ）
.存在一组不全为零的数，使
66. ,则________________。
67.,则________________。
68. 已知其中，则_________________。
69. 若为级实对称阵，并且，则=
。
70. 设为阶方阵，且，则
41.若由必能推出（均为阶方阵），则 满足( )。
..．.
42.设为任意阶可逆矩阵，为任意常数，且，则必有（ ）
. .． .
43.，都是阶方阵，且与有相同的特征值，则（
）
. 相似于； . ； ． 合同于； .
44. 设，则的充要条件是（ ）
.； （B）；． .
45. 设阶矩阵满足，则下列矩阵哪个可能不可逆（
．； .
阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（ ）
．
.
18.如果，那么矩阵的行列式应该有（ ）。
.； .； ．； .
19.设, 为级方阵, , 则“命题甲：；命题乙：”中正确的是( ) 。
. 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；．甲, 乙均成立；.甲,
乙均不成立
20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（ ）。
阶方阵的伴随矩阵，则=（ ）
. .． .
25.任级矩阵与, 下述判断成立的是( )。
. ； .与同解；
.若可逆, 则；．反对称, -反对称
26.如果矩阵,则 （ ）
. 至多有一个阶子式不为零；.所有阶子式都不为零． 所有阶子式全为
零，而至少有一个阶子式不为零；．所有低于阶子式都不为零
27. 设方阵，满足，则的行列式应该有 （ ）。
）。
.一定有个不同的特征根；.正交矩阵，使成对角形；．它的特征根一
定是整数；.属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交
77. 设都是三维向量空间的基，且，则矩阵是由基到（ ）的过渡
矩阵。
.. ． .
78.
设，是相互正交的维实向量，则下列各式中错误的是（
）。
..
．.
2、 填空题
1．最小的数环是
68．向量组线性无关(
)。
. 不含零向量； . 存在向量不能由其余向量线性表出；
．每个向量均不能由其余向量表出； ．与单位向量等价
69.已知则a =(
).
.；.；．；. .
70. 设向量组线性无关。线性相关，则（
）。
.线性表示；.线性表示；
．线性表示；.线性表示
71．下列集合中，是的子空间的为（
），其中
32. ，，是同阶方阵，且，则必有（
）。
. ；.；． ．
33. 设为3阶方阵，且，则（ ）。
.；.； ．；.
34. 设为阶方阵，，且，则（ ）.
. .或 ． .
35. 设矩阵，则秩=（ ）。
．1 ．2 ．3 ．4
36. 设是矩阵，若（
），则有非零解。
.；
.； ． .
37. ，是阶方阵，则下列结论成立得是（
.．.
72． 下列集合有（ ）个是的子空间；
；
；
；
；
73．设是相互正交的维实向量，则下列各式中错误的是（
）。
.； .；
．；.
.1 个 .2 个 ．3 个 .4个
74.是阶实方阵，则是正交矩阵的充要条件是（
）。
.； .； ． ； .
75．（1）线性变换的特征向量之和仍为的特征向量；（2）属于线性变
换的同一特征值的特征向量的任一线性组合仍是的特征向量；（3）相
38.
。
39．
。
40．
。
41． 。
42. _________________。
43． ________________。
44. ， _________________。
45. , 则 ______________________。
46. 设两两不同, 则的不同根为
。
47. =______________。
.； .；．； .
12. 设阶矩阵，则正确的为（
）。
.
.
．
.
13. 设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是
（
）
..
．
.
14. 设为四阶行列式，且，则（ ）
. .． .
15. 设为阶方阵，为非零常数，则（ ）
. . ．.
16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（ ）。
.；. ；